阶段性练习卷(七)-【新课程能力培养】2025-2026学年高中数学必修第四册练习手册（人教B版）

DEF∥平面ABC.又.·平面PCM∩平面DEF=FV,平面 PCM∩平面ABC=CM,∴.FN∥CM.又.CM=4,.FN:CM=1: 2.又.CM=4,∴.FN=2. 山，8【解析】取棱BC的中点 D A M,连接AD,D,G,GM,MA,根据 题意，结合线面、面面平行的性质， ) 得到满足条件的截面为等腰梯形 A---- ADGM.由正方体的棱长为1，可求 第11题答图 得孩梯形的上底为V2,下底为V?,离为3Y2,利 4 用梯形的面积公式，可求得栽面面积S)×2+V2x 2 3V2=9 48 12.证明：，·平面ABM∥平面BCN,平面ACCA,∩平 面ABM=AM,平面BCNn平面ACCA=CN,∴.CN∥AM. 又：AC∥AC,四边形ANCM为平行四边形，AN= C1=2A,G3AC,W为AC的中点。 13.解：①错误，由面面平行的性质定理，知当BC固 定时，在倾斜的过程中，AD∥FG∥EH∥BC且平面 AEFB∥平面DHGC,.水的部分应呈棱柱状.②错误，在 容器倾斜的过程中，平面四边形EFGH的面积改变.③正 确，AD1∥AD∥CB∥EH,AD,丈平面EFGH,EHC平面 EFGH,AD,∥平面EGH.④正确，水量是定值，且高 不变，底面ABFE的面积不变，当E∈AA1时，AE+BF 是定值.综上正确的有③④ 14.CD【解析】对于选项A,若存在一条直线a,a∥ a,a∥B,则a∥B或a与B相交，故选项A不是a∥B的 充分条件；对于选项B,若存在一条直线a,aC,a∥B, 则α∥B或a与B相交，故选项B不是α∥B的充分条件； 对于选项C,平行于同一个平面的两个平面显然是平行的， 故选项C是α∥B的一个充分条件；对于选项D,可以通 过平移把两条异面直线平移到其中一个平面内，成为相交 直线，则有∥B,∴.选项D是∥B的一个充分条件.故选 CD. 15.①②③④【解析】先把平面展开图还原为一个四棱 锥，再根据直线与平面、平面与平面平行的判定定理判断 即可. "阶段性练习卷（七） 1.B【解析】在三棱柱ABC-A,BC,中，平面AB,C1∥平 面ABC,而平面ABED∩平面ABC=DE,平面ABED∩平面 参考答案。 AB,C=AB1,则DE∥AB,在平行四边形ABBA,中，AB∥ AB,DE∥AB.故选B. 2.D【解析】对于A,当直线a与平面ax相交于点P 时，除了点P外，直线上的无数个点都不在平面α内，A 错误； 对于B,当直线a∥平面a时，直线a与平面ax内直线 平行或异面，B错误； 对于C,当直线a∥直线b,直线b∥平面a,则直线 a∥平面a,或直线a在平面x内，∴.C错误； 对于D,当直线a∥平面a时，则直线a与平面无 公共点，∴.直线a与平面α内的任意一条直线都没有公共 点，D正确.故选D. 3.B【解析】如果三条直线交于一点，则此时三条直 线不一定在同一平面内，故A错误；若四点不共面，则一 定不存在三点共线，若有三点共线，则第四点与此直线确 定一个平面，这样就会出现四点共面，与已知条件不符合， 故B正确；空间中四边相等的四边形可能是空间四边形， 故C错误；空间四边形中也存在三个角是直角的情况，故 D错误.故选B. 4.B【解析】在正方体ABCD-ABCD,中，平面 ABCD∥平面ABCD,且平面BDPn平面AB,C,D=B,D1, 平面B,DPn平面ABCD=l,l∥B,D. 5.C【解析】MN和AP是异面直线，故A中结论不正 确；MN和BD是异面直线，故B中结论不正确；连接 AC,与BD交于点O,连接OD1,ON,正方体ABCD ABCD,中，M,N分别是CD1,BC的中点，.ON∥CD∥ DM,ON=)CD=D,M,四边形MNOD,为平行四边形， MN∥OD.MN￠平面BBD,D,OD,C平面BB,DD, ∴MN∥平面BB,D,D,故C中结论正确；由选项C知MN∥ 平面BBDD,而平面BBDD和平面BDP相交，故D中结 论不正确.故选C. 6.A【解析】连接AC1,设平面ABC∩平面ABCD= m.EF∥平面AB,C,EFC平面AB,C,D1,平面AB,Cn平 面ABCD=m,∴.EF∥m.又，平面AB,CD1∥平面ABCD, 平面ABC∩平面ABC,D1=m,平面AB,C∩平面ABCD= AC,m∥AC,∴EF∥AC.又AC1∥AC,∴.EF∥AC.E 为AD,的中点，EF)AG=V2. 7.AC【解析】空间中不共线的三点确定一个平面，故 A正确；若两个平面平行，则这两个平面没有公共点， 其中一个平面内的任意一条直线都与另一个平面没有公共 点，即直线平行于另一个平面，C正确.故选AC. 8.BD【解析】连接AC,BD.①当点P在BA的延长 89 N 高中数学必修第四册人教B版 线上，即P在平面a(B在a的下方)上方时，a∥B, 平面PBD∩平面=AC,平面PBD∩平面B=BD,AC∥ BD,0=品PM=6,AB=2.D=12.六合=S,解 得AC=9. ②当点P在AB的延长线上，即P在平面B(a在B的 下方)的上方时，类似①冲的方法，可得肾肥，P州= 6,AB=2.BD=12。六名2.解得AC=18综上，可得 AC=9或18.故选BD. 9.6cm【解析】连接AF交平面B于点G,连接CF, BG,EG,AD(图略)，，AC∩AF=A,∴.直线AC和AF确 定一个平面AFC,则平面AFC∩B=BG,平面AFC∩y=CF 又8/，G/CF能品同理，可证=品 EFGF,· 船2s号年BF6m 10.①④ 1[32,]【解桥) 如图所示，分别取棱BB,BC的 中点M,N,连接MN,BC.,M, D, N,E,F分别为所在棱的中点， MN∥BC,EF∥BC,MN∥EF 第11题答图 又.MN平面AEF,EFC平面 AEF,.∴MN∥平面AEF连接NE,AN,AM,AA1∥NE AA=NE,.四边形AENA,为平行四边形，AN∥AE.又 AN丈平面AEF,AEC平面AEF,AN∥平面AEF:又 AN∩MN=N,.∴平面AMN∥平面AEFP是侧面BCC,B 内一点，且AP∥平面AEF,P必在线段MN上.在 Ru△A,BM巾，AM=Va陈+BF-V+=,同 理，在Rt△ABN中，求得AN=)5,∴△A,MN为等腰 2 三角形.取MN的中点O,连接AO,当P在MN的中点O 处时，AP⊥MW,此时AP最短，当P位于点M,N处时， AP最长.A,0=VaW-0F=V5 4. 3Y2,A,M=AN=Y,线段AP的长度的取值苍园 4 是Y, 12.①②③【解析】：四边形ABCD为正方形，则 AC∥BD,又BD平面SAC,ACC平面SAC,.BD∥平面 SAC,则①正确；又：AD∥BC,AD4平面SBC,BCC平 90 面SBC,则AD∥平面SBC,且ADC平面SAD,平面 SMDn平面SBC=L,l∥AD.又AD∥BC,l∥BC,则②正 确；.∠ASB>90°，∴.两条母线的夹角可能为90°..E是底 面圆周上的动点，设母线长为a,则(S△s)m=号SM·SE= 又5=)54sin∠A5B=号n∠AsB,而 sin∠ASB<I,.(S△E)m>S△sB,△SAE的最大面积大于 △SAB的面积，则③正确. 13.证明：(1)如图，连接 EF,FH,HG,GE,E,G分别 H 为BC,AB的中点，∴.EG∥AC.又 DF:F℃=2：3，DH:HA=2:3, B4- FH∥AC,EG∥FH.E,F,G, E 第13题答图 H四点共面. (2)由(1)，可知EG∥FH,且EG≠FH,即EF,GH 是梯形的两腰，.它们的延长线必相交于一点P,.P∈EF, P∈GH..EFC平面BCD,GHC平面ABD,P∈平面 BCD,P∈平面ABD.又平面BCD∩平面ABD=BD,∴由基 本事实3，知P∈BD,直线EF,GH,BD交于一点. 14.(1)证明：如图，连接AC,A 交A,C于点O,连接D0.三棱柱ABC B AB,C为直三棱柱，∴.四边形ACCA,为 矩形，.O为AC1的中点.又D为AB的 中点，.D0∥BC.:D0C平面ACD, D BC,￠平面ACD,∴.BC∥平面ACD. B 第14题答图 (2)解：AC=CB=2,AB=2V/2, AC+CB-AACLCB.SAw=AC-BC=2.Sw= 号a=1.又：三棱柱ABCABC为直三棱柱，a =Vm=g5mM,=写x2=号 "11.4空间中的垂直关系 11.4.1直线与平面垂直 第1课时直线与平面垂直的判定定理 1.B【解析】，三角形的两边AC,BC有交点C,且直 线l和AC,BC同时垂直，∴.该直线垂直平面ABC,故该 直线与AB垂直.故选B. 2.B【解析】由过一点垂直于一个平面的直线有且只 有一条，故过平面α外一点A作与垂直的直线的条数有 1条.故选B. 3.C【解析】根据线面垂直的判定定理，直线垂直平N高申数学必修第四册人教B版 阶段性练 一、单选题 1.如图，在三棱柱ABC-ABC,中，过 AB,的平面（非平面ABBA)与平面ABC 交于DE,则DE与AB的位 置关系是() A.异面 B.平行 C.相交 第1题图 D.以上均有可能 2.下列命题中，正确的是() A.若直线a上有无数个点不在平面ax 内，则a∥a B.若直线a∥平面x,则直线a与平面 内的任意一条直线都平行 C.若直线a∥直线b,直线b∥平面x, 则直线a∥平面a D.若直线a∥平面a,则直线a与平面 α内的任意一条直线都没有公共点 3.下列四个说法中正确的是() A.两两相交的三条直线必在同一平面内 B.若四点不共面，则其中任意三点都 不共线 C.在空间中，四边相等的四边形是菱形 D.在空间中，有三个角是直角的四边 形是矩形 4.如图，过正方体 D ABCD-ABCD1的顶点B1, D,与棱AB的中点P的平 面与底面ABCD所在平面 的交线记为l,则l与BD 第4题图 (64练 习卷（七） 的位置关系为() A.异面B.平行C.相交D.不确定 5.如图所示，在正方体ABCD-ABCD1 中，M,N,P分别是CD, D BC,AD,的中点，则下列 结论中正确的是( A.MN∥AP B.MN∥BD 第5题图 C.MN∥平面BBDD D.MN∥平面BDP 6.如图所示，在正方体 ABCD-ABCD1中，AB=2, E为AD的中点，点F在 CD1上，若EF∥平面AB,C, 则EF=() 第6题图 A.V2 B.2 C.3 D.4 二、多选题 7.下列说法中正确的是（) A.如果两个平面有三个不共线的公共 点，那么它们重合 B.过两条异面直线中的一条可以作无 数个平面与另一条直线平行 C.在两个平行平面中，一个平面内的任 何直线都与另一个平面平行 D.如果两个平面平行，那么分别在两 个平面中的两条直线平行 8.已知平面∥平面B,P年，PB, 过点P的两直线分别交，B于A,B和C, D四点，A,C∈a,B,D∈B,且PA=6, AB=2,BD=12,则AC=() A.6 B.9 C.10 D.18 三、填空题 9.如图，平面∥平面B∥平面y,两 条异面直线1，m分别与平面a,B,y相交 于点A,B,C和点D,E,F,已知AB=2cm, BC=3cm,DE=4cm,则EF= C 第9题图 10.a,b,c为三条不重合的直线，x, B,y为三个不重合的平面，现给出下列 结论： ①若a∥c,b∥c,则a∥b;②若a∥y, b∥y,则a∥b;③若c∥a,c∥B,则axB; ④若a∥y,B∥y,则a∥B;⑤若c∥a, a∥c,则a∥；⑥若a∥y,a∥y,则a∥a. 其中正确结论的序号是 11.如图所示，在棱 D 长为1的正方体ABCD- ABCD1中，E,F分别是 棱BC,CC,的中点，P是 侧面BCCB,内一点，若 第11题图 AP∥平面AEF,则线段AP的长度的取值 范围是 12.如图，已知圆锥 S0,底面圆内接正方形 ACBD,若平面SAD∩平 面SBC=L.现有以下三个 结论： ①BD∥平面SAC; 第12题图 第十一章立体几何初步。 ②L∥BC; ③若∠ASB为钝角，E是底面圆周上的 动点，则△SAE的最大面积大于△SAB的 面积. 其中所有正确结论的序号是 四、解答题 13.在四面体ABCD中，E,G分别为 BC,AB的中点，F在CD上，H在AD上， 且有DF:FC=2:3,DH:HA=2:3.求证： (1)G,E,F,H四点共面， (2)直线EF,GH,BD交于一点. 14.如图所示，直三棱柱ABC-ABC 中，D是AB的中点。 (I)求证：BC∥平面ACD. (2)设AA1=AC=CB=2,AB=2V2,求 三棱锥D-AAC的体积. 第14题图 练(65