21.3 实践与探索 第2课时课件 2026-2027学年华东师大版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦一元二次方程解决复杂几何与变化率问题，以党的十八大GDP翻番目标为情景导入，衔接正方形折叠长方体、矩形羊圈等几何问题及产值增长率计算，构建从实际到数学模型的学习支架。 其亮点在于通过剪正方形观察侧面积变化培养几何直观，设增长率列方程发展推理意识，结合花生出油率、商店利润问题强化模型意识。采用情景导入与合作探究，小结公式助力系统掌握，能提升学生应用能力，为教师提供结构化教学资源。

华师版 九年级 数学（上） 第21章 一元二次方程 第2课时　利用一元二次方程解决复杂几何、变化率问题 21.3 实践与探索 1 情景导入 党的十八大报告中明确提出“在发展平衡性、协调性、可持续性明显增强的基础上，实现国内生产总值和城乡居民人均收入比2010年翻一番”的宏伟目标.2010年国内生产总值现价总量为401 202亿元，翻一番是多少？ 知识模块一　利用一元二次方程解决复杂的几何问题 自学互研 问题3 小明把一张边长为10 cm的正方形硬纸板的四周各剪去一个同样大小的正方形，再折叠成一个无盖的长方体盒子，如图． 3 （1）如果要求长方体的底面积为81cm2，那么剪去的正方形的边长为多少？ （2）如果按下表列出的长方体底面积的数据要求，那么剪去的正方形边长会发生什么样的变化？折叠成的长方体的侧面积又会发生什么样的变化？ 折叠成的长方体底面积（cm2） 81 64 49 36 25 16 9 4 剪去的正方形边长（cm） 折叠成的长方体侧面积（cm2） 0.5 2.5 1 3 1.5 3.5 2 4 18 32 42 48 50 48 42 32 5 以剪去的正方形边长为自变量，折叠成的长方体侧面积为它的函数，在平面直角坐标系中画出相应的点.观察折叠成的长方体侧面积会不会有最大的情况？ 探索 合 探 作 究 仿例：如图，要利用一面墙(墙长为25 m)建羊圈，用100 m的围栏围成总面积为400 m2的三个大小相同的矩形羊圈，求羊圈的边长AB，BC各为多少米？ 解：设AB的长度为x m，则BC的长度为(100－4x)m. 根据题意，得(100－4x)x＝400. 则100－4x＝20或100－4x＝80. ∵80＞25， 即AB＝20 m，BC＝20 m. 答：羊圈的边长AB，BC分别是20 m，20 m． 解得x1＝20，x2＝5. ∴x2＝5舍去． 知识模块一　利用一元二次方程解决复杂的几何问题 自学互研 问题4 某工厂计划在两年后实现产值翻一番，那么这两年中产值的平均年增长率应为多少？ 分析 翻一番，即为原产值的 2 倍.若设原产值为 1 个单位，那么两年后的产值就是 2 个单位. 解：设原产值为1，则两年后为2， 设每年的增长率为x，则(1＋x)2＝2， ∴x1＝－1＋≈41%，x2＝－1－(不符合题意，舍去). 答：每年的增长率约为41%. 探索 如果调整计划，两年后的产值为原产值的1.5倍、1.2倍……那么两年中的平均年增长率分别应调整为多少？ (1 + x)2 = 1.5 (1 + x)2 = 1.2 解：设平均年增长率为x. 又如果第二年的增长率为第一年的2倍，那么第一年的增长率为多少时，可以实现两年后产值翻一番？ (1 + x) (1 + 2x) = 2 解：设第一年的增长率为x. 课堂小结 用一元二次方程解决特殊图形问题时，通常要先画出图形，利用图形的面积找相等关系列方程. 若平均增长（降低）率为 x，增长（或降低）前的基数是 a，增长（或降低）n 次后的量是 b，则有：a(1±x)n = b（常见 n = 2）. 随堂练习 1.某花生种植基地原有花生品种每公顷产量为3000kg，出油率为55%.改用新品种之后，每公顷收获的花生可加工得到花生油2025kg.已知新品种花生的每公顷产量和出油率都比原有品种有所增加，其中出油率的增长率是每公顷产量增长率的一半，求两者的增长率.(精确到1%) 解：设每公顷产量的增长率为 x，则出油率的增长率为 ​x. 根据题意，得3000(1+x)×55%(1+ ​ x)=2025. 14 整理方程，得11x2 +33x−5=0. 解得，得x= ∴x1=≈≈0.1445≈14％ x2=≈ − 3.1445(不符合题意，舍去) 出油率的增长率为 ​x =14％ =7％ 因此每公顷产量的增长率约为 14%，出油率的增长率约为 7%。 2.某商店准备购进一种季节性小家电，每台进价为40元.经市场预测，销售定价为52元时，可售出180台;销售定价每增加(或降低)1元，销售量将减少(或增多)10台.商店若希望获利2000元，则应进货多少台?销售定价为多少? (1)本题如何设未知数较合适?需要列出哪些相关量的代数式? (2)所列方程的解是否都符合题意?如何解释? (3)请你为商店估算一下，若要获得最大利润，则应进货多少台?销售定价为多少? 16 解： (1)设销售定价为 x 元 / 台。 每台利润：定价－进价 = x−40 元 销售量：定价为 52 元时卖 180 台，定价每增加 1 元少卖 10 台，定价每减少 1 元多卖 10 台，因此：销售量＝180－10(x－52)=180－10x +520=700－10x (台) (2)根据“总利润=每台利润×销售量"，列方程: (x－40)(700－10x)= 2000 展开整理，得x2－110x＋3000=0 因式分解法，得(x－50) (x－60)=0 解得：x1=50， x2=60. 当x=50 时：销售量 =700−10×50=200 台，利润 =(50−40)×200=2000 元，符合题意。 当x=60 时：销售量 =700−10×60=100 台，利润 =(60−40)×100=2000 元，也符合题意。 ∴两个解都合理，对应两种定价和进货方案： 方案 1：定价 50 元，进货 200 台； 方案 2：定价 60 元，进货 100 台. (3)总利润函数为：P(x)=(x−40)(700−10x)=−10x2+1100x−28000 这是开口向下的二次函数，顶点处利润最大，顶点横坐标为: x =－ = － =55 ∴当定价是x = 55时，销售量：700－10× 55＝150台；最大利润：(55−40)×150＝2250元. 3.某市人均居住面积为43.8m2，计划在两年后达到54m2.在预计每年住房面积的增长率时，还应考虑人口的变化因素等，请你把问题补充完整，再给出解答. 解：补充问题如下：若预计该市人口每年增长 1%，为了实现这一目标，求每年住房面积的平均增长率（精确到 0.1%） 设该市现在的人口数为 a（a>0，计算中会消去，无需具体数值） 每年住房面积的平均增长率为 x. ∴为了实现目标，该市每年住房面积的平均增长率约为 12.2%。 根据题意列方程，两年后的人均居住面积: =54 ≈1.1215－1＝0.1215 ＝12.2％ ∵负数不符合题意，舍去. $