专题04 常用逻辑用语讲义（9大题型+能力训练） -2025-2026学年高一上学期数学沪教版（2020）必修第一册

2025-2026学年高一数学上学期同步培优讲义【精英班课程】 专题04 常用逻辑用语 知识点一、命题的概念与分类 1.把用语言、符号或式子表达，且可以判断其真假的语句叫做命题；命题通常写成“若α，则β”的形式；其中陈述句α称为命题的条件，β称为命题的结论；用集合的语言描述：满足α满足β； 2.命题的分类：其含义判断为真的命题叫做真命题：判断为假的命题叫做假命题； 【注意】假命题的确定：举反例（举出一个满足条件，不满足结论的例子，一个即可，一票否决）； 构造反例有时候不容易，要充分注意命题的条件和结论，还要注意极端情况，或运用类比手段. 法. 3.推出关系定义: 如果命题“若，则”是真命题，那么就称推出，记作（或）. 因为子集关系满足传递性，所以推出关系也满足传递性：若且，则. 它是逻辑推理的基础. 知识点二、充分条件，必要条件、充要条件 1.充分条件与必要条件的概念：对于两个陈述句与，如果，就称是的充分条件，亦称是的必要条件. p是q的充分条件与q是p的必要条件表述的是同一个逻辑关系，即p⇒q，只是说法不同而已； “若p，则q”是真命题；p⇒q；p是q的充分条件；q是p的必要条件，这四种说法是等价的. 2.充要条件的概念：对于两个陈述句与，如果，又有，就称是的充分必要条件，简称充要条件，记作，读作与等价或者成立当且仅当成立 3.充分条件、必要条件与充要条件的判断 （1）从逻辑推理关系看 命题“若，则”，其条件p与结论q之间的逻辑关系 ①若，但，则是的充分不必要条件，是的必要不充分条件； ②若，但，则是的必要不充分条件，是的充分不必要条件； ③若，且，即，则、互为充要条件； ④若，且，则是的既不充分也不必要条件． （2）从集合与集合间的关系看 若，， ①若AB，则是的充分条件，是的必要条件； ②若A是B的真子集，则是的充分不必要条件； ③若A=B，则、互为充要条件； ④若A不是B的子集且B不是A的子集，则是的既不充分也不必要条件． 知识点三、反证法 1.要判断一个命题“若，则”是假命题，只要存在一个满足条件但不满足结论的对象就行；但是要判断命题“若，则”是真命题，就需要证明所有满足的对象都满足结论，但有时直接验证这一点并不是一件容易的事. 我们可以首先假设结论不成立（为假），然后经过正确的逻辑推理得出的与已知条件或（已学）定理等相矛盾的结论，从而说明“为假”是不可能发生的，即结论是正确的，这样的证明方法叫反证法. 2．反证法的一般步骤： （1）分清命题的条件和结论； （2）作出与命题结论相矛盾的假设； （3）由假设出发，应用正确的推理方法，推出矛盾的结果； （4）断定产生矛盾的原因，在于开始所作的假设不真，于是原结论成立，从而间接地证明命题为真． 题型01：命题的概念与真假 【名师点拨】判断一个语句是不是命题的三个关键点 (1)一般来说，陈述句才是命题，祈使句、疑问句、感叹句等都不是命题．例如：“起立”、“是有理数吗？”、“今天天气真好！”等． (2)语句表述的结构可以判断真假，含义模糊不清，无法判断真假的语句不是命题．如“x≥2”、“小高的个子很高”等都不能判断真假，故都不是命题. (3)对于含有变量的语句，要注意根据变量的取值范围，看能否判断真假，若能，就是命题；否则就不是命题． 【例1】下列语句不是命题的是 ．（填序号） ①若，，则；②；③． 【答案】② 【知识点】命题的概念 【分析】根据命题的定义判断即可. 【详解】对于①：若，，则，能判断真假，是命题，且为真命题； 对于②：，不能判断真假，故不是命题； 对于③：，能判断真假，是命题，且为真命题. 故答案为：② 【例2】对于任意两个集合A与B，下列命题中是假命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，则或 【答案】D 【知识点】交并补混合运算、判断命题的真假 【分析】由集合的运算及基本关系求解． 【详解】解：对于A项，若，则对，有，则，则A项正确； 对于B项，若，则对，有，则，则B项正确； 对于C项，对，有，对，有， 所以，集合的所有元素相同，即，则C项正确； 对于D项，如，显然，故D项错误， 故选：D 【跟踪训练】 1.下列语句中：①；②；③有一个根为0；④高二年级的学生；⑤今天天气好热！⑥有最小的质数吗？其中是命题的是（    ） A．①②③ B．①④⑤ C．②③⑥ D．①③ 【答案】D 【分析】根据命题的定义即可求解. 【详解】命题是能判断真假的陈述句， 由于⑤⑥不是陈述句，故不是命题， ②④无法判断真假，故不是命题， ①③可以判断真假且是陈述句，故是命题， 故选：D 2.下列命题中，是真命题的是（   ） A．是空集 B．是无限集 C．是有理数 D．方程的根是自然数 【答案】D 【分析】对各选项逐一判断真假即可. 【详解】对于A，有元素，所以不是空集，故A不是真命题，A错误； 对于B，，即，即，为有限集，故B错误； 对于C，是无理数，故C错误； 对于D，方程的根0和5是自然数，故D正确. 故选：D 3.有下列命题：①所有人都喜欢吃苹果；②若，则；③空集是任何集合的真子集.其中真命题共有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】结合不等式性质、集合的知识，依次判断各个命题的真假性即可. 【详解】对于①，不是所有人都喜欢吃苹果，原命题为假命题； 对于②，若，则，即，原命题为真命题； 对于③，空集不是空集的真子集，原命题为假命题. 故选：B. 4.设集合.下面命题中，是真命题的命题序号为 . ①若，则；②若，则；③若，则；④若，则；⑤若，则 【答案】②③④ 【知识点】描述法表示集合、判断命题的真假 【分析】根据集合的特征，代入公式或，并结合举例判断. 【详解】①若，①错误， ②，②正确， ③，③正确， ④，④正确， ⑤若，⑤错误. 故答案为：②③④ 题型02：已知命题的真假求参数 【例3】若和或都是假命题，则的范围是 【答案】 【分析】先由和或都是假命题，求出x的范围，取交集即可. 【详解】若为假命题，则有或 若或是假命题，则 所以的范围是 即的范围是 胡答案为： 【例4】已知命题甲：关于的方程有两个不相等的负实数根；命题乙：关于的方程没有实数根．若甲、乙有且只有一个是真命题，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】已知命题的真假求参数、方程与不等式 【分析】分别求出命题甲和命题乙为真时的取值范围，问题转化为甲真乙假和甲假乙真时两种情况，利用不等式组求解即可. 【详解】命题甲为真时，则关于的方程有两个不相等的负实数根， 设两根为，则有，解得； 命题乙为真时，则关于的方程没有实数根， 有，解得. 若甲、乙有且只有一个是真命题， 当甲真乙假时，则有，解得； 当甲假乙真时， 则有，解得 . 实数的取值范围是. 故答案为：. 【跟踪训练】 1.