第三章 三角函数的周期性、奇偶性及图像的对称性 讲义-2027届高三数学一轮复习

该高中数学讲义聚焦三角函数的周期性、奇偶性及图像对称性等高考核心考点，以定义性质应用为逻辑主线梳理知识要点，通过考点解析、方法归纳、例题精讲及分层练习，帮助学生构建系统知识网络，突破周期计算、对称性判断等难点。 资料特色在于将知识要点与高考真题深度对接，设计从基础判断到综合应用的分层训练，如通过图像平移与奇偶性结合的例题培养学生数学思维和几何直观。设置即时反馈练习，助力学生在有限时间内提升解题能力，为教师精准把控复习节奏提供有效参考。

第三章 三角函数与解三角形、平面向量 第3节 三角函数的周期性、奇偶性及图像的对称性 一、知识要点 1．最小正周期的求解 函数或（）的最小正周期，（）的最小正周期. 2．图象与图象的联系：在中，令，则． 图象中的五点：，，，，，如图1． 图象中的五点：，，，，，如图2． ，对称轴中心； ，对称轴方程； ，对称中心； ，对称轴方程； ，对称中心． 3．对称性与奇偶性： ①图象的对称轴方程由得到（最高或最低点在对称轴上）；对称中心（图象与轴的交点）的横坐标由得到． ②图象的对称中心的横坐标由得到． ③图象的对称轴（最高或最低点在对称轴上）方程由， 得到；对称中心（图象与轴的交点）的横坐标由得到． ④对于，为奇函数；为偶函数. 二、应用举例 【例1】函数的最小正周期与最小值分别为（    ） A． B． C． D． 【解析】．故选C． 【练习1-1】函数的最小正周期为，则的值为（    ） A． B． C． D． 【解析】由，得．故选A． 【练习1-2】下列函数最小正周期为的是（    ） A． B． C． D． 【解析】对于A，的最小正周期，故A错误； 对于B：的最小正周期，故B正确； 对于C：的最小正周期，故C错误； 对于D：的最小正周期，故D错误． 故选B． 【练习1-3】的最小正周期为________． 【解析】由题意可知，函数的最小正周期为． 【练习1-4】（多选）下列函数中，最小正周期为的是（ ） A． B． C． D． 【解析】的最小正周期是，故A对； 的最小正周期是，故B错； 的最小正周期是，故C对； 的最小正周期是，故D对． 故选ACD． 【练习1-5】的最小正周期为________． 【解析】由题意，得 ，得变换后函数的最小正周期． 【练习1-6】若的定义域为、最小正周期为，且则 ． 【解析】． 【练习1-7】若是以为周期的偶函数，且，求的值． 【解析】． 2．对称性与奇偶性的判断 【例2】函数的图象关于（ ） A．直线对称 B．直线对称 C．点对称 D．点对称 【解析】将代入中，得，所以的图象关于点对称．故选D． 【练习2-1】“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】由，得，．由，得，，即，．所以“”是“”的充分不必要条件． 故选A． 【练习2-2】函数的图象的一条对称轴方程为（ ） A． B． C． D． 【解析】将代入中，得，所以的图象关于直线对称．故选A． 【练习2-3】函数图象的一个对称中心为（    ） A． B． C． D． 【解析】由，得，所以的对称中心为，取时，得．故选A． 【练习2-4】函数是（    ） A．最小正周期为的奇函数 B．最小正周期为的偶函数 C．最小正周期为的奇函数 D．最小正周期为的偶函数 【答案】C 【解析】，所以函数为奇函数，最小正周期．故选C． 【练习2-5】已知奇函数，的最小正周期为，将的图象向右平移个单位得到函数的图象，则函数的图象（    ） A．关于点对称 B．关于点对称 C．关于直线对称 D．关于直线对称 【解析】因为是奇函数，则，又，则，又因为最小正周期，，则，则，则，令，解得，当时，，时，，时，，即函数关于点对称，A正确，B错误； 令，解得，当时，，时，，C错误，D错误． 故选A． 【练习2-6】（多选）已知函数的最小正周期为，则下列结论正确的是（    ） A． B．“”是“”的充要条件 C．的对称轴方程为 D．“”是“为偶函数”的充要条件 【解析】，A正确； ，，反之时，，B正确； ，，C错误； 时，是偶函数，但时，也有为偶函数，D错． 故选AB． 【练习2-7】已知函数图象上相邻两条对称轴之间的距离为，将函数的图象向左平移个单位后，得到的图象关于y轴对称，则函数的一个对称中心是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由已知得，所以，，所以．将函数的图象向左平移个单位后，所得函数的图象．因为得到的图象关于轴对称，所以，即，又，所以，所以． 对于A项，因为，所以点不是函数的对称中心，故A项错误； 对于B项，因为，所以点不是函数的对称中心，故B项错误； 对于C项，因为，所以点是函数的对称中心，故C项正确； 对于D项，因为，所以点不是的对称中心，故D项错误． 故选C． 【练习2-8】已知函数，则下列说法不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由函数，知，故A正确； 由，可得，故B正确； 由，所以的对称中心是，而的对称中心是，故C错误； 由，所以的对称轴是，而的对称轴是，故D正确．故选C． 3．已知对称性或奇偶性求参数 【例3】若函数（）是偶函数，则（ ） A． B． C． D． 【解析】由，得，即，，取，得，故选C． 【练习3-1】函数（）的图象关于原点成中心对称，则 . 【解析】将，代入中，得，所以，，又，取，得． 【练习3-2】已知函数的图象关于直线对称，则________． 【解析】因为函数的图象关于直线对称，所以，即，又，所以． 【练习3-3】若的图象关于点对称，则（ ） A． B． C． D． 【解析】将代入中，得，即，，又，取，得．故选C． 【练习3-4】已知函数的部分图象如图所示．若四点在同一个圆上，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D【解析】连接交轴于． 由于，，，四点在同一个圆上，且和均关于点对称，故为圆心，故，，， 故，解得．故选D． 【练习3-5】若函数的图像关于y轴对称，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，所以，因为的图像关于y轴对称，所以，所以，当时，．故选B． 【练习3-6】已知函数为奇函数，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】先确定函数定义域：由得，定义域关于原点对称． 令，则，故是奇函数．因为奇函数，故为偶函数，满足，即， 利用正弦函数性质，得， 解得．由，当时，取最小值．故选D． 【练习3-7】已知定义域为的函数有最大值和最小值，且最大值与最小值的和为，则等于（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 【解析】因为，设，则，所以为R上的奇函数，所以，所以，所以．故选C． 4．对称性、奇偶性与图像变换结合 【例4】将函数的图象向左平移个单位长度后，所得图象关 于轴对称，则的最小值是________． 【解析】将函数的图象向左平移个单位长度后，得到函数 的图象，令，得，所以，得，，取，得的最小值是． 【练习4-1】若将函数的图象向右平移（）个单位，所得图象关于轴对称，则的最小值是________． 【解析】若将函数的图象向右平移（）个单位，得到函数 的图象，令，得，所以，，取，得的最小值是． 【练习4-2】函数的最小正周期为，将的图象向左平移个单位长度所得图象关于原点对称，则的一个值是（ ） A． B． C． D． 【解析】由，得，所以，将的图象向左平移个单位长度后，得到的图象，由，得，得，，取，得．故选B． 【练习4-3】将函数的图象向右平移个单位后，得到函数的图象，若为偶函数，则的最小值是 ． 【解析】将函数的图象向右平移个单位后，得 ，因为为偶函数，所以，由，得，，取，得． 【练习4-4】将函数的图像向左平移个单位长度后得到曲线，若关于轴对称，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【解析】将函数的图像向左平移个单位长度后得到曲线，对应的函数解析式为，曲线关于轴对称，则，，又，所以的最小值是． 故选D． 【练习4-5】已知函数的图象关于点对称，则_______． 【解析】因为的图象关于点对称，所以，所以，因为，所以． 【练习4-6】（多选）已知函数的部分图象如图所示，关于此函数的下列描述，其中正确的有（    ） A． B． C． D．若，则 【解析】对于选项A：由图知，函数最大值为，所以，故选项A正确； 对于选项B，函数周期为，所以，故选项B正确； 对于选项C，由图知，可得，由于，所以，，故选项C不正确； 对于选项D，若，则，所以 ，故选项D正确． 故选ABD． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三章 三角函数与解三角形、平面向量 第3节 三角函数的周期性、奇偶性及图像的对称性 一、知识要点 1．最小正周期的求解 函数或（）的最小正周期，（）的最小正周期. 2．图象与图象的联系：在中，令，则． 图象中的五点：，，，，，如图1． 图象中的五点：，，，，，如图2． ，对称轴中心； ，对称轴方程； ，对称中心； ，对称轴方程； ，对称中心． 3．对称性与奇偶性： ①图象的对称轴方程由得到（最高或最低点在对称轴上）；对称中心（图象与轴的交点）的横坐标由得到． ②图象的对称中心的横坐标由得到． ③图象的对称轴（最高或最低点在对称轴上）方程由， 得到；对称中心（图象与轴的交点）的横坐标由得到． ④对于，为奇函数；为偶函数. 二、应用举例 【例1】函数的最小正周期与最小值分别为（    ） A． B． C． D． 【练习1-1】函数的最小正周期为，则的值为（    ） A． B． C． D． 【练习1-2】下列函数最小正周期为的是（    ） A． B． C． D． 【练习1-3】的最小正周期为________． 【练习1-4】（多选）下列函数中，最小正周期为的是（ ） A． B． C． D． 【练习1-5】的最小正周期为________． 【练习1-6】若的定义域为、最小正周期为，且则 ． 【练习1-7】若是以为周期的偶函数，且，求的值． 2．对称性与奇偶性的判断 【例2】函数的图象关于（ ） A．直线对称 B．直线对称 C．点对称 D．点对称 【练习2-1】“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【练习2-2】函数的图象的一条对称轴方程为（ ） A． B． C． D． 【练习2-3】函数图象的一个对称中心为（    ） A． B． C． D． 【练习2-4】函数是（    ） A．最小正周期为的奇函数 B．最小正周期为的偶函数 C．最小正周期为的奇函数 D．最小正周期为的偶函数 【练习2-5】已知奇函数，的最小正周期为，将的图象向右平移个单位得到函数的图象，则函数的图象（    ） A．关于点对称 B．关于点对称 C．关于直线对称 D．关于直线对称 【练习2-6】（多选）已知函数的最小正周期为，则下列结论正确的是（    ） A． B．“”是“”的充要条件 C．的对称轴方程为 D．“”是“为偶函数”的充要条件 【练习2-7】已知函数图象上相邻两条对称轴之间的距离为，将函数的图象向左平移个单位后，得到的图象关于y轴对称，则函数的一个对称中心是（    ） A． B． C． D． 【练习2-8】已知函数，则下列说法不正确的是（    ） A． B． C． D． 3．已知对称性或奇偶性求参数 【例3】若函数（）是偶函数，则（ ） A． B． C． D． 【练习3-1】函数（）的图象关于原点成中心对称，则 . 【练习3-2】已知函数的图象关于直线对称，则________． 【练习3-3】若的图象关于点对称，则（ ） A． B． C． D． 【练习3-4】已知函数的部分图象如图所示．若四点在同一个圆上，则（    ） A． B． C． D． 【练习3-5】若函数的图像关于y轴对称，，则（    ） A． B． C． D． 【练习3-6】已知函数为奇函数，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【练习3-7】已知定义域为的函数有最大值和最小值，且最大值与最小值的和为，则等于（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 4．对称性、奇偶性与图像变换结合 【例4】将函数的图象向左平移个单位长度后，所得图象关 于轴对称，则的最小值是________． 【练习4-1】若将函数的图象向右平移（）个单位，所得图象关于轴对称，则的最小值是________． 【练习4-2】函数的最小正周期为，将的图象向左平移个单位长度所得图象关于原点对称，则的一个值是（ ） A． B． C． D． 【练习4-3】将函数的图象向右平移个单位后，得到函数的图象，若为偶函数，则的最小值是 ． 【练习4-4】将函数的图像向左平移个单位长度后得到曲线，若关于轴对称，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【练习4-5】已知函数的图象关于点对称，则_______． 【练习4-6】（多选）已知函数的部分图象如图所示，关于此函数的下列描述，其中正确的有（    ） A． B． C． D．若，则 1 学科网（北京）股份有限公司 $