21.3 实践与探索 课件 2026-2027学年华东师大版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦一元二次方程的应用，分图形面积、变化率与传播、销售三课时，通过合作探究实际问题（如小道面积、增长率）引导学生建立方程模型，衔接“审找列解答”步骤，搭建从具体到抽象的学习支架。 其亮点在于以“三会”素养为导向，用数学眼光抽象实际问题（如平移小路简化面积计算），用数学思维推导等量关系（如变化率公式），用数学语言表达模型（如销售利润方程）。采用“探究-典例-练习-总结”教学法，助学生提升应用能力，为教师提供系统教学资源。

21.3 实践与探索 21.3 实践与探索 第1课时 一元二次方程的应用（图形面积问题） 1.学会将实际应用问题转化为数学问题，培养数学应用的意识.(重点) 2.会分析题目中量之间的关系，准确列出一元二次方程.(重点) 3.通过求解面积问题，逐步培养分析问题、解决问题的能力.(难点) 学 习 目 标 问题 学校生物小组有一块长32 m，宽20 m的矩形试验田，为了管理方便，准备沿平行于两边的方向纵、横各开辟一条等宽的小道.要使种植面积为540 ，小道的宽应是多少米？ 方法1：用总的面积减去两条道路的面积加上重叠部分面积等于540. 你是如何考虑的？ 合 作 探 究 方法1 用总的面积减去两条道路的面积加上重叠部分面积等于540. x m x m 解：设道路宽为x m，由题意,得 整理,得x2-52x+100=0 解得：x1=2, x2=50(不合题意，舍去). 答：小道的宽应是2 m. 32×20-32x-20x+x2=540 你还有其他的解法吗？ 合 作 探 究 分层设计 数学 HS 九年级 全 解：设道路宽为x m，由题意,得 (20-x)(32-x)=540 x x 整理,得:x2-52x+100=0 解得: x1=2, x2=50（不合题意，舍去）. 答：小道的宽应是2 m。 20-x 32-x 【方法2】利用“图形经过平移，它的面积大小不会改变”的道理，纵、横两条路移动一下，使列方程容易些（目的是求出路面的宽，至于实施施工，仍可按原图的位置修路） 合 作 探 究 分层设计 数学 HS 九年级 全 列一元二次方程解应用题的步骤与列一元一次方程解应用题的步骤类似，即审、找、列、解、答．这里要特别注意．在列一元二次方程解应用题时，由于所得的根一般有两个，所以要检验这两个根是否符合实际问题的要求． 新 知 小 结 例 如图，要利用一面墙(墙足够长)建羊圈，用 58 m的围栏围成面积为 200 m2 的矩形羊圈，则羊圈的边 AB 和 BC 的长各是多少米？ 解：设 AB 的长是x m.列方程，得 (58 − 2x)x = 200， 整理,得x2 − 29x + 100 = 0. 解得x1 = 25，x2 = 4. 当x = 25时，58 − 2x = 8； 当x = 4时，58 − 2x = 50. 答：羊圈的边AB和BC的长各是25 m，8 m或4 m，50 m. D C B A 典 例 精 析 1．一个直角三角形的两直角边之和为14cm，面积是24cm2，则斜边的长度为（    ） A．6cm B．8cm C．10cm D．12cm 【答案】C 【分析】设两条直角边的长度分别为xcm和(14-x)cm，根据题意列出方程求出x的值，再根据勾股定理求解即可． 随 堂 练 习 2．某建筑工程队在工地一边靠墙处，用81米长的铁栅栏围成三个相连的长方形仓库，仓库总面积为440平方米．为了方便取物，在各个仓库之间留出了1米宽的缺口作通道，在平行于墙的一边留下一个1米宽的缺口作小门．若设AB长x米．则可列方程（    ） A．x(81-4x)=440 B．x(78-2x)=440 C．x(81-2x)=440 D．x(84-4x)=440 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，可表示BC的长为 （81+3-4x）米，由长方形的面积即可求解． 随 堂 练 习 分层设计 数学 HS 九年级 全 3．如图，某小区规划在一个长16m，宽9m的矩形场地ABCD上，修建同样宽的小路，使其中两条与AB平行， 另一条与AD平行，其余部分种草，若草坪 部分总面积为112m2，则小路的宽为 ． 【答案】1m 【分析】设小路的宽为x m，则种草的部分可合成长为（16-2x）m，宽为（9-x）m的矩形，利用矩形的面积计算公式，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论． 随 堂 练 习 分层设计 数学 HS 九年级 全 4．如图，在一块长为22m，宽为14m的矩形空地内修建三条宽度相等的小路（阴影部分），其余部分种植 花草．若花草的种植面积为240，则小 路的宽为 . 【答案】2m 【分析】设小路宽为x m，则种植花草部分的面积等同于长（22-x）m，宽（14-x）m的矩形的面积，根据花草的种植面积为240m2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论． 随 堂 练 习 5．如图所示，在宽为20m，长为32m的矩形耕地上，修筑同样宽的三条道路（互相垂直），把耕地分成大小不等的六块试验田，要使试验田的面积为570，道路应为多宽？ 解：设道路宽为xm， 由题意可得，(20-x)(32-2x)=570， 整理得，2x2-72x+70=0， 解得，x1=1,x2=35， ∵35＞32， ∴x2=35，舍去， 答：道路的宽应为1m． 随 堂 练 习 分层设计 数学 HS 九年级 全 小路问题 实际问题 图形经过移动，它的面积大小不会改变 围墙问题 设其中的一条边为x，然后用含x的代数式表示另一边，最后根据面积或周长公式列方程求解 课 堂 总 结 21.3 实践与探索 第2课时 一元二次方程的应用（变化率与传播问题) 1.理解增长率、降低率等词语的实际含义及它们之间的关系.（重点） 2.能正确分析增长率类问题中的等量关系并建立一元二次方程数学模 型.（难点） 3.掌握增长率类实际问题的常见题型解法及一般步骤.（重点） 学 习 目 标 例1 某药品经过两次降价，每瓶零售价由56元降为31.5元，两次降价的百分率相同.求每次降价的百分率. 【分析】若每次降价的百分率为x, 则第一次降价后的零售价为原来的(1-x)， 即56(1-x)元， 第二次降价后的零售价为56(1-x)元的(1-x). 这与讨论增长率问题中的数量关系是否相似?有 什么不同? 典 例 精 析 解：设每次降价的百分率为 x , 根据题意 ,得 56(1 - x )2= 31. 5 解这个方程 ,得 x1= 0.25 , x2=1.75. 因为降价的百分率不可能大于1, 所以x2=1.75不符合题意. 经检验，x=0.25=25%符合本题要求. 答:每次降价的百分率为 25% . 典 例 精 析 例2 某工厂计划在两年后实现产值翻一番 ,那么这两年中产值的平均年增长率应为多少? 【分析】翻一番 ,即为原产值的 2 倍. 若设原产值为 1个单位 ,那么两年后的产值就是 2 个单位. 解:设这两年产值的平均增长率为x, 根据题意可得(1+x)²=2, 解得x₁=-1,x₂=--1＜0(不符合题意，舍去) ∴x=-1≈0.414=41.4%. 答：这两年生产总值的平均增长率为41.4%. 典 例 精 析 例3 某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染． （1）每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？ （2）若病毒得不到有效控制，三轮感染后，被感染的电脑会不会超过700台？ 典 例 精 析 【分析】 感染源 第一轮被感染的 第二轮被感染的 + + x 1 x(x+1) 两轮感染后的总数的81 典 例 精 析 解：（1）设每轮感染中平均一台电脑会感染x台电脑， 依题意，得1+x+（x+1）x=81 整理，得（1+x）2=81， 则x+1=9或x+1=-9， 解得x1=8，x2=-10（舍去）. 答：每轮感染中平均一台电脑会感染8台电脑； （2）81×（1+8）=729＞700． 答：三轮感染后，被感染的电脑会超过700台． 典 例 精 析 1.小区新增了一家快递店，第一天揽件200件，第三天揽件242件，设该快递店揽件日平均增长率为x,根据题意，下面所列方程正确的是( ) A.200(1+x)²=242 B.200(1-x)²=242 C.200(1+2x)=242 D.200(1-2x)=242 【答案】A 【解析】解：由题意得：第一天揽件200件，第三天揽件242件， ∴可列方程为：200(1+x)²=242, 故选：A. 随 堂 练 习 2.某厂家今年一月份的口罩产量是30万个，三月份的口罩产量是50万个，若设该厂家一月份到三月份的口罩产量的月平均增长率为x.则所列方程为( ) A.30(1+x)²=50 B.30(1-x)²=50 C.30(1+x²)=50 D.30(1-x²)=50 【答案】A 【分析】根据题意和题目中的数据，可以得到30(1+x)²-50,从而可以判断哪个选项是符合题意的。 随 堂 练 习 3.某人患了流感，经过两轮传染后共有36人患了流感.设每一轮传染中平均每人传染了x人，则可列出方程为 （ ） A.x＋（1＋x）＝36 B. 2（1＋x）＝36 C.1＋x＋（1＋x）＝36 D.1＋x＋x2＝36 【答案】C 随 堂 练 习 4.我市某景区今年3月份接待游客人数为10万人，5月份接待游客人数增加到12.1万人。 (1)求这两个月游客人数的月平均增长率； (2)若月平均增长率不变，预计6月份的游客人数是多少? (1)解：设这两个月游客人数的月平均增长率为x, 依题意，得：10(1+x)²=12.1, 解得x1=-2.1(舍去),x2=0.1. 答：这两个月游客人数的月平均增长率为10%. (2)12.1×(1+10%)=13.31(万人). 答：按照这个增长率，预计6月份的游客人数是13.31万人 随 堂 练 习 5.某校九年级学生毕业时，每个同学都将自己的相片向全班其他同学各送一张留作纪念，全班共送了1640张相片，全班有多少名学生? 解：设此班有x名同学， 则x(x-1)=1640, 解得x1=41,x2=-40(舍去), 答：此班有41名同学. 随 堂 练 习 变化率问题 一元二次方程的应用 增长率问题：a(1+x)2=b 降低率问题：a(1-x)2=b 比赛问题 单循环问题：=y 双循环问题：x(x-1)=y 课 堂 总 结 21.3 实践与探索 第3课时 一元二次方程的应用(销售问题） 1.理解进价、售价、销量、单利润、总利润等词语的实际含义及它们之间的关系.（重点） 2.能正确分析销售问题中的等量关系并建立一元二次方程数学模型.（重点） 3.掌握销售类实际问题的常见题型解法及一般步骤.（难点） 学 习 目 标 问题1 某水果批发商场经销一种高档水果,如果每千克盈利10元,每天可售出500千克,经市场调查发现,在进价不变的情况下,若每千克涨价0.5元,日销售量将减少10千克,现该商场要保证每天盈利6000元,同时又让顾客得到实惠,那么每千克应涨价多少元? 涨价前 涨价后 单位利润 日销售量 总利润=单位利润×日销售量 10 10+x 500 合 作 探 究 利润问题基本关系：(1)单利润＝售价－售价； (2)总利润＝单利润×销量. 解：设每千克涨价x元，由题意得：(10+x)(500-×10)=6000 解得：x1=5,x2=10 要使顾客得到实惠，则应涨价5元。 答：每千克涨价5元。 合 作 探 究 (1)商场日销售量增加____件，每件商品盈利________元(用含x的代数式表示)； (2)在上述条件不变、销售正常情况下，每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到2100元？ 问题2 商场某种商品的进价为每件100元，当售价定为每件150元时平均每天可销售30件．为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件．设每件商品降价x元(x为整数)．据此规律，请回答： 2x （50－x） 思考：降价怎么处理呢？ 合 作 探 究 解：(2)设每件商品降价x元时，商场日盈利可达到2100元． 根据题意，得(50－x)(30＋2x)＝2 100， 化简，得x2－35x＋300＝0， 解得x1＝15，x2＝20. 答：在上述条件不变、销售正常情况下，每件商品降价15元或20元时， 商场日盈利可达到2100元． 设降价的价钱，找到关键的销售语句判断其实际含义，根据等量关系列方程，注意验根. 设降价的价钱，找到关键的销售语句判断其实际含义，根据等量关系列方程，注意验根. 合 作 探 究 1.利润问题基本关系： (1)单利润＝售价－________； (2)总利润＝____________×销量 进价 单利润 2.可设涨价、降价、定价，注意找到关键的销售语句判断其实际含义表示出销量，再根据利润关系列方程. 新 知 小 结 1.某直播带货平台销售一款进价为每把160元的电动牙刷，若按每把240元出售，当月可销售100把，经调查发现，这款下降1元，其销售数量就增加2把，当每把电动牙刷降价多少元时，该直播带货平台销售这款电动牙刷的利润为8400元?设降价x元，则下列方程正确的是( ) A.(160-x)(100-2x)=8400 B.(240-x)(100+2x)=8400 C.(240-160-x)(100-2x)=8400 D.(240-160-x)(100+2x)=8400 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设售价为x元/台，根据利润等于销售量乘每台电动牙刷的利润，列方程即可. 随 堂 练 习 2.某渔具店销售一种鱼饵，每包成本价为10元，经市场调研发现：售价为20元时，每天可销售40包，售价每上涨1元，销量将减少3包.如果想获利408元，设这种鱼饵的售价上涨x元，根据题意可列方程为( ) A.(20+x)(40-3x)=408 B.(x-10)[40-3(x-20)]=408 C.(20+x)(40-3x)-10×40=408 D.(20+x-10)(40-3x)=408 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设这种鱼饵的售价上涨x元，根据题意，列出程即可求解，根据题意，找到等量关系，列出方程是解题的关键. 随 堂 练 习 3.某商场购进一款年货大礼包，经调研发现，当该款大礼包每盒的售价为45元时，每天可售出100盒，每盒的售价每降低1元，每天的销量增加10盒.要使该款大礼包每天的销售额达到6000元，每盒的售价应降低多少元?若设该款大礼包每盒降价x元，则可列方程为 . (45-x)(100+10x)=6000 随 堂 练 习 4.某种花卉每盆的盈利与每盆的株数有一定的关系.每盆植3株时，平均每株盈利4元；若每盆增加1株，平均每株盈利减少0.5元.要使每盆的盈利达到15元，则每盆应多植_ ___株. 2或3 随 堂 练 习 5.某商品每件进价为30元，当销售单价为50元时，每天可以销售60件.市场调查发现：销售单价每提高1元，日销售量将会减少2件，物价部门规定该商品销售单价不能高于65元，设该商品的销售单价为x(元),日销售量为y(件). (1)y与x的函数关系式为________; (2)要使日销售利润为800元，销售单价应定为多少元? 解：(1)根据题意得，y=60-2(x-50)=-2x+160, 故y与x的函数关系式为y=-2x+160(30≤x≤65) (2)(x-30)(-2x+160)=800, 解得：x1=40,x2=70(舍去), 答：销售单价应定为40元. 随 堂 练 习 单利润＝售价－售价； 销售问题 总利润＝单利润×销量 课 堂 总 结 $