已知，如果是假命题，是真命题，则实数的范围是______ 【分析】根据题目条件列不等式计算即可. 【详解】依题意，， ∴， ∴实数的取值范围是， 2．若一个非空数集满足：对任意，有，，，且当时，有，则称为一个数域，以下命题中： （1）0是任何数域的元素；（2）若数域有非零元素，则； （3）集合为数域；（4）有理数集为数域； 真命题的个数为 【答案】3 【知识点】判断命题的真假、集合新定义 【分析】根据新定义逐一判断即可求解 【详解】（1）当时，属于数域，故（1）正确， （2）若数域有非零元素，则， 从而，故（2）正确； （3）由集合的表示可知得是3的倍数，当时，，故（3）错误， （4）若是有理数集，则当，，则，，，且当时，”都成立，故（4）正确， 故真命题的个数是3. 3.已知命题p：实数满足或．命题：实数满．若命题是真命题，命题是假命题，求实数的取值范围． 【答案】 【分析】由p为真命题，q为假命题列不等式求x的范围. 【详解】∵  命题为真命题， ∴  或 又命题为假命题，∴  或， ∴  或． 所以实数的取值范围为． 题型03：充分条件、必要条件及充要条件的判定 【名师点拨】充分条件的判断方法 (1)判定p是q的充分条件要先分清什么是p，什么是q，即转化成p⇒q问题． (2)除了用定义判断充分条件还可以利用集合间的关系判断，若p构成的集合为A，q构成的集合为B，A⊆B，则p是q的充分条件． 必要条件的判断方法 (1)判断p是q的什么条件，主要判断若p成立时，能否推出q成立，反过来，若q成立时，能否推出p成立；若p⇒q为真，则p是q的充分条件，若q⇒p为真，则p是q的必要条件． (2)也可利用集合的关系判断，如条件甲“x∈A”，条件乙“x∈B”，若A⊇B，则甲是乙的必要条件． 【例5】“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】先化简条件，结合四种条件的定义可得答案. 【详解】因为，所以，即，所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 【例6】“其身正，不令而行；其身不正，虽令不从”出自《论语·子路》．意思是：当政者本身言行端正，不用发号施令，大家自然起身效法，政令将会畅行无阻；如果当政者本身言行不正，虽下命令，大家也不会服从遵守．根据上述材料，“身正”是“令行”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】结合题意判断“身正”和“令行”之间的逻辑关系，即得答案. 【详解】由题意：其身正，不令而行，即身正令行，故“身正”是“令行”的充分条件； 又其身不正，虽令不从，即令行身正，所以“身正”是“令行”的必要条件， 综合知“身正”是“令行”的充要条件， 故选：C． 【例7】设，，，则“关于的方程有一个根是1”是“”的（    ）条件 A．充分必要 B．充分不必要 C．必要不充分 D．既不充分也不必要 【答案】A 【分析】分别验证充分性和必要性得到答案. 【详解】若是方程的根，则； 若，则，即是方程的根. 综上所述：关于的方程有一个根是1是的充要条件. 故选：A. 【跟踪训练】 1.设：，：，则是的 条件（充分不必要条件、必要不充分条件） 【答案】必要不充分 【分析】利用充分条件和必要条件的定义判断. 【详解】因为 ⫋， 所以：，是：的必要不充分条件， 故答案为：必要不充分 2.已知，则“”是“”的（    ）条件. A．充分非必要 B．必要非充分 C．充分必要 D．既非充分又非必要 【答案】A 【分析】根据充分条件和必要条件来判断. 【详解】当时，一定成立，故充分性成立， 当时，则，故必要性不成立， 所以“”是“”的充分非必要条件. 故选：A 3.设，则“”是“”的（    ）条件. A．充分非必要 B．必要非充分 C．充分必要 D．既非充分又非必要 【答案】B 【知识点】判断命题的必要不充分条件 【分析】根据充分条件和必要条件的定义判断. 【详解】因为不能推出， 所以“”不是“”的充分条件， 因为“”能推出“”， 所以“”是“”的必要条件， 所以“”是“”的必要非充分条件. 故选：B. 4.荀子曰：“不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海.”这句来自先秦时期的名言，阐述了做事情不一点一点积累，就永远无法达成目标的哲理.由此可得，“至千里”是“积跬步”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】利用充分必要条件的定义求解. 【详解】荀子的名言表明至千里必须积跬步，积跬步未必能至千里，故“至千里”是“积跬步”的充分不必要条件. 故选:A. 5.指出下列各组命题中，p是q的什么条件(请用“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”回答)． (1)p：x＝1，q：x－1＝； (2)p：－1≤x≤5，q：x≥－1且x≤5； (3)p：x＋2≠y，q：(x＋2)2≠y2； (4)p：a是自然数；q：a是正数． 【解析】解　(1)方法一　当x＝1时，x－1＝成立； 当x－1＝时，x＝1或x＝2. ∴p是q的充分不必要条件． 方法二　A＝{x|x＝1}＝{1}， B＝{x|x－1＝}＝{1,2}，可知AB， ∴p是q的充分不必要条件． (2)∵－1≤x≤5⇔x≥－1且x≤5， ∴p是q的充要条件． (3)由q：(x＋2)2≠y2， 得x＋2≠y且x＋2≠－y，又p：x＋2≠y， 故p是q的必要不充分条件． (4)0是自然数，但0不是正数，故p⇏q；又是正数，但不是自然数，故q⇏p.故p是q的既不充分也不必要条件． 题型04：充分条件、必要条件及充要条件的探索 【名师点拨】探求充分条件、必要条件的方法 (1)寻求q的充分条件p，即求使结论q成立的条件p，从集合的角度看，是找q对应集合的子集，得出子集对应的条件p； (2)寻求q的必要条件p，即求以q为条件可推出的结论p，从集合的角度看，是找能包含条件q对应的集合，得出集合对应的结论p. 【例8】（2024上海课时作业）若“”是“”的充分不必要条件，则（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意，“”是“”的充分不必要条件故故故选：B 【例9】关于x的方程有实根的一个充分条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据一元一次方程的求解即可判断，由充分条件的定义即可求解. 【详解】由，要使方程有实根，则， 故是方程有实根的一个充分条件， 故选：B 【例10】已知，则“”的一个必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据不等式的性质即可求解. 【详解】由于可得，故“”是“”的必要条件， 由不能得到，，，比如， 故选：D 【跟踪训练】 1.