精品解析：江西省临川第一中学2025-2026学年高二下学期6月阶段性测试（I卷）数学试题

2026年6月高二年级阶段性测试（Ⅰ卷） 数 学 考生注意： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷与答题卡一并收回． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求． 1. 下面不是离散型随机变量的是（ ） A. 某旅游景点6月的日游客数量 B. 任意抽取一袋标有10 kg的大米，其实际重量 C. 抛掷2枚骰子，所得点数之和 D. 某外卖员6月的日送餐次数 2. 下列求导运算错误的是（ ） A. B. C. D. 3. 为研究睡前阅读与睡眠质量是否有关联，某机构采取随机抽样的方法抽取80名学生进行调查，得到成对样本观测数据的分类统计结果，如表所示．依据小概率值的独立性检验，分析睡前阅读是否会有助于睡眠质量． 睡眠质量良好 睡眠质量一般 合计 坚持睡前阅读 30 10 40 不睡前阅读 10 30 40 合计 40 40 80 ，临界值表： 0.100 0.050 0.025 0.010 0.001 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 则下列说法正确的是（ ） A. 依据，有把握认为的人睡前阅读会有助于睡眠质量 B. 依据，有把握认为的人睡前阅读会有助于睡眠质量 C. 依据，有的把握认为睡前阅读会有助于睡眠质量 D. 依据，有的把握认为睡前阅读会有助于睡眠质量 4. 过点作圆的两条切线，切点分别为，则四边形的面积为（ ） A. B. C. D. 5. 已知直线与平面，，满足且，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 某快递店每天的快递量（单位：个），记T表示200天内快递量介于420至540的天数，则T的均值约为（ ）（附：若随机变量，则，，） A. 154 B. 164 C. 174 D. 184 7. 某航天任务计划从5名备选航天员（包括甲、乙）中选派4人执行空间站作业，分别负责机械臂操作、舱外维护、数据监测三项不同的工作，其中数据监测需要2人负责，机械臂操作与舱外维护各需要1人负责．若甲、乙必须入选且不能从事同一项工作，则不同的安排方案共有（ ） A. 30种 B. 45种 C. 60种 D. 90种 8. 已知数列：1，2，3，…，2026，从中任选三项组成一个新数列，则所有新数列中的最小项之和为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知函数，其中是在 处的导数值，则下列结论正确的有（ ） A. B. 的单调递减区间为 C. 的极小值为1 D. 在上的最大值为3 10. 某社团开展百科知识竞赛答题活动，参与者在 道试题（有 道文史题和道理科题）中不放回地依次随机抽取道题作答，设事件 为“第次抽到理科题”，事件 为“第次抽到理科题”，则（ ） A. B. C. D. 11. 已知抛物线的焦点为 ，直线与交于， 两点，与 轴交于点，与直线交于点，为坐标原点，则（） A. 的准线方程为 B. C. 当时，的面积为 D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知随机事件 ， 满足，，则______． 13. 某公司为评估员工使用人工智能技术辅助办公的能力，随机抽取了该公司n名员工，通过专用系统进行综合评级得出优秀有3人，良好有a人，及格有b人，若从中任选两人则两人都是优秀的概率为．现从中任选3人，记其中优秀的人数为 ，则 的期望________ 14. 已知数列的前项和为，且，设为数列的前项和，则=________．（符号表示不超过 的最大整数，例如） 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知数列的前项和为，且． （1）求数列的通项公式； （2）已知，数列的前项和为，求当时的最小值． 16. 已知，其中，，， ，且的展开式中各二项式系数的和为256． （1）求n的值及展开式中二项式系数最大的项； （2）求的值． 17. 作为江苏省内最高规格的业余足球赛事，苏超联赛自2025年5月开赛以来，凭借“十三太保”城市对抗的独特赛制引发全民热议.为了解观看某场苏超联赛与性别是否有关系，某机构在全市随机抽取了500名居民，其中男性居民与女性居民的人数比为，在抽取的男性居民中，有的人观看了这场苏超联赛，在抽取的女性居民中，有100人没有观看这场苏超联赛. （1）用频率估计概率，样本估计总体，从全市居民中随机抽取1人，试估计此人观看了这场苏超联赛的概率； （2）现定义：，其中 是随机事件，从这500人中任选1人，表示“居民观看了这场苏超联赛”， 表示“居民是女性”，设观看这场苏超联赛与性别的相关程度的一项度量指标，请利用样本数据求出 的值； 18. 已知椭圆，，分别为椭圆的左、右焦点，，在椭圆上，且轴，，．直线交椭圆于 ， 两点，与 关于原点对称， 与 关于 轴对称，直线与 轴的交点为． （1）求椭圆的标准方程． （2）若过作 轴的垂线，其垂线平分 ． （ⅰ）求证：直线的斜率为定值． （ⅱ）当与的面积相等时，求直线的方程． 19. 已知函数． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）证明： 存在唯一的极值点； （3）当恒成立时，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年6月高二年级阶段性测试（Ⅰ卷） 数 学 考生注意： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷与答题卡一并收回． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求． 1. 下面不是离散型随机变量的是（ ） A. 某旅游景点6月的日游客数量 B. 任意抽取一袋标有10 kg的大米，其实际重量 C. 抛掷2枚骰子，所得点数之和 D. 某外卖员6月的日送餐次数 【答案】B 【解析】 【详解】选项A，C，D中随机变量所有可能取的值都可以一一列出，所以它们都是离散型随机变量， 选项B中可以取某一区间内的一切实数值，无法一一列出，故不是离散型随机变量． 2. 下列求导运算错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】，所以A运算正确，不符合题意； ，所以B运算错误，符合题意； ，所以C运算正确，不符合题意； ，所以D运算正确，不符合题意． 3. 为研究睡前阅读与睡眠质量是否有关联，某机构采取随机抽样的方法抽取80名学生进行调查，得到成对样本观测数据的分类统计结果，如表所示．依据小概率值的独立性检验，分析睡前阅读是否会有助于睡眠质量． 睡眠质量良好 睡眠质量一般 合计 坚持睡前阅读 30 10 40 不睡前阅读 10 30 40 合计 40 40 80 ，临界值表： 0.100 0.050 0.025 0.010 0.001 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 则下列说法正确的是（ ） A. 依据，有把握认为的人睡前阅读会有助于睡眠质量 B. 依据，有把握认为的人睡前阅读会有助于睡眠质量 C. 依据，有的把握认为睡前阅读会有助于睡眠质量 D. 依据，有的把握认为睡前阅读会有助于睡眠质量 【答案】C 【解析】 【详解】零假设为：睡前阅读与睡眠质量无关. 根据列联表中的数据经计算得到， 根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立， 即有的把握认为睡前阅读会有助于睡眠质量. 4. 过点作圆的两条切线，切点分别为，则四边形的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据两点间距离公式可得，即可由勾股定理求解，由三角形面积公式即可求解. 【详解】由 可得， 所以，进而可得， 故， 所以四边形的面积为. 5. 已知直线与平面 ，，满足且，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】 根据充分必要条件的定义判断． 【详解】当时，不能推出；当时，又，可得． 故选：B． 【点睛】本题考查必要不充分条件的判断，掌握线面间位置关系的判断方法是解题关键． 6. 某快递店每天的快递量（单位：个），记T表示200天内快递量介于420至540的天数，则T的均值约为（ ）（附：若随机变量，则，，） A. 154 B. 164 C. 174 D. 184 【答案】B 【解析】 【分析】由正态曲线的性质求解即可． 【详解】依题意，得，， 则 ， 所以估计200天内快递量介于420至540的天数大约是：. 7. 某航天任务计划从5名备选航天员（包括甲、乙）中选派4人执行空间站作业，分别负责机械臂操作、舱外维护、数据监测三项不同的工作，其中数据监测需要2人负责，机械臂操作与舱外维护各需要1人负责．若甲、乙必须入选且不能从事同一项工作，则不同的安排方案共有（ ） A. 30种 B. 45种 C. 60种 D. 90种 【答案】A 【解析】 【分析】应用分组分配结合分步乘法原理计算求解. 【详解】甲、乙必选，再从剩余3人中选2人，有种方法； 安排4人到3项不同工作，甲、乙不能从事同一项工作，共有种方法， 所以共有种安排方案． 8. 已知数列：1，2，3，…，2026，从中任选三项组成一个新数列，则所有新数列中的最小项之和为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据任意三个不同项可组成个数列，再得出最小项之和结合组合数的性质计算求解. 【详解】由题知，任意三个不同项可组成个数列； 在所有递增的新数列中，以1为最小项的新数列有个， 以2为最小项的新数列有个，以3为最小项的新数列有个， ，以2024为最小项的新数列有个， 此时，所有新数列中的最小项之和为 . 所以所有新数列中的最小项之和为. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知函数，其中是在 处的导数值，则下列结论正确的有（ ） A. B. 的单调递减区间为 C. 的极小值为1 D. 在上的最大值为3 【答案】BCD 【解析】 【分析】先求出导函数得出判断A，进而得出函数单调性及极值判断B，C，最后得出最值判断D. 【详解】函数，，令，则，，故A错误； 函数，则，所以函数的单调递减区间为，故B正确； 函数，则或 ，所以函数的单调递增区间为或， 所以函数的极小值为，故C正确； 由上分析，时，函数单调递增，时，函数单调递减，时，函数单调递增， 所以函数的极大值为，又， 故在上的最大值为3，故D正确. 10. 某社团开展百科知识竞赛答题活动，参与者在 道试题（有 道文史题和 道理科题）中不放回地依次随机抽取 道题作答，设事件 为“第 次抽到理科题”，事件 为“第 次抽到理科题”，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】选项A通过全概率公式按第一次抽取结果分解计算；选项B直接计算两次都抽到理科题的概率；选项C利用条件概率公式代入已知概率求解；选项D根据第一次抽到文史题后剩余理科题的比例直接得出结果. 【详解】由题可得知事件 为“第 次抽到理科题”，则， 选项A：，A选项正确； 选项B：表示两次都抽到理科题，，B选项错误； 选项C：由条件概率公式，C选项正确； 选项D：表示第一次抽到文史题，抽走 道文史题后，剩余题仍剩下 道理科题， 因此，D选项正确. 11. 已知抛物线的焦点为 ，直线与 交于， 两点，与 轴交于点，与直线交于点，为坐标原点，则（） A. 的准线方程为 B. C. 当时，的面积为 D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于选项A，根据抛物线方程求出准线方程；对于选项B，设出直线MN的方程，联立抛物线方程，利用韦达定理和向量的数量积判断是否成立；对于选项C，当时，求出直线方程，联立抛物线方程，利用弦长公式和点到直线的距离公式求出的面积；对于选项D，根据弦长公式和韦达定理进行分析. 【详解】选项A，在抛物线中，，则，所以准线方程为 ，故A错误. 选项B，抛物线的焦点，设，. 联立，消去x可得. 根据韦达定理，，. 则16. 所以0，则，故B正确. 选项C，当时，直线的方程为，即. 联立，消去 可得. 根据韦达定理，，. 则， 点到直线的距离. 所以的面积，故C正确. 选项D，设，因为点在直线上， 联立，消去 可得， ，解得 或 . 所以，解得，， 点是直线与 轴的交点，令，得，所以， 则， ， ， 要验证，即验证： 化简得：， 因为，且. 所以， 所以和同号，即 . 因为， 或 时，，与右边相等， 故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知随机事件 ， 满足，，则______． 【答案】##0.25 【解析】 【详解】因为，，所以． 13. 某公司为评估员工使用人工智能技术辅助办公的能力，随机抽取了该公司n名员工，通过专用系统进行综合评级得出优秀有3人，良好有a人，及格有b人，若从中任选两人则两人都是优秀的概率为．现从中任选3人，记其中优秀的人数为 ，则 的期望________ 【答案】 ## 【解析】 【分析】先利用古典概型概率公式求出总员工数，再根据超几何分布的期望公式计算 的期望. 【详解】从名员工中任选2人，共有种等可能的选法；其中2人均为优秀的选法共种. 由古典概型的概率公式可得，代入组合数表达式化简得. 因为，解得 （负根舍去）. 为从6人中任选3人中的优秀人数，总体中优秀共3人，非优秀共人， 故 服从参数为（总体容量）、（总体中优秀个体数）、（抽取样本量）的超几何分布. 由超几何分布的期望公式，代入参数得. 14. 已知数列的前项和为，且，设为数列的前项和，则=________．（符号表示不超过 的最大整数，例如） 【答案】 【解析】 【分析】根据的关系求出，再放缩得到即可求解． 【详解】 时，，解得， 时，， ， 解得， 时也符合， ，设， ， ，， 又， ，， ， ． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知数列的前项和为，且． （1）求数列的通项公式； （2）已知，数列的前项和为，求当时的最小值． 【答案】（1） （2）16 【解析】 【分析】（1）根据与的关系求解即可. （2）根据（1）求出，再利用对数的性质得到，进而求出的最小值. 【小问1详解】 ， ． ，． 当 时，． 当 时，． 经检验，当 时，也符合此式， ． 【小问2详解】 ， ． 又，，解得． ，的最小值为16． 16. 已知，其中，，， ，且的展开式中各二项式系数的和为256． （1）求n的值及展开式中二项式系数最大的项； （2）求的值． 【答案】（1） ，二项式系数最大项为 （2） 【解析】 【分析】（1）利用二项式系数和为的性质列方程求，再根据偶数次二项展开式中二项式系数最大项为中间项计算对应项； （2）采用赋值法分别求出常数项和所有项的系数和，两式作差得到所求系数和. 【小问1详解】 二项展开式的所有二项式系数之和为，由题意得，解得（）. 因为为偶数，故展开式中二项式系数最大的项为第项. 由二项展开式通项公式（），得 . 【小问2详解】 由（1）知，. 令 ，代入原式得，解得. 令，代入原式得，即 . 因此. 17. 作为江苏省内最高规格的业余足球赛事，苏超联赛自2025年5月开赛以来，凭借“十三太保”城市对抗的独特赛制引发全民热议.为了解观看某场苏超联赛与性别是否有关系，某机构在全市随机抽取了500名居民，其中男性居民与女性居民的人数比为，在抽取的男性居民中，有的人观看了这场苏超联赛，在抽取的女性居民中，有100人没有观看这场苏超联赛. （1）用频率估计概率，样本估计总体，从全市居民中随机抽取1人，试估计此人观看了这场苏超联赛的概率； （2）现定义：，其中 是随机事件，从这500人中任选1人，表示“居民观看了这场苏超联赛”， 表示“居民是女性”，设观看这场苏超联赛与性别的相关程度的一项度量指标，请利用样本数据求出 的值； 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据给定条件确定样本中男性居民与女性居民的人数，再用频率估计概率. （2）利用新定义，结合条件概率的公式计算即可. 【小问1详解】 依题意，样本中男性居民与女性居民的人数分别为300人，200人， 在300名男性居民中，有200人观看了这场苏超联赛， 在200名女性居民中，有100人观看了这场苏超联赛， 因此样本中，观看了这场苏超联赛的频率为， 所以从全市居民中随机抽取1人，估计此人观看了这场苏超联赛的概率为. 【小问2详解】 由（1）得， 因此； 又， 因此，所以. 18. 已知椭圆，，分别为椭圆的左、右焦点，，在椭圆上，且轴，，．直线交椭圆 于 ， 两点，与 关于原点对称， 与 关于 轴对称，直线与 轴的交点为． （1）求椭圆 的标准方程． （2）若过作 轴的垂线，其垂线平分 ． （ⅰ）求证：直线的斜率为定值． （ⅱ）当与的面积相等时，求直线的方程． 【答案】（1） （2）（ⅰ）证明：由题意知，直线的斜率存在，设直线的方程为，，． 联立，消去 并整理，得． 则，即， ，． 如图，过点作轴，则线段平分 ， ，即． 又，， ， ，即， 或． 当时，，此时直线过点，舍去， ．故直线的斜率为定值． （ⅱ）或． 【解析】 【分析】(1)因为椭圆上的点满足，结合已知可得到与和 的关系；又因为轴，所以的横坐标为，代入椭圆方程可得，结合点在椭圆上，联立方程即可求出。 (2)(i)因为过的x轴垂线平分，所以直线和 的斜率互为相反数，设出直线的方程与椭圆方程联立，得到关于 的一元二次方程，结合韦达定理表示出的斜率之和为 ，推导可得直线的斜率。 (ii)先根据 的坐标写出 和的坐标，求出直线 的方程，进而得到点的坐标；再分别写出和的面积表达式，结合面积相等的条件，联立之前得到的直线斜率关系，求解得到直线方程的参数。 【小问1详解】 ， ， ，则． 又轴，， ，即． ，． 点在椭圆上，， ，， 故椭圆 的标准方程为． 【小问2详解】 （ⅰ）略； （ⅱ）解：由（ⅰ）可知，，且，， 直线． 令，得， ． 与的面积相等， ，到直线的距离相等， 与的交点为的中点，且的中点坐标为． ， ， 化简，得，解得． 直线的方程为或． 19. 已知函数． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）证明： 存在唯一的极值点； （3）当恒成立时，证明：． 【答案】（1） （2）证明：， 当时，，， 当时，，单调递减； 当时， ，单调递增， 所以 为函数的唯一极值点且为极小值点； 当时：， 当时，，，所以 ， 所以在上单调递增，无极值点. 当时，， 设，恒成立，所以在上单调递增， 令得，所以， 所以，所以， 设，易知在上单调递增， ， 令，设，， 当时，，单调递减，所以，所以， 而，根据函数零点存在定理可知，存在唯一的， 使得，所以， 当时，，所以， 当时，，所以 ， 故是函数唯一的极值点且为极小值点， 综上所述，存在唯一的极值点且为极小值点； （3）证明：设的极小值点为，由（2）可知在上单调递减，在上单调递增， 所以的最小值为， 又，所以，所以， 若恒成立，则， 令，则，要证， 即证， 设，，，在上单调递减， 所以， 令，则， 令，因为， 仅当时，“”成立，所以单调递增， 所以当时，，单调递增，，所以， 所以， 所以，所以在上单调递增，所以， 所以，所以成立． 【解析】 【分析】（1）求导得到，进而计算，可得到切线斜率，再利用点斜式写出切线方程； （2）对 求导得到，分类讨论分析的单调性和零点情况；进而判断的极值点情况； （3）结合（2）的结论，利用的极小值建立关于 的不等式；先通过不等式求出 的范围，再构造函数，利用函数单调性证明不等式． 【小问1详解】 当时，， 则， 所以，， 所以在点处的切线方程为， 即； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $