21.1 一元二次方程（课件）2026-2027学年华东师大版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦一元二次方程的概念、一般形式及根，通过复习方程、一元一次方程及解题步骤导入，衔接绿地面积、图书增长率等实际问题引出方程，类比归纳形成新知，搭建新旧知识学习支架。 其亮点是以实际问题驱动，培养数学眼光（发现数量关系），通过与一元一次方程对比推理发展数学思维（推理意识），典例与练一练结合强化数学语言表达（模型意识）。当堂小结结构化梳理知识，学生能深化理解，教师可提升教学效率。

第21章 一元二次方程 21.1 认识一元二次方程 九年级上册数学（华师版） 学习目标 1. 理解一元二次方程的概念；(重点) 2. 了解一元二次方程的一般形式； (重点) 3. 经历探究一元二次方程的概念的过程.（难点） 1. 你还记得什么叫方程？什么叫方程的解吗？ 2. 什么是一元一次方程？它的一般形式是怎样的？ 1.审；2.设；3.列；4.解；5.验；6.答. 3. 我们知道了利用一元一次方程可以解决生活中的一些实际问题，你还记得利用一元一次方程解决实际问题的步骤吗？ 一般形式：ax + b = 0 (a ≠ 0) 复习回顾 问题1 绿苑小区在规划设计时，准备在两幢楼房之间，设置一块面积为 900 平方米的矩形绿地，并且长比宽多 10 米，那么绿地的长和宽各为多少？ 思考：1.根据以往的经验，你想用什么知识来解决这个实际问题？ 方程 一元二次方程及其一般形式 1 探究新知 2.如图，如果设绿地的宽为 x m， 则绿地的长为 . 3.由于矩形绿地面积为 900 平方米. 你能根据题意，列出方程吗？ 把以上方程整理得： . x(x + 10) = 900， x2 + 10x - 900 = 0. ① x + 10 问题2 学校图书馆去年年底有图书 5 万册，预计到明年年底增加到 7.2 万册. 求这两年的年平均增长率. 设这两年的年平均增长率为 x . 已知去年年底的图书数是 5 万册，则今年年底的图书数是 万册. 同样，明年年底的图书数又是今年年底图书数的 倍，即 (万册). 可列得方程 _______________， 整理可得 _____________________. 5(1 + x) (1 + x) 5(1 + x)(1 + x) = 5(1 + x)2 5(1 + x)2 = 7.2 5x2 + 10x - 2.2 = 0 ② 请观察下面两个方程并回答问题： （1）它们是一元一次方程吗？ （2）与一元一次方程有何异同？ （3）通过比较你能归纳出这类方程的特点吗？ 类比发现，探索新知 1. 等号两边都是整式 2. 只含有一个未知数 3. 未知数的最高次数是 2 特点： x2 + 10x - 900 = 0. ① 5x2 + 10x - 2.2 = 0. ② 上述两个整式方程中都只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 2，这样的方程叫做一元二次方程. 一元二次方程的一般形式是 ax2 + bx + c = 0 ( a、b、c 是已知数，a≠0) (4) 通过与一元一次方程的对比，你能给这类方程取个合理的名字吗？ 知识要点 想一想：为什么要限制 a ≠ 0？b，c 可以为零吗？ 一元二次方程的一般形式： ax2 + bx + c = 0 ( a ≠ 0 ) 二次项 一次项 常数项 二次项系数 一次项系数 知识要点 想一想：为什么一元二次方程的一般形式 ax2 + bx + c = 0 中要限制 a≠0？b，c 可以为 0 吗？ 当 a = 0 时， bx＋c = 0， 当 a≠0，b = 0 时， ax2＋c = 0， 当 a≠0，c = 0 时， ax2＋bx = 0， 当 a≠0，b = c = 0 时， ax2 = 0， 总结：只要满足 a≠0 即可，b，c 可以为任意实数. 不符合定义； 符合定义； 符合定义； 符合定义． 例1 下列选项中，是关于 x 的一元二次方程的是（ ） C 不是整式方程 含两个未知数 化简为 x2 - 3x + 2 = 0 化简为 4x2 -1 = 4x2 +12x + 9 提示：判断一个方程是不是一元二次方程，首先看是不是整式方程；如是则进一步化简整理再做判断. 典例精析 1.列表填空： 方程 一般形式 二次项系数 一次项系数 常数项 4x2 = 3x (x - 1)2 - 9 = 0 x(x + 2) = 3(x + 2) 4x2 - 3x = 0 x2 - 2x - 8 = 0 x2 - x - 6 = 0 4 -3 0 1 -2 -8 1 -1 -6 练一练 2. 下列方程中哪些是一元二次方程，并说明理由. (1) x + 2 = 5x - 3； (2) x2 = 4； (3) 2x2 - 4 = (x + 2)2； 3. 关于 x 的方程 (2a - 4)x2 - 2bx + a = 0 在什么条件下为一元二次方程？ 不是 是 是 不是 当 2a - 4≠0 时，即 a≠2 时，该方程为一元二次方程. (4) 一元一次方程 一元二次方程 一般式 相同点 不同点 思考：一元一次方程与一元二次方程有什么区别与联系？ ax = b (a ≠ 0) ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) 都是整式方程，且只含有一个未知数 未知数次数只能是 1 未知数的最高次数是 2 能使一元二次方程两边相等的未知数的值叫一元二次方程的解(或根). 判断未知数的值 x = -1，x = 0，x = 2 是不是方程 x2 - 2 = x 的根. 一元二次方程的根 2 例2 已知关于 x 的一元二次方程 x2 + ax + a = 0 的一个根是 3，求 a 的值. 解：由题意把 x = 3 代入方程 x2 + ax + a = 0，得 32 + 3a + a = 0. 方法点拨：已知方程的根求字母的值，只需要把方程的根代入方程中，得到一个关于这个字母的方程，然后解这个方程，就能得到字母的值. 典例精析 3.判断下列各题括号内未知数的值是不是方程的根： x2 - 3x + 2 = 0 (x1 = 1， x2 = 2，x3 = 3) 当 x1 = 1 时，x2 - 3x + 2 = 1 - 3 + 2 = 0，故是该方程的解； 当 x2 = 2 时，x2 - 3x + 2 = 4 - 6 + 2 = 0，故是该方程的解； 当 x3 = 3 时，x2 - 3x + 2 = 9 - 9 + 2 = 2 ≠ 0， 故不是该方程的解. 练一练 1. 下列哪些是一元二次方程？ 是 不是 是 不是 不是 是 3x + 2 = 5x - 2； x2 = 0； (x + 3)(2x - 4) = x2； 3y2 = (3y + 1)(y - 2)； x2 = x3 + x2 - 1； 3x2 = 5x - 1. 探究新知 2. 填表： 方程 一般形式 二次项系数 一次项系数 常数项 -2 1 3 1 3 -5 4 0 -5 3 -2 20 3. 关于 x 的方程 (k2 − 1)x2 ＋ 2(k − 1)x＋2k＋ 2＝0， 当 k 　　时，是一元二次方程； 当 k 　　时，是一元一次方程． ≠±1 ＝−1 4. (1) 已知方程 5x² + mx − 6 = 0 的一个根为 4，则 m 的 值为 ； (2) 若关于 x 的一元二次方程 (m + 2)x2 + 5x + m2－4 = 0 有一个根为 0，求 m 的值. 二次项系数不为零不容忽视 解：将 x = 0 代入方程得 m2 − 4 = 0， 解得 m = ±2. ∵ m + 2 ≠ 0， ∴ m ≠ −2. 综上可知 m = 2. _____ 5. (1) 如图，已知一矩形的长为 200 cm，宽为 150 cm.现在矩形中挖去一个圆，使剩余部分的面积为原矩形面积的四分之三. 求挖去的圆的半径 x cm 应满足的方程（其中 π 取 3）； 解：由于圆的半径为 x cm，故其面积为 3x2 cm2. 整理，得 根据题意，得 200 cm 150 cm (2) 如图，据某市交通部门统计，前年该市汽车拥有量为 75 万辆，两年后增加到 108 万辆. 求该市两年来汽车拥有量的年平均增长率 x 应满足的方程. 解：该市两年来汽车拥有量的年平均增长率为 x. 整理，得 根据题意，得 一元二次方程 概念 等号两边都是整式，只含有一个未知数 (一元)，并且未知数的最高次数是 2 (二次) 的方程 一般形式 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) 其中 a ≠ 0 是一元二次方程的必要条件 根(解) 使方程左右两边相等的未知数的值 建立一元二次方程模型 审→设→找→列 当堂小结 $