命题“”为真命题的一个充分条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求命题对应的取值范围，再判断. 【详解】由，即在恒成立， ，开口向上，对称轴为，则其最大值为， 则，则它的一个充分条件，范围应该比较它小，A选项满足. 故选：A 2.关于的一元二次方程有实数解的一个必要不充分条件的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由可得，根据充分、必要条件的定义，结合选项即可求解. 【详解】因为一元二次方程有实根， 所以，解得. 又是的真子集， 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：A 3.设、是任意两个集合，请写出一个“”的充分必要条件是 ． 【答案】（只需与等价即可）. 【分析】分析可知，即可得出结果. 【详解】， 所以，“”的充分必要条件是“”. 故答案为：（只需与等价即可）. 4.设，则的一个必要不充分条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用必要不充分条件，逐项验证即可. 【详解】对于A：当时，，由，所以当时，，所以是的既不充分也不必要条件，故A错误； 对于B：由于在上为增函数，由有，当时，，所以是的充要条件，故B错误； 对于C：由有，所以或，所以是的既不充分也不必要条件，故C错误； 对于D：由有，当时，，即，所以是必要不充分条件，故D正确. 故选：D. 5.设实数，则不等式的等号成立的一个充分不必要条件为（   ）. A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先计算出等号成立的充要条件，根据充要条件写出充分不必要条件. 【详解】当等号成立时，可知，两边同时平方得， 化简得，可得时等号成立，则一个充分不必要条件可以是. 故选：A. 题型05：根据充分条件、必要条件或充要条件求参数 【例11】已知不等式成立的充分条件是，则实数的取值范围是（  ） A．或 B．或 C． D． 【答案】D 【分析】由题意知，根据子集关系列式解得参数范围即可. 【详解】由题意得， 所以，且等号不能同时成立，解得. 故选：D. 【例12】若“不等式成立”的充要条件为“”，则实数的值为 . 【答案】 【分析】解不等式，根据充要条件的定义可得出关于的等式，解之即可. 【详解】解不等式得， 因为“不等式成立”的充要条件为“”，所以，解得， 所以，. 故答案为：. 【例13】设全集，集合，非空集合 (1)若是的充分条件，求实数的取值范围； (2)若是的必要条件，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据是的充分条件，由求解； （2）根据是的必要条件，由求解. 【详解】（1）已知全集，集合，非空集合， 因为是的充分条件， 所以，即，解得， 所以实数的取值范围是； （2）因为是的必要条件， 所以，即，解得， 所以实数的取值范围是. 【跟踪训练】 1.若不等式的一个充分条件为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】结合充分条件的定义列出不等式组，求解即可． 【详解】若不等式的一个充分条件为， 则，所以，解得. 则实数的取值范围是. 故选：D. 2.若命题：为命题：，的充要条件，则的值是 ． 【答案】 【分析】根据充要条件定义可直接构造方程求得结果. 【详解】命题是命题的充要条件，，解得：. 故答案为：. 3.已知条件集合，条件非空集合． (1)若是的必要条件，求实数的取值范围． (2)若是的必要条件，求实数的取值范围． (3)否存在实数，使是的充要条件． 【答案】(1)； (2)； (3)不存在. 【分析】（1）根据必要条件的定义可得，进而可得，即得； （2）根据补集的定义及必要条件的定义可得，进而即得； （3）根据充要条件的概念可得，进而即得. 【详解】（1）因为是的必要条件， 所以，又，， 所以， 解得， 即实数的取值范围是； （2）若是的必要条件，则⇒， 所以， 又或，或， 所以， 解得， 故实数的取值范围； （3）若是的充要条件，则， 所以， 方程组无解， 故不存在实数，使是的充要条件． 4.已知集合． (1)若“”是“”的充分条件，求实数a的取值范围． (2)是否存在实数a，使得“”是“”的充要条件？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)不存在，理由见解析 【详解】解：（1）因为，所以．因为“”是“”的充分条件，所以解得，所以实数a的取值范围是． （2）因为，若“”是“”的充要条件，则解得故a不存在． 题型06：根据充分不必要条件或必要不充分条件求参数 【名师点拨】参数值(范围)的一般步骤. (1)根据条件转化为集合间的关系. (2)根据集合间的关系构建关于参数的方程(组)或不等式(组)求解. 【例14】已知集合，.若“”是“”的充分不必要条件，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分集合是否为空集讨论即可，当时，由集合间的包含关系求出； 【详解】由“”是“”的充分不必要条件，则是的真子集， 当时，，解得； 当时，，前两个等号不能同时取得，解得， 综上m的取值范围是， 故选：A. 【例15】若“”是“”的必要不充分条件，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据条件，利用充分条件与必要条件的判断方法即可得得出结果. 【详解】因为“”是“”的必要不充分条件， 所以，即，解得， 故选：B. 【跟踪训练】 1.已知或，，且是的充分不必要条件，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】令，，依题意可得，即可求出参数的取值范围. 【详解】因为或，， 令，， 因为是的充分不必要条件，所以， 所以. 故选：D 2.已知集合，，若是成立的一个充分不必要条件，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】通过集合关系即可求解. 【详解】由是成立的一个充分不必要条件， 可知：， 所以，解得， 所以实数的取值范围是， 故答案为： 3.若“或”是“”的必要不充分条件，则实数的范围是______ 【分析】根据必要不充分条件列不等式，由此求得正确答案. 【详解】若“或”是“”的必要不充分条件， 则或，解得或， 4.若“或”是“”的必要不充分条件，则实数m的取值范围为 ． 【答案】 【详解】由必要不充分条件的定义可知或，或，所以或，即或． 5.已知全集，集合，集合. (1)若，求； (2)若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2). 【分析】(1)当时，求出集合利用补集和交集的运算可求得集合； (2)由必要不充分条件的定义可知且，再利用集合的包含关系可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围. 【详解】（1）由得，即， 所以集合. 又全集，所以， 当时，集合， 所以. （2）若“”是“”的必要不充分条件，则且. 所以或，解得. 故实数的取值范围为. 题型07：充要条件的证明 【名师点拨】充要条件的证明策略 (1)要证明一个条件p是否是q的充要条件，需要从充分性和必要性两个方向进行，即证明两个命题“若p，则q”为真且“若q，则p”为真． (2)一般地，证明“p成立的充要条件为q”时，在证充分性时应以q为“已知条件”，p是该步中要证明的“结论”，即q⇒p；证明必要性时则是以p为“已知条件”，q为该步中要证明的“结论”，即p⇒q. (3)在证明的过程中也可以转化为集合的思想来证明，写出集合A＝{x|p(x)}及B＝{x|q(x)}，利用集合间的包含关系进行判断，证明前必须分清充分性和必要性，即搞清楚由哪些条件推证到哪些结论． 提醒：证明时一定要注意，分清充分性与必要性的证明方向． 【例16】（1）已知或，且是的必要而不充分条件，求的取值范围； （2）证明：是一元二次方程有两个异号实根的充要条件. 【答案】（1）或（2）证明见解析 【分析】（1）根据必要不充分条件得到取值范围； （2）先证明充分性，再证明必要性即可. 【详解】（1）根据是的必要而不充分条件， 所以命题中变量的取值集合是命题中变量取值集合的真子集， 所以可得到或， 即或； （2）证明：充分性：若，则， 方程有两个实根， 根据根与系数的关系得， 所以方程有两个异号实根； 必要性：若方程有两个异号实根， 则，即， 所以是一元二次方程有两个异号实根的充要条件. 【跟踪训练】 1.（1）已知命题，当命题为假命题时，求实数的取值范围； （2）已知，是实数，求证：成立的充要条件是. 【答案】（1）；（2）证明见解析 【分析】（1）由题设为真命题，讨论、求参数范围； （2）根据充分、必要性定义，应用因式分解判断条件间的推出关系，即可证. 【详解】（1）由题设，命题的否定为真命题，命题的否定为， 当时，成立， 当时，可得，解得， 综上所述，； （2）先证充分性： 若，则成立，充分性成立； 再证必要性： 若，则，即， ，即，又， ，即成立，必要性成立； 综上：成立的充要条件是． 2.已知，求证：成立的充要条件是．提示： 【答案】证明见解析. 【分析】根据充要条件的定义分别证明充分性和必要性即可. 【详解】充分性： 若，则， 即充分性成立； 必要性： 若，而， 则，又， 由，得且，即，且， 因此，则，即必要性成立， 所以成立的充要条件是. 3.设为的三边，求证：方程与有公共根的充要条件是. 【答案】证明见解析 【分析】设出方程的根，联立方程得，即可求解必要性，利用，代入方程求解根，即可求解充分性. 【详解】证明：必要性：设方程与有公共根， 则，. 两式相减，得， 由，可得， 故， 将此式代入得 可得，故. 充分性：∵，∴.① 将①代入方程， 可得，即， 方程两根为或， 将①代入方程， 可得， 即，方程两根为或， 故两方程有公共根. ∴方程与有公共根的充要条件是. 题型08：反证法的概念及辨析 【例17】设，若，则或是真命题．这个命题可以用反证法去证明，可以假设： ． 【答案】且 【知识点】反证法的概念辨析 【分析】根据给定信息，写出命题结论的否定即可得解. 【详解】依题意，或的否定是：且， 所以所求假设为：且. 故答案为：且 【跟踪训练】 1.用反证法证明：“如果，可被5整除，则a，b至少有一个能被5整除”时应假设： 【答案】a，b都不能被5整除 【知识点】反证法的概念辨析 【分析】根据反证法的步骤填写即可. 【详解】“如果，可被5整除，则a，b至少有一个能被5整除”反证法应假设a，b都不能被5整除. 故答案为：a，b都不能被5整除. 2.用反证法证明某命题时，对结论：“自然数都不是偶数”的正确假设应为（   ） A．自然数不都是偶数 B．自然数都不是奇数 C．自然数都是奇数 D．自然数至少有一个是偶数 【答案】D 【分析】假设结论的反面成立即可． 【详解】自然数都不是偶数的反面为自然数至少有一个是偶数. 故选：D 题型09：反证法证明 【例18】（2024上海·高一专题练习）已知. 求证：，，中至少有一个不小于6. 【详解】分析：一般利用反证法分析解答. 详解：假设，，都小于6， 即，， . . 这与假设相矛盾,故假设不成立,从而原结论成立. 点睛：（1）本题主要考查反证法，意在考查学生对该知识的掌握水平.(2) 证明不等式时，首先假设要证明的命题的反面成立，把它作为条件和其他条件结合在一起，利用已知定义、定理、公理等基本原理逐步推证出一个与命题的条件或已证明的定理或公认的简单事实相矛盾的结论，以此说明原假设的结论不成立，从而肯定原命题的结论成立的方法称为反证法. 如果命题中含有“至少”或“唯一”或其它否定词时，一般用反证法. 【跟踪训练】 1.（2022秋•黄浦区校级期中）（1）已知a，b，c∈R，证明：若a+b+c＜1，则a，b，c中至少有一个小于； （2）已知a，b，c∈R，判断“a+b+c＜1”是“a，b，c中至少有一个小于”的什么条件？并说明理由． 【分析】（1）利用反证法即可证明； （2）利用充分条件、必要条件的定义即可得出结果． 【解答】解：（1）证明：假设， 则a+b+c≥1，这与a+b+c＜1矛盾， 所以a，b，c中至少有一个小于； （2）由（1）可得a+b+c＜1⇒a，b，c中至少有一个小于， 反之不一定成立，例如：a＝0，，c＝2，则a+b+c＞1， 所以“a+b+c＜1”是“a，b，c中至少有一个小于“”的充分非必要条件． 【点评】本题考查了反证法证明不等式、充分条件、必要条件的定义，属于基础题． 2.（2022秋•奉贤区校级月考）（1）已知m是实数，集合A＝{1，2，m+7}，B＝{0，6}．求证：“m＝﹣1”是“A∩B＝{6}”的充要条件； （2）设n∈Z．用反证法证明：若n2是奇数，则n也是奇数． 【分析】（1）先证充分性，再证必要性即可． （2）利用反证法的定义证明即可． 【解答】证明：（1）先证充分性（即证m＝﹣1⇒A∩B＝{6}）， 当m＝﹣1时，A＝{1，2，6}，又因为B＝{0，6}，所以A∩B＝{6}， 再证必要性（即证A∩B＝{6}⇒m＝﹣1）， 当A∩B＝{6}时，由6∈A，得m+7＝6，因此m＝﹣1， 综上所述，m＝﹣1是A∩B＝{6}的充要条件． （2）假设结论n是奇数不成立，即假设n是偶数， 由n是偶数，可设n＝2k，k∈Z， 因为n2＝（2k）2＝2⋅（2k2），这说明n2是偶数，与已知条件n2是奇数矛盾， 所以，假设不成立，即n是奇数． 3（2021·上海·高一单元测试）已知x是有理数，y是无理数，求证：是无理数． 【解析】运用反证法进行证明即可. 【详解】假设是无理数不成立，即是有理数， 因为x是有理数，所以是互质的整数， 因为是有理数，所以是互质的整数， 因此，因为是整数，显然也是整数， 故y是有理数，这与已知y是无理数矛盾，故假设不成立，所以是无理数． 一、填空题 1．（24-25闵行区高一上期中）命题“如果，那么”是 命题（填写“真”或“假”） 【答案】真 【知识点】判断命题的真假、常用数集或数集关系应用 【分析】根据数集之间的关系判断真假即可. 【详解】由所有有理数都是实数，知“如果，那么”为真命题. 故答案为：真 2．（24-25松江区高一上期中）已知，则“若，则”是 命题.（填“真”或“假”） 【答案】真 【知识点】判断命题的真假 【分析】根据，可判断. 【详解】因为等价于， 所以命题“若，则”是真命题. 故答案为：真. 3．（23-24大同中学高一期中）已知命题“如果，那么”是真命题，则实数的取值范围是 . 【答案】 【知识点】已知命题的真假求参数 【分析】由命题为真求解即可. 【详解】已知命题“如果，那么”是真命题， 则实数的取值范围是. 故答案为： 4．（2024上海·位育中学高一期中）著名的哥德巴赫猜想指出：“任何大于的偶数可以表示为两个素数的和”，用反证法研究该猜想，应假设的内容是_______． 【答案】存在一个大于2的偶数不可以表示为两个素数的和. 【分析】从命题的否定入手可解. 【详解】反证法先否定命题，故答案为存在一个大于2的偶数不可以表示为两个素数的和. 【点睛】本题主要考查反证法的步骤，利用反证法证明命题时，先是否定命题，结合已知条件及定理得出矛盾，从而肯定命题. 5．（2023上海市复兴高级中学高一期中）“”是“”的__________．条件（选择其中之一填空：充分非必要、必要非充分、充要、非充分非必要） 【答案】充分不必要 【分析】根据充分必要条件的定义判断． 【详解】时，，充分的， 时，或，不必要， 因此是充分不必要条件． 故答案为：充分不必要． 6．（2024上海市大同中学高一期末）设，，则是的______________条件（用“充分非必要”，“必要非充分”，“充要”，“既非充分又非必要”填空） 【答案】充分非必要 【解析】利用集合间的关系判断充分条件、必要条件即可. 【详解】 A是B的真子集，故是的充分非必要条件 故答案为：充分非必要 7.（2024宝山中学高一期中）已知集合，集合，若“”是 “”的充分条件，则实数的取值范围是 【答案】 【分析】由题意得，建立不等式即可求解的取值范围； 【详解】因为“”是 “”的充分条件， 所以， 所以， 故答案为：. 8．（2023上海虹口·高一期末）已知条件，，且p是q的必要条件，则实数k的取值范围为_________． 【答案】 【分析】根据集合的包含关系得到关于的不等式组解出即可． 【详解】∴， ∴，解得， 故答案为：． 【点睛】结论点睛：一般可根据如下规则判断： （1）若是的必要不充分条件，则对应集合是对应集合的真子集； （2）是的充分不必要条件， 则对应集合是对应集合的真子集； （3）是的充分必要条件，则对应集合与对应集合相等； （4）是的既不充分又不必要条件， 对的集合与对应集合互不包含． 9．（2023秋七宝中学阶段练习）若“”是“”的充要条件，则实数m的取值是 ． 【答案】3 【分析】先化简得，由充要条件可知两不等式两端相等，从而可求得m的取值. 【详解】由得，故， 因为“”是“”的充要条件， 所以，解得， 所以实数m的取值是3. 故答案为：3. 10．（2022上海·位育中学高一阶段练习）设，若“”的一个充分非必要条件可以是“”，则的取值范围是_______ 【答案】 【分析】根据题意可得是的真子集，即可求解. 【详解】因为是“”的一个充分非必要条件， 所以是的真子集， 所以， 即的取值范围是， 故答案为：. 11．（2024华师大二附中高一期中）已知，，是的必要不充分条件，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】由充分条件和必要条件的定义即可得出答案. 【详解】因为，，因为是的必要不充分条件， 所以. 所以实数的取值范围为. 故答案为：. 12．（2024上海师大附中高一阶段练习）已知，若是的必要非充分条件，则实数的取值范围是___________. 【答案】 【分析】由必要不充分条件的定义结合已知列不等式求m的范围. 【详解】可化为， 又∵       是的必要非充分条件，， ∴   ， ∴    ∴   实数的取值范围是. 故答案为： 二、选择题 13．（23-24上海闵行中学高一上期中）下列命题中： ①关于x的方程是一元二次方程； ②空集是任意非空集合的真子集； ③如果，那么； ④两个实数的和是有理数，那么这两个数都是有理数.其中是真命题的有（    ） A．①②③ B．②③ C．②③④ D．①②④ 【答案】B 【知识点】判断命题的真假 【分析】根据一元二次方程的定义、空集的性质，结合不等式的性质、有理数的性质逐一判断即可. 【详解】①：当时，方程变为，显然不是一元二次方程，因此本序号命题不是真命题； ②：因为空集是任何非空集合的真子集，所以本序号命题是真命题； ③：由显然能推出，所以本序号命题是真命题； ④：因为与的和是有理数，但是和都不是有理数，所以本序号命题不是真命题， 故选：B 14．（22-23高一上·上海长宁·阶段练习）若是全集的真子集，则下列四个命题：①；②；③④⑤中与命题等价的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【知识点】判断两个集合的包含关系、交并补混合运算 【分析】直接根据集合的交集、并集、补集的定义判断集合间的关系，从而求出结论． 【详解】∵，则①符合题意； ∵，则②不符合题意； ∵，则③符合题意； ∵，这与是全集的真子集相矛盾，则④不符合题意； ∵，则⑤符合题意； 与命题等价的有①③⑤，共3个 故选：C. 15．（2024上海·高一专题练习）用反证法证明某命题时，对结论：“自然数、、中至多有一个是偶数”的正确假设为 A．自然数、、中至少有一个是偶数 B．自然数、、中至少有两个是偶数 C．自然数、、都是奇数 D．自然数、、都是偶数 【答案】B 【分析】对结论进行否定可得出正确选项. 【详解】“自然数、、中至多有一个是偶数”其意思为“三个自然数、、中全是奇数或一个偶数两个奇数”，其否定为“三个自然数、、中两个偶数一个奇数或全是偶数”， 即“自然数、、中至少有两个是偶数”，故选B. 【点睛】本题考查反证法的基本概念的理解，考查命题的否定，同时要熟悉“至多个”与“至少个”互为否定，考查对概念的理解，属于中等题. 16．（24-25徐汇区高一期中）设全集，集合A，B是R的两个子集，对于任意，定义，，给出下列两个命题： ①对于任意，都有； ②对于任意，都有. 则（   ） A．①②都是真命题 B．①②都是假命题 C．①是真命题，②是假命题 D．①是假命题，②是真命题 【答案】A 【知识点】判断两个集合的包含关系、判断命题的真假 【分析】根据题意确定，的取值，得出与集合，的关系，判断命题是否正确. 【详解】命题①对于任意，都有； 若，则即，,或，，，即， 若，则时即即， 或时即即，故总有， 故命题①为真命题； 命题②对于任意，都有. 若，则，而，故即，故； 若，则当，一定成立，即，此时， 当时，，此时也成立， 故命题②为真命题； 故选：A. 三、解答题 17．（2024闵行中学高一期中）（1）已知，证明：若，则a，b，c中至少有一个小于； （2）已知，判断“”是“a，b，c中至少有一个小于”的什么条件？并说明理由. 【答案】（1）证明见解析；（2）充分非必要条件，证明见解析. 【解析】（1）利用反证法即可证明. （2）利用充分条件、必要条件的定义即可得出结果. 【详解】（1）证明：假设，，， 则，这与矛盾， 所以a，b，c中至少有一个小于. （2）由（1）可得a，b，c中至少有一个小于， 反之不一定成立，例如：，，，则， 所以“”是“a，b，c中至少有一个小于” 的充分非必要条件. 【点睛】本题考查了反证法证明不等式、充分条件、必要条件的定义，属于基础题. 18．（24-25高一上·上海徐汇·期中）命题甲：集合，且．命题乙：集合，且．问题： 若命题甲和乙中有且只有一个真命题，求实数的取值范围． 【答案】 【知识点】已知命题的真假求参数、根据交集结果求集合或参数、根据并集结果求集合或参数 【分析】对于命题甲，根据条件利用集合的运算可求出命题甲是真命题时的范围；对于命题乙，将问题转化成或集合A中元素为非正数，从而通过方程根的情况，求得命题乙是真命题时的范围，然后根据命题甲与命题乙的真假分两种情况讨论即可求得答案． 【详解】对于命题甲： 因为， 又，所以，解得 所以当命题甲是真命题，实数的取值范围为． 对于命题乙： 因为，且，则或集合A中元素为非正数． 又，所以A中元素是方程的根． 当时，，解得； 当集合A中元素为非正数时，设是方程的根， 因为，则且，解得． 所以当命题乙是真命题，实数的取值范围为． 当命题甲是真命题，命题乙是假命题时，得，从而得， 当命题甲是假命题，命题乙是真命题时，得或，从而得， 所以命题甲和乙中有且只有一个真命题时，实数的取值范围为． 19．已知命题①函数的图像总在轴上方；命题②关于的方程有两个不相等的实数根. （1）若命题①为真命题，求的取值范围； （2）若命题②为真命题，求的取值范围； （3）若命题①②中至多有一个命题为真，求的取值范围； 【答案】（1）；（2）；（3）. 【知识点】根据补集运算确定集合或参数、已知命题的真假求参数 【分析】（1）分，两种情况讨论即可求解； （2）方程两个不相等的实数根，可利用判别式建立不等式求解． （3）求命题①、②全都是真命题时的范围为，则的补集即为所求． 【详解】（1）时，，符合题意； 当时，由求得，故的取值范围为． （2）方程两个不相等的实数根， 即或，故取值范围为． （3）设，，若命题①、②全都是真命题， 则的范围为 故当命题①、②中至多有一个命题为真时， 的取值范围是． 20．（24-25高一上·上海·期中）设：，：，是的充分条件，则实数m的取值范围是 . 【答案】 【知识点】根据集合的包含关系求参数、根据充分不必要条件求参数 【分析】把充分关系转化为子集关系，即可求解. 【详解】由是的充分条件，且：，：， 可得：是的子集， 所以：. 故答案为：. 21．（2023复兴高级中学期中）已知集合，集合． (1)若，求实数的取值范围； (2)命题，命题，若p是q成立的充分不必要条件，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）讨论，两种情况，结合交集运算的结果得出实数的取值范围； （2）由p是q成立的充分不必要条件，得出是的真子集，再由包含关系得出实数的取值范围． 【详解】（1）由，得 ①若，即时，，符合题意； ②若，即时，需或，解得． 综上，实数的取值范围为． （2）由已知是的真子集，知两个端不同时取等号，解得． 由实数的取值范围为． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一数学上学期同步培优讲义【精英班课程】 专题04 常用逻辑用语 知识点一、命题的概念与分类 1.把用语言、符号或式子表达，且可以判断其真假的语句叫做命题；命题通常写成“若α，则β”的形式；其中陈述句α称为命题的条件，β称为命题的结论；用集合的语言描述：满足α满足β； 2.命题的分类：其含义判断为真的命题叫做真命题：判断为假的命题叫做假命题； 【注意】假命题的确定：举反例（举出一个满足条件，不满足结论的例子，一个即可，一票否决）； 构造反例有时候不容易，要充分注意命题的条件和结论，还要注意极端情况，或运用类比手段. 法. 3.推出关系定义: 如果命题“若，则”是真命题，那么就称推出，记作（或）. 因为子集关系满足传递性，所以推出关系也满足传递性：若且，则. 它是逻辑推理的基础. 知识点二、充分条件，必要条件、充要条件 1.充分条件与必要条件的概念：对于两个陈述句与，如果，就称是的充分条件，亦称是的必要条件. p是q的充分条件与q是p的必要条件表述的是同一个逻辑关系，即p⇒q，只是说法不同而已； “若p，则q”是真命题；p⇒q；p是q的充分条件；q是p的必要条件，这四种说法是等价的. 2.充要条件的概念：对于两个陈述句与，如果，又有，就称是的充分必要条件，简称充要条件，记作，读作与等价或者成立当且仅当成立 3.充分条件、必要条件与充要条件的判断 （1）从逻辑推理关系看 命题“若，则”，其条件p与结论q之间的逻辑关系 ①若，但，则是的充分不必要条件，是的必要不充分条件； ②若，但，则是的必要不充分条件，是的充分不必要条件； ③若，且，即，则、互为充要条件； ④若，且，则是的既不充分也不必要条件． （2）从集合与集合间的关系看 若，， ①若AB，则是的充分条件，是的必要条件； ②若A是B的真子集，则是的充分不必要条件； ③若A=B，则、互为充要条件； ④若A不是B的子集且B不是A的子集，则是的既不充分也不必要条件． 知识点三、反证法 1.要判断一个命题“若，则”是假命题，只要存在一个满足条件但不满足结论的对象就行；但是要判断命题“若，则”是真命题，就需要证明所有满足的对象都满足结论，但有时直接验证这一点并不是一件容易的事. 我们可以首先假设结论不成立（为假），然后经过正确的逻辑推理得出的与已知条件或（已学）定理等相矛盾的结论，从而说明“为假”是不可能发生的，即结论是正确的，这样的证明方法叫反证法. 2．反证法的一般步骤： （1）分清命题的条件和结论； （2）作出与命题结论相矛盾的假设； （3）由假设出发，应用正确的推理方法，推出矛盾的结果； （4）断定产生矛盾的原因，在于开始所作的假设不真，于是原结论成立，从而间接地证明命题为真． 题型01：命题的概念与真假 【名师点拨】判断一个语句是不是命题的三个关键点 (1)一般来说，陈述句才是命题，祈使句、疑问句、感叹句等都不是命题．例如：“起立”、“是有理数吗？”、“今天天气真好！”等． (2)语句表述的结构可以判断真假，含义模糊不清，无法判断真假的语句不是命题．如“x≥2”、“小高的个子很高”等都不能判断真假，故都不是命题. (3)对于含有变量的语句，要注意根据变量的取值范围，看能否判断真假，若能，就是命题；否则就不是命题． 【例1】下列语句不是命题的是 ．（填序号） ①若，，则；②；③． 【例2】对于任意两个集合A与B，下列命题中是假命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，则或 【跟踪训练】 1.下列语句中：①；②；③有一个根为0；④高二年级的学生；⑤今天天气好热！⑥有最小的质数吗？其中是命题的是（    ） A．①②③ B．①④⑤ C．②③⑥ D．①③ 2.下列命题中，是真命题的是（   ） A．是空集 B．是无限集 C．是有理数 D．方程的根是自然数 3.有下列命题：①所有人都喜欢吃苹果；②若，则；③空集是任何集合的真子集.其中真命题共有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 4.设集合.下面命题中，是真命题的命题序号为 . ①若，则；②若，则；③若，则；④若，则；⑤若，则 题型02：已知命题的真假求参数 【例3】若和或都是假命题，则的范围是 【例4】已知命题甲：关于的方程有两个不相等的负实数根；命题乙：关于的方程没有实数根．若甲、乙有且只有一个是真命题，则实数的取值范围是 ． 【跟踪训练】 1.已知，如果是假命题，是真命题，则实数的范围是______ 2．若一个非空数集满足：对任意，有，，，且当时，有，则称为一个数域，以下命题中： （1）0是任何数域的元素；（2）若数域有非零元素，则； （3）集合为数域；（4）有理数集为数域； 真命题的个数为 3.已知命题p：实数满足或．命题：实数满．若命题是真命题，命题是假命题，求实数的取值范围． 题型03：充分条件、必要条件及充要条件的判定 【名师点拨】充分条件的判断方法 (1)判定p是q的充分条件要先分清什么是p，什么是q，即转化成p⇒q问题． (2)除了用定义判断充分条件还可以利用集合间的关系判断，若p构成的集合为A，q构成的集合为B，A⊆B，则p是q的充分条件． 必要条件的判断方法 (1)判断p是q的什么条件，主要判断若p成立时，能否推出q成立，反过来，若q成立时，能否推出p成立；若p⇒q为真，则p是q的充分条件，若q⇒p为真，则p是q的必要条件． (2)也可利用集合的关系判断，如条件甲“x∈A”，条件乙“x∈B”，若A⊇B，则甲是乙的必要条件． 【例5】“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【例6】“其身正，不令而行；其身不正，虽令不从”出自《论语·子路》．意思是：当政者本身言行端正，不用发号施令，大家自然起身效法，政令将会畅行无阻；如果当政者本身言行不正，虽下命令，大家也不会服从遵守．根据上述材料，“身正”是“令行”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【例7】设，，，则“关于的方程有一个根是1”是“”的（    ）条件 A．充分必要 B．充分不必要 C．必要不充分 D．既不充分也不必要 【跟踪训练】 1.设：，：，则是的 条件（充分不必要条件、必要不充分条件） 2.已知，则“”是“”的（    ）条件. A．充分非必要 B．必要非充分 C．充分必要 D．既非充分又非必要 3.设，则“”是“”的（    ）条件. A．充分非必要 B．必要非充分 C．充分必要 D．既非充分又非必要 4.荀子曰：“不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海.”这句来自先秦时期的名言，阐述了做事情不一点一点积累，就永远无法达成目标的哲理.由此可得，“至千里”是“积跬步”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5.指出下列各组命题中，p是q的什么条件(请用“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”回答)． (1)p：x＝1，q：x－1＝； (2)p：－1≤x≤5，q：x≥－1且x≤5； (3)p：x＋2≠y，q：(x＋2)2≠y2； (4)p：a是自然数；q：a是正数． 题型04：充分条件、必要条件及充要条件的探索 【名师点拨】探求充分条件、必要条件的方法 (1)寻求q的充分条件p，即求使结论q成立的条件p，从集合的角度看，是找q对应集合的子集，得出子集对应的条件p； (2)寻求q的必要条件p，即求以q为条件可推出的结论p，从集合的角度看，是找能包含条件q对应的集合，得出集合对应的结论p. 【例8】（2024上海课时作业）若“”是“”的充分不必要条件，则（       ） A． B． C． D． 【例9】关于x的方程有实根的一个充分条件是（    ） A． B． C． D． 【例10】已知，则“”的一个必要条件是（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练】 1.命题“”为真命题的一个充分条件是（    ） A． B． C． D． 2.关于的一元二次方程有实数解的一个必要不充分条件的是（    ） A． B． C． D． 3.设、是任意两个集合，请写出一个“”的充分必要条件是 ． 4.设，则的一个必要不充分条件是（    ） A． B． C． D． 5.设实数，则不等式的等号成立的一个充分不必要条件为（   ）. A． B． C． D． 题型05：根据充分条件、必要条件或充要条件求参数 【例11】已知不等式成立的充分条件是，则实数的取值范围是（  ） A．或 B．或 C． D． 【例12】若“不等式成立”的充要条件为“”，则实数的值为 . 【例13】设全集，集合，非空集合 (1)若是的充分条件，求实数的取值范围； (2)若是的必要条件，求实数的取值范围. 【跟踪训练】 1.若不等式的一个充分条件为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2.若命题：为命题：，的充要条件，则的值是 ． 3.已知条件集合，条件非空集合． (1)若是的必要条件，求实数的取值范围． (2)若是的必要条件，求实数的取值范围． (3)否存在实数，使是的充要条件． 4.已知集合． (1)若“”是“”的充分条件，求实数a的取值范围． (2)是否存在实数a，使得“”是“”的充要条件？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由． 题型06：根据充分不必要条件或必要不充分条件求参数 【名师点拨】参数值(范围)的一般步骤. (1)根据条件转化为集合间的关系. (2)根据集合间的关系构建关于参数的方程(组)或不等式(组)求解. 【例14】已知集合，.若“”是“”的充分不必要条件，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【例15】若“”是“”的必要不充分条件，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练】 1.已知或，，且是的充分不必要条件，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2.已知集合，，若是成立的一个充分不必要条件，则实数的取值范围是 ． 3.若“或”是“”的必要不充分条件，则实数的范围是______ 4.若“或”是“”的必要不充分条件，则实数m的取值范围为 ． 5.已知全集，集合，集合. (1)若，求； (2)若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围. 题型07：充要条件的证明 【名师点拨】充要条件的证明策略 (1)要证明一个条件p是否是q的充要条件，需要从充分性和必要性两个方向进行，即证明两个命题“若p，则q”为真且“若q，则p”为真． (2)一般地，证明“p成立的充要条件为q”时，在证充分性时应以q为“已知条件”，p是该步中要证明的“结论”，即q⇒p；证明必要性时则是以p为“已知条件”，q为该步中要证明的“结论”，即p⇒q. (3)在证明的过程中也可以转化为集合的思想来证明，写出集合A＝{x|p(x)}及B＝{x|q(x)}，利用集合间的包含关系进行判断，证明前必须分清充分性和必要性，即搞清楚由哪些条件推证到哪些结论． 提醒：证明时一定要注意，分清充分性与必要性的证明方向． 【例16】（1）已知或，且是的必要而不充分条件，求的取值范围； （2）证明：是一元二次方程有两个异号实根的充要条件. 【跟踪训练】 1.（1）已知命题，当命题为假命题时，求实数的取值范围； （2）已知，是实数，求证：成立的充要条件是. 2.已知，求证：成立的充要条件是．提示： 3.设为的三边，求证：方程与有公共根的充要条件是. 题型08：反证法的概念及辨析 【例17】设，若，则或是真命题．这个命题可以用反证法去证明，可以假设： ． 【跟踪训练】 1.用反证法证明：“如果，可被5整除，则a，b至少有一个能被5整除”时应假设： 2.用反证法证明某命题时，对结论：“自然数都不是偶数”的正确假设应为（   ） A．自然数不都是偶数 B．自然数都不是奇数 C．自然数都是奇数 D．自然数至少有一个是偶数 题型09：反证法证明 【例18】（2024上海·高一专题练习）已知. 求证：，，中至少有一个不小于6. 【跟踪训练】 1.（2022秋•黄浦区校级期中）（1）已知a，b，c∈R，证明：若a+b+c＜1，则a，b，c中至少有一个小于； （2）已知a，b，c∈R，判断“a+b+c＜1”是“a，b，c中至少有一个小于”的什么条件？并说明理由． 2.（2022秋•奉贤区校级月考）（1）已知m是实数，集合A＝{1，2，m+7}，B＝{0，6}．求证：“m＝﹣1”是“A∩B＝{6}”的充要条件； （2）设n∈Z．用反证法证明：若n2是奇数，则n也是奇数． 3（2021·上海·高一单元测试）已知x是有理数，y是无理数，求证：是无理数． 一、填空题 1．（24-25闵行区高一上期中）命题“如果，那么”是 命题（填写“真”或“假”） 2．（24-25松江区高一上期中）已知，则“若，则”是 命题.（填“真”或“假”） 3．（23-24大同中学高一期中）已知命题“如果，那么”是真命题，则实数的取值范围是 . 4．（2024上海·位育中学高一期中）著名的哥德巴赫猜想指出：“任何大于的偶数可以表示为两个素数的和”，用反证法研究该猜想，应假设的内容是_______． 5．（2023上海市复兴高级中学高一期中）“”是“”的__________．条件（选择其中之一填空：充分非必要、必要非充分、充要、非充分非必要） 6．（2024上海市大同中学高一期末）设，，则是的______________条件（用“充分非必要”，“必要非充分”，“充要”，“既非充分又非必要”填空） 7.（2024宝山中学高一期中）已知集合，集合，若“”是 “”的充分条件，则实数的取值范围是 8．（2023上海虹口·高一期末）已知条件，，且p是q的必要条件，则实数k的取值范围为_________． 9．（2023秋七宝中学阶段练习）若“”是“”的充要条件，则实数m的取值是 ． 10．（2022上海·位育中学高一阶段练习）设，若“”的一个充分非必要条件可以是“”，则的取值范围是_______ 11．（2024华师大二附中高一期中）已知，，是的必要不充分条件，则实数的取值范围为 . 12．（2024上海师大附中高一阶段练习）已知，若是的必要非充分条件，则实数的取值范围是___________. 二、选择题 13．（23-24上海闵行中学高一上期中）下列命题中： ①关于x的方程是一元二次方程； ②空集是任意非空集合的真子集； ③如果，那么； ④两个实数的和是有理数，那么这两个数都是有理数.其中是真命题的有（    ） A．①②③ B．②③ C．②③④ D．①②④ 14．（22-23高一上·上海长宁·阶段练习）若是全集的真子集，则下列四个命题：①；②；③④⑤中与命题等价的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 15．（2024上海·高一专题练习）用反证法证明某命题时，对结论：“自然数、、中至多有一个是偶数”的正确假设为 A．自然数、、中至少有一个是偶数 B．自然数、、中至少有两个是偶数 C．自然数、、都是奇数 D．自然数、、都是偶数 16．（24-25徐汇区高一期中）设全集，集合A，B是R的两个子集，对于任意，定义，，给出下列两个命题： ①对于任意，都有； ②对于任意，都有. 则（   ） A．①②都是真命题 B．①②都是假命题 C．①是真命题，②是假命题 D．①是假命题，②是真命题 三、解答题 17．（2024闵行中学高一期中）（1）已知，证明：若，则a，b，c中至少有一个小于； （2）已知，判断“”是“a，b，c中至少有一个小于”的什么条件？并说明理由. 18．（24-25高一上·上海徐汇·期中）命题甲：集合，且．命题乙：集合，且．问题： 若命题甲和乙中有且只有一个真命题，求实数的取值范围． 19．已知命题①函数的图像总在轴上方；命题②关于的方程有两个不相等的实数根. （1）若命题①为真命题，求的取值范围； （2）若命题②为真命题，求的取值范围； （3）若命题①②中至多有一个命题为真，求的取值范围； 20．（2023复兴高级中学期中）已知集合，集合． (1)若，求实数的取值范围； (2)命题，命题，若p是q成立的充分不必要条件，求实数的取值范围． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $