第四章 课时5 三角函数的图像和性质讲义-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习讲义围绕三角函数图象与性质核心考点，涵盖五点法作图、周期性、奇偶性、单调性等课标要求，以知识梳理构建性质对比体系，通过考点扫描分定义域值域、周期性对称性、单调性三模块突破，结合规律方法总结与真题训练，形成系统复习路径。 讲义采用图表对比与真题情境教学法，通过三角函数性质表培养数学思维的逻辑推理能力，利用2025年高考真题设计探究活动提升数学眼光的几何直观，设置基础回顾与分层对点训练保障复习效果，助力学生高效掌握解题方法，为教师把控复习节奏提供精准指导。

课时5 三角函数的图象和性质 一、课标要求 1.会用“五点法”作三角函数的图象. 2.了解三角函数的周期性、奇偶性、最大(小)值. 3.借助图象理解正弦函数、余弦函数在[0,2π]上的性质及正切函数在上的性质． 二、知识梳理 1．利用五点法作正弦函数和余弦函数的简图 正弦函数y＝sin x，x∈[0，2π]的图象中，五个关键点是(0，0)， ， ， ，(2π，0)． 余弦函数y＝cos x，x∈[0，2π]的图象中，五个关键点是(0，1)，(，0)， ，(，0)，(2π，1)． 2．正弦函数、余弦函数、正切函数的图象与性质 函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x 图象 定义域 R R {x|x≠＋kπ，k∈Z} 值域 [－1，1] [－1，1] R 递增区间 [－＋2kπ，＋2kπ] (k∈Z) (－＋kπ，＋kπ) (k∈Z) 递减区间 [2kπ，π＋2kπ](k∈Z) 无 奇偶性 对称中心 (kπ，0)(k∈Z) 对称轴方程 x＝kπ(k∈Z) 周期 2π 【拓展知识】 1．对称性与周期性 (1) 正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是 周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是 个周期． (2) 正切曲线相邻两对称中心之间的距离是 周期． 2．奇偶性 函数具有奇偶性的充要条件： 函数y＝Asin(ωx＋φ)(x∈R)是奇函数⇔φ＝kπ(k∈Z)； 函数y＝Asin(ωx＋φ)(x∈R)是偶函数⇔φ＝kπ＋(k∈Z)； 函数y＝Acos(ωx＋φ)(x∈R)是奇函数⇔φ＝kπ＋(k∈Z)； 函数y＝Acos(ωx＋φ)(x∈R)是偶函数⇔φ＝kπ(k∈Z)； 函数y＝Atan(ωx＋φ)为奇函数⇔φ＝(k∈Z)． 三、基础回顾 1.判断正误.(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数y＝sin x的图象可以由y＝cos x的图象平移得到． (　 　) (2)函数y＝sin x图象的对称轴方程为x＝2kπ＋(k∈Z)． (　 　) (3) x＝是函数y＝cos x图象的一条对称轴． (　 　) (4)函数y＝tan x在整个定义域上是增函数． (　 　) 2. 下列函数中，以为最小正周期，且在区间，上单调递减的是　　 A． B． C． D． 3．(多选题)设f(x)＝2cos 2x，则有(　　) A.f(x)是偶函数 B.f(x)的最小正周期是 C.f(x)的图象关于直线x＝对称 D.f(x)的图象关于点对称 4.函数f(x)＝－2tan的定义域是________. 四、考点扫描 考点一 三角函数的定义域、值域（最值） 例1 （1）函数的定义域为 . （2）（2025秋·上海高考）函数在上的取值范围是　 　． （3）函数在区间，上的最小值为　　 A．1 B． C． D． 规律方法： 对点训练 （1）若函数在区间上的最小值为，则a＝(　　) A. B. C. D. （2）当x∈时，函数y＝3－sin x－2cos2x的取值范围是________. 考点二 三角函数的周期性、奇偶性、对称性 例2 （1）（2025·八省联考）函数的最小正周期是　　 A． B． C． D． （2）（2025·新高考Ⅰ卷）若点，是函数的图象的一个对称中心，则的最小值为　　 A． B． C． D． （3）（2025·天津高考）在上单调递增，且为它图象的一条对称轴，是它图象的一个对称中心，则当时，的最小值为　　 A． B． C．1 D．0 规律方法： 对点训练 (1) 已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)在区间(，)上单调递增，直线x＝和x＝为函数y＝f(x)的图象的两条相邻对称轴，则f(－)＝(　　) A.－ B.－ C. D. （2）函数图象的对称中心是 　 　． （3）已知函数是奇函数，且φ∈，则φ的值为________． 考点三 三角函数的单调性 例3 （2025·新高考Ⅱ卷）已知函数． （1）求的值; （2）设函数，求的值域和单调区间． 规律方法： 对点训练 （1）下列区间为函数单调递增区间的是　　 A． B． C． D． （2）若函数f(x)＝cos x－sin x在[－a，a]上单调递减，则实数a的最大值是(　　) A. B. C. D． 课时5 三角函数的图象与性质参考答案 二、知识梳理 1． (π，0) (π，－1) 2. 奇函数 偶函数 奇函数 【拓展知识】 1．（1）半个 个 （2）半个 三、基础回顾 1.（1）√ （2）× （3）× （4）× 2．A 【解析】对于选项A，，将在轴下方的图象沿x轴翻折到上方，可知周期，在区间上单调递减，A正确； 对于选项B，的周期，B错误． 对于选项C，的周期，在内是单调递增，C错误； 对于选项D，的周期，D错误．故选A. 3．AD 【解析】　因为f(x)＝2cos 2x， 所以f(x)为偶函数，最小正周期T＝＝π，A正确，B错误； 因为f＝2cos ＝≠±2，所以f(x)的图象不关于直线x＝对称，C错误； 因为f＝2cos＝0，所以f(x)的图象关于点对称，D正确.故选AD. 4.　 【解析】　由2x＋≠kπ＋，k∈Z，得x≠kπ＋，k∈Z. 四、考点扫描 例1 （1）　(k∈Z) 【解析】　由cos x－≥0，得cos x≥， 所以2kπ－≤x≤2kπ＋，k∈Z. （2）， 【解析】因为函数在上单调递增，在上单调递减， 所以当时，取得最大值1.因为，，所以的最小值为0，所以函数在，上的值域为，． (3) D【解析】函数，因为，，，所以当，即时，取最小值为．故选D． 对点训练 （1）A 【解析】因为当x∈时，x＋∈，所以sin∈. 当x＝时，sin有最小值－.可得f(x)＝sin＋＋a的最小值为－＋＋a＝，解得a＝.故选A. （2）　 【解析】　因为x∈，所以sin x∈. 又y＝3－sin x－2cos2x＝3－sin x－2(1－sin2x)＝2＋， 所以当sin x＝时， ymin＝，当sin x＝－或sin x＝1时，ymax＝2. 即函数的值域为. 例2（1） D 【解析】 因为函数，所以函数的最小正周期是．故选D． （2） B【解析】由已知，，，所以，， 因为，所以取时，得的最小值为．故选B． （3） A【解析】因为在，上单调递增，且为它图象的一条对称轴， 可得，即，k∈Z ①. 因为的图象关于，对称，所以，m∈Z ②. 且，n∈Z，解得，n∈Z， 因为在，上单调递增，所以，解得，所以. 根据①②，可得， 因为，所以，故， 当，时，，，可得的最小值为． 故选A． 对点训练（1）　D 【解析】　由题意得×＝－，解得ω＝2，易知x＝是f(x)的最小值点， 所以×2＋φ＝＋2kπ(k∈Z)，得φ＝＋2kπ(k∈Z)， 于是f(x)＝sin＝sin，f＝sin＝sin ＝.故选D. （2），，【解析】对于函数，令，， 求得，，可得函数的图象的对称中心是，，. （3）【解析】由已知，得＋φ＝kπ＋(k∈Z)，所以φ＝kπ＋(k∈Z). 又因为φ∈，所以当k＝0时，φ＝符合题意． 例3 【解】（1）由题意，，所以. （2）由（1）可知， 所以 ， 所以函数的值域为. 令，解得， 令，解得， 所以函数的单调递减区间为， 函数的单调递增区间为. 对点训练 （1）A 【解析】当时，，，函数单调递增，故A满足条件； 当时，，，函数没有单调性，故B不满足条件； 当时，，，函数单调递减，故C不满足条件； 当时，，，函数没有单调性，故D不满足条件. 故选A． （2）A 【解析】f(x)＝cos x－sin x＝cos.由题意，得a>0， 因为f(x)＝cos在[－a，a]上单调递减， 所以解得0<a≤，所以a的最大值是.故选A. . 学科网（北京）股份有限公司 $