11.3空间中的平行关系（专项训练）高一数学人教B版必修第四册

**基本信息** 以“漏洞扫描-通法锤炼-能力强化”为框架，系统构建空间平行关系（线线、线面、面面）的方法体系与知识逻辑链，突出几何直观与推理能力培养。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |平行直线与异面直线|概念判断8题+距离计算5题|定义性质记忆+公垂线定位法|从空间平行线传递性、等角定理到异面直线判定，构建线线关系认知基础| |直线与平面的平行|判定证明6题+动点位置4题+长度计算4题|线线平行转化法+比例线段法|以线面平行判定/性质定理为核心，实现线线平行与线面平行的双向转化| |平面与平面的平行|判定证明11题+应用3题|相交直线平行法+交线平行比例法|通过线面平行推导面面平行，形成“线线-线面-面面”三级递进逻辑链|

11.3：空间中的平行关系 内容导航 漏洞扫描 通法锤炼 能力强化 考点查缺 漏洞扫描 精准补漏：系统扫描知识图谱，精准定位知识薄弱环节，实施靶向弥补，夯实基础 题型突破 考点精研 通法锤炼：淬炼以简驭繁的通用解题方法，实现从“会一题”到“通一类”的能力跃迁 融会贯通 实战淬炼 能力强化：打破单一知识点壁垒，强化知识联动与思维迁移，完成高阶能力整合 考点01 平行直线与异面直线 考点一：平行直线与等角定理 1.空间平行线的传递性 ①文字语言：平行于同一条直线的两条直线平行．这一性质叫做空间平行线的传递性． ②符号表述：，作用：证明两条直线平行 2.等角定理 ①文字语言：如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补． ②符号语言：,或 等角定理的两个推论： （1）如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补； （2）如果两条相交直线与另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角（或直角）相等。 作用：判断和证明两个角相等或互补。 考点二：异面直线与空间四边形 1、异面直线的概念：空间中既不平行也不相交的直线。 2、异面直线的画法：为了表示异面直线不共面的特点，作图时，通常用一个或两个平面衬托。 3.空间四边形 顺次连接不共面的四点A、B、C、D所构成的图形，叫做空间四边形． 这四个点中的各个点叫做空间四边形的顶点； 所连接的相邻顶点间的线段叫做空间四边形的边； 连接不相邻的顶点的线段叫做空间四边形的对角线． 题型一：平行直线与异面直线的概念及判断 熟记空间内平行直线与异面直线的定义与性质. 1．（25-26高一下·重庆九龙坡·阶段检测）已知直线，，，下列命题中正确的是（     ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，则，，共面 D．若，异面，，异面，则，异面 2．（25-26高一下·江苏盐城·阶段检测）下列说法错误的有（     ）项 ①经过两条平行直线，有且只有一个平面 ②两两相交且不共点的三条直线确定一个平面 ③如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线 ④当我们停放自行车时，只要将自行车旁的撑脚放下，自行车就稳了，这用到了不共线三点确定平面这一基本事实 ⑤分别和两条异面直线相交的两条不同直线相交 A．0 B．1 C．2 D．4 3．（25-26高一下·黑龙江牡丹江·阶段检测）如图是一个正方体的展开图，若将它还原为正方体，则下列说法中正确的是（    ） ①；②CD与EF是共面直线；③；④GH与EF是异面直线． A．①② B．②③ C．③④ D．①②④ 4．（25-26高一下·河北沧州·阶段检测）如图，在直四棱柱中，直线与的位置关系是（    ） A．异面 B．相交 C．平行 D．以上都有可能 5．（25-26高一下·甘肃张掖·阶段检测）若空间中三条不同的直线a，b，c满足，，则直线b与c（     ） A．可能平行 B．一定相交 C．一定是异面直线 D．一定垂直 6．（25-26高一下·云南楚雄·期中）已知是空间中三条不同的直线，若，则（    ） A． B． C．与相交 D．与是异面直线 7．（25-26高一下·黑龙江鸡西·期中）（多选）如图是一个正方体的展开图，如果将它还原为正方体．那么在下列各线段中，线段所在直线是异面直线的是（     ） A．直线和直线 B．直线和直线 C．直线和直线 D．直线和直线 8．（25-26高一下·全国·课堂例题）四个顶点不在同一平面内的四边形称为空间四边形.如图，在空间四边形中，点分别是边的中点.求证：四边形是平行四边形. 题型二：异面直线间的距离 确定异面直线的公垂线，结合几何体特征进行求解. 1．（2026·甘肃·二模）正四面体的棱长为2，点分别在棱上，则线段长度的最小值为（    ） A．1 B． C． D．2 2．（2025高一下·全国·专题练习）如图是正四面体的平面展开图，DM，CN分别是，的中线，以下说法正确的是（    ） A． B．DM与CN为异面直线 C．若，则异面直线的距离为 D．异面直线与所成角为 3．（24-25高二·上海·课堂例题）两条异面直线之间的距离是（    ） A．和两条异面直线都垂直相交的直线； B．和两条异面直线都垂直的直线； C．它们的公垂线的两个垂足之间的线段长； D．两条直线上任意两点间的距离． 4．（24-25高二·上海·随堂练习）已知正方体的棱长为a，则异面直线与距离是________． 5．（25-26高三下·江西·阶段检测）在正三棱柱中，，，点D是平面ABC上的动点，则的最小值是_________． 考点02 直线与平面的平行 考点1：直线与平面平行的判定定理 文字语言 图形语言 符号语言 线线平行线面平行 如果平面外的一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行 考点2：直线与平面平行的性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 线面平行线线平行 如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行 题型一：直线与平面平行的判定与性质 运用直线与平面平行的判定定理和性质定理，进行判断和证明. 1．（25-26高一下·河北沧州·阶段检测）如图，在三棱锥中，，分别是棱，的中点，则与平面的位置关系为（    ） A．相交 B．平行 C．异面 D．无法判断 2．（26-27高一·全国·暑假作业）如图，在圆锥中，是底面圆的直径，，， 为底面圆上的点，，，是母线的中点．    (1)求证：； (2)求证：平面. 3．（25-26高一下·河北保定·阶段检测）如图，在空间四边形中，，分别是，的中点，，分别是，上的点，且． (1)记平面平面，证明：； (2)证明：三条直线，，交于一点． 4．（25-26高一下·海南·阶段检测）正方体的棱长为2，为棱的中点． (1)求证：平面 (2)设平面平面，求证：； (3)求三棱锥的体积． 5．（25-26高一下·广东广州·期中）如图，在棱长为2的正方体中，，，分别是，，的中点； (1)求证：，，，四点共面 (2)点为的中点，求证：平面 6．（25-26高一下·河北沧州·阶段检测）如图，正方体中，，分别是，的中点.    (1)求证：平面； (2)若，求三棱锥的体积. 题型二：由线面平行判断动点的位置 由线面平行，构造平行线，确定线段的比例关系，进而明确动点的位置. 1．（江苏苏州市2025-2026学年高一下学期期末考试数学试题）如图，在正方体中，已知，分别为棱，的中点，过，，三点的平面交棱于点，设，则（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高一下·福建厦门·期中）在三棱柱中，点M，E分别是棱的中点，点满足，点为棱上的动点，若平面CDE，则（ ） A． B． C． D． 3．（25-26高一下·广东深圳·期中）在三棱柱中，E是棱的中点，D是棱BC上一点，，若平面ADE，则实数的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．（25-26高一下·广东广州·期中）如图，为平行四边形所在平面外一点，为的中点，为上一点，O为AC与BE交点.当平面时，（    ） A． B． B． C． D． 5．（25-26高一下·安徽芜湖·期中）在四棱锥中，底面是平行四边形，E，F分别为棱，上的点，，若平面，则（   ） A． B． C． D． 6．（25-26高一下·福建龙岩·期中）如图，在正方体中，E，F，P分别为棱，，的中点． (1)求证：D，B，F，E四点共面． (2)设平面平面，求证：． (3)棱上是否存在一点M，使平面？若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 题型三：由线面平行求线段长度 1.做辅助线，在平面内构造平行线； 2.得到三角形相似或者中位线； 3.列出比例等式，解方程算出线段长. 1．（25-26高一下·重庆渝北·期中）（多选）在棱长为2的正方体中，点是棱的中点，点在正方形内部（不含边界）运动，若平面，则（    ） A．点的轨迹经过线段的中点 B．点的轨迹长度为 C．直线与直线为异面直线 D．三棱锥的体积为定值 2．（25-26高一下·江苏常州·期中）如图，棱长为2的正方体中，E，F分别为AD，AB的中点，点G在上底面（含边界）上运动，若满足平面，则点G的轨迹长度为________． 3．（25-26高一下·全国·课后作业）如图所示，，是的另一侧的点，，线段分别交于，若，则________，________． 4．（25-26高一下·福建福州·期中）如图所示，一平面四边形与空间四边形对角线都平行，且交空间四边形边分别于． (1)求证：； (2)求证：四边形为平行四边形． (3)若，求平行四边形的周长． 考点03 平面与平面的平行 考点1：平面与平面平行的判定定理 文字语言 图形语言 符号语言 线面平行面面平行 一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行 利用判定定理证明两平面平行的步骤： ①在一个平面内找出两条相交直线； ②证明着两条相交直线分别平行于另一个平面； ③利用平面与平面平行的判定定理得出结论。 考点2： 平面与平面平行的性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 面面平行线线平行 如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行 其余推论 ①两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线都平行于另一个平面． ②夹在两个平行平面间的平行线段相等． ③经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行． ④两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例． ⑤如果两个平面分别平行于第三个平面，那么这两个平面互相平行． 题型一：平面与平面平行的判定与性质 根据平面与平面平行的性质定理和判断定理，进行判断和证明. 1．（25-26高一下·浙江杭州·期末）设，是两个不同的平面，是一条直线，且，则“”是“”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（25-26高一下·广东珠海·期中）（多选）如图，正方体的棱长为6，，，分别为，AD，的中点，则（   ）    A．直线平面 B．平面平面 C．三棱锥的体积为18 D．平面截正方体所得的截面是等腰梯形 3．（25-26高一下·四川遂宁·期中）如图所示，正四棱锥中，为侧棱上靠近点的四等分点，为侧棱的中点. (1)证明：平面； (2)若是侧棱上靠近点的三等分点，求证：平面. 4．（25-26高二下·上海青浦·期末）如图，梯形是圆台的轴截面，，分别在底面圆，的圆周上，为圆台的母线，，已知，，，分别为，的中点． (1)证明：平面平面； (2)若三棱锥的体积为，求圆台的体积． 5．（25-26高一下·陕西西安·期中）如图，已知正方形所在平面和平行四边形所在平面互相垂直，平面平面，M是线段上的一点，且平面．求证： (1)平面平面； (2)M是线段的中点． 6．（25-26高一下·陕西西安·期中）如图，已知正方形所在平面和平行四边形所在平面互相垂直，平面平面，M是线段上的一点，且平面．求证： (1)平面平面； (2)M是线段的中点． 7．（25-26高一下·广东珠海·期中）如图，在正方体中，分别是棱的中点，. (1)求证：平面平面； (2)已知正方体的棱长为2，求平面与平面把正方体分成的三部分的体积之比. 8．（25-26高一下·河北·期中）如图，在三棱锥中，，，分别为侧棱，，上异于端点的点，且． (1)求证：平面平面； (2)在线段上取靠近点的三等分点，连接，则在线段上是否存在点，使，若存在，求出点的位置；若不存在，请说明理由． 9．（25-26高三·全国·一轮复习）如图，该几何体是由半圆锥PO和三棱锥组合而成的，H为半圆弧AB的中点，A，B，C，H四点共面，是边长为10的正三角形，，，在半圆弧AB上取一点F，使得，连接PF，D，E分别为线段PA，PF的中点．证明：平面平面PBC． 10．（24-25高一下·河南焦作·阶段检测）在四棱锥中，底面是平行四边形，点分别是 的中点，平面平面证明： (1) (2)平面EFG∥平面PBC． 11．（25-26高一下·山西运城·期中）如图，在正方体中，为棱的中点，为棱的中点. (1)连接并延长，交平面于点，求证：三点共线； (2)点在棱的延长线上，且，求证：平面平面. 题型二：平面与平面平行的应用 由平面与平面平行得直线与平面平行，进而可得直线与直线平行，列出比例关系，进行求解. 1．（25-26高一下·福建厦门·期中）如图，在长方体中，，点E，F分别为BC，的中点，点P在矩形内运动（包括边界），若平面AEF，则动点P的轨迹长度为（    ）    A． B． C． D． 2．（25-26高二下·江苏南通·阶段检测）如图，在四棱锥中，底面为梯形，其中，平面，且，点为棱的中点． (1)求证：； (2)求证：平面； (3)若为上的动点，则线段上是否存在点，使得平面？若存在，请确定点的位置，若不存在，请说明理由． 3．（25-26高一下·陕西咸阳·期中）如图，四棱锥中，，，分别为线段的中点，与交于O点．    (1)求证：平面； (2)求证：平面平面； (3)设平面交平面于直线l． ①求证：； ②求的值． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 11.3：空间中的平行关系 内容导航 漏洞扫描 通法锤炼 能力强化 考点查缺 漏洞扫描 精准补漏：系统扫描知识图谱，精准定位知识薄弱环节，实施靶向弥补，夯实基础 题型突破 考点精研 通法锤炼：淬炼以简驭繁的通用解题方法，实现从“会一题”到“通一类”的能力跃迁 融会贯通 实战淬炼 能力强化：打破单一知识点壁垒，强化知识联动与思维迁移，完成高阶能力整合 考点01 平行直线与异面直线 考点一：平行直线与等角定理 1.空间平行线的传递性 ①文字语言：平行于同一条直线的两条直线平行．这一性质叫做空间平行线的传递性． ②符号表述：，作用：证明两条直线平行 2.等角定理 ①文字语言：如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补． ②符号语言：,或 等角定理的两个推论： （1）如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补； （2）如果两条相交直线与另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角（或直角）相等。 作用：判断和证明两个角相等或互补。 考点二：异面直线与空间四边形 1、异面直线的概念：空间中既不平行也不相交的直线。 2、异面直线的画法：为了表示异面直线不共面的特点，作图时，通常用一个或两个平面衬托。 3.空间四边形 顺次连接不共面的四点A、B、C、D所构成的图形，叫做空间四边形． 这四个点中的各个点叫做空间四边形的顶点； 所连接的相邻顶点间的线段叫做空间四边形的边； 连接不相邻的顶点的线段叫做空间四边形的对角线． 题型一：平行直线与异面直线的概念及判断 熟记空间内平行直线与异面直线的定义与性质. 1．（25-26高一下·重庆九龙坡·阶段检测）已知直线，，，下列命题中正确的是（     ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，则，，共面 D．若，异面，，异面，则，异面 【答案】B 【详解】对于选项A，在空间中，垂直于同一条直线的两条直线可能平行、相交或异面，例如正方体中交于同一顶点的三条棱两两垂直，但并不都平行，故A错误. 对于选项B，根据空间中平行线的性质，若一条直线垂直于两条平行线中的一条，则必垂直于另一条，故若，则，B正确. 对于选项C，互相平行的三条直线不一定共面，例如三棱柱的三条侧棱互相平行，但它们不共面，故C错误. 对于选项D，若异面，异面，与可能平行、相交或异面，位置关系并不确定，故D错误. 2．（25-26高一下·江苏盐城·阶段检测）下列说法错误的有（     ）项 ①经过两条平行直线，有且只有一个平面 ②两两相交且不共点的三条直线确定一个平面 ③如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线 ④当我们停放自行车时，只要将自行车旁的撑脚放下，自行车就稳了，这用到了不共线三点确定平面这一基本事实 ⑤分别和两条异面直线相交的两条不同直线相交 A．0 B．1 C．2 D．4 【答案】B 【详解】命题①：根据平面基本事实的推论，两条平行直线可确定唯一平面，故①正确； 命题②：两两相交且不共点的三条直线可得到3个不共线的公共点， 由“不共线的三点确定唯一平面”可知三条直线均在该平面内，故②正确； 命题③：根据平面基本事实3，两个不重合的平面若存在公共点， 则必有且仅有一条过该点的公共交线，故③正确； 命题④：“不共线的三点确定一个平面”，自行车两个轮子和撑脚不在一条直线上， 可以确定一个平面，故④正确； 命题⑤：分别与两条异面直线相交的两条不同直线，位置关系可以为异面或相交，并非一定相交， 故⑤错误. 综上，错误的命题共1项. 3．（25-26高一下·黑龙江牡丹江·阶段检测）如图是一个正方体的展开图，若将它还原为正方体，则下列说法中正确的是（    ） ①；②CD与EF是共面直线；③；④GH与EF是异面直线． A．①② B．②③ C．③④ D．①②④ 【答案】D 【分析】利用展开图还原为正方体，找重合的点与重合的棱，根据立体图形判断即可． 【详解】 由图可知，还原正方体后，点C与G重合，点F与B重合，则，故①正确； 可知CD与EF是平行直线，即共面直线，故②正确； AB与EF是相交直线，故③错误；GH与EF是异面直线，故④正确． 4．（25-26高一下·河北沧州·阶段检测）如图，在直四棱柱中，直线与的位置关系是（    ） A．异面 B．相交 C．平行 D．以上都有可能 【答案】A 【详解】在直四棱柱中， 因平面，平面，且，平面， 故直线与为异面直线. 5．（25-26高一下·甘肃张掖·阶段检测）若空间中三条不同的直线a，b，c满足，，则直线b与c（     ） A．可能平行 B．一定相交 C．一定是异面直线 D．一定垂直 【答案】D 【详解】因，即直线所成的角是， 又，则直线所成的角也是 故． 6．（25-26高一下·云南楚雄·期中）已知是空间中三条不同的直线，若，则（    ） A． B． C．与相交 D．与是异面直线 【答案】A 【详解】选项A：因为，，所以； 选项B：由选项A可知，，所以和不垂直； 选项C：由选项A可知，，所以和不相交； 选项D：由选项A可知，，所以和共面. 7．（25-26高一下·黑龙江鸡西·期中）（多选）如图是一个正方体的展开图，如果将它还原为正方体．那么在下列各线段中，线段所在直线是异面直线的是（     ） A．直线和直线 B．直线和直线 C．直线和直线 D．直线和直线 【答案】ABC 【分析】将正方体还原，从而得到线段所在直线是否为异面直线. 【详解】还原为正方体，如下： A选项，直线和直线是异面直线，A正确； B选项，直线和直线是异面直线，B正确； C选项，直线和直线是异面直线，C正确； D选项，直线和直线是相交直线，不是异面直线，D错误. 8．（25-26高一下·全国·课堂例题）四个顶点不在同一平面内的四边形称为空间四边形.如图，在空间四边形中，点分别是边的中点.求证：四边形是平行四边形. 【答案】如图，连接， 因为分别是的中点，所以，， 又分别是的中点，所以，， 所以，， 所以四边形是平行四边形. 【详解】略 题型二：异面直线间的距离 确定异面直线的公垂线，结合几何体特征进行求解. 1．（2026·甘肃·二模）正四面体的棱长为2，点分别在棱上，则线段长度的最小值为（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】B 【详解】如图，将正四面体放于正方体中，使分别为相对两面的对角线， 由于异面直线间公垂线段最短， 当分别为的中点时，易知为的公垂线，且其长度等于正方体的棱长， 由图可知正方体的棱长为， 则线段长度的最小值为. 2．（2025高一下·全国·专题练习）如图是正四面体的平面展开图，DM，CN分别是，的中线，以下说法正确的是（    ） A． B．DM与CN为异面直线 C．若，则异面直线的距离为 D．异面直线与所成角为 【答案】B 【分析】还原成正四面体，利用反证法可判断AB；连接，可证平面，可证，同理可得，计算可判断C；取中点，连接，可得异面直线与所成角为（或其补角），计算求解即可. 【详解】还原成正四面体，如图， 对于AB，假设，则四点共面， 又上， 与共面，从而共面， 这与为正四面体矛盾，故A错误， 假设不异面，则可得共面，记为平面， 又，，所以平面，平面， 故共面，这与为正四面体矛盾，故B正确． 对于C，连接，由三线合一，得， 从而平面，又平面，． 同理可证，为异面直线的公垂线段． 在中，，， ，故C错误． 对于D，取中点，连接， 则//，，//，， 异面直线与所成角为（或其补角）， 在中，，， ， 为等腰直角三角形，异面直线与所成角为，故D错误． 故选：B． 3．（24-25高二·上海·课堂例题）两条异面直线之间的距离是（    ） A．和两条异面直线都垂直相交的直线； B．和两条异面直线都垂直的直线； C．它们的公垂线的两个垂足之间的线段长； D．两条直线上任意两点间的距离． 【答案】C 【分析】根据异面直线的距离定义即可求解. 【详解】由题意，根据异面直线的性质可得，两条异面直线的距离即为它们的公垂线夹在垂足间的线段的长， 故选：C. 4．（24-25高二·上海·随堂练习）已知正方体的棱长为a，则异面直线与距离是________． 【答案】a 【分析】由正方体性质结合异面直线公垂线定义即可得解. 【详解】由正方体性质可知分别与、垂直， 故是与的公垂线段， 所以与之间的距离为. 故答案为：. 5．（25-26高三下·江西·阶段检测）在正三棱柱中，，，点D是平面ABC上的动点，则的最小值是_________． 【答案】/ 【分析】根据“胡不归”模型的概念，将转化为点到面的距离，进而判断最小值时的情况，再根据两角和的正弦公式，即可求出结果. 【详解】当D不在直线AC上时，过点作于H，连接AH，在正三棱柱中， 平面ABC，则，所以平面，， 所以，，所以当取最小值时，D在AC上， 如图所示，将在平面中绕点向下旋转得直线，作， 则，则的最小值等价于的最小值， 过作于，可知， 可知，，所以，，， 则， ，即，解得， 所以，所以的最小值为. 考点02 直线与平面的平行 考点1：直线与平面平行的判定定理 文字语言 图形语言 符号语言 线线平行线面平行 如果平面外的一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行 考点2：直线与平面平行的性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 线面平行线线平行 如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行 题型一：直线与平面平行的判定与性质 运用直线与平面平行的判定定理和性质定理，进行判断和证明. 1．（25-26高一下·河北沧州·阶段检测）如图，在三棱锥中，，分别是棱，的中点，则与平面的位置关系为（    ） A．相交 B．平行 C．异面 D．无法判断 【答案】B 【详解】因为，分别是棱，的中点， 所以， 因为平面，平面， 所以平面. 2．（26-27高一·全国·暑假作业）如图，在圆锥中，是底面圆的直径，，， 为底面圆上的点，，，是母线的中点．    (1)求证：； (2)求证：平面. 【答案】(1)证明：连接，因为，， 所以且，则四边形是平行四边形， 所以. (2)证明：取中点，连接 ， 因为是中点，所以，， 而，，则，， 所以四边形是平行四边形，则， 又平面，平面， 所以平面.   ； 【分析】（1）连接，先证明四边形是平行四边形，进而求证即可； （2）取中点，连接 ，先证明四边形是平行四边形，可得，进而求证即可. 【详解】（1）略 （2）略 3．（25-26高一下·河北保定·阶段检测）如图，在空间四边形中，，分别是，的中点，，分别是，上的点，且． (1)记平面平面，证明：； (2)证明：三条直线，，交于一点． 【答案】(1)证明：在和中， 因为，分别是和的中点，所以，． 又因为，所以，．所以． 因为平面，平面，所以平面． 又因为平面，平面平面，所以． (2)证明：由（1）得，，，所以四边形为梯形． 所以梯形的两腰和相交于一点，设交点为． 因为点，平面，所以点平面，同理点平面． 又因为平面平面，所以点， 所以三条直线，，交于一点． 【详解】（1）略 （2）略 4．（25-26高一下·海南·阶段检测）正方体的棱长为2，为棱的中点． (1)求证：平面 (2)设平面平面，求证：； (3)求三棱锥的体积． 【答案】(1)在正方体中，连接，令，连接， 由四边形为正方形，得是的中点，又是的中点， 则，又平面，平面， 所以平面. (2) 由（1）知：平面，又平面且平面平面， 所以. (3) 【分析】（1）连接，利用线面平行的判定推理得证. （2）由（1）的结论，利用线面平行的性质推理得证. （3）利用等体积法求解. 【详解】（1）略 （2）略 （3）在正方体中，，， ，而点到平面的距离为正方体棱长2， 所以三棱锥的体积． 5．（25-26高一下·广东广州·期中）如图，在棱长为2的正方体中，，，分别是，，的中点； (1)求证：，，，四点共面 (2)点为的中点，求证：平面 【答案】(1)取的中点，连接，连接， 因为是的中点，是的中点， 所以， 因为，所以， 所以，，，四点共面. (2)连接 因为是的中点，点为的中点，所以, 因为，分别是，的中点，所以， 所以， 因为平面，平面， 所以平面. 【分析】（1）利用三角形中位线平行底边和平行的传递性求解. （2）利用三角形的中位线平行底边，平行的传递性，线面平行的判定定理求解. 【详解】（1）略 （2）略 6．（25-26高一下·河北沧州·阶段检测）如图，正方体中，，分别是，的中点.    (1)求证：平面； (2)若，求三棱锥的体积. 【答案】(1)如图，连接，，则既是的中点，也是的中点 .因为是的中点， 所以，因为平面，平面， 所以平面 (2) 【分析】（1）由线面平行的判定定理进行证明； （2）由进行求解． 【详解】（1）略 （2）正方体的棱长为2，到平面的距离为， ， 所以 题型二：由线面平行判断动点的位置 由线面平行，构造平行线，确定线段的比例关系，进而明确动点的位置. 1．（江苏苏州市2025-2026学年高一下学期期末考试数学试题）如图，在正方体中，已知，分别为棱，的中点，过，，三点的平面交棱于点，设，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】延长交的延长线于点，连接交于点，利用相似三角形的性质求解线段长度比. 【详解】 延长交的延长线于点，连接，如图所示. 因为为的中点，且在正方体中， 所以， 所以. 设正方体的棱长为1，则. 因为为平面与棱的交点，且均在平面与平面的交线上， 所以三点共线. 在平面中，过点作于点， 因为为的中点，所以为的中点， 且，. 因为，所以， 所以， 所以， 所以. 又，所以. 因为，所以，解得. 2．（25-26高一下·福建厦门·期中）在三棱柱中，点M，E分别是棱的中点，点满足，点为棱上的动点，若平面CDE，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，，先通过线面平行得到线线平行，证明四边形是平行四边形，求出，再通过梯形的中位线得到，从而找到，即. 【详解】如图所示，在平面内，作，与交于，连接,则,所以，共面，因为平面CDE，平面平面CDE,由线面平行的性质定理得,所以四边形是平行四边形，所以， 设，，因为，所以，则，因为E是棱的中点，所以， 因为是梯形的中位线，所以，所以，所以，所以. 3．（25-26高一下·广东深圳·期中）在三棱柱中，E是棱的中点，D是棱BC上一点，，若平面ADE，则实数的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】连接，利用线面平行的性质及平行线分线段成比例定理列式求解. 【详解】在三棱柱中，E是棱的中点，连接，连接， 由平面，平面平面，平面， 得，所以. 4．（25-26高一下·广东广州·期中）如图，为平行四边形所在平面外一点，为的中点，为上一点，O为AC与BE交点.当平面时，（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由直线与平面平行性质可得：为使//平面，则//，据此可得答案. 【详解】若//平面，因平面，平面平面，则//，从而. 5．（25-26高一下·安徽芜湖·期中）在四棱锥中，底面是平行四边形，E，F分别为棱，上的点，，若平面，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由线面平行的性质定理，和线线平行，线段对应成比例，即可求解. 【详解】 连接，与交于点，连接，交于G，连接， 由于平面，平面，平面平面， 所以，由于O是的中点， 所以， 过F作，交于H，则， 因为，所以， 所以. 6．（25-26高一下·福建龙岩·期中）如图，在正方体中，E，F，P分别为棱，，的中点． (1)求证：D，B，F，E四点共面． (2)设平面平面，求证：． (3)棱上是否存在一点M，使平面？若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)存在， 【分析】（1）应用平行四边形得出，进而得出线线平行即可证明； （2）应用线面平行判定定理得出平面，再应用线面平行性质定理证明； （3）先证明四边形为平行四边形，得出，再应用线面平行判定定理证明； 【详解】（1）证明：连接． 因为，分别为棱，的中点， 所以，又在正方体中，且， 所以四边形为平行四边形，所以，所以， 所以，，，四点共面． （2）证明：由（1）知，又平面，平面， 所以平面． 因为平面平面，平面，所以． （3）存在，且． 理由如下：取的中点，连接，． 因为，分别为，的中点， 所以，， 又，，所以，， 所以四边形为平行四边形，所以． 设为的中点，所以，所以， 又平面，平面，所以平面． 故存在所求的点，且． 题型三：由线面平行求线段长度 1.做辅助线，在平面内构造平行线； 2.得到三角形相似或者中位线； 3.列出比例等式，解方程算出线段长. 1．（25-26高一下·重庆渝北·期中）（多选）在棱长为2的正方体中，点是棱的中点，点在正方形内部（不含边界）运动，若平面，则（    ） A．点的轨迹经过线段的中点 B．点的轨迹长度为 C．直线与直线为异面直线 D．三棱锥的体积为定值 【答案】ACD 【分析】取的中点，连接，根据条件可得点的轨迹为线段（不含端点），即可判断出A和B的正误；对C：根据异面直线的判定定理分析判断；对D，利用等体积法，即可求解. 【详解】如图，取的中点，连接，，则， 且平面，平面，所以平面. 又因为是中点，则， 且平面，平面，所以平面， 又平面，所以平面平面. 又平面，则平面，又点在正方形内部（不含边界）运动，且平面平面， 所以点的轨迹为线段（不含端点）. 对于A，连接，由正方体的性质易知与相交，且交点为的中点，所以A正确； 对于B，因为，所以点的轨迹长度为，故B错误； 对于C，因为平面，平面，， 所以直线与直线为异面直线，故C正确； 对于D，因为平面，点是棱的中点， 则，所以D正确； 2．（25-26高一下·江苏常州·期中）如图，棱长为2的正方体中，E，F分别为AD，AB的中点，点G在上底面（含边界）上运动，若满足平面，则点G的轨迹长度为________． 【答案】 【分析】取，，，的中点分别为，，，，连接，，，，，，，可证明平面，点在平面内，进而可得点在面与面的交线上，即可求解. 【详解】取，，，的中点分别为，，，， 连接，，，，，，， 因为，分别为，的中点， 所以，同理可得， 因为，， 所以四边形是平行四边形，可得， 所以，同理可证，， 所以，，，，，共面， 因为，面，面， 所以平面， 若平面，则点在平面内， 又因为点在上底面（含边界）， 所以点在面与面的交线上， 所以点在线段上， 又正方体的棱长为2，所以，则， 故点轨迹长度为. 3．（25-26高一下·全国·课后作业）如图所示，，是的另一侧的点，，线段分别交于，若，则________，________． 【答案】 9， 【分析】根据点的位置关系求出线段 AC 的长度；利用线面平行的性质定理得到，利用对应边成比例即可求出 EG 的长度. 【详解】在平面的下方，是与平面的交点，在直线上，因此线段， 因,，故三点可确定平面 ，平面 ,且，平面与平面,故. 则有，即有 ，代入，解得 . 4．（25-26高一下·福建福州·期中）如图所示，一平面四边形与空间四边形对角线都平行，且交空间四边形边分别于． (1)求证：； (2)求证：四边形为平行四边形． (3)若，求平行四边形的周长． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析； (3)2. 【分析】（1）根据给定条件，利用线面平行的性质推理得证. （2）由（1）的结论，结合平行公理推理得证. （3）利用平行线分线段成比例定理计算得解. 【详解】（1）依题意，平面，平面平面，面， 所以. （2）由（1）知，同理，则，同理， 所以四边形为平行四边形. （3）由为上一点，令，由，得， 则，同理， 所以的周长为. 考点03 平面与平面的平行 考点1：平面与平面平行的判定定理 文字语言 图形语言 符号语言 线面平行面面平行 一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行 利用判定定理证明两平面平行的步骤： ①在一个平面内找出两条相交直线； ②证明着两条相交直线分别平行于另一个平面； ③利用平面与平面平行的判定定理得出结论。 考点2： 平面与平面平行的性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 面面平行线线平行 如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行 其余推论 ①两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线都平行于另一个平面． ②夹在两个平行平面间的平行线段相等． ③经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行． ④两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例． ⑤如果两个平面分别平行于第三个平面，那么这两个平面互相平行． 题型一：平面与平面平行的判定与性质 根据平面与平面平行的性质定理和判断定理，进行判断和证明. 1．（25-26高一下·浙江杭州·期末）设，是两个不同的平面，是一条直线，且，则“”是“”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】由面面平行的判定定理与性质定理判断充分性和必要性即可． 【详解】先验证充分性：当且时，若与相交，则得到与两平面交线平行， 故不一定成立，即充分性不成立； 再验证必要性：当且时，，必要性成立． 综上，在给定条件下，“”是“”的必要不充分条件． 2．（25-26高一下·广东珠海·期中）（多选）如图，正方体的棱长为6，，，分别为，AD，的中点，则（   ）    A．直线平面 B．平面平面 C．三棱锥的体积为18 D．平面截正方体所得的截面是等腰梯形 【答案】ACD 【分析】对于A，取的中点，证明平面平面从而证明直线平面；对于B，由A知平面，经过的平面有且仅有一个平行于平面，即可判断；对于C，根据即可判断；对于D，根据可确定截面为梯形，再证明即可判断. 【详解】对于A，取的中点，连接，，，    则四边形为平行四边形， 所以，又平面BMN，平面， 所以平面， 因为点，为，的中点，所以，又，所以， 由，平面，平面，所以平面， 又，平面，所以平面平面， 因为平面，所以平面，故A正确； 对于B，由A可知，平面， 经过的平面有且仅有平面平面， 因为平面与平面不是一个平面，故B错误； 对于C，，故C正确； 对于D，如图，连接，，由四边形为平行四边形得， 因为，所以，所以，，，四点共面， 所以平面BMN截正方体所得的截面是梯形， 由题意得，，所以梯形为等腰梯形，故D正确.    3．（25-26高一下·四川遂宁·期中）如图所示，正四棱锥中，为侧棱上靠近点的四等分点，为侧棱的中点. (1)证明：平面； (2)若是侧棱上靠近点的三等分点，求证：平面. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）根据线面平行的判定定理，结合中位线证得平面. （2）通过证明平面平面，证得平面. 【详解】（1）如图： 连接，交于，连接， 由于分别是的中点，所以， 由于平面，平面， 所以平面. （2）连接，由于，所以， 由于平面，平面， 所以平面. 由于平面,平面， 所以平面平面， 由于平面，所以平面. 4．（25-26高二下·上海青浦·期末）如图，梯形是圆台的轴截面，，分别在底面圆，的圆周上，为圆台的母线，，已知，，，分别为，的中点． (1)证明：平面平面； (2)若三棱锥的体积为，求圆台的体积． 【答案】(1)∵在梯形中，，， ∴，， 又G为的中点，∴，∴， 故四边形为平行四边形，∴. 又平面，平面， ∴平面. ∵分别是，的中点， ∴. 又平面，平面， ∴平面. 又，平面，平面， ∴平面平面. (2) 【分析】（1）由题意可证得平面，平面，进而可证得结论； （2）由三棱锥体积以及的面积，可得圆台的高，利用圆台的体积公式可得答案. 【详解】（1）略 （2）设由（1）可知，则为三棱锥的高h. 故， 由，可得， ∴. 又∵，， ∴. 故， ∴. 故圆台的体积. 5．（25-26高一下·陕西西安·期中）如图，已知正方形所在平面和平行四边形所在平面互相垂直，平面平面，M是线段上的一点，且平面．求证： (1)平面平面； (2)M是线段的中点． 【答案】(1)在正方形中，在平行四边形中， ∵平面，平面，且平面，平面， ∴平面，平面， 又∵平面，平面，且， ∴平面平面. (2)取与交点为，则，连接. ∴平面平面， ∵平面，且平面， ∴，在平行四边形中， ∴四边形为平行四边形，∴， ∴M是线段的中点. 【分析】（1）由线线平行得到线面平行，从而证明面面平行； （2）由线面平行的性质得到线线平行，借助平行四边形的性质即可得证. 【详解】（1）略 （2）略 6．（25-26高一下·陕西西安·期中）如图，已知正方形所在平面和平行四边形所在平面互相垂直，平面平面，M是线段上的一点，且平面．求证： (1)平面平面； (2)M是线段的中点． 【答案】(1)在正方形中，在平行四边形中， ∵平面，平面，且平面，平面， ∴平面，平面， 又∵平面，平面，且， ∴平面平面. (2)取与交点为，则，连接. ∴平面平面， ∵平面，且平面， ∴，在平行四边形中， ∴四边形为平行四边形，∴， ∴M是线段的中点. 【分析】（1）由线线平行得到线面平行，从而证明面面平行； （2）由线面平行的性质得到线线平行，借助平行四边形的性质即可得证. 【详解】（1）略 （2）略 7．（25-26高一下·广东珠海·期中）如图，在正方体中，分别是棱的中点，. (1)求证：平面平面； (2)已知正方体的棱长为2，求平面与平面把正方体分成的三部分的体积之比. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）连接，得到，证得平面和平面，结合面面平行的判定定理，即可证得平面平面. （2）求得正方体体积为，利用锥体和台体的体积公式，分别求得三棱锥的体积为和三棱台的体积为，得到夹在平面与平面之间的几何体的体积，即可求解. 【详解】（1）证明：连接，因为分别是棱的中点， 所以， 因为平面，平面DBEF，所以平面； 连接，则，且， 可得四边形为矩形，所以， 又因为平面，平面，所以平面， 因为，且平面， 所以平面平面. （2）解：由正方体的棱长为2，可得正方体体积为, 三棱锥的体积为, 三棱台的体积为 则夹在平面与平面之间的几何体的体积为, 所以平面与平面把正方体分成的三部分的体积之比为：. 8．（25-26高一下·河北·期中）如图，在三棱锥中，，，分别为侧棱，，上异于端点的点，且． (1)求证：平面平面； (2)在线段上取靠近点的三等分点，连接，则在线段上是否存在点，使，若存在，求出点的位置；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明：在中，因为，所以， 因为平面，平面，所以平面； 同理可证得平面， 又因为，，平面， 所以平面平面． (2)存在，点是线段上靠近点的三等分点． 【分析】（1）根据题意证明平面，平面，再结合面面平行的判定定理即可证明； （2）连接，显然与相交，设交点为，进而结合面面平行的性质定理得，再结合几何关系即可求得点是线段上靠近点的三等分点. 【详解】（1）略 （2）解：存在．点是线段上靠近点的三等分点． 理由如下： 连接，显然与相交，设交点为． 由（1）知平面平面， 又平面平面，平面平面， 所以． 所以在线段上存在点，使得． 由可得，且． 设， 如图，在平面内，有，即，， 又因为， 所以有， 所以点是线段上靠近点的三等分点． 9．（25-26高三·全国·一轮复习）如图，该几何体是由半圆锥PO和三棱锥组合而成的，H为半圆弧AB的中点，A，B，C，H四点共面，是边长为10的正三角形，，，在半圆弧AB上取一点F，使得，连接PF，D，E分别为线段PA，PF的中点．证明：平面平面PBC． 【答案】因为D，E分别为线段PA，PF的中点，则， 又因为，则， 且平面PBC，平面PBC，可得平面PBC， 因为O，D分别为线段AB，PA的中点，则， 且平面PBC，平面PBC，可得平面PBC， 且OD，平面ODE，， 所以平面平面PBC 【分析】根据题意可得，，结合线面平行的判定定理可得平面PBC，平面PBC，即可得面面平行. 【详解】略 10．（24-25高一下·河南焦作·阶段检测）在四棱锥中，底面是平行四边形，点分别是 的中点，平面平面证明： (1) (2)平面EFG∥平面PBC． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）连接，利用线面平行的判定得到平面，再利用线面平行的性质推理得证. （2）利用线面平行的判定、面面平行的判定推理得证. 【详解】（1）在四棱锥中，连接，由底面是平行四边形， 可得是的中点， 而是的中点，则， 又平面，平面，则平面， 而平面平面，平面，所以 （2）由G，F分别是PA，AC的中点，得， 又平面，平面，则平面． 由（1）知，又平面，平面，则平面， 又因为，，平面， 所以平面平面. 11．（25-26高一下·山西运城·期中）如图，在正方体中，为棱的中点，为棱的中点. (1)连接并延长，交平面于点，求证：三点共线； (2)点在棱的延长线上，且，求证：平面平面. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【详解】（1）点直线，直线平面，所以点平面. 又因为点平面，所以点为平面与平面的公共点， 又因为平面平面，故点在直线上. 故三点共线. （2）取的中点，连接， 因为为棱的中点，所以， 又因为，所以. 又，所以四边形为平行四边形， 所以. 因为， 所以四边形为平行四边形， 所以，所以， 又因为平面平面，所以平面. 因为， 所以四边形为平行四边形，所以， 又因为平面平面，所以平面. 又因为平面，平面， 所以平面平面. 题型二：平面与平面平行的应用 由平面与平面平行得直线与平面平行，进而可得直线与直线平行，列出比例关系，进行求解. 1．（25-26高一下·福建厦门·期中）如图，在长方体中，，点E，F分别为BC，的中点，点P在矩形内运动（包括边界），若平面AEF，则动点P的轨迹长度为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用面面平行得到轨迹的长度求解即可. 【详解】取的中点，的中点，连接，，， 根据长方体的结构特征，易得，， 因为平面，平面， 故平面，同理平面， 又，，平面， 所以平面平面，又平面，且面， 所以平面，即点在平面与平面的交线上， 因为，所以， 所以，所以动点的轨迹长度为.    2．（25-26高二下·江苏南通·阶段检测）如图，在四棱锥中，底面为梯形，其中，平面，且，点为棱的中点． (1)求证：； (2)求证：平面； (3)若为上的动点，则线段上是否存在点，使得平面？若存在，请确定点的位置，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)因为平面，平面，且平面平面， 根据线面平行的性质定理，可得：. (2)取的中点，连接.如图： 因为是中点，所以是的中位线，得，且. 由题设，结合（1）中，可得 且， 因此四边形是平行四边形，得. 又平面，平面， 根据线面平行的判定定理，可得：平面. (3)线段上存在点，当是中点时，平面.理由如下： 由，，可得且， 因此四边形是平行四边形，得. 又平面，平面，所以平面. 结合（2）的结论平面，且，平面， 根据面面平行的判定定理，可得平面平面. 因为是上动点，平面， 根据面面平行的性质，可得平面. 因此，线段上存在点，当为中点时满足平面. 【分析】（1）直接由线面平行的性质定理可得； （2）取的中点，构造平行四边形，再由线面平行的判定定理可得； （3）取的中点，由已知条件可得四边形是平行四边形，进而可得 平面，再结合（2）的结论及面面平行的判定定理可得平面，再由面面平行的性质可得. 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 3．（25-26高一下·陕西咸阳·期中）如图，四棱锥中，，，分别为线段的中点，与交于O点．    (1)求证：平面； (2)求证：平面平面； (3)设平面交平面于直线l． ①求证：； ②求的值． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)①证明见解析；② 【分析】（1）利用中位线可证，利用线面平行判定定理证明结论； （2）利用中位线可证,结合空间平行关系的转化可证面面平行； （3）①利用线面平行推出线线平行；②根据已知条件推出底面及高的比，再根据四面体体积公式计算求解． 【详解】（1）证明：连接EC，   ，， ，， 四边形是平行四边形， O为的中点， 又F是的中点， ， 又平面，平面， 平面BEF． （2）证明：F，H分别是的中点， ， 又平面PAD，平面PAD， 平面PAD， 又O是的中点，H是的中点， ，平面，平面， 平面， 又在平面内相交于点H， 平面平面． （3）①证明：，平面，平面， 平面， 又平面，平面平面直线l， ． ②且， ， 又E，H分别为的中点， ，且三棱锥与三棱锥高之比为， ． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $