精品解析：江西宜春市丰城市第九中学2025-2026学年高二下学期6月阶段性检测数学试卷

丰城九中2025-2026高二下学期第二次段考数学试卷 命题人：陈俊平 审题人：张长凯 考试时间：2026/6/24 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，为非零向量，命题和命题，则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 若命题“,”为真命题，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 一个等差数列的首项为，从第10项起各项都比1大，则这个等差数列的公差d的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 在等比数列中，，是方程的两个解，则（ ） A. B. C. 25 D. 6. 设函数是上的增函数，且关于的不等式恒成立，则实数的取值范围是（   ） A. B. C. D. 7. 已知函数是定义在区间上的可导函数，其导函数为，且满足，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 8. 对于函数，若函数的零点为，的零点为，当存在，满足，则称为亲密函数.若，互为亲密函数，则实数a的取值范围是（     ） A. B. C. D. 二、选择题：本大题共3个小题，每小题6分，满分18分，在每小题给出的选项中，有多个选项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，选错或不选得0分. 9. 已知函数在区间上单调递增，则的可能取值是（ ） A. B. C. D. 10. 下列命题正确的是（ ） A. 若，则或 B. 若，，则 C. 若，，，则的最小值为9 D. 若，，则的最大值为18 11. 已知函数，则下列不正确的是（   ） A. 若，则 B. 若在区间上单调递增，则 C. 当时，函数的递减区间为 D. 若方程有三个实数解，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若数列满足，，则________. 13. 若函数在区间上的值域为，则的最大值为_____． 14. 如图所示，正方形是一块边长为的工程用料，阴影部分所示是被腐蚀的区域，其余部分完好，曲线为以为对称轴的抛物线的一部分，．工人师傅现要从完好的部分中截取一块矩形原料，当其面积有最大值时，的长为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图，已知正三棱柱中，，点P为的中点. （1）证明：平面； （2）求点B到平面的距离. 16. 已知椭圆的离心率为且经过点.试求： （1）求椭圆的标准方程； （2）是否存在过点与（1）中曲线C相交所得弦长的直线，若存在，求直线的方程；若不存在，试说明理由. 17. 已知函数 （1）求在处的切线方程； （2）求的单调区间，并求在上的最大值. 18. 某社区有甲､乙两个垃圾投放点.据观察，该社区居民选择垃圾投放点有以下规律：居民每天都会去投放垃圾，前一天选择投放点甲的居民，第二天选择甲的概率为，选择乙的概率为；前一天选择投放点乙的居民，第二天选择甲的概率为，选择乙的概率为.从观察日起，居民第一天选择甲的概率为，选择乙的概率为，且不同居民的选择相互独立. （1）若有5位居民连续两天去投放垃圾，记第二天选择投放点甲的人数为，求的数学期望和方差； （2）记第天选择投放点甲的概率为. （i）请写出与的递推关系； （ii）求数列的通项公式. 19. 已知函数，，． （1）讨论函数在区间上的单调性； （2）若，求在上的最大值； （3）求实数的最小值，使得对任意，都有． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 丰城九中2025-2026高二下学期第二次段考数学试卷 命题人：陈俊平 审题人：张长凯 考试时间：2026/6/24 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据集合并集的运算，合并两个集合的元素取值范围即可得答案. 【详解】集合，， 所以. 2. 已知，为非零向量，命题和命题，则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】利用数量积的定义公式，分别判断命题的充分性和必要性是否成立，进而作出判断. 【详解】若成立，则（两向量同向）或（两向量反向）， 当时，，此时，即不成立， 因此推不出，充分性不成立； 若成立，因为是非零向量，，则， 结合得，即两向量同向，因此，成立， 即能推出，必要性成立； 综上，是的必要不充分条件. 3. 若命题“,”为真命题，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由命题“”为真命题，利用判别式，即可确定实数的取值范围． 【详解】由命题“”为真命题， ， 解得：， 4. 一个等差数列的首项为，从第10项起各项都比1大，则这个等差数列的公差d的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由题意可得 即， 解得. 5. 在等比数列中，，是方程的两个解，则（ ） A. B. C. 25 D. 【答案】A 【解析】 【详解】由韦达定理得，得，， 因为，所以. 由等比数列的性质得，得（正根舍去）. 6. 设函数是上的增函数，且关于的不等式恒成立，则实数的取值范围是（   ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据分段函数的单调性可得,再由函数的单调性可得出 ，将参数m分离,即可求出的取值范围. 【详解】因为函数和均是增函数， 所以是上的增函数，只需要满足， 即，解得. 由得 ，即 恒成立. 因为，即. 所以实数的取值范围是. 7. 已知函数是定义在区间上的可导函数，其导函数为，且满足，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据条件，构造函数，利用函数的单调性和导数之间的关系，将不等式进行转化求解即可得到结论. 【详解】构造函数，， 当时，，所以，所以在上单调递减， 因为，函数是定义在区间上， 所以，即， 不等式化为，即， 所以，即， 所以不等式解集为. 8. 对于函数，若函数的零点为，的零点为，当存在，满足，则称为亲密函数.若，互为亲密函数，则实数a的取值范围是（     ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用导数求出函数的零点，由定义确定函数零点所在的区间，再利用零点的意义分离参数并构造函数，利用导数参数的取值范围. 【详解】函数的定义域为R，求导得， 函数在R上单调递增，而， 因此函数有唯一零点2026，即， 由，得，解得， 则函数在上存在零点，令，由，得， 由，得，则，依题意，在上有解， 令函数，求导得，当时，； 当时，，即函数在上单调递增，在上单调递减， ，而， 则函数在的值域为，所以的取值范围为. 二、选择题：本大题共3个小题，每小题6分，满分18分，在每小题给出的选项中，有多个选项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，选错或不选得0分. 9. 已知函数在区间上单调递增，则的可能取值是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【详解】函数的单调递增区间为， 依题意，，则，解得， 因此的可能取值是，ABD是，C不是. 10. 下列命题正确的是（ ） A. 若，则或 B. 若，，则 C. 若，，，则的最小值为9 D. 若，，则的最大值为18 【答案】AC 【解析】 【分析】A将分式不等式转化为整式不等式求解；B通过举反例或根据不等式乘法性质判断命题是否成立；C采用“1的代换”方法，结合基本不等式求目标式的最小值，再验证等号是否能取到；D设求出系数，再根据已知的两个区间范围，结合不等式的同向可加性求出的范围. 【详解】A，分式不等式等价于，整理得，解得或， A正确； B，举反例：若，满足，但，不等式不成立，B错误； C，已知，则， 等号成立当且仅当，最小值为9，C正确； D，设，解得，即， 已知，则，最大值为16， D错误. 11. 已知函数，则下列不正确的是（   ） A. 若，则 B. 若在区间上单调递增，则 C. 当时，函数的递减区间为 D. 若方程有三个实数解，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A,对函数求导，代值可求解；对于B，转化成在上恒成立，又有，则求在时恒成立.结合二次函数最值可求解；对于C,将代入函数后求导得，结合一元二次不等式的解法求解；对于D，令，转化为直线与有3个交点问题.对函数求导，分析单调性，结合图像得出的取值范围. 【详解】对于A，，得 ，即； 对于B，由于，若在区间上单调递增， 则在时恒成立，又因为， 所以在时恒成立. 当时，，即，解得，故B错误； 对于C，当时，函数求导得：， 由，解得， 所以函数的递减区间为，故C正确； 对于D，令函数，求导得：， 当或时，，所以在上单调递增； 当时，，所以在上单调递减； 可得函数的极小值点为1，且， 函数的极大值点为，且， 由于当时，，当时，，作函数的图象如下： 所以要使方程有三个实数解，则，故D错误； 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若数列满足，，则________. 【答案】 【解析】 【分析】根据递推公式求出数列的前5项，可发现数列为周期数列，结合数列周期性求解即可. 【详解】由，，可得， ，，， 所以是周期为4的数列，所以. 13. 若函数在区间上的值域为，则的最大值为_____． 【答案】 【解析】 【详解】函数，当时，取得最小值，， ，解得或， 已知函数在区间上的值域为，则 区间必包含，且区间端点值不超过， 取最大值时，取最小值，取最大值，此时． 14. 如图所示，正方形是一块边长为的工程用料，阴影部分所示是被腐蚀的区域，其余部分完好，曲线为以为对称轴的抛物线的一部分，．工人师傅现要从完好的部分中截取一块矩形原料，当其面积有最大值时，的长为__________． 【答案】 【解析】 【分析】建立平面直角坐标系如图所示，由已知求出抛物线方程，当时，矩形面积最大时为，当，设，即可得到关于的函数式，利用求导判断单调性，即可得到最值. 【详解】由题知，以为原点，建立平面直角坐标系，如图， 则，，设方程为：， 所以，，方程为：， 令矩形面积为， 当时，， 当，设，则， 所以， 则， 令，则，在上递增， 令，则或，在上递减， 又，，， 所以当的长为时，该矩形面积最大. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图，已知正三棱柱中，，点P为的中点. （1）证明：平面； （2）求点B到平面的距离. 【答案】（1） 证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接交于点，利用三角形中位线定理证明，再结合线面平行的判定定理即可得证. （2）利用等体积法，通过计算三棱锥的体积和底面积求解点到平面的距离. 【小问1详解】 连接交于点，连接. 因为三棱柱为正三棱柱，所以侧面为矩形， 所以为的中点. 又因为点为的中点，所以在中，为中位线，故. 因为平面，平面，所以平面. 【小问2详解】 设点到平面的距离为. 因为为正三角形，为的中点，所以，且. 因为三棱柱为正三棱柱，所以平面. 又平面，所以.因为，平面，所以平面. 又平面，所以. 在中，. 所以的面积. 又的面积. 由可得，即， 解得.所以点到平面的距离为. 16. 已知椭圆的离心率为且经过点.试求： （1）求椭圆的标准方程； （2）是否存在过点与（1）中曲线C相交所得弦长的直线，若存在，求直线的方程；若不存在，试说明理由. 【答案】（1） （2）存在，或. 【解析】 【分析】（1）由题设可得，，结合即可求出，进而求解即可； （2）分直线的斜率不存在、存在，两种情况结合弦长公式讨论求解即可. 【小问1详解】 根据题意，椭圆的离心率为，则①， 又因为椭圆过点，则②，又③， 由①②③联立解得，，所以椭圆的标准方程为. 【小问2详解】 当直线的斜率不存在时，直线的方程为， 此时，不满足题意； 当直线的斜率存在时，设直线：，与曲线的交点为，， 联立，得，则， 且，， 则， 整理得，所以或（舍）. 经检验，符合题意， 所以直线的方程为，即或. 17. 已知函数 （1）求在处的切线方程； （2）求的单调区间，并求在上的最大值. 【答案】（1） （2） 单调递增区间为和，单调递减区间为；最大值为 【解析】 【分析】（1）根据导数求出切线斜率，由点斜式即可求得切线方程； （2）根据导数求出函数的单调性和极值，比较端点值和极值即可求出最大值. 【小问1详解】 由函数，可得， 求导得，则得， 故在处的切线方程为. 【小问2详解】 由（1）得， 当或时，，当时，， 因此的单调递增区间为和，单调递减区间为， 则的极大值为，极小值为， 又，， 由于， 故在上的最大值为. 18. 某社区有甲､乙两个垃圾投放点.据观察，该社区居民选择垃圾投放点有以下规律：居民每天都会去投放垃圾，前一天选择投放点甲的居民，第二天选择甲的概率为，选择乙的概率为；前一天选择投放点乙的居民，第二天选择甲的概率为，选择乙的概率为.从观察日起，居民第一天选择甲的概率为，选择乙的概率为，且不同居民的选择相互独立. （1）若有5位居民连续两天去投放垃圾，记第二天选择投放点甲的人数为，求的数学期望和方差； （2）记第天选择投放点甲的概率为. （i）请写出与的递推关系； （ii）求数列的通项公式. 【答案】（1） （2）（i）（ii） 【解析】 【分析】（1）由二项分布求解即可； （2）（i）由第天选择投放点甲的概率为即可求解；（ii）构造数列，由等比数列的定义即可求解. 【小问1详解】 任意1位居民第二天选择投放点甲的概率为， 由题意可得，， 所以. 【小问2详解】 （i）第天选择投放点甲的概率为， 整理得. （ii）因为， 所以， 又因为， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以，解得. 19. 已知函数，，． （1）讨论函数在区间上的单调性； （2）若，求在上的最大值； （3）求实数的最小值，使得对任意，都有． 【答案】（1）当时，在上单调递增，在上单调递减；当时，在上单调递减． （2） （3） 【解析】 【分析】（1）分和两种情况进行讨论； （2）根据（1）的结论直接求解即可； （3）分，，三种情况进行讨论，其中，分别根据（1），（2）的结论进行说明，直接判断即可. 【小问1详解】 由得． 若，则对任意，， 所以．因此在上单调递减． 若，令，解得． 当时，；当时，． 因此在上单调递增，在上单调递减． 【小问2详解】 当时，由（1）知，在处取得最大值． 因此． 故在上的最大值为． 【小问3详解】 要使对任意，都有， 等价于对任意恒成立． 记． 若，由（1）可知，在上单调递减． 又，所以对任意，． 因此时，不等式恒成立． 若，由（2）可知，的最大值为． 设，． 则，所以在上单调递减， 又，所以当时，． 因此此时存在，使得，不等式不能恒成立． 若，由于（），而， 不等式显然不可能对任意成立． 综上，满足条件的的最小值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $