8.5 空间直线、平面的平行（分层作业，7大知识点）高一数学人教A版必修第二册

学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 8.5空间直线、平面的平行 基础达标题 知识点一基本事实4与等角定理的应用 知识点一直线与平面平行的判定 知识点二线面平行性质定理的应用 空间直线、平面的平行 能力提升题 知识点三平面与平面平行的判定 知识点四面面平行性质定理的应用 知识点一平行条件下的动点探究问题 拓展培优题 知识点二空间平行关系的综合应用 基础达标题 知识点一 基本事实4与等角定理的应用 1.如图所示，在三棱锥S-MNP中，E,F,G,H分别是棱SN,SP,MN,MP的中点，则EF与HG 的位置关系是() S E G A.平行 B.相交 C.异面 D.平行或异面 2.如图，已知直线a,b为异面直线，A,B,C为直线a上三点，D,E,F为直线b上三点，A,B,C ,D,E分别为AD,DB,BE,EC,CF的中点若∠A'B'C'=I20°，则∠CD'E'= A B B 3.(24-25高一下·河北沧州期中)如图所示，ABC和△A'B'C'的对应顶点的连线AA',BB',CC'交于同 -a0,且8品0} Vo-ABC= 1/12 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 A B 4.(23-24高一下·内蒙古赤峰·月考)如图，E,E分别为长方体ABCD-A'B'CD'的棱AD,A'D'的中点 D E A B D (I)求证∠BEC=∠BEC', (②)当长方体每条棱都相等时，求该几何体与其外接球的体积之比 B 能力提升题 知识点一直线与平面平行的判定 1.(24-25高一下·河南许昌·月考)某建筑物模型的外观是如图所示的直三棱柱 ABC-AB,C,AB⊥AC,AB=4米，AC=3米，AA=4米 A D C B B (1)现需使用油漆对该模型的表面（含底面ABC)进行涂层，油漆费用为每平方米20元，求总费用； (2)若D是AC的中点，证明：AB/1平面B,CD 2.(24-25高一下广东惠州期中)如图，在边长为2的正方体ABCD-A,B,C,D,中，E为DD,中点， 2/12 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 D C A B E A B (1)证明：BD/1平面AEC; (2)求三棱锥E-ADC的体积. 3.(24-25高一下山东烟台·月考)如图，在正方体ABCD-A,B,C,D1中，A4,=4,E、F、G分别为CD、 CC、BB,中点 A D B G F ‘A1 B (I)求三棱锥C-BEF的表面积； (2)求证：DGI/平面BEF. 4.(24-25高一下.甘肃武威期中)如图，棱长为4的正方体ABCD-A,B,C,D外一点E在B,4的延长线上， 连接DE、DE、AE,已知M为B,E的中点，N为DD的中点. 3/12 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B D W B C D E (I)证明：MN/平面EBD; (2)若A,E=8,求MN的长度 知识点二线线平行性质定理的应用 1.(24-25高一下.四川成都·月考)（多选）已知a,b,c为三条直线，a,B为两个平面，下列命题为假命题的 是() A.若a/1b,bca,则a/1a B.若a/1a,b/1a,则a/b C.若a11B,aca,bcB,则a11b D.若oa/1β，aca,则a/1B 2.(2425高一下·广东广州期中)如图，P为平行四边形ABCD所在平面外一点，E为AD的中点，F为 PC上一点，当PAI1平面EBF时，CE =() D A. B. 3 3-2 C.2 D. 3.(25-26高二上黑龙江鸡西·开学考试)如图，四棱锥S-ABCD的所有棱长都为2，E为线段SA的中点， 过C,D,E三点的平面与SB交于点F,则四边形DEFC的周长为 4/12 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 S E D B 4.(24-25高一下·安徽蚌埠·期中)如图，在四棱锥P-ABCD中，BC1∥AD,AD=2BC,点E是棱PD的 中点，PC与平面ABE交于F点，设CP=1CF,则1=() E A.3 B.2 c D. 知识点三平面与平面平行的判定 1.(24-25高一下广西玉林·月考)如图，在长方体ABCD-4B,CD,中，E为CC的中点. D D B (I)求证：AC∥平面BDE; (2)当点F在棱DD,的中点时，求证：平面AC,F∥平面BDE. 2.(24-25高一下·福建莆田月考)如图，己知圆锥的母线长为2，底面圆的半径为1，点A,B,C为底面圆的 三等分点，P,M,N分别是OA,OB,OC的中点 5/12 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 A B (I)求证：平面PMNI∥平面ABC (2)求三棱锥A-CMB的体积 3.(24-25高一下河北雄安·月考)如图，在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD是梯形，BC∥AD, AD=3BC,E、F分别是棱PD、AD上的点，且DF=2BC,DE=2PE, B (1)证明：平面PAB∥平面CEF; (2)记多面体PABCEF的体积为V,三棱锥E-CDF的体积为V,求 的值 4.(24-25高一下·四川成都月考)如图所示，三棱柱ABC-AB,C1,D是BC的中点，D是B,C的中点.求 证： C B D 6/12 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (1)AB∥平面AC,D; (2)平面A,BD∥平面ACD. 知识点四面面平行性质定理的应用 1.(24-25高一下山西月考)如图，在三棱柱ABC-A,B,C,中，E,F分别为AB,AC的中点，平面EB,C,F 将三棱柱分成体积为V,两部分，则”：'2=() A B V F E B A.1:1 B.4:3 C.6:5 D.7:5 2.(24-25高一下·湖北荆州月考)如图，在棱长为2的正方体ABCD-A,B,CD,中，E、F分别为AB,、 BC的中点，则过点E、F、D的平面与侧面BCC,B,的交线长为() A C R A. v13 B. 5 C.v5 3 6 2 D.2 3.(24-25高一下·福建莆田期中)己知平面α/平面B,点P是平面a,B外一点（如图所示），且直线 PB,PD分别与a,B相交于点A,B,C,D,若PA=6,AB=2,BD=12,则AC= 7/12 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 a B 4.(24-25高一下·浙江宁波·期中)如图，己知圆台OO,的轴截面为等腰梯形ABB,A,满足AB=4,A,B,=2, 点C为AB(不包括端点)上一点，M为线段BC的中点， A B --1 (I)证明：B,M∥平面A,AC; (②)若圆台00的体积为75元 2π，求圆台OO1的表面积. 3 拓展培优题 知识点一平行条件下的动点探究问题 1.(24-25高一下·河南濮阳·月考)如图所示正四棱锥S-ABCD,SA=SB=SC=SD=2,AB=√2，P为侧 棱SD上的点.且SP=3PD,求： (I)设平面SBC平面SAD=I,求证：1IWBC; 8/12 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (②侧棱SC上是否存在一点E,使得BE∥平面PAC若存在，求S 的值；若不存在，试说明理由. EC 2.(24-25高一下·重庆期中)如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD为平行四边形，E,F分别为棱AB, PC上的点，且AE=2EB,FC=2PF B (I)求证：BF∥平面PDE; 2在棱AD上是否存在点G,使得PG∥平面BDF?若存在求出1C的值，若不存在，说明理由 DG 3.(2425高一下云南昆明期中)如图所示，在四棱锥P-ABCD中，在底面A8CD中，BC=2AD,E在 棱PD上且PE=2ED D D B (I)求证：BC∥平面PAD: 2线段AD上是否存在点N,使得平面CEN∥平面PAB?若存在，写出的值，若不存在，请说明理由， AD 9/12 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 4.(24-25高一下·福建厦门期中)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，点E,F分别为 AD,PC的中点. E B (1I)证明：DF/1平面PBE: 存在点G,使得平面DFG平面PBE？?若存在，求出C的值；老 知识点二空间平行关系的综合应用 1.(24-25高一下·甘肃兰州月考)如图，点C是以AB为直径的圆O上异于A,B的点，P为平面ABC外一 点，E,F分别是PC,PB的中点，记平面AEF与平面ABC的交线为直线1. E B (I)求证：直线EF∥平面ABC; (2)求证：直线W平面PBC. 10/12 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 2.(24-25高一下·重庆南岸期中)如图，四边形ABCD是平行四边形，点E,F,G分别为线段BC,PB,AD的 中点. 二=B -- E (1)证明：EF/平面PAC; (2)若AE∩BD=N,CG∩BD=M,证明：FNI/PM. 3.(24-25高一下·福建厦门期中)如图，正方体ABCD-A,B,CD,中，M,N,E,F分别是AB,AD, B,C1,CD的中点. D F C A M D B (I)求证：E,F,B,D四点共面； (2)求证：平面AMNI/平面EFDB; (3)画出平面BNF与正方体侧面的交线（不必说明）. 11/12 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 4.(24-25高一下山东·期中)如图，四边形ABCD是平行四边形，点P是平面ABCD外一点 D (I)求证：BC/平面PAD; (2)已知M,N分别是PC,AB的中点，在DM上取一点G,过G和AP作平面交平面BDM于HG, i)求证：API/HG; (i)求证：MN/1平面PAD 12/12 8.5 空间直线、平面的平行 知识点一 基本事实4与等角定理的应用 1．如图所示，在三棱锥中，，，，分别是棱，，，的中点，则与的位置关系是（    ） A．平行 B．相交 C．异面 D．平行或异面 【答案】A 【解析】因为，分别是棱，的中点，所以 因为，分别是棱，的中点，所以 所以.故选：A. 2．如图，已知直线，为异面直线，为直线上三点，，，为直线上三点，，，，，分别为，，，，的中点.若，则______. 【答案】 【解析】因为，分别是，的中点， 所以， 同理，，， 所以，． 又的两边和的两边的方向都相同， 所以， 所以. 3．（24-25高一下·河北沧州·期中）如图所示，和的对应顶点的连线，，交于同一点，且，则__________． 【答案】 【解析】因为，所以，，， 又平面，平面，所以平面， 同理可证平面， 又，平面，所以平面平面， 且三棱锥和三棱锥高之比也为， 由等角定理得，， 所以， 由， 可得， 所以. 4．（23-24高一下·内蒙古赤峰·月考）如图，，分别为长方体的棱，的中点. (1)求证， (2)当长方体每条棱都相等时，求该几何体与其外接球的体积之比. 【答案】(1)证明见解析；(2) 【解析】（1）如图所示，连接， 是长方体，，分别为棱，的中点， 由长方体的性质可知且 ， 四边形都是平行四边形， ， 又因为角的两边与，与方向相同， 所以由等角定理可知，； （2）当长方体每条棱都相等时，长方体变为正方体. 设正方体的棱长为， 正方体的外接球的直径等于正方体的体对角线长， 所以，即. 所以正方体的体积， 球的体积， 所以该几何体（正方体）与其外接球的体积之比为. 知识点一 直线与平面平行的判定 1．（24-25高一下·河南许昌·月考）某建筑物模型的外观是如图所示的直三棱柱米，米，米. (1)现需使用油漆对该模型的表面（含底面ABC）进行涂层，油漆费用为每平方米20元，求总费用； (2)若D是的中点，证明：平面. 【答案】(1)元；(2)证明见解析 【解析】（1）因为直三棱柱中，，所以 所以，， 所以直三棱柱的表面积为平方米. 所以所需油漆总费用为元. （2）如图，连接交于点F，连接DF， 则F为矩形对角线的交点，. 又点D为的中点，所以， 因为平面平面，所以平面. 2．（24-25高一下·广东惠州·期中）如图，在边长为的正方体中，为中点， (1)证明：平面； (2)求三棱锥的体积． 【答案】(1)证明见解析；(2). 【解析】（1）在边长为的正方体中，设，交于点，连结， 是中点，而为中点，则， 又平面，平面，所以平面. （2）在边长为的正方体中，平面， 所以三棱锥的体积为． 3．（24-25高一下·山东烟台·月考）如图，在正方体1中，，E、F、G分别为、、中点. (1)求三棱锥的表面积； (2)求证：平面. 【答案】(1)16；(2)证明见解析. 【解析】（1）在正方体中，，两两垂直， 由分别为的中点，得，， 等腰底边上的高， 所以三棱锥的表面积 . （2）连接，，连接， 由是正方形对边中点，得四边形是矩形，则是的中点， 而是的中点，因此，而平面，平面， 所以平面. 4．（24-25高一下·甘肃武威·期中）如图，棱长为4的正方体外一点在的延长线上，连接、、，已知为的中点，为的中点. (1)证明：平面； (2)若，求的长度. 【答案】(1)见解析；(2) 【解析】（1）证明：连接，取的中点，连接.如图所示： 因为为正方体，棱长为4，点是的中点， 所以，且. 因为为的中点，所以， 又，所以且， 所以四边形为平行四边形，所以. 因为平面，不在平面内，所以平面. （2）因为，四方体的棱长为4，所以. 因为是的中点，所以，所以. 在直角三角形中，. 在直角三角形中，. 根据勾股定理可得. 所以的长度为. 知识点二 线面平行性质定理的应用 1．（24-25高一下·四川成都·月考）（多选）已知为三条直线，为两个平面，下列命题为假命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】ABC 【解析】对于A中，若，则或，所以A错误； 对于B中，若，则与平行、相交或异面，所以B错误； 对于C中，若，则与平行或异面，所以C错误； 对于D中，若，根据平行平面的性质，可得，所以D正确.故选：ABC. 2．（24-25高一下·广东广州·期中）如图，P为平行四边形所在平面外一点，E为的中点，F为上一点，当平面时，（    ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【解析】连接交于 ，连接， 因为平面，平面，平面平面， 所以，所以， 因为四边形为平行四边形，所以， 所以， 因为为的中点，所以， 所以，所以.故选：A 3．（25-26高二上·黑龙江鸡西·开学考试）如图，四棱锥的所有棱长都为2，E为线段SA的中点，过C，D，E三点的平面与SB交于点F，则四边形DEFC的周长为__________. 【答案】 【解析】因为四边形ABCD为菱形，所以. 因为平面SAB，平面SAB，所以平面SAB. 因为平面CDE，平面平面，所以，则. 因为E为SA的中点，所以F为SB的中点，所以. 因为是边长为2的等边三角形，所以，且， 同理可得，因此四边形DEFC的周长为. 4．（24-25高一下·安徽蚌埠·期中）如图，在四棱锥中，，，点E是棱PD的中点，PC与平面ABE交于F点，设，则（    ） A．3 B．2 C． D． 【答案】A 【解析】延长DC，AB交于G，连接，连接交于点， 则由，，得C是DG中点， 是PD中点，是的重心， ，即.故选：A. 知识点三 平面与平面平行的判定 1．（24-25高一下·广西玉林·月考）如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，E为的中点． (1)求证：AC1//平面BDE； (2)当点F在棱DD1的中点时，求证：平面//平面BDE． 【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析 【解析】（1）设，连, ∵、为别为、的中点, ∴， 又平面，平面， ∴平面. （2）∵点为棱中点，为的中点． ∴且 ∴为平行四边形， ∴， 又平面，平面. ∴平面. 又平面，且 ，平面， ∴平面平面. 2．（24-25高一下·福建莆田·月考）如图，已知圆锥的母线长为2，底面圆的半径为1，点为底面圆的三等分点，分别是的中点. (1)求证：平面平面. (2)求三棱锥的体积. 【答案】(1)证明见解析；(2) 【解析】（1）因为，故， 而平面，平面，故平面， 同理平面，而平面， 故平面平面. （2）因为圆锥的母线长为，底面圆的半径为，故圆锥的高为， 而点为底面圆的三等分点，故为等边三角形， 因为其外接圆半径为1，故其边长为， 而. 3．（24-25高一下·河北雄安·月考）如图，在四棱锥中，四边形是梯形，，，、分别是棱、上的点，且，. (1)证明：平面平面； (2)记多面体的体积为，三棱锥的体积为，求的值. 【答案】(1)证明见解析；(2) 【解析】（1）因为且，所以， 因为，所以，故四边形为平行四边形，则， 因为平面，平面，所以平面， 因为，，所以，所以， 因为平面，平面，所以平面， 因为，、平面，所以平面平面; （2）设四棱锥的底面积为，高为，则四棱锥的体积为， 由（1）可知，则点到平面的距离为，， 从而三棱锥的体积为， 所以多面体的体积为，故. 4．（24-25高一下·四川成都·月考）如图所示，三棱柱，是的中点，是的中点．求证： (1)//平面； (2)平面//平面D. 【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析. 【解析】（1）证明：由题意，是三棱柱， 连接，与交于，连接，可得， 平面，平面， 平面D. （2）是的中点，是的中点， 则，四边形为平行四边形， 则， 又平面，平面，得平面， 由可知平面， 又平面， 平面平面. 知识点四 面面平行性质定理的应用 1．（24-25高一下·山西·月考）如图，在三棱柱中，E，F分别为AB，AC的中点，平面将三棱柱分成体积为，两部分，则（    ） A．1∶1 B．4∶3 C．6∶5 D．7∶5 【答案】D 【解析】设三棱柱的高为h，上下底面面积均为S，体积为V， 则， 因为E，F分别为AB，AC的中点，故, 结合题意可知几何体为棱台， 则， 故,故，故选：D 2．（24-25高一下·湖北荆州·月考）如图，在棱长为2的正方体中，、分别为、的中点，则过点、、的平面与侧面的交线长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设平面分别交棱、于点、，如下图所示： 因为平面平面，平面平面， 平面平面，所以， 又因为，由等角定理及图形可知， 则，即，故， 故， 因为平面平面，平面平面， 平面平面，所以， 又因为，由等角定理及图形可得， 所以，即，所以， 所以，故. 因此，平面与侧面的交线长为.故选：A. 3．（24-25高一下·福建莆田·期中）已知平面平面，点是平面外一点（如图所示），且直线分别与相交于点，若，则___________． 【答案】9 【解析】因为平面平面，根据面面平行的性质定理，可得：， 所以，，又， 所以， 因此， 又，所以. 4．（24-25高一下·浙江宁波·期中）如图，已知圆台的轴截面为等腰梯形，满足，点为（不包括端点）上一点，为线段的中点， (1)证明：平面； (2)若圆台的体积为，求圆台的表面积． 【答案】(1)证明见解析；(2) 【解析】（1） 连接，， 因为四边形为等腰梯形，所以， 因为，为中点，所以， 所以四边形为平行四边形，所以， 又因为平面，平面，所以平面， 又因为为的中点， 所以为三角形的中位线，所以， 又因为平面，平面，所以平面， 又因为平面，平面，， 所以平面平面， 又因为平面，所以平面. （2）设上底面圆半径为，则，， 上底面圆半径为，则，， 设圆台高为，体积为， 则，解得， 在截面等腰梯形中，过作的垂线，垂足为，如图， 则， 所以圆台母线长， 所以圆台的表面积. 知识点一 平行条件下的动点探究问题 1．（24-25高一下·河南濮阳·月考）如图所示正四棱锥，，P为侧棱SD上的点．且，求： (1)设平面平面，求证：； (2)侧棱SC上是否存在一点E，使得平面若存在，求的值；若不存在，试说明理由． 【答案】(1)证明见解析；(2)存在，2 【解析】（1），平面，平面，平面， 又平面，平面平面，； （2）在侧棱上存在一点，使平面，满足， 理由如下：连接交于，连接，则为中点， 取中点，因为，则， 过作的平行线交于，连接， 在中，有， 平面，平面，平面， 由于，， 又由于，平面，平面，平面， 又，平面， 平面平面，又平面，得平面， 所以存在，且. 2．（24-25高一下·重庆·期中）如图，四棱锥的底面为平行四边形，，分别为棱，上的点，且，. (1)求证：平面； (2)在棱上是否存在点，使得平面？若存在求出的值；若不存在，说明理由. 【答案】(1)证明见解析；(2)存在， 【解析】（1）在上取点，使得，连接， 在中，点、分别为、上的三等分点，则有 又面、面 由线面平行的判定定理：面 又且，∴四边形为平行四边形 则有，又面、面，∴面 由于面、面，，∴面面 又面，∴面 （2）假设在棱上存在点，使得面 连接，交于 ∵面，面，面面 由线面平行的性质定理： 则在中，，易知， ∴，∴点为棱的中点，即 3．（24-25高一下·云南昆明·期中）如图所示，在四棱锥中，在底面中，，E在棱PD上且. (1)求证：平面； (2)线段上是否存在点N，使得平面平面？若存在，写出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析；(2)存在， 【解析】（1）因为，所以，所以， 因为平面，平面， 所以平面. （2）存在，且当点为上靠近点三等分点时，即时，平面平面. 下面给出证明： 因为，所以，， 又因为点为上靠近点三等分点，所以， 所以， 所以四边形为平行四边形，所以， 又因为面，面，所以面， 因为E在棱PD上且，即， 又因为，所以，所以， 又平面，平面，所以平面， 又因为平面，平面，， 所以平面平面. 4．（24-25高一下·福建厦门·期中）如图，在四棱锥中，底面为正方形，点分别为的中点． (1)证明：平面； (2)在棱BC上是否存在点，使得平面平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1)证明见解析；(2)存在； 【解析】（1）证明：取PB的中点，连接， 在四棱锥中，底面为正方形，E，F分别为AD，PC的中点， ，且， ，且， 四边形为平行四边形，， 而平面平面PBE， 平面； （2）存在满足条件的，且， 证明如下：取BC的中点，连接FQ，DQ，则， 由平面平面平面， 又平面平面， 又平面平面与重合， 即为BC的中点，．    知识点二 空间平行关系的综合应用 1．（24-25高一下·甘肃兰州·月考）如图，点C是以为直径的圆O上异于的点，P为平面外一点，分别是的中点，记平面与平面的交线为直线l． (1)求证：直线平面； (2)求证：直线平面． 【答案】(1)见解析；(2)见解析 【解析】（1）因为分别是的中点，所以， 平面，平面，所以直线平面； （2）由（1）知，直线平面，平面， 平面与平面的交线为直线l，所以， 平面，平面，所以直线平面. 2．（24-25高一下·重庆南岸·期中）如图，四边形是平行四边形，点分别为线段的中点． (1)证明：平面； (2)若，证明：． 【答案】(1)证明过程见解析；(2)证明过程见解析 【解析】（1）因为分别为线段的中点，所以， 因为平面，平面，所以平面； （2）因为四边形是平行四边形， 所以且， 点分别为线段的中点， 故且， 所以四边形为平行四边形，故， 因为平面，平面，所以平面， 因为，平面，平面，所以平面， 又，平面， 所以平面平面， 因为，即平面平面， 平面平面， 所以. 3．（24-25高一下·福建厦门·期中）如图，正方体中，，，，分别是，，，的中点． (1)求证：，，，四点共面； (2)求证：平面平面； (3)画出平面与正方体侧面的交线（不必说明）． 【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3)作图见解析. 【解析】（1）在正方体中，连接， 由分别是的中点，得， 由四边形为正方体的对角面， 得四边形是矩形，则，因此， 所以，，，四点共面. （2）连接， 由，分别是，的中点，得， 又平面，平面，则平面， 而，且，则四边形为平行四边形，则， 又平面，平面，因此平面， 又平面，所以平面平面． （3）过作直线交的延长线分别于， 连接分别交于，连接， 由，得，直线平面平面平面 因此五边形是平面截正方体所得截面，如图， 所以是平面与正方体侧面的交线. 4．（24-25高一下·山东·期中）如图，四边形是平行四边形，点是平面外一点. (1)求证：平面； (2)已知，分别是，的中点，在上取一点，过和作平面交平面于， （i）求证：； （ii）求证：平面. 【答案】(1)证明见解析；(2)（i）证明见解析（ii）证明见解析 【解析】（1）因为四边形是平行四边形，所以， 又平面，平面，所以平面. （2）（i）连接，交于，连接，如下图： 因为四边形是平行四边形，所以是的中点， 又因为是的中点，所以. 又因为平面，平面，所以平面. 又因为平面，平面平面， 所以. （ii）连接，如下图： 易知，显然平面，平面，所以平面； 同理可得，即平面； 又，所以平面平面， 又因为平面， 所以平面. 1 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $