2025—2026学年高二数学暑假作业-计数原理（1）

计数原理（1） 2025—2026学年高二数学暑假作业-计数原理（1） 1.立体几何，解析几何，导数，数列与概率统计这五道题排序，解析几何不能在第一道解答题，数列必须在第一道或者第二道位置，则不同的题目分配方式有( ) A.36种 B.42种 C.48种 D.52种 2.某班一天上午有4节课，下午有2节课，现要安排该班一天中语文、数学、英语、体育、艺术、通技各一节课的课表，要求数学课排在上午，体育课排在下午，不同的排法种数是( ) A.96 B.192 C.384 D.768 3.已知的展开式中含项的系数为12，则a为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 4.将4个不同的小球放入4个不同的盒子中，则恰有两个盒子为空的放法种数为( ) A.72 B.84 C.96 D.108 5.某中学有甲、乙、丙、丁、戊5名学生打算前往观看篮球，足球，乒乓球三场比赛，每人看一场比赛，每场比赛都有学生前往观看，则观赛方案种数有( ) A.100 B.150 C.180 D.540 6.若，则( ) A.45 B.20 C.135 D.120 7.(多选)为弘扬我国古代的“六艺”文化，某中学计划开设“礼”“乐”“射”“御”“书”“数”六门校本课程，每月一门，连续开设六个月，则下列说法正确的是( ) A.若学生甲和乙各自从中任选2门，则他们共有225种不同的选法 B.若课程“乐”排在“书”前面，则课程共有240种排法 C.若课程“射”“御”排在不相邻两个月，则课程共有480种排法 D.若课程“数”不排在第一个月，课程“礼”不排在第六个月，则课程共有504种排法 8.将1，2，3，4，5，6这6个数排在图中A，B，C，D，E，F六个位置，则任意相邻两数之积不超过20的概率为____.    9.的展开式中的系数为____. 10.某AI实验室有6个不同的团队，需要对ChatGPT、Sora、GPT-4、Deepseek方向的4个研发项目进行，每个团队只能承担一个项目，且每个项目至少交给一个团队. （1）若从中选出5个团队去，共有多少种不同的安排方案? （2）若6个团队都同时参与调研，且A、B两个团队同一个项目，共有多少种不同的安排方案? 学科网（北京）股份有限公司 $计数原理（1） 2025—2026学年高二数学暑假作业-计数原理（1） 1.立体几何，解析几何，导数，数列与概率统计这五道题排序，解析几何不能在第一道解答题，数列必须在第一道或者第二道位置，则不同的题目分配方式有( ) A.36种 B.42种 C.48种 D.52种 2.某班一天上午有4节课，下午有2节课，现要安排该班一天中语文、数学、英语、体育、艺术、通技各一节课的课表，要求数学课排在上午，体育课排在下午，不同的排法种数是( ) A.96 B.192 C.384 D.768 3.已知的展开式中含项的系数为12，则a为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 4.将4个不同的小球放入4个不同的盒子中，则恰有两个盒子为空的放法种数为( ) A.72 B.84 C.96 D.108 5.某中学有甲、乙、丙、丁、戊5名学生打算前往观看篮球，足球，乒乓球三场比赛，每人看一场比赛，每场比赛都有学生前往观看，则观赛方案种数有( ) A.100 B.150 C.180 D.540 6.若，则( ) A.45 B.20 C.135 D.120 7.(多选)为弘扬我国古代的“六艺”文化，某中学计划开设“礼”“乐”“射”“御”“书”“数”六门校本课程，每月一门，连续开设六个月，则下列说法正确的是( ) A.若学生甲和乙各自从中任选2门，则他们共有225种不同的选法 B.若课程“乐”排在“书”前面，则课程共有240种排法 C.若课程“射”“御”排在不相邻两个月，则课程共有480种排法 D.若课程“数”不排在第一个月，课程“礼”不排在第六个月，则课程共有504种排法 8.将1，2，3，4，5，6这6个数排在图中A，B，C，D，E，F六个位置，则任意相邻两数之积不超过20的概率为____.    9.的展开式中的系数为____. 10.某AI实验室有6个不同的团队，需要对ChatGPT、Sora、GPT-4、Deepseek方向的4个研发项目进行，每个团队只能承担一个项目，且每个项目至少交给一个团队. （1）若从中选出5个团队去，共有多少种不同的安排方案? （2）若6个团队都同时参与调研，且A、B两个团队同一个项目，共有多少种不同的安排方案? 答案以及解析 1.答案：B 解析：数列排在第一道的排序方法有种；数列排第二道时，第一道有种排法，第三、四、五道有种.根据分步乘法计数原理，数列排第二道时的排序方法有种. 根据分类加法计数原理，不同的题目分配方式有：种. 2.答案：B 解析：由题意，要求数学课排在上午，体育课排在下午，有种排法，再排其余4节，有种排法，根据乘法原理，共有种排法，故选：B. 3.答案：B 解析：的展开式通项为，令，解得，故展开式中含项的系数为，解得.故选：B. 4.答案：B 解析：选2个空盒：种，分配4个小球到2个非空盒； 情况一（分法）：种； 情况二（分法）：种，总分配方法； 种，总放法数：种，故选：B. 5.答案：B 解析：五名学生自由选择三场比赛：种；若恰好有一场比赛无人观看，则有种，若有两场比赛无人观看，则共种.则不符合条件的方案共有种，所以符合条件的方案有种.故选：B. 6.答案：D 解析：若，则或，当时，（舍去）；当时，.所以.所以.故选：D. 7.答案：ACD 解析：学生甲和乙各自从中任选2门，则他们共有种不同的选法，A正确； 课程“乐”排在“书”前面，可得课程共有种排法，B错误； 课程“射”“御”排在不相邻两个月，通过插空法，先排好其他的4门课程，有5个空位可选，在其中任选2个，安排课程“射”“御”共有种排法，C正确； 课程“数”不排在第一个月，课程“礼”不排在第六个月，利用分类加法计数原理，当“数”在第六个月时共有种；当“数”既不在第一个月也不在第六个月时，共有 种，故课程“数”不排在第一个月，课程“礼”不排在第六个月，课程共有种排法，D正确.故选：ACD. 8.答案： 解析：任意相邻两数之积不超过20，则6不能与4或5相邻，故6的两侧可以为1，2，可以为1，3，也可以为2，3；又6的两侧共有种情况安排，综上，任意相邻两数之积不超过20的概率为. 9.答案：-18 解析：的展开式中的项为： ，所以的展开式中的系数为-18. 10.答案：（1）1440 （2）240 解析：（1）先从6个团队中选5个，有种选法， 接下来将5个团队分配到4种项目，且每个项目至少1个团队负责， 则5个团队分为：2，1，1，1四组，有种方法， 再将这四组对应4种项目进行全排列，由分步计数原理，可得不同的安排方案有种. （2） 先将A和B两个团队视为一个整体（一个元素）， 此时相当于5个元素分配到4种项目，每个项目至少有一个团队，即分成元素个数分别为“2，1，1，1”四组，则有种方法， 再将这四组对应4种项目进行全排列，有种方法，所以共有种不同的安排方案. 学科网（北京）股份有限公司 $