1.3 练习2　全集、补集 同步练 2026-2027学年 高中数学高一上学期 人教A版 必修第一册

**基本信息** 聚焦全集与补集，通过基础巩固、综合应用、创新拓展三层设计，实现从概念理解到逻辑推理的递进，培养数学抽象与运算能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|补集定义、简单运算|如第1、2题直接考查补集求解，第10题填空巩固基本概念，夯实基础| |中档|交并补综合、有限与无限集|如第3-5题结合不等式与集合运算，第11题用自然语言描述集合，提升运算推理能力| |提升|抽象关系、应用与新定义|如第7-9题抽象集合关系判断，第15题实际应用，第16题新定义拓扑，发展创新意识与数学表达|

1.3 练习2　全集、补集 1. 已知全集U＝{－1，0，1，2，3}，集合A满足∁UA＝{0，1，3}，则A等于(　 　) A. {0，2} B. {－1，2} C. {－1，0，2} D. {0} 2.设集合U＝{1，2，3，4，5，6}，A＝{1，3，6}，B＝{2，3，4}，则A∩(∁UB)等于(　 　) A. {3} B. {1，6} C. {5，6} D. {1，3} 3. 设全集U＝{x∈N|x≤8}，集合A＝{1， 3， 7}，B＝{2， 3， 8}，则(∁UA)∩(∁UB)等于(　 　) A.{1， 2， 7， 8} B. {4， 5， 6} C. {0， 4， 5， 6} D. {0， 3， 4， 5， 6} 4. (2024·衢州中学高一)已知集合A＝{x|－2x＜6}，∁RB＝{x|x＞4}，则A∩B等于(　 　) A. {x|x＜－3，或x＞4} B. {x|－3＜x＜4} C. {x|x＜－3} D. {x|－3＜x≤4} 5. (2025·浙江阶段练习)设U＝R，已知集合A＝{x|x≥0}，B＝{x|x＞a}，且(∁UA)∪B＝R，则实数a的取值范围是(　 　) A. (－∞，0) B. (－∞，0] C. [0，＋∞) D. (0，＋∞) 6. (2024·杭州十四中高一检测)已知全集U＝R，集合A＝{x|0≤x≤1}，B＝{－1，1，2，4}，那么下图中阴影部分表示的集合为(　 　) A. {－1，4} B. {1，2，4} C. {1，4} D. {－1，2，4} 7. (2025·山东青岛高一检测)已知全集U，集合M，N满足M⊆N⊆U，则下列结论中，正确的是 (　 　) A. M∪N＝U B. (∁UM)∩(∁UN) ＝⌀ C. M∩(∁UN)＝⌀ D. (∁UM)∪(∁UN)＝U 8. (多选)如图所示，U是全集，M，N是U的两个子集，则图中的阴影部分可以表示为(　 　) A. (∁UM)∩(∁UN) B. (∁UM)∩N C. M∪(∁UN) D. N∩∁U(M∩N) 9. (多选)(2024·唐山高一期中)已知集合A＝{x|0＜x＜a}，B＝{x|1＜x＜2}，若A为非空集合，且B⊆(∁RA)，则a的可能取值为(　 　) A. 0　 B. 1 C. 2 D. 10. (2024·上海高考)设全集U＝{1，2，3，4，5}，集合A＝{2，4}，则∁UA＝ 　.  11. 设全集U＝{x|x是三角形}，A＝{x|x是锐角三角形}，B＝{x|x是钝角三角形}，则(∁UA)∩(∁UB)＝　 　.  12. 已知全集U＝R，集合A＝{x|x＞1，或x＜－2}，B＝{x|a≤x≤2a－1}，若(∁UA)∩B＝⌀，则实数a的取值范围是　 　.  13. (2025·云南昆明高一检测)已知集合A＝{x|－1≤x≤4}，B＝{x|x＜1，或x＞5}. (1)若全集U＝R，求A∩B，(∁UA)∩B； (2)若全集U＝A∪B，求A∩(∁UB). 14. 设全集U＝R，集合A＝{x|x2＋4x＋a＝0}，B＝{x|x2＋bx－2＝0}. (1)若集合A中恰有一个元素，求实数a的值； (2)若(∁UA)∩B＝{2}，(∁UB)∩A＝{－3}，求A∪B. 15. 某社区需要招募志愿者进行连续3天的消防安全宣传工作，第一天有19人参加，第二天有13人参加，第三天有18人参加，其中，前两天都参加的有3人，后两天都参加的有4人，则这三天的志愿者总人数最少为　 　.  16. (2024·杭州高一期中) 定义1：通常，我们把一个以集合作为元素的集合称为族.定义2：集合X上的一个拓扑是以X的子集为元素的一个族Γ，它满足以下条件：①⌀和X在Γ中；②Γ的任意子集的元素的并集在Γ中；③Γ的任意有限子集的元素的交集在Γ中. (1)若族P＝{⌀，X}，族Q＝{x|x⊆X}，判断族P与族Q是否为集合X的拓扑? (2)设有限集X为全集，证明：∁X(A1∩A2∩…∩An)＝(∁XA1)∪(∁XA2)∪…∪(∁XAn)(n∈N*，n≥2). 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.3 练习2　全集、补集 1. 已知全集U＝{－1，0，1，2，3}，集合A满足∁UA＝{0，1，3}，则A等于(　B　) A. {0，2} B. {－1，2} C. {－1，0，2} D. {0} 【解析】∵U＝{－1，0，1，2，3}，∁UA＝{0，1，3}，∴A＝{－1，2}. 2.设集合U＝{1，2，3，4，5，6}，A＝{1，3，6}，B＝{2，3，4}，则A∩(∁UB)等于(　B　) A. {3} B. {1，6} C. {5，6} D. {1，3} 【解析】∁UB＝{1，5，6}，A∩(∁UB)＝{1，6}. 3. 设全集U＝{x∈N|x≤8}，集合A＝{1， 3， 7}，B＝{2， 3， 8}，则(∁UA)∩(∁UB)等于(　C　) A.{1， 2， 7， 8} B. {4， 5， 6} C. {0， 4， 5， 6} D. {0， 3， 4， 5， 6} 【解析】∵U＝{0，1，2，3，4，5，6，7，8}，A∪B＝{1，2，3，7，8}， ∴(∁UA)∩(∁UB)＝∁U(A∪B)＝{0，4，5，6}. 4. (2024·衢州中学高一)已知集合A＝{x|－2x＜6}，∁RB＝{x|x＞4}，则A∩B等于(　D　) A. {x|x＜－3，或x＞4} B. {x|－3＜x＜4} C. {x|x＜－3} D. {x|－3＜x≤4} 【解析】∵∁RB＝{x|x＞4}，∴B＝{x|x≤4}.∵A＝{x|－2x＜6}＝{x|x＞－3}， ∴A∩B＝{x|－3＜x≤4}. 5. (2025·浙江阶段练习)设U＝R，已知集合A＝{x|x≥0}，B＝{x|x＞a}，且(∁UA)∪B＝R，则实数a的取值范围是(　A　) A. (－∞，0) B. (－∞，0] C. [0，＋∞) D. (0，＋∞) 【解析】由题设，可得∁UA＝{x|x＜0}，∵(∁UA)∪B＝R，B＝{x|x＞a}，∴a＜0. 6. (2024·杭州十四中高一检测)已知全集U＝R，集合A＝{x|0≤x≤1}，B＝{－1，1，2，4}，那么下图中阴影部分表示的集合为(　D　) A. {－1，4} B. {1，2，4} C. {1，4} D. {－1，2，4} 【解析】由题图知，阴影部分为(∁RA)∩B，而∁RA＝{x|x＜0，或x＞1}，且B＝{－1，1，2，4}，∴(∁RA)∩B＝{－1，2，4}. 7. (2025·山东青岛高一检测)已知全集U，集合M，N满足M⊆N⊆U，则下列结论中，正确的是 (　C　) A. M∪N＝U B. (∁UM)∩(∁UN) ＝⌀ C. M∩(∁UN)＝⌀ D. (∁UM)∪(∁UN)＝U 【解析】全集U，集合M，N满足M⊆N⊆U，绘制Venn图如图所示， 对于A，M∪N＝N，A错误；对于B，(∁UM)∩(∁UN)＝∁U(M∪N)＝∁UN，B错误；对于C，M∩(∁UN)＝⌀，C正确；对于D，(∁UM)∪(∁UN)＝ ∁U(M∩N)＝∁UM，D错误. 8. (多选)如图所示，U是全集，M，N是U的两个子集，则图中的阴影部分可以表示为(　BD　) A. (∁UM)∩(∁UN) B. (∁UM)∩N C. M∪(∁UN) D. N∩∁U(M∩N) 【解析】根据题意可知，阴影中的元素属于集合N但不属于集合M，根据选项知，(∁UM)∩N，N∩∁U(M∩N)符合要求. 9. (多选)(2024·唐山高一期中)已知集合A＝{x|0＜x＜a}，B＝{x|1＜x＜2}，若A为非空集合，且B⊆(∁RA)，则a的可能取值为(　BD　) A. 0　 B. 1 C. 2 D. 【解析】∵A＝{x|0＜x＜a}，A为非空集合，∴∁RA＝{x|x≤0，或x≥a}，且a＞0，而B＝{x|1＜x＜2}，B⊆(∁RA)，∴a≤1.综上，0＜a≤1，B，D正确，A，C错误. 10. (2024·上海高考)设全集U＝{1，2，3，4，5}，集合A＝{2，4}，则∁UA＝{1，3，5}　.  【解析】∵U＝{1，2，3，4，5}，A＝{2，4}，∴∁UA＝{1，3，5}. 11. 设全集U＝{x|x是三角形}，A＝{x|x是锐角三角形}，B＝{x|x是钝角三角形}，则(∁UA)∩(∁UB)＝　{x|x是直角三角形}　.  【解析】根据三角形的分类可知，∁UA＝{x|x是直角三角形或钝角三角形}，∁UB＝{x|x是直角三角形或锐角三角形}，∴(∁UA)∩(∁UB)＝{x|x是直角三角形}. 12. 已知全集U＝R，集合A＝{x|x＞1，或x＜－2}，B＝{x|a≤x≤2a－1}，若(∁UA)∩B＝⌀，则实数a的取值范围是　a＜1，或a＞1　.  【解析】∵A＝{x|x＞1，或x＜－2}，∴∁UA＝{x|－2≤x≤1}.当a＞2a－1，即a＜1 时，B＝⌀，满足题意；当a≤2a－1，即a≥1时，∵(∁UA)∩B＝⌀，∴a＞1，或 2a－1＜－2，可得a＞1，∴实数a的取值范围是a＜1，或a＞1. 13. (2025·云南昆明高一检测)已知集合A＝{x|－1≤x≤4}，B＝{x|x＜1，或x＞5}. (1)若全集U＝R，求A∩B，(∁UA)∩B； (2)若全集U＝A∪B，求A∩(∁UB). 解：(1)∵集合A＝{x|－1≤x≤4}，B＝{x|x＜1，或x＞5}，∴A∩B＝{x|－1≤ x＜1}，∁UA＝{x|x＜－1，或x＞4}，∴(∁UA)∩B＝{x|x＜－1，或x＞5}. (2)由A＝{x|－1≤x≤4}，B＝{x|x＜1，或x＞5}，可得U＝A∪B＝{x|x≤4，或 x＞5}，则∁UB＝{x|1≤x≤4}，∴A∩(∁UB)＝{x|1≤x≤4}. 14. 设全集U＝R，集合A＝{x|x2＋4x＋a＝0}，B＝{x|x2＋bx－2＝0}. (1)若集合A中恰有一个元素，求实数a的值； (2)若(∁UA)∩B＝{2}，(∁UB)∩A＝{－3}，求A∪B. 解：(1)∵集合A中恰有一个元素，∴Δ＝16－4a＝0，解得a＝4. (2)∵(∁UA)∩B＝{2}，∴2∈B，则4＋2b－2＝0，解得b＝－1.∵(∁UB)∩A＝{－3}，∴－3∈A，则9－12＋a＝0，解得a＝3，则A＝{x|x2＋4x＋3＝0}＝{－1，－3}，B＝{x|x2－x－2＝0}＝{－1，2}.检验可知(∁UA)∩B＝{2}，(∁UB)∩A＝{－3}成立，∴A∪B＝{－3，－1，2}. 15. 某社区需要招募志愿者进行连续3天的消防安全宣传工作，第一天有19人参加，第二天有13人参加，第三天有18人参加，其中，前两天都参加的有3人，后两天都参加的有4人，则这三天的志愿者总人数最少为　29　.  【解析】记第一天、第二天、第三天参加的志愿者分别构成集合A，B，C，三天都参加的志愿者人数为x，第一天和第三天都参加的志愿者人数为x＋y，根据题意可作出Venn图如图所示.依题意必有x，y，3－x，14－y均为自然数，∴0≤x≤3，0≤y≤14，故这三天参加的不同志愿者的总人数为19＋(6＋x)＋(4－x)＋(14－y)＝43－y，故当y＝14时，总人数最少，最少为43－14＝29. 16. (2024·杭州高一期中) 定义1：通常，我们把一个以集合作为元素的集合称为族.定义2：集合X上的一个拓扑是以X的子集为元素的一个族Γ，它满足以下条件：①⌀和X在Γ中；②Γ的任意子集的元素的并集在Γ中；③Γ的任意有限子集的元素的交集在Γ中. (1)若族P＝{⌀，X}，族Q＝{x|x⊆X}，判断族P与族Q是否为集合X的拓扑? (2)设有限集X为全集，证明：∁X(A1∩A2∩…∩An)＝(∁XA1)∪(∁XA2)∪…∪(∁XAn)(n∈N*，n≥2). (1)解：族P＝{⌀，X}，族Q＝{x|x⊆X}都是集合X的拓扑. (2)证明：设x∈∁X(A1∩A2∩…∩An)，则x∉(A1∩A2∩…∩An)，故存在整数i(1≤i≤n)，使得x∉Ai，∴x∈∁XAi，得x∈[(∁XA1)∪(∁XA2)∪…∪(∁XAn)]. 设x∈[(∁XA1)∪(∁XA2)∪…∪(∁XAn)]，则存在整数j(1≤j≤n)，使得x∈∁XAj，故x∉Aj， 因此x∉(A1∩A2∩…∩An)，得x∈∁X(A1∩A2∩…∩An)，故∁X(A1∩A2∩…∩An)＝ (∁XA1)∪(∁XA2)∪…∪(∁XAn)(n∈N*，n≥2). 学科网（北京）股份有限公司 $