微专题 与集合相关的新定义问题例析 教材解读与拓展讲义-2026届高三数学一轮复习

该高中数学讲义聚焦集合新定义问题高考热点，系统整合新概念、新运算、新性质及交汇问题四类题型，通过考点梳理构建知识框架，结合例题解析提炼解题方法，配套分层练习强化应用，形成“理解-转化-解决”复习闭环，帮助学生突破抽象概念理解与逻辑转化难点。 资料以“数学眼光观察新定义内涵，数学思维构建转化路径”为特色，如例1通过“全食”“偏食”概念辨析，引导学生抽象集合关系本质，培养符号意识与推理能力。真题与模拟题结合的训练体系，助力教师精准把控复习节奏，高效提升学生的新定义问题应考能力。

【原卷版】 微专题 与集合相关的新定义问题例析 数学新定义型试题是指在试题中引入教材中未明确呈现但基于学生已有认知基础的新数学概念、法则、运算、符号、关系或模型等，要求考生通过阅读理解新定义的内涵与外延，结合已有数学知识（如概念、公式、逻辑推理方法等），解决基于新定义的问题的题型。 其核心是“新定义”的 “相对性”：这里的 “新”是针对考生而言的（即教材中无直接对应内容），但新定义本身仍以数学学科的逻辑体系为基础，可通过已有知识推导或理解，而非脱离学科本质的 “完全陌生概念”。 解决集合新定义问题的关键： 解决新定义问题时，一定要读懂新定义的本质含义，紧扣题目所给定义，结合题目所给定义和要求进行恰当转化，切忌同已有概念或定义相混淆； 集合新定义问题的最基本的题型： 1、集合中的新概念问题：往往是通过重新定义相应的集合或重新定义集合中的某个要素，结合集合的知识加以创新，我们还可以利用原有集合的相关知识来解题； 2、集合中的新运算问题：就是通过创新给出有关集合的一个全新的运算规则．按照新的运算规则，结合数学中原有的运算和运算规则，通过相关的集合或其他知识进行计算或逻辑推理等，从而达到解答的目的； 3、集合中的新性质问题：主要是通过创新集合中给定的定义与性质衍生而来的．我们通过可以结合相应的集合概念、关系、运算等相关知识，利用相应的数学思想方法来解答有关的集合的新性质问题； 题型1、集合中的新概念问题 例1、若一个集合是另一个集合的子集，称两个集合构成“全食”；若两个集合有公共元素，但互不为对方子集，则称两个集合构成“偏食”；对于集合A＝，B＝{x|ax2＝1，a≥0}，若两个集合构成“全食”或“偏食”，则a的值为________ 例2、非空数集A如果满足：①；②若，有，则称A是“互倒集”； 给出以下数集：①；②；③； 其中“互倒集”的是 （请在横线上写出所有正确答案） 题型2、集合中的新运算问题 例3、设S为实数集R的非空子集，若对任意x，y∈S，都有x+y，x-y，xy∈S，则称S为封闭集．下列结论： ①集合S={a+b|a，b为整数}为封闭集;②若S为封闭集，则一定有0∈S;③封闭集一定是无限集;④若S为封闭集，则满足S⊆T⊆R的任意集合T也是封闭集．其中正确的是 (写出所有正确结论的序号) 例4、群论，是代数学的分支学科，在抽象代数中有重要地位，且群论的研究方法也对抽象代数的其他分支有重要影响，例如一般一元五次及以上的方程没有根式解就可以用群论知识证明．群的概念则是群论中最基本的概念之一，其定义如下：设是一个非空集合，“”是上的一个代数运算，如果该运算满足以下条件： ①对所有的、，有； ②、、，有； ③，使得，有，称为单位元； ④，，使，称与互为逆元． 则称关于“”构成一个群．则下列说法错误的有（     ） A．关于数的乘法构成群 B．实数集关于数的加法构成群 C．关于数的乘法构成群 D．关于数的加法构成群 题型3、集合中的新性质问题 例5、集合G关于运算⊕满足：(1)对任意的a，b∈G，都有a⊕b∈G；(2)存在e∈G，对任意a∈G，都有a⊕e＝e⊕a＝a，则称G关于运算⊕为“融洽集”，现给出下列集合和运算： ①G＝{非负整数}，⊕为整数的加法； ②G＝{偶数}，⊕为整数的乘法； ③G＝{二次三项式}，⊕为多项式的加法． 其中G关于运算⊕为“融洽集”的是________________________ (写出所有满足条件的序号) 例6、设集合I＝{1,3,5,7}，若非空集合A同时满足：①A⊆I；②|A|≤min(A)(其中|A|表示A中元素的个数，min(A)表示集合A中最小的元素)，称集合A为I的一个“好子集”，则I的所有“好子集”的个数为(　　) A．7 B．8 C．9 D．10 题型4、集合中的新定义与其他知识的交汇问题 例7、设集合M＝{1,2,3，…，12}，现对M的任一非空子集A，令xA为A中最大数与最小数之和，则所有这样的xA的算术平均值为________． 例8、若集合A的所有子集中，任意子集的所有元素和均不相同，称A为互斥集．若A＝{a，b，c}⊆{1，2，3，4，5}，且A为互斥集，则＋＋的最大值为(　 　) A． B． C． D． 解决以集合为背景的新定义问题的关键 1、紧扣新定义：首先分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，并能够应用到具体的解题过程中，这是破解新定义集合问题的关键所在； 2、用好集合的性质：解题时要善于从题中发现可以使用集合性质的一些因素，在关键之处用好集合的性质. 解答新定义型创新题的基本思路是： 1、正确理解新定义； 2、根据新定义建立关系式； 3、结合所学的知识、经验将问题转化为熟悉的问题； 4、运用所学的公式、定理、性质等合理进行推理、运算，求得结果； 1、定义集合运算：A⊙B＝{z|z＝xy(x＋y)，x∈A，y∈B}，设集合A＝{0,1}，B＝{2,3}，则集合A⊙B的所有元素之和为 2、设P和Q是两个集合，定义集合P－Q＝{x|x∈P，且x∉Q}，如果P＝{x|1<2x<4}，Q＝{y|y＝2＋sin x，x∈R}，那么P－Q＝ 3、设A，B为两个实数集，定义集合A＋B＝{a＋b|a∈A，b∈B}，若A＝{1,2,3}，B＝{2,3}，则集合A＋B中元素的个数为 4、已知集合U＝{1，2，…，n}(n∈N*，n≥2)，对于集合U的两个非空子集A，B，若A∩B＝∅，则称(A，B)为集合U的一组“互斥子集”．记集合U的所有“互斥子集”的组数为f(n)(视(A，B)与(B，A)为同一组“互斥子集”)，那么f(n)＝________________________ 5、定义集合运算：A⊙B＝{Z|Z＝xy，x∈A，y∈B}，设集合A＝{－1,0,1}，B＝{sin α，cos α}，则集合A⊙B的所有元素之和为 6设A为非空实数集，若对任意x，，都有，，且，则称A为封闭集．下列叙述中，正确的序号为 ①集合为封闭集； ②集合为封闭集； ③封闭集一定是无限集； ④若A为封闭集，则一定有； 7、给定数集M，若对于任意a，b∈M，有a＋b∈M，且a－b∈M，则称集合M为闭集合，则下列说法中正确的是（　　） A．集合M＝{－4，－2，0，2，4}为闭集合 B．正整数集是闭集合 C．集合M＝{n｜n＝3k，k∈Z}为闭集合 D．若集合A1，A2为闭集合，则A1∪A2为闭集合 8、对于非空数集A＝{a1，a2，a3，…，an}(n∈N*)，其所有元素的算术平均数记为E(A)，即E(A)＝.若非空数集B满足下列两个条件：①B⊆A；②E(B)＝E(A)，则称B为A的一个“保均值子集”．据此，集合{1，2，3，4，5}的“保均值子集”有（ ） A．4个 B．5个 C．6个 D．7个 9、在整数集Z中，被5除所得余数为k的所有整数组成一个“类”，记为[k]，即[k]＝{5n＋k｜n∈Z}（k＝0，1，2，3，4），给出如下四个结论，错误结论为（　 　） A．2 023∈[3] B．－2∈[2] C．Z＝[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4] D．整数a，b属于同一“类”的充要条件是a－b∈[0] 10、设a，b，c为实数，记集合S＝{x|(x＋a)(x2＋bx＋c)＝0，x∈R}，T＝{x|(ax＋1)(cx2＋bx＋1)＝0，x∈R}．若|S|，|T|分别为集合S，T的元素个数，则下列结论不可能成立的是（ ） A．|S|＝1且|T|＝0 B．|S|＝1且|T|＝1 C．|S|＝2且|T|＝2 D．|S|＝2且|T|＝3 【解析版】 微专题 与集合相关的新定义问题例析 数学新定义型试题是指在试题中引入教材中未明确呈现但基于学生已有认知基础的新数学概念、法则、运算、符号、关系或模型等，要求考生通过阅读理解新定义的内涵与外延，结合已有数学知识（如概念、公式、逻辑推理方法等），解决基于新定义的问题的题型。 其核心是“新定义”的 “相对性”：这里的 “新”是针对考生而言的（即教材中无直接对应内容），但新定义本身仍以数学学科的逻辑体系为基础，可通过已有知识推导或理解，而非脱离学科本质的 “完全陌生概念”。 解决集合新定义问题的关键： 解决新定义问题时，一定要读懂新定义的本质含义，紧扣题目所给定义，结合题目所给定义和要求进行恰当转化，切忌同已有概念或定义相混淆； 集合新定义问题的最基本的题型： 1、集合中的新概念问题：往往是通过重新定义相应的集合或重新定义集合中的某个要素，结合集合的知识加以创新，我们还可以利用原有集合的相关知识来解题； 2、集合中的新运算问题：就是通过创新给出有关集合的一个全新的运算规则．按照新的运算规则，结合数学中原有的运算和运算规则，通过相关的集合或其他知识进行计算或逻辑推理等，从而达到解答的目的； 3、集合中的新性质问题：主要是通过创新集合中给定的定义与性质衍生而来的．我们通过可以结合相应的集合概念、关系、运算等相关知识，利用相应的数学思想方法来解答有关的集合的新性质问题； 题型1、集合中的新概念问题 例1、若一个集合是另一个集合的子集，称两个集合构成“全食”；若两个集合有公共元素，但互不为对方子集，则称两个集合构成“偏食”；对于集合A＝，B＝{x|ax2＝1，a≥0}，若两个集合构成“全食”或“偏食”，则a的值为________ 【提示】理解“新定义”：“全食”， “偏食”； 【答案】0或1或4； 【解析】因为B＝{x|ax2＝1，a≥0}， 若a＝0，则B＝∅，满足B为A的真子集，此时A与B构成“全食”； 若a>0，则B＝＝；若A与B构成“全食”或“偏食”，则＝1或＝，解得a＝1或a＝4.综上，a的值为0或1或4； 【说明】解决以集合为背景的新定义问题要抓住的两点 1、紧扣新定义．首先分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，并能够应用到具体的解题过程之中，这是破解新定义型集合问题难点的关键所在． 2、定元素：确定已知集合中所含的元素，简单的集合可以利用列举法写出所有元素； 例2、非空数集A如果满足：①；②若，有，则称A是“互倒集”； 给出以下数集：①；②；③； 其中“互倒集”的是 （请在横线上写出所有正确答案） 【提示】注意理解“新定义”：“互倒集”； 根据新定义“互倒集”，对三个集合逐一判断即可； 【答案】②③ 【解析】①中，，二次方程判别式，故时方程无根，该数集是空集，不符合题意； ②中，即，显然，又，即，故也在集合中，符合题意； ③中，，易见，，又，故也在集合中，符合题意. 故答案为：②③； 【说明】本题是新定义题，解题关键在于理解“互倒集”，首先数集A非空，其次确定，再对于，研究的取值范围，即突破难点； 题型2、集合中的新运算问题 例3、设S为实数集R的非空子集，若对任意x，y∈S，都有x+y，x-y，xy∈S，则称S为封闭集．下列结论： ①集合S={a+b|a，b为整数}为封闭集;②若S为封闭集，则一定有0∈S;③封闭集一定是无限集;④若S为封闭集，则满足S⊆T⊆R的任意集合T也是封闭集．其中正确的是 (写出所有正确结论的序号) 【提示】根据集合的新定义逐一判断即可； 【答案】①② 【解析】对于整数a1，b1，a2，b2， 有a1+b1+a2+b2=(a1+a2)+(b1+b2)∈S， a1+b1-(a2+b2)=(a1-a2)+(b1-b2)∈S， (a1+b1)(a2+b2)=(a1a2+3b1b2)+(a1b2+a2b1)∈S，所以①正确． 根据封闭集的定义，0∈S可知②正确． 当S={0}时，S为封闭集，所以③错误； 取S={0}，T={0，1，2，3}时，显然2×3=6∉T，所以④错误． 故答案为：①②． 【说明】本题考查了集合的“新定义”中规定了“新运算”问题，考查了理解分析与转化能力； 例4、群论，是代数学的分支学科，在抽象代数中有重要地位，且群论的研究方法也对抽象代数的其他分支有重要影响，例如一般一元五次及以上的方程没有根式解就可以用群论知识证明．群的概念则是群论中最基本的概念之一，其定义如下：设是一个非空集合，“”是上的一个代数运算，如果该运算满足以下条件： ①对所有的、，有； ②、、，有； ③，使得，有，称为单位元； ④，，使，称与互为逆元． 则称关于“”构成一个群．则下列说法错误的有（     ） A．关于数的乘法构成群 B．实数集关于数的加法构成群 C．关于数的乘法构成群 D．关于数的加法构成群 【提示】根据“.”运算的定义，结合集合中元素与集合的关系判断，对每个选项逐一判断即可得出结果； 【答案】C 【解析】对A，对所有的，有，且满足乘法结合律；，使得，有；，有，故A正确. 对B，若，，有，满足加法结合律；当时，满足③；，使，即④成立，故B正确. 对C，因为，且，但，故C错误. 对D，，可设， 则，则G满足加法结合律，即，有；，使得，有； ，，，使得，故D正确. 故选：C； 【说明】定运算：根据要求及新定义运算，将所求解集合的运算问题转化为集合的交集、并集与补集的基本运算问题，或转化为数的有关运算问题；本题关键是根据题干给出的定义对每个选项是否满足四个条件的要求进行逐项判断，从而得出结果； 题型3、集合中的新性质问题 例5、集合G关于运算⊕满足：(1)对任意的a，b∈G，都有a⊕b∈G；(2)存在e∈G，对任意a∈G，都有a⊕e＝e⊕a＝a，则称G关于运算⊕为“融洽集”，现给出下列集合和运算： ①G＝{非负整数}，⊕为整数的加法； ②G＝{偶数}，⊕为整数的乘法； ③G＝{二次三项式}，⊕为多项式的加法． 其中G关于运算⊕为“融洽集”的是________________________ (写出所有满足条件的序号) 【提示】这里集合G关于运算⊕为“融洽集”必须满足两个性质：（1）对于G中任意两个元素a，b，经过新运算⊕后仍是在G中；（2）在G中存在一个“单位元素”e，使得e与G中任意一个元素a，经新运算⊕后仍是a的本身．理解这一定义后，只需看所给的集合G及运算⊕是否满足这两个条件即可； 【答案】①； 【解析】①G＝{非负整数}，⊕为整数的加法，满足对任意a，b∈G，都有a⊕b∈G，且存在e＝0，使得a⊕0＝0⊕a＝a，所以①中的G关于运算⊕为“融洽集”； ②G＝{偶数}，⊕为整数的乘法，若存在e∈G，使a⊕e＝e⊕a＝a，则e＝1，与e∈G矛盾，所以②中的G关于运算⊕不是“融洽集”； ③G＝{二次三项式}，⊕为多项式的加法，两个二次三项式相加得到的可能不是二次三项式，比如(x2＋x＋1)＋(－x2－x＋1)＝2，所以③中的G关于运算⊕不是“融洽集”． 综上可知，G关于运算⊕为“融洽集”的只有①； 【说明】用好集合的性质．解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素，在关键之处用好集合的运算与性质； 解决以集合为背景的新定义问题，要抓住两点：1、紧扣新定义.首先分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，并能够应用到具体的解题过程之中，这是破解新定义型集合问题难点的关键所在；2、用好集合的性质.解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素，在关键之处用好集合的性质； 例6、设集合I＝{1,3,5,7}，若非空集合A同时满足：①A⊆I；②|A|≤min(A)(其中|A|表示A中元素的个数，min(A)表示集合A中最小的元素)，称集合A为I的一个“好子集”，则I的所有“好子集”的个数为(　　) A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】B 【解析】当|A|＝1时，即集合A中元素的个数为1时，A的可能情况为{1}，{3}，{5}，{7}； 当|A|＝2时，即集合A中元素的个数为2时，A的可能情况为{3,5}，{3,7}，{5,7}； 当|A|＝3时，即集合A中元素的个数为3时，A的可能情况为{3,5,7}， 综上所述，I的所有“好子集”的个数为8； 题型4、集合中的新定义与其他知识的交汇问题 例7、设集合M＝{1,2,3，…，12}，现对M的任一非空子集A，令xA为A中最大数与最小数之和，则所有这样的xA的算术平均值为________． 【答案】13 【解析】集合M的非空子集共有(212－1)个， 其中，最小值为1的子集可视为{2,3，…，12}的子集与集合{1}的并集，共有211个， 同上可知，最小值为2的子集共有210个，最小值为3的子集共有29个，…，最小值为12的子集共有20个． 最大值为12的子集可视为{1,2,3，…，11}的子集与集合{12}的并集，共有211个， 同上可知，最大值为11的子集共有210个，最大值为10的子集共有29个，…，最大值为1的子集共有20个． 所以M的所有非空子集中的最小值之和为211＋2×210＋3×29＋…＋12×20， 最大值之和为12×211＋11×210＋10×29＋…＋20， 所以xA的算术平均值为： ＝＝＝13； 例8、若集合A的所有子集中，任意子集的所有元素和均不相同，称A为互斥集．若A＝{a，b，c}⊆{1，2，3，4，5}，且A为互斥集，则＋＋的最大值为(　 　) A． B． C． D． 【答案】C； 【解析】 因为A＝{a，b，c}⊆{1，2，3，4，5}，所以A为{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，5}，{1，3，4}，{1，3，5}，{1，4，5}，{2，3，4}，{2，3，5}，{2，4，5}，{3，4，5}．又A为互斥集，所以A为{1，2，4}，{1，2，5}，{1，3，5}，{2，3，4}，{2，4，5}，{3，4，5}．要想＋＋取得最大值，则a，b，c要最小，此时{a，b，c}＝{1，2，4}，不妨令a＝1，b＝2，c＝4，则＋＋＝1＋＋＝； 解决以集合为背景的新定义问题的关键 1、紧扣新定义：首先分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，并能够应用到具体的解题过程中，这是破解新定义集合问题的关键所在； 2、用好集合的性质：解题时要善于从题中发现可以使用集合性质的一些因素，在关键之处用好集合的性质. 解答新定义型创新题的基本思路是： 1、正确理解新定义； 2、根据新定义建立关系式； 3、结合所学的知识、经验将问题转化为熟悉的问题； 4、运用所学的公式、定理、性质等合理进行推理、运算，求得结果； 1、定义集合运算：A⊙B＝{z|z＝xy(x＋y)，x∈A，y∈B}，设集合A＝{0,1}，B＝{2,3}，则集合A⊙B的所有元素之和为 【答案】18 【解析】当x＝0时，z＝0；当x＝1，y＝2时，z＝6；当x＝1，y＝3时，z＝12.故所有元素之和为18； 2、设P和Q是两个集合，定义集合P－Q＝{x|x∈P，且x∉Q}，如果P＝{x|1<2x<4}，Q＝{y|y＝2＋sin x，x∈R}，那么P－Q＝ 【答案】{x|0<x<1} 【解析】由题意得P＝{x|0＜x＜2}，Q＝{y|1≤y≤3}，所以P－Q＝{x|0＜x＜1}. 3、设A，B为两个实数集，定义集合A＋B＝{a＋b|a∈A，b∈B}，若A＝{1,2,3}，B＝{2,3}，则集合A＋B中元素的个数为 【答案】4； 【解析】当a＝1，b＝2或3时，a＋b＝1＋2＝3或a＋b＝1＋3＝4；当a＝2，b＝2或3时，a＋b＝2＋2＝4或a＋b＝2＋3＝5；当a＝3，b＝2或3时，a＋b＝3＋2＝5或a＋b＝3＋3＝6.所以A＋B＝{3,4,5,6}，共4个元素． 4、已知集合U＝{1，2，…，n}(n∈N*，n≥2)，对于集合U的两个非空子集A，B，若A∩B＝∅，则称(A，B)为集合U的一组“互斥子集”．记集合U的所有“互斥子集”的组数为f(n)(视(A，B)与(B，A)为同一组“互斥子集”)，那么f(n)＝________________________ 【答案】　(3n－2n＋1＋1) 【解析】根据题意，任意一个元素只能在集合A，B，C＝∁U(A∪B)之一中，则这n个元素在集合A，B，C中，共有3n种．其中A为空集的种数为2n，B为空集的种数为2n，故可得A，B均为非空子集的种数为3n－2n＋1＋1，又因为(A，B)与(B，A)为同一组“互斥子集”，故f(n)＝(3n－2n＋1＋1)． 5、定义集合运算：A⊙B＝{Z|Z＝xy，x∈A，y∈B}，设集合A＝{－1,0,1}，B＝{sin α，cos α}，则集合A⊙B的所有元素之和为 【答案】0 【解析】因为x∈A，所以x的可能取值为－1，0,1.同理，y的可能取值为sin α，cos α，所以xy的所有可能取值为－sin α，0，sin α，－cos α，cos α，所以所有元素之和为0； 6设A为非空实数集，若对任意x，，都有，，且，则称A为封闭集．下列叙述中，正确的序号为 ①集合为封闭集； ②集合为封闭集； ③封闭集一定是无限集； ④若A为封闭集，则一定有； 【答案】②④ 【解析】对于①，在集合中， 不在集合A中，集合A不是封闭集，故①错误； 对于②，集合， 设x，，则，，，， ，，， 集合为封闭集，故②正确； 对于③，封闭集不一定是无限集，如：{0}为封闭集，故③错误； 对于④，若A为封闭集，则取得，故④正确． 故选：②④； 7、给定数集M，若对于任意a，b∈M，有a＋b∈M，且a－b∈M，则称集合M为闭集合，则下列说法中正确的是（　　） A．集合M＝{－4，－2，0，2，4}为闭集合 B．正整数集是闭集合 C．集合M＝{n｜n＝3k，k∈Z}为闭集合 D．若集合A1，A2为闭集合，则A1∪A2为闭集合 【答案】C； 【解析】选项A：当集合M＝{－4，－2，0，2，4}时，2，4∈M，而2＋4＝6∉M，所以集合M不为闭集合，A选项错误；选项B：设a，b是任意的两个正整数，则a＋b∈M，当a＜b时，a－b是负数，不属于正整数集，所以正整数集不为闭集合，B选项错误；选项C：当M＝{n｜n＝3k，k∈Z}时，设a＝3k1，b＝3k2，k1，k2∈Z，则a＋b＝3（k1＋k2）∈M，a－b＝3（k1－k2）∈M，所以集合M是闭集合，C选项正确；选项D：设A1＝{n｜n＝3k，k∈Z}，A2＝{n｜n＝2k，k∈Z}，由C可知，集合A1，A2为闭集合，2，3∈（A1∪A2），而（2＋3）∉（A1∪A2），故A1∪A2不为闭集合，D选项错误. 8、对于非空数集A＝{a1，a2，a3，…，an}(n∈N*)，其所有元素的算术平均数记为E(A)，即E(A)＝.若非空数集B满足下列两个条件：①B⊆A；②E(B)＝E(A)，则称B为A的一个“保均值子集”．据此，集合{1，2，3，4，5}的“保均值子集”有（ ） A．4个 B．5个 C．6个 D．7个 【答案】D 【解析】设集合A＝{1，2，3，4，5}，则该集合中所有元素的算术平均数E(A)＝＝3，所以由新定义可知，只需找到非空数集B满足B⊆A，且E(B)＝3即可．据此分析易知，集合{1，2，3，4，5}，{1，2，4，5}，{1，3，5}，{2，3，4}，{1，5}，{2，4}，{3}都符合要求．故集合{1，2，3，4，5}的“保均值子集”有7个．故选D； 9、在整数集Z中，被5除所得余数为k的所有整数组成一个“类”，记为[k]，即[k]＝{5n＋k｜n∈Z}（k＝0，1，2，3，4），给出如下四个结论，错误结论为（　 　） A．2 023∈[3] B．－2∈[2] C．Z＝[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4] D．整数a，b属于同一“类”的充要条件是a－b∈[0] 【答案】B 【解析】由2 023÷5＝404……3，得2 023∈[3]，故A正确；－2＝5×（－1）＋3，所以 －2∈[3]，故B错误；因为整数集中的被5除的数可以且只可以分成五类，所以Z＝[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]，故C正确；因为整数a，b属于同一“类”，所以整数a，b被5除的余数相同，从而a－b被5除的余数为0，反之也成立，故整数a，b属于同一“类”的充要条件是a－b∈[0]，故D正确；故选B； 10、设a，b，c为实数，记集合S＝{x|(x＋a)(x2＋bx＋c)＝0，x∈R}，T＝{x|(ax＋1)(cx2＋bx＋1)＝0，x∈R}．若|S|，|T|分别为集合S，T的元素个数，则下列结论不可能成立的是（ ） A．|S|＝1且|T|＝0 B．|S|＝1且|T|＝1 C．|S|＝2且|T|＝2 D．|S|＝2且|T|＝3 【答案】D； 【解析】 若|T|＝3时，ax＋1＝0有一个解，cx2＋bx＋1＝0有两个解，且ax＋1＝0的解x＝－不是cx2＋bx＋1＝0的解，所以c2＋b＋1≠0，即a2－ab＋c≠0，所以x＋a＝0的解不是x2＋bx＋c＝0的解．又cx2＋bx＋1＝0有两个解，故Δ＝b2－4c＞0，从而x2＋bx＋c＝0有两个不相等的根，所以(x＋a)(x2＋bx＋c)＝0有3个解，即|S|＝3，故D不可能成立．对于f(x)＝(x＋a)(x2＋bx＋c)，则f(x)＝0时至少有一个根x＝－a，当b2－4c＝0时，f(x)＝0还有一根x＝－，只要b≠2a时，f(x)＝0就有2个根．当b＝2a时，f(x)＝0只有1个根，当b2－4c＜0时，f(x)＝0只有1个根，当b2－4c＞0时，f(x)＝0有2个根或3个根．当a＝b＝c＝0时，|S|＝1且|T|＝0，故A正确．当a＞0，b＝0，c＞0时，|S|＝1且|T|＝1，故B正确．当a＝c＝1，b＝－2时，|S|＝2且|T|＝2，故C正确； 第5页，共12页 学科网（北京）股份有限公司 $