第一部分 衔接入门-【优化指导】2024年初升高数学衔接教材

经过紧张的中考,你们即将步入高中时代,都怀有十足的信心、旺盛的求知欲, 想把高中课程学好,但根据笔者的教学经验,有很多高一学生普遍感觉高中数学并 非想象中那么简单易学,而是枯燥、乏味、抽象和晦涩,这也造成了很多学生初中数 学成绩还挺好,升入高中,数学成绩就一落千丈的现象.造成这种现象的原因是多方 面的,其中未及时转变数学学习思想是不可忽视的因素,这就需要处理好初、高中数 学学习的衔接问题.本部分对该问题进行深入剖析,并总结学习方法和建议,希望同 学们吸取经验,认真对待今后的数学学习. 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 一、初、高中数学课标差异比较 高中课标 初中课标 课 程 标 准 根据不同数学内容的要求,揭示数学的本质. 通过典型例题的分析和学生自主探索的能 力,使学生强化数学思想方法,提高数学能力 数学学习内容应当是现实的、有意义的、富有挑战性的, 有助于学生主动地进行观察、实验、猜测、验证、推理与交 流等数学活动 二、初、高中数学知识存在的“脱节”内容 1.立方和与差的公式初中已删去不讲,而高中的运算还在用. 2.因式分解初中一般只限于二次项且系数为“1”的分解,对系数不为“1”的涉及不多,而且对三次或 高次多项式因式分解几乎不作要求,但高中教材许多化简求值都要用到,如解方程、不等式等. 001 3.二次根式中对分子、分母有理化初中不作要求,而分子、分母有理化是高中函数、不等式常用的解 题技巧. 4.初中教材对二次函数要求较低,学生处于了解水平,但二次函数却是高中贯穿始终的重要内容. 配方,作简图,求值域,解二次不等式,判断单调区间,求最大、最小值,研究闭区间上函数最值等 是高中数学必须掌握的基本题型与常用方法. 5.二次函数、二次不等式与二次方程的联系,根与系数的关系(韦达定理)在初中不作要求,此类题 目仅限于简单常规运算和难度不大的应用题型,而在高中二次函数、二次不等式与二次方程相互 转化被视为重要内容,高中教材却未安排专门的讲授. 6.图象的对称、平移变换,初中只作简单介绍,而在高中讲授函数后,对其图象的上、下、左、右平移, 以及函数关于原点、轴、直线的对称问题都必须掌握. 7.含有参数的函数、方程、不等式,初中不作要求,只作定量研究,而高中将这部分内容视为重难点. 方程、不等式、函数的综合考查常成为高考综合题的内容. 8.几何部分很多概念(如重心、垂心等)和定理(如平行线分线段成比例定理,射影定理,相交弦定理 等)初中大都没有涉及,而高中都要学习. 另外,像配方法、换元法、待定系数法在初中教学中大大弱化,不利于高中知识的讲授. 三、初、高中数学知识衔接一览表 模块 内容 初中知识简要 高中加深内容 说明 代 数 数 式 及 运 算 将数推广到实数后,在加减乘 除的基础上学习了乘方、开方 和指数运算(整数指数幂);代 数式重点是有理式;根式学习 了二次根式和三次根式;掌握 正整数指数幂的运算、平方根 与立方根、二次根式的概念及 其运算法则 把数的范围推广到复数,幂指 数推 广 到 实 数(重 点 是 有 理 数),根式也推广到任意次根 式,并通过分数指数幂将指数 运算与根式运算结合起来 数系得到扩充,由实数扩充到 复数 集 合 与 常 用 逻 辑 用 语 自然数集、整数集、有理数集、 无理数集、实数集;方程解的集 合;命题及其真假判断 对集合给出了明确的定义,进 一步学习了集合的运算及复合 命题真假的判断 对集合给出了描述性的定义, 命题真假的判断更加严谨 002 续表 模块 内容 初中知识简要 高中加深内容 说明 代 数 函 数 与 方 程 用运动变化的观点定义函数; 对一次函数、二次函数、反比例 函数的图象和性质进行了形象 研究;对一元一次方程和一元 二次方程的定义、解法及应用 进行了介绍 用集合的观点来定义函数;对 一次函数、二次函数、反比例函 数的图象和性质继续深化,上 升到一般理论性的研究(如单 调性、奇偶性等);对函数性质 进行了抽象概括;对函数与方 程的关系进行了深入研究 体现了函数与方程的思想及数 形结合的思想 不 等 式 研究了不等式的基本性质、一 元一次不等式及一元二次不等 式的解法 继续深入学习不等式的性质及 一元一次不等式的解法;借助 图象研究了一元二次方程根的 分布 对不等式的应用进行了推广, 注意利用数形结合思想解决 问题 坐 标 系 介绍了平面直角坐标系和点的 位置的确定 深入学习平面直角坐标系;引 入空间直角坐标系的概念;学 习两点间的距离公式 培养学生的空间想象能力 几 何 三 视 图 会画出基本几何体的三视图; 会判断简单物体的三视图;学 习了 直 棱 柱、圆 锥 的 侧 面 展 开图 对三视图进行了系统学习,进 一步研究柱、锥、台、球体的展 开图及表面积和体积的计算 空间问题平面化,体现了化归 与转化的思想 直线、 平面、 几何体 学习研究了平行公理、垂直公 理和简单的几何图形 将平面图形扩充到空间图形, 继续学习了平行关系、垂直关 系及常见几何体的特征 重点培养学生的空间想象能力 和运算能力 直线与 圆、圆 与圆 重点研究了直线与圆、圆与圆 的位置关系 给出了圆的两种方程,深化研 究了直线与圆、圆与圆的位置 关系 注重代数法,几何法的应用 三 解 函 数 解 三 角 形 通过实例认识三角函数,知道 特殊的三角函数值,会使用计 算器由已知锐角求它的三角函 数值或由已知三角函数值求它 对应的锐角;能解直角三角形 用运动变化的观点来理解任意 角,定义了任意角的三角函数; 运用三角函数公式由值求角或 由角求值;运用正、余弦定理解 斜三角形 角的范围扩大到任意角 003 四、学习内容及思维含量与难度的对比 相比较初中数学,高中数学的知识量明显增多 以函数为例,初中仅具体研究了一次函数、二次函数、反比例函数,而高中将学习指数函数、对数 函数、幂函数、正弦函数、余弦函数、正切函数,而且还需掌握常见函数(如y=x+1x ,一般称为对 勾函数)等.这样单位时间内学生需接受并掌握的内容大大增加,教师用来辅助消化的习题课减 少了,一部分同学还没有接受现有知识点,新的知识点又来了,这就更加难以接受,如此层层累 加,便造成恶性循环. 相比较初中数学,高中数学难度增加明显 以二次函数为例: 初中已经掌握的内容 高中需进一步加深的内容 (1)解析式: 一般式:y=ax2+bx+c(a≠0). 顶点式:y=a(x-m)2+n(a≠0). 两点式:y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0). (2)会求解二次函数在实数范围内的最值. (3)图象即抛物线的具体位置及特征. (4)利用判别式研究二次方程在实数范围内 解的存在性问题,并能利用求根公式求出二 次方程的实根 (1)能求解二次函数在某区间范围内的最值问题,一般都是含 参(解析式里面的系数为字母形式),注意分类讨论. (2)在某些函数中,能够发现各项之间的二次关系,进一步转化 为二次函数问题,例如y=x+ 1-x,可令 1-x=t,则x=1 -t2,有y=-t2+t+1(t≥0)再处理. (3)对于含参二次方程可利用韦达定理或图象研究其根的存 在性问题及根的符号或根的分布问题 由于知识难度在增加,思维难度相应增加,有一些同学一时难以适应,会造成成绩的下滑 004 五、学习数学的几个建议 1.记数学笔记:教师为备战高考而添加的课外知识,如对概念理解的延伸和数学规律的总结等. 2.建立数学纠错本:把平时容易出现错误的知识或推理记下来,以防再犯,争取做到“找错、析错、改 错、防错”;达到能从反面入手深入理解正确的知识;能执果索因把错误原因弄个水落石出,以便 对症下药;解答问题完整、推理严密. 3.记忆数学规律和数学小结论. 4.与同学建立好关系,争做“小老师”,形成数学学习“互助组”. 5.争做数学课外题,加大自学力度. 6.反复巩固,消灭前学后忘. 7.学会总结归类 (1)从数学思想分类; (2)从解题方法归类; (3)从知识应用上分类. 以本书的第一讲“绝对值与零点分段法”为例,介绍总结归类如下. ①课前提前预习并标记难理解的知识:本节课需要同学们认真回想绝对值的概念及其几何意义, 扫清上课时的知识障碍,同时需要预习一下新课将要重点学习的“不等式的解法”及“零点分段 法”的内容,根据自己的理解,将不明白的地方做好标记,以备老师上课时可以有针对性地听讲. ②课上认真听讲并做好课堂笔记:上课时要紧跟老师的讲课思路,与老师积极配合,将老师强调 的一些重要的知识拓展或结论及时地记录下来,如老师讲绝对值不等式时,会总结出“大于取两 端,小于取中间”的解题口诀,同学们要及时地记录,便于课后做题时参考.同时易错易混的地方 也要进行重点记录.比如在本节课中,老师会强调在使用口诀解绝对值不等式时,必须保证x的 系数为正数,否则会出错,这更要记录. ③课后及时巩固并建立错题记录本:本节课老师讲解的重点知识就是绝对值不等式的解法及 零点分段法,这就要求同学们在课下认真整理,最好是找两道对应典型的易错的例题整理在错 题记录本上,以备后面复习时参考.当然学习的方法有很多,而适合自己的才是最好的,希望同 学们在学习的过程中及时地调整自己的学习策略,努力争取学习效率的最大化,去战胜自己, 提高自己. 005