第三章 第5节 三角函数的解析式与图像 讲义-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习讲义聚焦三角函数的解析式与图像核心考点，按求解析式（确定A、ω、φ）和图像变换（平移、伸缩等）构建知识体系，通过知识要点梳理、方法规律总结、真题例题与变式训练等环节，帮助学生系统掌握考点内在联系，突破图像与解析式互求及变换难点。 资料以五点作图法和图像变换规律为抓手，设计“性质分析—特殊点代入—图像验证”解题流程，通过分层变式题（如由图像求解析式、判断函数图像等）培养学生几何直观与推理能力，助力教师精准把控复习节奏，高效提升学生运用数学语言表达和解决问题的应考能力。

第三章 三角函数与解三角形、平面向量 第5节 三角函数的解析式与图像 一、知识要点： 1．求解析式：已知函数的性质或图象特征，求函数或的解析式，一般先确定，再确定，关键在后者． （1）的求法 ，． （2）的求法 常从以下三个方面入手： ①由图象的形状（如对称性），周期性（由周期公式得），奇偶性等性质得方程； ②将特殊点的坐标代入解析式中得方程； ③利用五点作图法：在中，设，则． 图象中的五点： ，，，，. 图象中的五点：，，，，， 有（第一点）， （第二点）， （第三点）， （第四点）， （第五点）． 规律与方法：找图象的方法：（1）直接作出图象；（2）排除不合条件的图形.常利用函数的性质（单调性、周期性、奇偶性），图象的变换（平移变换、伸缩变换、翻折变换）规律求解，或取特殊点排除. 2．图像变换 （1）振幅变换： （2）左、右平移变换： 上、下平移变换： （3）周期变换： 二、应用举例 1．图像与解析式互求 【例1】函数的图像如图所示，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】观察图象得函数的最大值为，最小值为，又，所以，又，∴，∴，因为时函数取最大值，所以，，又，∴，∴．故选C． 【变式1-1】若时，函数取得最大值，则 ． 【解析】由题意，得，，解得． 【变式1-2】已知函数在同一周期内，当时有最大值；当时，有最小值，求该函数的解析式． 【解析】由题意，得， 解得所以． 【变式1-3】函数在区间的简图是（ ） A． B． C． D． 【答案】A【解析】令，得，且处于递增区间上，故选A． 【变式1-4】如图是函数的图象，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】，根据对称性知的最小正周期，所以，，则，，根据对称性可知，所以，，由于，所以．故选D． 【变式1-5】已知函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（    ） A． B．将的图象向右平移个单位，再将所有点的横坐标变为原来2倍，得到的图象，则 C．的对称中心为 D．若，且，则 【答案】D【解析】已知函数，由图知，，故，又过点，且该点在函数增区间上，故，则，则，故A错误； 将图象向右平移个单位，得 的图象，再将所有点的横坐标变为原来2倍，可得的图象，即，故B错误； 令，则，即对称中心为，故C错误； 因为，且，根据正弦函数图象的对称性结合已知图象，可知，则，则，故D正确． 【变式1-6】已知函数部分图象如图，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由图象可知，，所以.由可得，，所以.又，所以，所以，所以.因为，所以，.又，所以 ，所以，所以，所以 ．故选C． 【变式1-7】函数的图象大致为（    ） A． B．  C． D． 【解析】因为，定义域为，又，可知函数为奇函数，故排除选项C，D； 又由时，，，有，，可得； 当时，，，有，，得，故当时，，故排除选项B； 而A选项满足上述条件，故A正确．故选A． 【变式1-8】函数的图象大致为（    ） A．   B．   C．   D．   【解析】函数的定义域为，由，为偶函数，函数图象关于轴对称，故排除C、D； 当时，，，则，排除B． 故选A． 【变式1-9】已知函数部分图象如图所示，则函数的解析式可能为（    ） A． B． C． D． 【解析】由图像知有三个零点经验证只有AD满足，排除BC选项， A中函数满足为偶函数， D中函数满足为奇函数，而图像关于原点对称，函数为奇函数，排除A，选D． 故选D． 【变式1-10】函数的部分图象大致是（    ） A． B． C． D． 【解析】，定义域为，关于原点对称，由，所以为奇函数，排除BD； 当时，，因为为上减函数，为上的增函数，则为上的减函数，且当，，则当，，故，排除A．故选C． 【变式1-11】如图是下列四个函数中的某个函数在区间上的大致图象，则该函数是（    ） A． B． C． D． 【解析】对于B：，当时，，与图象不符合，故B错误； 对于C：，当时，，与图象不符合，故C错误； 对于D：，当时，，与图象不符合，故D错误． 故选A． 2．图像变换 【例2】函数的图象可由的图象经过怎样的变换而得到？ 【解析】方法1： ． 方法2： ． 【变式2-1】为了得到函数图象，只需把函数图象上（    ） A．各点的横坐标缩短到原来的，再向左平移个单位长度 B．各点的横坐标缩短到原来的，再向左平移个单位长度 C．各点的横坐标伸长到原来的倍，再向左平移个单位长度 D．各点的横坐标伸长到原来的倍，再向左平移个单位长度 【答案】B 【解析】把函数的图象上各点的横坐标缩短到原来的，得到函数的图象，接下来若向左平移个单位长度，得到函数的图象； 若向左平移个单位长度，得到函数的图象； 故A错误，B正确； C中的伸长到原来的本身说法矛盾，后面的平移参照A也是错误的，故C错误； D中伸长到原来的2倍，得到函数的图象，在无论怎样平移都得不到所要求的函数的图象，故D错误．故选B． 【变式2-2】将函数的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 在中，将用代，得， 故选B． 【变式2-3】将的图象向左平移个单位长度，所得图象对应的函数是（ ） A． B． ,C． D． 【答案】C【解析】在中，将用代，得． 故选C． 【变式2-4】为了得到函数的图象，只需把函数的图象（ ） A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 【答案】C 【解析】在中，将用代，得，所以向左平移个单位长度，故选C． 【变式2-5】为了得到函数的图象，只需把函数的图象（ ） A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 【答案】A 【解析】在中，将用代，得，所以向左平移个单位长度，故选A． 【变式2-6】为了得到函数的图象，只需把函数的图象（ ） A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 【答案】C 【解析】，将用代，得，所以向左平移个单位长度，故选C． 【变式2-7】为了得到的图象，只需把的图象（ ） A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 【答案】B 【解析】，，将中的将用代，所以向右平移个单位长度．故选B． 【变式2-8】要得到的图象，只需将的图象（ ） A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 【答案】D 【解析】，，将中的用代，所以向右平移个单位长度．故选D． 【变式2-9】要得到的图象，只需将的图象 A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 【答案】D 【解析】， ，将中的用代，得到的图象，所以向右平移个单位长度．故选D． 【变式2-10】设函数，将的图象向右平移个单位长度后，所得的图象与原图象重合，则的最小值等于 ． 【答案】 【解析】 方法1：将中的用代，得到，所以，所以，得，，，当时，． 方法2：由题意，得平移的长度必为周期的整数倍，所以，解得． 【变式2-11】已知将函数的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位长度，得到函数的图象，则下列说法正确的是（    ） A．函数图象关于对称 B．函数图象在内有3个极值点 C．函数在上单调递增 D．函数图象关于中心对称 【答案】C 【解析】由题意得，因为将函数的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位长度，得到的图象，所以 ；当时， 或，所以不是对称轴，选项A错误； 令，解得，当时， ；当时，；所以函数图象在内有2个极值点，选项B错误； 当时，，在内单调递增，选项C正确； 当时，，所以是对称中心,图象关于中心对称，选项D错误．故选C． 【变式2-12】若将函数的图象向左平移个单位长度后，与原图象重合，则的最小值为 ． 【答案】 【解析】由题意，得平移的长度必为周期的整数倍，所以，解得． 【变式2-13】（2023年全国甲卷，文理）已知为函数向左平移个单位所得函数，则与的交点个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【解析】向左平移个单位所得函数为 ，所以，而显然过与两点，作出与的部分大致图像如下： 考虑，即 处与的大小关系， 当时，，； 当时，，； 当时，，； 所以由图可知，与的交点个数为．故选C． 【变式2-14】（2023年全国新高考2卷）已知函数，如图A，B是直线与曲线的两个交点，若，则 ． 【解析】设，由可得，由知，或，，由图知，，即，．因为，所以，即，，所以，所以． 【变式2-15】方程的根的个数是（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】A 【解析】画出和的图象，因为 ，，结合图象可得函数 与函数图像交点个数是5个．故选A． 【变式2-16】将的图象向右平移2个单位长度后得到函数的图象，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】依题设可知，在平面直角坐标系中，分别作出函数，的图象，如图，由图可知，当时，，故原不等式的解集为．故选C． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三章 三角函数与解三角形、平面向量 第5节 三角函数的解析式与图像 一、知识要点： 1．求解析式：已知函数的性质或图象特征，求函数或的解析式，一般先确定，再确定，关键在后者． （1）的求法 ，． （2）的求法 常从以下三个方面入手： ①由图象的形状（如对称性），周期性（由周期公式得），奇偶性等性质得方程； ②将特殊点的坐标代入解析式中得方程； ③利用五点作图法：在中，设，则． 图象中的五点： ，，，，. 图象中的五点：，，，，， 有（第一点）， （第二点）， （第三点）， （第四点）， （第五点）． 规律与方法：找图象的方法：（1）直接作出图象；（2）排除不合条件的图形.常利用函数的性质（单调性、周期性、奇偶性），图象的变换（平移变换、伸缩变换、翻折变换）规律求解，或取特殊点排除. 2．图像变换 （1）振幅变换： （2）左、右平移变换： 上、下平移变换： （3）周期变换： 二、应用举例 1．图像与解析式互求 【例1】函数的图像如图所示，则（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】若时，函数取得最大值，则 ． 【变式1-2】已知函数在同一周期内，当时有最大值；当时，有最小值，求该函数的解析式． 【变式1-3】函数在区间的简图是（ ） A． B． C． D． 【变式1-4】如图是函数的图象，则（   ） A． B． C． D． 【变式1-5】已知函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（    ） A． B．将的图象向右平移个单位，再将所有点的横坐标变为原来2倍，得到的图象，则 C．的对称中心为 D．若，且，则 【变式1-6】已知函数部分图象如图，则（    ） A． B． C． D． 【变式1-7】函数的图象大致为（    ） A． B．  C． D． 【变式1-8】函数的图象大致为（    ） A．   B．   C．   D．   【变式1-9】已知函数部分图象如图所示，则函数的解析式可能为（    ） A． B． C． D． 【变式1-10】函数的部分图象大致是（    ） A． B． C． D． 【变式1-11】如图是下列四个函数中的某个函数在区间上的大致图象，则该函数是（    ） A． B． C． D． 2．图像变换 【例2】函数的图象可由的图象经过怎样的变换而得到？ 【变式2-1】为了得到函数图象，只需把函数图象上（    ） A．各点的横坐标缩短到原来的，再向左平移个单位长度 B．各点的横坐标缩短到原来的，再向左平移个单位长度 C．各点的横坐标伸长到原来的倍，再向左平移个单位长度 D．各点的横坐标伸长到原来的倍，再向左平移个单位长度 【变式2-2】将函数的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数是（ ） A． B． C． D． 【变式2-3】将的图象向左平移个单位长度，所得图象对应的函数是（ ） A． B． ,C． D． 【变式2-4】为了得到函数的图象，只需把函数的图象（ ） A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 【变式2-5】为了得到函数的图象，只需把函数的图象（ ） A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 【变式2-6】为了得到函数的图象，只需把函数的图象（ ） A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 【变式2-7】为了得到的图象，只需把的图象（ ） A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 【变式2-8】要得到的图象，只需将的图象（ ） A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 【变式2-9】要得到的图象，只需将的图象 A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 【变式2-10】设函数，将的图象向右平移个单位长度后，所得的图象与原图象重合，则的最小值等于 ． 【变式2-11】已知将函数的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位长度，得到函数的图象，则下列说法正确的是（    ） A．函数图象关于对称 B．函数图象在内有3个极值点 C．函数在上单调递增 D．函数图象关于中心对称 【变式2-12】若将函数的图象向左平移个单位长度后，与原图象重合，则的最小值为 ． 【变式2-13】（2023年全国甲卷，文理）已知为函数向左平移个单位所得函数，则与的交点个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式2-14】（2023年全国新高考2卷）已知函数，如图A，B是直线与曲线的两个交点，若，则 ． 【变式2-15】方程的根的个数是（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 【变式2-16】将的图象向右平移2个单位长度后得到函数的图象，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 1 学科网（北京）股份有限公司 $