2026年暑期同步个性化分层专项训练之《二元一次方程组》七年级数学人教版

**基本信息** 聚焦二元一次方程组核心素养，以"概念理解-解法应用-实际建模"为逻辑主线，通过分层题型培养抽象能力与运算能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念理解|5题（选择1-5）|方程解的定义应用、同类项判定|从二元一次方程解的概念到方程组解的性质，构建概念网络| |解法应用|7题（选择6-10、填空11-14）|代入消元法、加减消元法步骤优化|消元方法与技巧训练，强化运算能力与推理意识| |实际应用|8题（填空15、解答16-20）|古算题建模、经济问题等量关系分析|从数学文化到生活实践，培养应用意识与模型观念|

尖子生专题复习《 二元一次方程组》 一．选择题（共10小题） 1．（2026•宝丰县二模）《九章算术》的“方程”章有一道题：今有甲乙二人持钱不知其数．甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而亦钱五十．问甲、乙持钱各几何？设甲持x钱，乙持y钱，可列方程组为（乙半：乙的一半钱，甲太半：甲的三分之二钱）（　　） A． B． C． D． 2．（2026春•杭州月考）若关于x，y的二元一次方程组的解为，则代数式a+2b的值是（　　） A．3 B．﹣3 C．5 D．﹣5 3．（2026•景宁县二模）算盘是我国的优秀文化遗产，它的中间横梁把算珠分为上、下两部分，每个上珠代表5，每个下珠代表1．如图，小华拨了一颗上珠和一颗下珠作为一个三位数的百位数字，若个位数字与十位数字的和等于百位数字的2倍，且个位数字比十位数字多4，则这个三位数为多少？设个位数字为x，十位数字为y，下列方程组正确的是（　　） A． B． C． D． 4．（2026春•海口期中）已知关于x，y的二元一次方程组的解满足x+y＝3，则k的值为（　　） A．2 B．﹣2 C．1 D．﹣1 5．（2026春•海口期中）如图，为迎接校园文化节，学校要在一块长为24m，宽为18m的长方形活动场地中规划出3块大小、形状完全相同的小长方形（图中阴影部分）区域布置文化展示，则布置文化展示区域的面积是（　　） A．324m2 B．180m2 C．120m2 D．40m2 6．（2026春•工业园区校级期中）已知关于x，y的方程组有下列几种说法：①一定有唯一解；②可能有无数多解；③当k＝1时方程组无解；④无论k为何值，方程组始终有一个解为．其中正确的说法有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 7．（2026春•湖里区校级期中）小新在解关于x，y的二元一次方程组时，解得，则Δ和？代表的数分别是（　　） A．﹣1和3 B．3和﹣1 C．5和1 D．1和5 8．（2026•洛阳模拟）已知七（1）班有48名学生，其中参加数学小组的有36人，参加英语小组的人数比参加数学小组的人数少10人，并且这两个小组都不参加的人数比这两个小组都参加的人数的多1人，则同时参加这两个小组的人数是（　　） A．20 B．16 C．12 D．8 9．（2026春•海淀区校级期中）已知关于x，y的二元一次方程ax﹣by＝c的解如表： x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 … y … 5.5 5 4.5 4 3.5 3 … 关于x，y的二元一次方程mx+ny＝k的解如表： x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 … y … 5 1 … 则关于x，y的二元一次方程的解是（　　） A． B． C． D． 10．（2026春•朝阳区校级期中）已知关于x、y的方程组和的解相同，则2a+b的值为（　　） A．2 B．﹣2 C．1 D．﹣1 二．填空题（共5小题） 11．（2026•绵阳二模）人民公园的人工湖有大小两种游船供游客娱乐，租借3艘大船和4艘小船共需240元，2艘大船和2艘小船共需要140元，则租借一艘大船的费用是　 　 元． 12．（2026春•中山区期中）已知x，y满足方程组，则x+y的值为　 　 ． 13．（2026•西城区二模）某商店共有a种不同型号的口罩，每种型号的口罩都有红、白、蓝三个颜色，每种型号的红色口罩价格均为每包50元，白色口罩价格均为每包m元，蓝色口罩价格均为每包n元（66≤m＜n≤74，且m，n均为整数）．甲、乙、丙三家公司各买一包每种型号的口罩，且对于同种型号的口罩，三家公司选择的颜色各不相同．结账时，甲、乙各自花费了1200元，丙花费了1400元． （1）若m＝69，n＝71，则a的值为　 　 ； （2）若丙购买的口罩包含三种颜色，则丙用于购买白色和蓝色的口罩最多一共花费　 　 元． 14．（2025秋•东河区期末）甲、乙、丙三人玩飞镖游戏，各投5支镖，规定在同一环内得分相同，中靶和得分情况如图，则丙得分为 　 　 ． 15．（2026•上城区二模）已知是方程2x﹣my＝2的一个解，那么m的值是　 　 ． 三．解答题（共5小题） 16．（2026•岳麓区校级模拟）某校计划购买甲、乙两种树苗共2000株绿化校园，已知甲种树苗每株2元，乙种树苗每株3元． （1）若购买这批树苗共用了4500元，求甲、乙两种树苗各购买了多少株？ （2）相关资料表明：甲、乙两种树苗的成活率分别为94%和99%，若要使这批树苗的成活率不低于96%且买树苗的总费用最小，问应选购甲、乙两种树苗各多少株？总费用最小是多少元？ 17．（2026春•龙华区校级期中）已知y＝ax2+bx+c．当x＝﹣1时，y＝﹣2；当x＝2时，y＝4；当x＝3时，y＝10． （1）求a，b，c的值； （2）当x＝4时，求y的值． 18．（2026春•西城区校级期中）现代高等代数的符号可以将方程组的系数排成一个表，这种由数排成的表叫做矩阵．我们的目标是把矩阵变成下面这种样子：，这样就直接看出方程组的解为． （1）方程组对应的矩阵为　 　 ． （2）关于x，y，z的三元一次方程组的系数排成的矩阵为，则对应的方程组为　 　 ，若4x+y﹣z为定值．求t与m满足的数量关系． 19．（2026春•工业园区校级期中）解方程组： （1）； （2）． 20．（2026春•婺城区校级期中）如图1，“燕尾洲”是金华江、东阳江和武义江三江交汇之处，孕育了一代又一代金华人．如图2，现测得三江交汇处夹角∠AOB＝120°，∠BOC＝100°，∠AOC＝140°，为了点亮金华，现在M、N、P处各安装一盏可旋转180°的探照灯，分别从MA、NB、PC开始按顺时针方向旋转，现测得∠OMN＝∠ONM＝30°，∠ONP＝∠OPN＝40°，∠OMP＝∠OPM＝20°，灯M的旋转速度为每秒8°，灯N的旋转速度为每秒a°，灯P的旋转速度为每秒b°，且满足|2a﹣5b|+（a+b﹣7）2＝0． （1）求a、b的值； （2）求灯M开始旋转几秒时，灯光MA第一次与OC平行？ （3）设三盏灯同时从起始点开始旋转，在三盏灯各旋转到180°之前，求当其中两盏灯的光线平行时，灯的旋转时间． 尖子生专题复习《 二元一次方程组》 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A D C A C B C A A C 一．选择题（共10小题） 1．（2026•宝丰县二模）《九章算术》的“方程”章有一道题：今有甲乙二人持钱不知其数．甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而亦钱五十．问甲、乙持钱各几何？设甲持x钱，乙持y钱，可列方程组为（乙半：乙的一半钱，甲太半：甲的三分之二钱）（　　） A． B． C． D． 【考点】由实际问题抽象出二元一次方程组． 【专题】一次方程（组）及应用；应用意识． 【答案】A 【分析】根据“甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而钱亦五十”，即可列出关于x，y的二元一次方程组，此题得解． 【解答】解：∵甲得乙半而钱五十， ∴xy＝50； ∵乙得甲太半而钱亦五十， ∴yx＝50． ∴根据题意可列出方程组． 故选：A． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 2．（2026春•杭州月考）若关于x，y的二元一次方程组的解为，则代数式a+2b的值是（　　） A．3 B．﹣3 C．5 D．﹣5 【考点】二元一次方程组的解． 【专题】一次方程（组）及应用；运算能力． 【答案】D 【分析】把代入二元一次方程组得关于a，b的方程组，解方程组求出a，b，最后代入所求式子进行计算即可． 【解答】解：把代入二元一次方程组得： ， ①+②得：a＝1， 把a＝1代入①得：b＝﹣3， ∴a+2b＝1+2×（﹣3）＝1+（﹣6）＝﹣5， 故选：D． 【点评】本题主要考查了二元一次方程组的解，解题关键是熟练掌握利用加减消元法和代入消元法解二元一次方程组． 3．（2026•景宁县二模）算盘是我国的优秀文化遗产，它的中间横梁把算珠分为上、下两部分，每个上珠代表5，每个下珠代表1．如图，小华拨了一颗上珠和一颗下珠作为一个三位数的百位数字，若个位数字与十位数字的和等于百位数字的2倍，且个位数字比十位数字多4，则这个三位数为多少？设个位数字为x，十位数字为y，下列方程组正确的是（　　） A． B． C． D． 【考点】由实际问题抽象出二元一次方程组． 【专题】一次方程（组）及应用；运算能力；应用意识． 【答案】C 【分析】根据题意可得百位数字为6，利用已知条件列出方程组即可． 【解答】解：根据题意可得： ，即． 故选：C． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，理解题意是关键． 4．（2026春•海口期中）已知关于x，y的二元一次方程组的解满足x+y＝3，则k的值为（　　） A．2 B．﹣2 C．1 D．﹣1 【考点】二元一次方程组的解；解二元一次方程组． 【专题】一次方程（组）及应用；运算能力；推理能力． 【答案】A 【分析】把方程组两个方程左右分别相加，凑出x+y的代数式．结合x+y＝3列关于k的一元一次方程求解． 【解答】解：， ①+②：3x+3y＝6k﹣3，化简得x+y＝2k﹣1， ∵x+y＝3， ∴2k﹣1＝3， 解得k＝2， 故选：A． 【点评】本题考查二元一次方程组整体求值．熟练运用整体思想凑x+y是解题关键． 5．（2026春•海口期中）如图，为迎接校园文化节，学校要在一块长为24m，宽为18m的长方形活动场地中规划出3块大小、形状完全相同的小长方形（图中阴影部分）区域布置文化展示，则布置文化展示区域的面积是（　　） A．324m2 B．180m2 C．120m2 D．40m2 【考点】二元一次方程组的应用． 【专题】一次方程（组）及应用；运算能力． 【答案】C 【分析】设小长方形的长为x米，宽为y米，根据图中长方形活动场地的长与宽找到等量关系，列出方程组求解即可． 【解答】解：设小长方形的长为x米，宽为y米， ， 解得， ∴面积是3×4×10＝120m2， 故选：C． 【点评】本题考查二元一次方程组解决实际问题，找到等量关系，列出方程组是解题的关键． 6．（2026春•工业园区校级期中）已知关于x，y的方程组有下列几种说法：①一定有唯一解；②可能有无数多解；③当k＝1时方程组无解；④无论k为何值，方程组始终有一个解为．其中正确的说法有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【考点】二元一次方程组的解． 【专题】一次方程（组）及应用；运算能力． 【答案】B 【分析】利用代入消元法整理方程后，分情况讨论k的取值，逐一判断四个说法即可． 【解答】解：方程组， 由②得 x＝3﹣y， 把x＝3﹣y代入①整理得2（k﹣1）y＝﹣3（k﹣1）， ∵当k＝1时，等式化为0＝0，恒成立，方程组有无数组解， ∴①错误，②正确，③错误； 验证④：把代入方程组，得，满足方程②， ，满足方程①， ∴无论k取何值，该解都满足方程组，④正确， 综上，正确的说法是②④，共2个． 故选：B． 【点评】本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握该知识点是关键． 7．（2026春•湖里区校级期中）小新在解关于x，y的二元一次方程组时，解得，则Δ和？代表的数分别是（　　） A．﹣1和3 B．3和﹣1 C．5和1 D．1和5 【考点】解二元一次方程组． 【专题】一次方程（组）及应用；运算能力． 【答案】C 【分析】将x＝4代入第一个方程求出y，再代入第二个方程求Δ． 【解答】解：∵是二元一次方程组的解， ∴将x＝4代入2x﹣3y＝5，得2×4﹣3y＝5， 解得：y＝1，即？＝1， 将y＝1，x＝4代入x+y＝Δ， 得：Δ＝4+1＝5， 故Δ和？代表的数分别是5和1， 故选：C． 【点评】本题考查了二元一次方程组的解，掌握解二元一次方程组的步骤是关键． 8．（2026•洛阳模拟）已知七（1）班有48名学生，其中参加数学小组的有36人，参加英语小组的人数比参加数学小组的人数少10人，并且这两个小组都不参加的人数比这两个小组都参加的人数的多1人，则同时参加这两个小组的人数是（　　） A．20 B．16 C．12 D．8 【考点】二元一次方程组的应用；一元一次方程的应用． 【专题】一次方程（组）及应用；运算能力；应用意识． 【答案】A 【分析】设同时参加这两个小组的人数为x人，这两个小组都不参加的人数为y人，根据七（1）班有48名学生，这两个小组都不参加的人数比这两个小组都参加的人数的多1人，列出二元一次方程组，解方程组即可． 【解答】解：设同时参加这两个小组的人数为x人，这两个小组都不参加的人数为y人， 由题意得：， 解得：， 即同时参加这两个小组的人数是20人， 故选：A． 【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 9．（2026春•海淀区校级期中）已知关于x，y的二元一次方程ax﹣by＝c的解如表： x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 … y … 5.5 5 4.5 4 3.5 3 … 关于x，y的二元一次方程mx+ny＝k的解如表： x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 … y … 5 1 … 则关于x，y的二元一次方程的解是（　　） A． B． C． D． 【考点】解二元一次方程组；二元一次方程的解． 【专题】一次方程（组）及应用；运算能力． 【答案】A 【分析】先根据表格可得关于x，y的方程组的解，再利用换元法解方程组即可． 【解答】解：由表格可知，关于x，y的方程组的解为， 令s＝2x﹣3y，t＝2y﹣3x， 则方程可转化为， ∵关于x，y的二元一次方程组的解为， ∴关于s，t的二元一次方程组的解是， ∴，l 解得， ∴关于x，y的二元一次方程的解是， 故选：A． 【点评】本题考查二元一次方程组的解，正确进行计算是解题关键． 10．（2026春•朝阳区校级期中）已知关于x、y的方程组和的解相同，则2a+b的值为（　　） A．2 B．﹣2 C．1 D．﹣1 【考点】二元一次方程组的解． 【专题】常规题型；运算能力． 【答案】C 【分析】先解方程组，求出x，y的值，再代入，求得a，b的值即可． 【解答】解：∵关于x、y的方程组和的解相同， ∴解方程组，得， 把x＝3，y＝1代入， 得，解得， ∴2a+b＝﹣4+5＝1， 故选：C． 【点评】本题考查了二元一次方程组，掌握加减法消元法解二元一次方程组是解题的关键． 二．填空题（共5小题） 11．（2026•绵阳二模）人民公园的人工湖有大小两种游船供游客娱乐，租借3艘大船和4艘小船共需240元，2艘大船和2艘小船共需要140元，则租借一艘大船的费用是　40　 元． 【考点】二元一次方程组的应用． 【专题】一次方程（组）及应用；运算能力． 【答案】40． 【分析】设租借一艘大船的费用为x元，租借一艘小船的费用为y元，根据题意找出两个等量关系，列出二元一次方程组求解即可得到结果． 【解答】解：设租借一艘大船的费用为x元，租借一艘小船的费用为y元． 根据题意列二元一次方程组得， ， 解得x＝40， 所以，租借一艘大船的费用是40元， 故答案为：40． 【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，关键是根据题意找到关系式． 12．（2026春•中山区期中）已知x，y满足方程组，则x+y的值为　　 ． 【考点】二元一次方程组的解；解二元一次方程组． 【专题】一次方程（组）及应用；运算能力；推理能力． 【答案】． 【分析】用①式减②式，先算出2y的值，分步求出x、y．再把x、y相加，得到x+y的结果． 【解答】解：， ①﹣②：2y＝﹣4，得y＝﹣2， 把y＝﹣2代入②：2x﹣2＝3，x， x+y2， 故答案为：． 【点评】本题考查二元一次方程组的加减消元法．熟练运用加减消元简化计算、整体求和是解题关键． 13．（2026•西城区二模）某商店共有a种不同型号的口罩，每种型号的口罩都有红、白、蓝三个颜色，每种型号的红色口罩价格均为每包50元，白色口罩价格均为每包m元，蓝色口罩价格均为每包n元（66≤m＜n≤74，且m，n均为整数）．甲、乙、丙三家公司各买一包每种型号的口罩，且对于同种型号的口罩，三家公司选择的颜色各不相同．结账时，甲、乙各自花费了1200元，丙花费了1400元． （1）若m＝69，n＝71，则a的值为　20　 ； （2）若丙购买的口罩包含三种颜色，则丙用于购买白色和蓝色的口罩最多一共花费　1350　 元． 【考点】三元一次方程组的应用；列代数式；代数式求值． 【专题】整式；运算能力． 【答案】（1）20； （2）1350． 【分析】（1）根据题意，三家总花费等于所有口罩的总价，可得核心等式 a（50+m+n）＝3800，结合 m，n的取值范围分析求解，第一问直接代入计算即可； （2）第二问根据丙包含三种颜色的条件，将所求目标转化为找最小的正整数x，结合整数性质验证得到最大值． 【解答】解：由题意，每个型号的三种颜色被甲、乙、丙各购买一包，因此所有口罩总售价等于三家总花费，即a（50+m+n）＝1200×2+1400＝3800． （1）将m＝69，n＝71代入等式得：a（50+69+71）＝3800，解得 a＝20， 故答案为：20； （2）由66≤m＜n≤74，且m，n为整数，可得：183≤50+m+n≤197， ∵是正整数， ∴50+m+n＝190，即n＝140﹣m，a＝20， 设丙购买红色口罩x包，白色口罩y包，蓝色口罩z包， 由题意得：，且x≥1，y≥1，z≥1，均为正整数， ∴my+nz＝1400﹣50x， ∴要使my+nz最大，需取最小的x，即x＝1， 当x＝1时，y+z＝19，即 z＝19﹣y， 将 x＝1，z＝19﹣y代入my+nz＝1400﹣50x，得my+n（19﹣y）＝1350， 将 n＝140﹣m代入得my+（140﹣m）（19﹣y）＝1350， ∴， ∵y为正整数， ∴须为偶数， ∴须是奇数， ∴m﹣70＝±4，或m﹣70＝±20， ∵66≤m＜n≤74， ∴m﹣70＝﹣4， ∴m＝66， 当m＝66时，n＝140﹣m＝74，此时，则 z＝19﹣y＝12，均为正整数，满足条件，此时my+nz＝66×7+74×12＝1350（元）； ∴丙用于购买白色和蓝色的口罩最多一共花费1350元． 故答案为：1350． 【点评】本题主要考查了三元一次方程组的应用，列代数式，代数式求值，掌握其相关知识点是解题的关键． 14．（2025秋•东河区期末）甲、乙、丙三人玩飞镖游戏，各投5支镖，规定在同一环内得分相同，中靶和得分情况如图，则丙得分为 　21　 ． 【考点】二元一次方程组的应用． 【专题】一次方程（组）及应用；运算能力． 【答案】21． 【分析】设掷中外环区、内区一次的得分分别为x，y分，根据等量关系列出方程组，再解方程组，然后代入即可求解． 【解答】解：设掷中外环区、内区一次的得分分别为x，y分， 根据题意得：，解得：， ∴丙得分：2x+3y＝2×3+3×5＝21， 故答案为：21． 【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，理解题意是关键． 15．（2026•上城区二模）已知是方程2x﹣my＝2的一个解，那么m的值是　﹣2　 ． 【考点】二元一次方程的解． 【专题】一次方程（组）及应用；运算能力． 【答案】﹣2． 【分析】二元一次方程的解满足方程，因此只需将已知解代入方程，就能转化为关于m的一元一次方程，求解即可． 【解答】解：已知是方程2x﹣my＝2的解，将x＝﹣2，y＝2代入方程： 2×（﹣2）﹣m×3＝2， ﹣4﹣3m＝2， ﹣3m＝6， m＝﹣2， 故答案为：﹣2． 【点评】本题考查二元一次方程解的定义．熟练掌握“方程的解代入等式后等式成立”这一性质，是解题的关键． 三．解答题（共5小题） 16．（2026•岳麓区校级模拟）某校计划购买甲、乙两种树苗共2000株绿化校园，已知甲种树苗每株2元，乙种树苗每株3元． （1）若购买这批树苗共用了4500元，求甲、乙两种树苗各购买了多少株？ （2）相关资料表明：甲、乙两种树苗的成活率分别为94%和99%，若要使这批树苗的成活率不低于96%且买树苗的总费用最小，问应选购甲、乙两种树苗各多少株？总费用最小是多少元？ 【考点】二元一次方程组的应用；一元一次方程的应用． 【专题】一次方程（组）及应用；应用意识． 【答案】（1）购买甲种树苗1500株，乙种树苗500株； （2）购买甲种树苗1200株，乙种树苗800株，总费用y最小为4800元． 【分析】（1）先设购买甲种树苗x株，根据两种树苗共2000株，得购买乙种树苗（2000﹣x）株，再根据总费用列一元一次方程求解； （2）先列费用一次函数，再由成活率列不等式求m范围，利用一次函数增减性求费用最小值． 【解答】解：（1）设购买甲种树苗x株，则购买乙种树苗（2000﹣x）株， 根据题意，得2x+3（2000﹣x）＝4500， 解得x＝1500， 2000﹣x＝2000﹣1500＝500， 答：购买甲种树苗1500株，乙种树苗500株； （2）设购买甲种树苗m株，则购买乙种树苗（2000﹣m）株，购买这批树苗总费用为y元， 根据题意，得y＝2m+3（2000﹣m）＝﹣m+6000， 又由题意可得，94%m+99%（2000﹣m）≥2000×96%， 解得m≤1200， ∵k＝﹣1＜0， ∴一次函数的函数值y随m增大而减小， ∴当m＝1200时，y最小＝﹣1200+6000＝4800， 此时，乙种树苗2000﹣1200＝800株， 答：购买甲种树苗1200株，乙种树苗800株，总费用y最小为4800元． 【点评】本题考查了一元一次方程和二元一次方程组的应用，难度较大，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，再求解． 17．（2026春•龙华区校级期中）已知y＝ax2+bx+c．当x＝﹣1时，y＝﹣2；当x＝2时，y＝4；当x＝3时，y＝10． （1）求a，b，c的值； （2）当x＝4时，求y的值． 【考点】解三元一次方程组． 【专题】一次方程（组）及应用；运算能力． 【答案】（1）a＝1，b＝1，c＝﹣2； （2）18． 【分析】（1）分别将x＝﹣1，y＝﹣2；x＝2，y＝4；x＝3，y＝10代入y＝ax2+bx+c中得到关于a，b，c的三元一次方程组，解方程组即可； （2）将x＝4代入所求得的等式中计算即可． 【解答】解：（1）已知y＝ax2+bx+c．当x＝﹣1时，y＝﹣2；当x＝2时，y＝4；当x＝3时，y＝10， 则， ②﹣①得：3a+3b＝6， 则a+b＝2④， ③﹣②得：5a+b＝6⑤， ⑤﹣④得：4a＝4， 解得：a＝1， 将a＝1代入④得：1+b＝2， 解得：b＝1， 将a＝1，b＝1代入①得：1﹣1+c＝﹣2， 解得：c＝﹣2， 即a＝1，b＝1，c＝﹣2； （2）由（1）得：y＝x2+x﹣2， 当x＝4时， y＝16+4﹣2＝18． 【点评】本题考查解三元一次方程组，熟练掌握解方程组的方法是解题的关键． 18．（2026春•西城区校级期中）现代高等代数的符号可以将方程组的系数排成一个表，这种由数排成的表叫做矩阵．我们的目标是把矩阵变成下面这种样子：，这样就直接看出方程组的解为． （1）方程组对应的矩阵为　　 ． （2）关于x，y，z的三元一次方程组的系数排成的矩阵为，则对应的方程组为　　 ，若4x+y﹣z为定值．求t与m满足的数量关系． 【考点】解三元一次方程组；二元一次方程组的解；解二元一次方程组． 【专题】一次方程（组）及应用；运算能力． 【答案】（1）； （2），2t+m＝﹣1． 【分析】（1）由题意即可写出方程组对应的矩阵； （2）由题意即可写出矩阵对应的方程组，由方程组即可得t与m满足的数量关系． 【解答】解：（1）由题意得，方程组对应的矩阵为：． 故答案为：； （2）由题意得，矩阵对应的方程组为， ①×2+②得，4x+y+（2t+m）z＝8， ∴4x+y﹣z＝8﹣（2t+m+1）z， 由条件可知2t+m+1＝0，即2t+m＝﹣1． 故答案为：． 【点评】本题考查了解三元一次方程组，熟练掌握该知识点是关键． 19．（2026春•工业园区校级期中）解方程组： （1）； （2）． 【考点】解二元一次方程组． 【专题】一次方程（组）及应用；运算能力． 【答案】（1）； （2）． 【分析】（1）利用代入消元法解方程组即可； （2）先化简，再利用加减消元法解方程组即可． 【解答】解：（1）， 把①代入②得3x+3x﹣2＝8， 解得x， 将x代入①得y＝3， 所以； （2）， 化简，得， ①×3+②×2得17x＝408， 解得x＝24， 将x＝24代入②，得96﹣3y＝60， 解得y＝12， 所以． 【点评】本题考查二元一次方程的解，正确进行计算是解题关键． 20．（2026春•婺城区校级期中）如图1，“燕尾洲”是金华江、东阳江和武义江三江交汇之处，孕育了一代又一代金华人．如图2，现测得三江交汇处夹角∠AOB＝120°，∠BOC＝100°，∠AOC＝140°，为了点亮金华，现在M、N、P处各安装一盏可旋转180°的探照灯，分别从MA、NB、PC开始按顺时针方向旋转，现测得∠OMN＝∠ONM＝30°，∠ONP＝∠OPN＝40°，∠OMP＝∠OPM＝20°，灯M的旋转速度为每秒8°，灯N的旋转速度为每秒a°，灯P的旋转速度为每秒b°，且满足|2a﹣5b|+（a+b﹣7）2＝0． （1）求a、b的值； （2）求灯M开始旋转几秒时，灯光MA第一次与OC平行？ （3）设三盏灯同时从起始点开始旋转，在三盏灯各旋转到180°之前，求当其中两盏灯的光线平行时，灯的旋转时间． 【考点】解二元一次方程组；平行线的判定与性质；非负数的性质：绝对值；非负数的性质：偶次方；一元一次方程的应用． 【专题】一次方程（组）及应用；线段、角、相交线与平行线；推理能力． 【答案】（1）a＝5，b＝2； （2）17.5； （3）20秒或秒． 【分析】（1）根据非负数的性质列一元二次方程求解即可； （2）灯光MA旋转到MA1时，MA1∥OC，则旋转角为∠AMA1＝8t，再根据平行线的性质列方程求解即可； （3）设旋转时间为 t 秒，灯光MA，NB，PC旋转后的灯光为MA1，NB1，PC1，分MA1∥NB1、MA1∥PC1、NB1∥PC1三种情况，分别利用平行线的性质列方程求解即可． 【解答】解：（1）∵|2a﹣5b|+（a+b﹣7）2＝0， ∴， 解得：． （2）当灯光MA旋转到MA1时，MA1∥OC，则旋转角为∠AMA1＝8t， ∵MA1∥OC，∠AOC＝140°， ∴∠AMA1＝∠AOC＝140°， ∴140°＝8t， 解得t＝17.5秒． ∴灯M开始旋转17.5秒时，灯光MA第一次与OC平行； （3）设旋转时间为 t 秒，灯光MA，NB，PC旋转后的灯光为MA1，NB1，PC1， ①如图：当MA1∥NB1时，MA转过角度∠AMA1＝（8t）°，NB转过角度：∠BNB1＝（5t）°，则两盏灯光线平行时的旋转时间 秒， ∴∠OMA1＝180°﹣8t，∠ONB1＝180°﹣5t， ∵∠OMN＝∠ONM＝30°， ∴∠MNB1＝∠ONB1﹣∠ONM＝150°﹣5t，∠NMA1＝∠OMN+∠OMA1＝210°﹣8t， ∵MA1∥NB1 ∴∠B1NM＝∠A1MN， ∴150°﹣5t＝210°﹣8t， 解得t＝20＜22.5，符合题意； ②当MA1∥PC1时，MA转过角度：∠AMA1＝（8t）°，PC转过角度：∠PCP1＝（2t）°，则两盏灯光线平行时的旋转时间 秒， ∴∠OPD＝∠CPC1＝2t，∠OMA1＝180°﹣8t， ∵∠OMP＝∠OPM＝20° ∴∠DPM＝∠DPO﹣∠OPM＝2t﹣20°，∠PMA1＝∠OMP﹣∠OMA1＝8t﹣160°， ∵MA1∥PC1， ∴∠DPM＝∠A1MP， ∴8t﹣160°＝2t﹣20°， 解得，不符合题意； ③当NB1∥PC1时，NB转过角度：∠BNB1＝（5t）°，PC转过角度∠CPC1＝（2t）°，两盏灯光线平行时的旋转时间秒， ∴∠OPC1＝180°﹣2t，∠ONB1＝180°﹣5t， ∵∠ONP＝∠OPN＝40°， ∴∠C1PN＝∠OPC1﹣∠OPN＝140°﹣2t，∠PNB1＝∠ONB1+∠ONP＝220°﹣5t， ∵NB1∥PC1， ∴∠PNB1＝∠C1PN， ∴220°﹣5t＝140°﹣2t，解得：，符合题意； 综上，灯的旋转时间为20秒或秒． 【点评】本题考查平行线的判定与性质、二元一次方程组，掌握平行线的判定与性质、二元一次方程组的解法是解题的关键． 考点卡片 1．非负数的性质：绝对值 在实数范围内，任意一个数的绝对值都是非负数，当几个数或式的绝对值相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0． 2．非负数的性质：偶次方 偶次方具有非负性． 任意一个数的偶次方都是非负数，当几个数或式的偶次方相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0． 3．列代数式 （1）定义：把问题中与数量有关的词语，用含有数字、字母和运算符号的式子表示出来，就是列代数式． （2）列代数式五点注意：①仔细辨别词义． 列代数式时，要先认真审题，抓住关键词语，仔细辩析词义．如“除”与“除以”，“平方的差（或平方差）”与“差的平方”的词义区分． ②分清数量关系．要正确列代数式，只有分清数量之间的关系． ③注意运算顺序．列代数式时，一般应在语言叙述的数量关系中，先读的先写，不同级运算的语言，且又要体现出先低级运算，要把代数式中代表低级运算的这部分括起来．④规范书写格式．列代数时要按要求规范地书写．像数字与字母、字母与字母相乘可省略乘号不写，数与数相乘必须写乘号；除法可写成分数形式，带分数与字母相乘需把代分数化为假分数，书写单位名称什么时不加括号，什么时要加括号．注意代数式括号的适当运用． ⑤正确进行代换．列代数式时，有时需将题中的字母代入公式，这就要求正确进行代换． 【规律方法】列代数式应该注意的四个问题 1．在同一个式子或具体问题中，每一个字母只能代表一个量． 2．要注意书写的规范性．用字母表示数以后，在含有字母与数字的乘法中，通常将“×”简写作“•”或者省略不写． 3．在数和表示数的字母乘积中，一般把数写在字母的前面，这个数若是带分数要把它化成假分数． 4．含有字母的除法，一般不用“÷”（除号），而是写成分数的形式． 4．代数式求值 （1）代数式的值：用数值代替代数式里的字母，计算后所得的结果叫做代数式的值． （2）代数式的求值：求代数式的值可以直接代入、计算．如果给出的代数式可以化简，要先化简再求值． 题型简单总结以下三种： ①已知条件不化简，所给代数式化简； ②已知条件化简，所给代数式不化简； ③已知条件和所给代数式都要化简． 5．一元一次方程的应用 （一）一元一次方程解应用题的类型有： （1）探索规律型问题； （2）数字问题； （3）销售问题（利润＝售价﹣进价，利润率100%）；（4）工程问题（①工作量＝人均效率×人数×时间；②如果一件工作分几个阶段完成，那么各阶段的工作量的和＝工作总量）； （5）行程问题（路程＝速度×时间）； （6）等值变换问题； （7）和，差，倍，分问题； （8）分配问题； （9）比赛积分问题； （10）水流航行问题（顺水速度＝静水速度+水流速度；逆水速度＝静水速度﹣水流速度）． （二）利用方程解决实际问题的基本思路如下：首先审题找出题中的未知量和所有的已知量，直接设要求的未知量或间接设一关键的未知量为x，然后用含x的式子表示相关的量，找出之间的相等关系列方程、求解、作答，即设、列、解、答． 列一元一次方程解应用题的五个步骤 1．审：仔细审题，确定已知量和未知量，找出它们之间的等量关系． 2．设：设未知数（x），根据实际情况，可设直接未知数（问什么设什么），也可设间接未知数． 3．列：根据等量关系列出方程． 4．解：解方程，求得未知数的值． 5．答：检验未知数的值是否正确，是否符合题意，完整地写出答句． 6．二元一次方程的解 （1）定义：一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解． （2）在二元一次方程中，任意给出一个未知数的值，总能求出另一个未知数的一个唯一确定的值，所以二元一次方程有无数解． （3）在求一个二元一次方程的整数解时，往往采用“给一个，求一个”的方法，即先给出其中一个未知数（一般是系数绝对值较大的）的值，再依次求出另一个的对应值． 7．二元一次方程组的解 （1）定义：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解． （2）一般情况下二元一次方程组的解是唯一的．数学概念是数学的基础与出发点，当遇到有关二元一次方程组的解的问题时，要回到定义中去，通常采用代入法，即将解代入原方程组，这种方法主要用在求方程中的字母系数． 8．解二元一次方程组 （1）用代入法解二元一次方程组的一般步骤：①从方程组中选一个系数比较简单的方程，将这个方程组中的一个未知数用含另一个未知数的代数式表示出来．②将变形后的关系式代入另一个方程，消去一个未知数，得到一个一元一次方程．③解这个一元一次方程，求出x（或y）的值．④将求得的未知数的值代入变形后的关系式中，求出另一个未知数的值．⑤把求得的x、y的值用“{”联立起来，就是方程组的解． （2）用加减法解二元一次方程组的一般步骤：①方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数既不相等又不互为相反数，就用适当的数去乘方程的两边，使某一个未知数的系数相等或互为相反数．②把两个方程的两边分别相减或相加，消去一个未知数，得到一个一元一次方程．③解这个一元一次方程，求得未知数的值．④将求出的未知数的值代入原方程组的任意一个方程中，求出另一个未知数的值．⑤把所求得的两个未知数的值写在一起，就得到原方程组的解，用的形式表示． 9．由实际问题抽象出二元一次方程组 （1）由实际问题列方程组是把“未知”转化为“已知”的重要方法，它的关键是把已知量和未知量联系起来，找出题目中的相等关系． （2）一般来说，有几个未知量就必须列出几个方程，所列方程必须满足：①方程两边表示的是同类量；②同类量的单位要统一；③方程两边的数值要相符． （3）找等量关系是列方程组的关键和难点，有如下规律和方法： ①确定应用题的类型，按其一般规律方法找等量关系．②将问题中给出的条件按意思分割成两个方面，有“；”时一般“；”前后各一层，分别找出两个等量关系．③借助表格提供信息的，按横向或纵向去分别找等量关系．④图形问题，分析图形的长、宽，从中找等量关系． 10．二元一次方程组的应用 （一）列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤： （1）审题：找出问题中的已知条件和未知量及它们之间的关系． （2）设元：找出题中的两个关键的未知量，并用字母表示出来． （3）列方程组：挖掘题目中的关系，找出两个等量关系，列出方程组． （4）求解． （5）检验作答：检验所求解是否符合实际意义，并作答． （二）设元的方法：直接设元与间接设元． 当问题较复杂时，有时设与要求的未知量相关的另一些量为未知数，即为间接设元．无论怎样设元，设几个未知数，就要列几个方程． 11．解三元一次方程组 （1）三元一次方程组的定义：方程组含有三个未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是1，并且一共有三个方程，像这样的方程组叫做三元一次方程组． （2）解三元一次方程组的一般步骤： ①首先利用代入法或加减法，把方程组中一个方程与另两个方程分别组成两组，消去两组中的同一个未知数，得到关于另外两个未知数的二元一次方程组．②然后解这个二元一次方程组，求出这两个未知数的值．③再把求得的两个未知数的值代入原方程组中的一个系数比较简单的方程，得到一个关于第三个未知数的一元一次方程．④解这个一元一次方程，求出第三个未知数的值．⑤最后将求得的三个未知数的值用“{”合写在一起即可． 12．三元一次方程组的应用 在解决实际问题时，若未知量较多，要考虑设三个未知数，但同时应注意，设几个未知数，就要找到几个等量关系列几个方程． （1）把求等式中常数的问题可转化为解三元一次方程组，为以后待定系数法求二次函数解析式奠定基础． （2）通过设二元与三元的对比，体验三元一次方程组在解决多个未知数问题中的优越性． 13．平行线的判定与性质 （1）平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系．平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系． （2）应用平行线的判定和性质定理时，一定要弄清题设和结论，切莫混淆． （3）平行线的判定与性质的联系与区别 区别：性质由形到数，用于推导角的关系并计算；判定由数到形，用于判定两直线平行． 联系：性质与判定的已知和结论正好相反，都是角的关系与平行线相关． （4）辅助线规律，经常作出两平行线平行的直线或作出联系两直线的截线，构造出三类角． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 中等生专题复习《二元一次方程组》 一．选择题（共10小题） 1．（2026•锦江区校级模拟）列方程组解古算题：“今有甲、乙二人持钱不知其数．甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而钱六十．甲、乙持钱各几何？”题目大意是：甲、乙两人各带了若干钱．如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有钱50．如果乙得到甲所有钱的，那么乙共有钱60．甲、乙两人各带了多少钱？设甲带钱的数量为x，乙带钱的数量为y，则可列方程组是（　　） A． B． C． D． 2．（2026•榆树市模拟）若是关于x、y的方程组的解，则m+n的值为（　　） A．3 B．5 C．7 D．9 3．（2026春•渝中区校级月考）若关于x、y的方程5x﹣ay＝28有一组解是，则a的值是（　　） A．29 B．﹣29 C．1 D．﹣1 4．（2026春•武昌区校级期中）若是二元一次方程ax+by＝﹣1的一个解，则2a﹣4b﹣3＝（　　） A．﹣5 B．﹣1 C．1 D．5 5．（2025秋•武冈市期末）若与的和是单项式，则a+b＝（　　） A．﹣3 B．0 C．3 D．6 6．（2026春•浚县月考）小琪在解二元一次方程组时遇到一个残缺方程组，她翻看了课后答案知道了此方程组的解为，于是她很快把残缺的两处补了出来，则●，※两处分别代表的是（　　） A．﹣1，﹣8 B．﹣1，8 C．1，﹣8 D．﹣8，1 7．（2026春•浚县月考）下列二元一次方程组中，解为的是（　　） A． B． C． D． 8．（2026春•浚县月考）解二元一次方程组时，通过下列步骤能消去未知数x的是（　　） A．①+②×5 B．①﹣②×5 C．①+②×2 D．①﹣②×2 9．（2026春•郸城县月考）用代入消元法解，代入后所得方程正确的是（　　） A．6y+2y＝8 B．3y+2y＝8 C．3x+4x＝8 D．2y+2y＝8 10．（2026春•浙江期中）已知关于x，y的方程组的解是，其中y的值被遮住了，但仍能求出m的值是（　　） A．10 B．﹣10 C．8 D．﹣2 二．填空题（共5小题） 11．（2026春•龙华区校级期中）将两块完全相同且宽为10cm的长方体木块先按图①的方式放置，再按图②的方式放置，测得的数据如图所示（单位：cm），则桌子的高度h＝　 　 cm． 12．（2026春•渝中区校级月考）已知关于x、y的方程组的解为整数，则满足条件的整数m的值为　 　 ． 13．（2026春•顺义区校级期中）已知|x+y﹣1|+（x﹣2y﹣4）2＝0，则x•y＝　 　 ． 14．（2026春•通州区期中）已知和都是关于x，y的方程ax﹣y＝c（a，c是常数，a≠0）的解，其中t≠1，则a＝　 　 ． 15．（2026•盐湖区一模）某物理兴趣小组在做实验时，需要购置电压表和滑动变阻器两种实验器材若干个．已知购买2个电压表和3个滑动变阻器共需44元，购买3个电压表和2个滑动变阻器共需46元．设每个电压表的价格为x元，每个滑动变阻器的价格为y元，则可列方程组为　 　 ． 三．解答题（共5小题） 16．（2026•大连二模）《九章算术》是我国古代数学著作，其中记载了这样一道题：今有甲、乙二人持钱不知其数．甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而亦钱五十．问：甲、乙持钱各几何？题目大意：甲、乙两人各带了若干钱．如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有50钱；如果乙得到甲所有钱的，那么乙也共有50钱．甲、乙两人各带了多少钱？ 17．（2026春•盐城月考）解下列二元一次方程组： （1）； （2）． 18．（2026•庐江县模拟）某企业为推进自身绿色低碳转型，计划在厂房屋顶建设分布式光伏电站．已知采购3套100kW单晶硅光伏组件和4台50kW组串式并网逆变器，共需设备款48万元；采购5套100kW单晶硅光伏组件和6台50kW组串式并网逆变器，共需设备款78万元．问每套100kW光伏组件和每台50kW并网逆变器的单价分别是多少万元？ 19．（2026春•龙华区校级月考）随着新能源汽车使用的日益普及，各个社区都纷纷完善新能源汽车的配套设施．鸡鸣山社区计划购置如图所示的单枪、双枪两款新能源充电桩，购置充电桩的相关信息如表： 单枪充电桩数量（单位：个） 双枪充电桩数量（单位：个） 总价（单位：元） 3 2 4400 2 3 4600 求单枪、双枪两款新能源充电桩的单价． 20．（2026春•浚县月考）已知关于x，y的方程组与关于x，y的方程组的解相同，求a，b的值． 中等生专题复习《二元一次方程组》 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D A D A C A B D A B 一．选择题（共10小题） 1．（2026•锦江区校级模拟）列方程组解古算题：“今有甲、乙二人持钱不知其数．甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而钱六十．甲、乙持钱各几何？”题目大意是：甲、乙两人各带了若干钱．如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有钱50．如果乙得到甲所有钱的，那么乙共有钱60．甲、乙两人各带了多少钱？设甲带钱的数量为x，乙带钱的数量为y，则可列方程组是（　　） A． B． C． D． 【考点】由实际问题抽象出二元一次方程组． 【专题】一次方程（组）及应用；应用意识． 【答案】D 【分析】根据“如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有钱50．如果乙得到甲所有钱的，那么乙共有钱60”，即可列出关于x，y 的二元一次方方程组，此题得解． 【解答】解：如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲甲共有钱50，可得xy＝50．如果乙得到甲所有钱的，那么乙共有钱60可得：yx＝60． 可列方程组． 故选：D． 【点评】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程，正确找到等量关系是解题关键． 2．（2026•榆树市模拟）若是关于x、y的方程组的解，则m+n的值为（　　） A．3 B．5 C．7 D．9 【考点】二元一次方程组的解． 【专题】一次方程（组）及应用；运算能力． 【答案】A 【分析】将代入方程组，求出m、n的值即可求解． 【解答】解：将代入方程组， ∴， 解得， ∴m+n＝3， 故选：A． 【点评】本题考查二元一次方程组的解，熟练掌握二元一次方程组的解与二元一次方程组的关系是解题的关键． 3．（2026春•渝中区校级月考）若关于x、y的方程5x﹣ay＝28有一组解是，则a的值是（　　） A．29 B．﹣29 C．1 D．﹣1 【考点】二元一次方程的解． 【专题】方程与不等式；运算能力． 【答案】D 【分析】根据方程解的定义，将已知解代入原方程，得到关于a的一元一次方程，求解即可得到a的值． 【解答】解：根据题意可知，把x＝6，y＝﹣2代入原方程得，5×6﹣a×（﹣2）＝28， 30+2a＝28， 2a＝﹣2， 解得：a＝﹣1． 故选：D． 【点评】本题考查了二元一次方程的解，掌握解二元一次方程的步骤是关键． 4．（2026春•武昌区校级期中）若是二元一次方程ax+by＝﹣1的一个解，则2a﹣4b﹣3＝（　　） A．﹣5 B．﹣1 C．1 D．5 【考点】二元一次方程的解． 【专题】方程与不等式；运算能力． 【答案】A 【分析】由二元一次方程的解的定义可得a﹣2b＝﹣1，再代入代数式计算即可求解． 【解答】解：根据题意可知，把代入ax+by＝﹣1， 得，a﹣2b＝﹣1， ∴2a﹣4b﹣3＝2（a﹣2b）﹣3＝2×（﹣1）﹣3＝﹣5． 故选：A． 【点评】本题考查了二元一次方程的解，掌握解二元一次方程的步骤是关键． 5．（2025秋•武冈市期末）若与的和是单项式，则a+b＝（　　） A．﹣3 B．0 C．3 D．6 【考点】解二元一次方程组；同类项． 【专题】计算题；一次方程（组）及应用． 【答案】C 【分析】根据题意，利用同类项定义列出方程组，求出方程组的解得到a与b的值，即可确定出a+b的值． 【解答】解：根据题意得：， ①+②得：3a＝9，即a＝3， 把a＝3代入②得：b＝0， 则a+b＝3， 故选：C． 【点评】此题考查了解二元一次方程组，以及同类项，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 6．（2026春•浚县月考）小琪在解二元一次方程组时遇到一个残缺方程组，她翻看了课后答案知道了此方程组的解为，于是她很快把残缺的两处补了出来，则●，※两处分别代表的是（　　） A．﹣1，﹣8 B．﹣1，8 C．1，﹣8 D．﹣8，1 【考点】二元一次方程组的解． 【专题】一次方程（组）及应用；运算能力． 【答案】A 【分析】根据二元一次方程的解的定义，代入数据进行计算即可． 【解答】解：一个残缺方程组，她翻看了课后答案知道了此方程组的解为， 设●，※两处分别代表的是a，b， ∵， ∴， 解得． 故选：A． 【点评】本题考查二元一次方程的解，正确进行计算是解题关键． 7．（2026春•浚县月考）下列二元一次方程组中，解为的是（　　） A． B． C． D． 【考点】二元一次方程组的解． 【专题】一次方程（组）及应用；运算能力． 【答案】B 【分析】利用加减消元法求出各选项方程组的解，即可得到正确结果． 【解答】解：根据加减消元法求出各选项方程组的解再逐项分析判断如下： A、， ①+②，得5x＝4，解得，不符合x＝1，该选项不符合题意； B、， ①+②，得3x＝3，解得x＝1． 把x＝1代入①，得 1+y＝﹣1，解得y＝﹣2． ∴原方程组的解为，该选项符合题意； C、， ①+②，得 7x＝13，解得 ，不符合要求，该选项不符合题意； D、， ②﹣①，得 x＝2，不符合要求，该选项不符合题意． 故选：B． 【点评】本题考查了二元一次方程组的解，熟练掌握该知识点是关键． 8．（2026春•浚县月考）解二元一次方程组时，通过下列步骤能消去未知数x的是（　　） A．①+②×5 B．①﹣②×5 C．①+②×2 D．①﹣②×2 【考点】解二元一次方程组． 【专题】方程与不等式；运算能力． 【答案】D 【分析】要消去未知数x，需使两个方程中x的系数相等或互为相反数，再通过加减运算消去x． 【解答】解：∵二元一次方程组的①中x的系数为6，②中x的系数为3， ∴将②×2后，②中x的系数变为6，与①中x的系数相等， ∴用①减去②×2，即可消去未知数x，对应操作就是①﹣②×2． 故选：D． 【点评】本题考查了解二元一次方程组，掌握解二元一次方程组的步骤是关键． 9．（2026春•郸城县月考）用代入消元法解，代入后所得方程正确的是（　　） A．6y+2y＝8 B．3y+2y＝8 C．3x+4x＝8 D．2y+2y＝8 【考点】解二元一次方程组． 【专题】一次方程（组）及应用；运算能力． 【答案】A 【分析】将第一个方程代入第二个方程，再去括号即可． 【解答】解：， 把①代入②整理得6y+2y＝8． 故选：A． 【点评】本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握该知识点是关键． 10．（2026春•浙江期中）已知关于x，y的方程组的解是，其中y的值被遮住了，但仍能求出m的值是（　　） A．10 B．﹣10 C．8 D．﹣2 【考点】二元一次方程组的解． 【专题】一次方程（组）及应用；运算能力． 【答案】B 【分析】把x＝5代入方程x﹣2y＝3求出y的值，再把x、y的值代入2x+my＝0即可求出m的值． 【解答】解：由条件可得：5﹣2y＝3， 解得：y＝1， 把x＝5，y＝1代入2x+my＝0得：2×5+m＝0， ∴m＝﹣10． 故选：B． 【点评】本题考查了二元一次方程组的解，熟练掌握该知识点是关键． 二．填空题（共5小题） 11．（2026春•龙华区校级期中）将两块完全相同且宽为10cm的长方体木块先按图①的方式放置，再按图②的方式放置，测得的数据如图所示（单位：cm），则桌子的高度h＝　70　 cm． 【考点】二元一次方程组的应用． 【专题】一次方程（组）及应用；应用意识． 【答案】70． 【分析】设长方体木块的长比高多xcm，根据两种放置方式测得的数据，可列出关于h，x的二元一次方程组，解之即可得出结论． 【解答】解：设长方体木块的长比高多xcm， 根据题意得：， 解得：， ∴桌子的高度h＝70cm． 故答案为：70． 【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 12．（2026春•渝中区校级月考）已知关于x、y的方程组的解为整数，则满足条件的整数m的值为　﹣2　 ． 【考点】二元一次方程组的解． 【专题】一次方程（组）及应用；运算能力． 【答案】﹣2． 【分析】先用加减消元法消去y，将x表示为含m的分式，再根据x为整数得出分母是22的因数．逐一验证确定m的值，若m的值是整数，则代入检验y是否为整数． 【解答】解： 将②×3得15x﹣36y＝﹣30，③ ①+③，得（15+7m）x＝22， ∴， ∵x为整数， ∴15+7m是22的因数， 22的因数为±1，±2，±11，±22， 当15+7m＝﹣1时（舍去）； 当15+7m＝1时，m＝﹣2，x＝22代入②得5×22﹣12y＝﹣10解得y＝10，y为整数，符合； 当15+7m＝﹣2时，（舍去）； 当15+7m＝2时，（舍去）； 当15+7m＝﹣11时，（舍去）； 当15+7m＝11时，（舍去）； 当15+7m＝22时，m＝1，x＝1，代入②得不是整数，舍去； 当15+7m＝﹣22时，（舍去）． 故答案为：﹣2． 【点评】本题考查二元一次方程组的解，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 13．（2026春•顺义区校级期中）已知|x+y﹣1|+（x﹣2y﹣4）2＝0，则x•y＝　﹣2　 ． 【考点】解二元一次方程组；非负数的性质：绝对值；非负数的性质：偶次方． 【专题】计算题；方程思想；实数；运算能力． 【答案】﹣2． 【分析】根据非负数的性质列出方程求出未知数的值，再代入所求代数式计算即可． 【解答】解：∵|x+y﹣1|+（x﹣2y﹣4）2＝0， ∴， ∴x＝2，y＝﹣1， ∴x•y＝2×（﹣1）＝﹣2． 故答案为：﹣2． 【点评】本题考查了非负数的性质：掌握几个非负数的和为0，则这几个非负数分别等于0，并正确得出未知数的值是解题的关键． 14．（2026春•通州区期中）已知和都是关于x，y的方程ax﹣y＝c（a，c是常数，a≠0）的解，其中t≠1，则a＝　﹣1　 ． 【考点】二元一次方程的解． 【专题】一次方程（组）及应用；运算能力． 【答案】﹣1． 【分析】将已知解分别代入方程ax﹣y＝c中得到关于a的方程，解方程即可． 【解答】解：已知和都是关于x，y的方程ax﹣y＝c（a，c是常数，a≠0）的解， 则a﹣t＝at﹣1＝c， 整理得：（1﹣t）a＝t﹣1， ∵t≠1， ∴a＝﹣1， 故答案为：﹣1． 【点评】本题考查二元一次方程的解，理解其意义是解题的关键． 15．（2026•盐湖区一模）某物理兴趣小组在做实验时，需要购置电压表和滑动变阻器两种实验器材若干个．已知购买2个电压表和3个滑动变阻器共需44元，购买3个电压表和2个滑动变阻器共需46元．设每个电压表的价格为x元，每个滑动变阻器的价格为y元，则可列方程组为　　 ． 【考点】由实际问题抽象出二元一次方程组． 【专题】一次方程（组）及应用；运算能力． 【答案】． 【分析】根据题意找出两个等量关系，分别列出方程，联立得到方程组． 【解答】解：根据题意可得到方程组． 故答案为：． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，理解题意是关键． 三．解答题（共5小题） 16．（2026•大连二模）《九章算术》是我国古代数学著作，其中记载了这样一道题：今有甲、乙二人持钱不知其数．甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而亦钱五十．问：甲、乙持钱各几何？题目大意：甲、乙两人各带了若干钱．如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有50钱；如果乙得到甲所有钱的，那么乙也共有50钱．甲、乙两人各带了多少钱？ 【考点】二元一次方程组的应用． 【专题】一次方程（组）及应用；应用意识． 【答案】甲带了钱，乙带了25钱． 【分析】设甲带了x钱，乙带了y钱，根据“如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有50钱；如果乙得到甲所有钱的，那么乙也共有50钱”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论． 【解答】解：设甲带了x钱，乙带了y钱， 根据题意得：， 解得：． 答：甲带了钱，乙带了25钱． 【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 17．（2026春•盐城月考）解下列二元一次方程组： （1）； （2）． 【考点】解二元一次方程组． 【专题】一次方程（组）及应用；运算能力． 【答案】（1）； （2）． 【分析】（1）根据代入法解二元一次方程组即可求解； （2）根据加减消元法解二元一次方程组即可求解． 【解答】解：（1）， 把①代入②，得3x+2（2x+5）＝﹣11， 3x+4x+10＝﹣11， 7x＝﹣21， 解得x＝﹣3， 把x＝﹣3代入①，得y＝2×（﹣3）+5＝﹣1，解得y＝﹣1， 原方程组的解为； （2）， ①×2+②，得2×3x+5x＝5×2+12，解得x＝2， 把x＝2代入①，得3×2﹣y＝5，解得y＝1， 原方程组的解为． 【点评】本题考查的是解二元一次方程组，熟知解二次元一次方程组的加减消元法和代入消元法是解题的关键． 18．（2026•庐江县模拟）某企业为推进自身绿色低碳转型，计划在厂房屋顶建设分布式光伏电站．已知采购3套100kW单晶硅光伏组件和4台50kW组串式并网逆变器，共需设备款48万元；采购5套100kW单晶硅光伏组件和6台50kW组串式并网逆变器，共需设备款78万元．问每套100kW光伏组件和每台50kW并网逆变器的单价分别是多少万元？ 【考点】二元一次方程组的应用． 【专题】一次方程（组）及应用；应用意识． 【答案】每套100kW光伏组件的单价是12万元，每台50kW并网逆变器的单价是3万元． 【分析】设每套100kW光伏组件的单价是a万元，每台50kW并网逆变器的单价是b万元，根据“采购3套100kW单晶硅光伏组件和4台50kW组串式并网逆变器，共需设备款48万元；采购5套100kW单晶硅光伏组件和6台50kW组串式并网逆变器，共需设备款78万元”，可列出关于a，b的二元一次方程组，解之即可得出结论． 【解答】解：设每套100kW光伏组件的单价是a万元，每台50kW并网逆变器的单价是b万元， 根据题意得：， 解得：． 答：每套100kW光伏组件的单价是12万元，每台50kW并网逆变器的单价是3万元． 【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 19．（2026春•龙华区校级月考）随着新能源汽车使用的日益普及，各个社区都纷纷完善新能源汽车的配套设施．鸡鸣山社区计划购置如图所示的单枪、双枪两款新能源充电桩，购置充电桩的相关信息如表： 单枪充电桩数量（单位：个） 双枪充电桩数量（单位：个） 总价（单位：元） 3 2 4400 2 3 4600 求单枪、双枪两款新能源充电桩的单价． 【考点】二元一次方程组的应用． 【专题】一次方程（组）及应用；应用意识． 【答案】单枪充电桩的单价是800元/个，双枪充电桩的单价是1000元/个． 【分析】设单枪充电桩的单价是x元/个，双枪充电桩的单价是y元/个，利用总价＝单价×数量，结合表格中的数据，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论． 【解答】解：设单枪充电桩的单价是x元/个，双枪充电桩的单价是y元/个， 根据题意得：， 解得：． 答：单枪充电桩的单价是800元/个，双枪充电桩的单价是1000元/个． 【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 20．（2026春•浚县月考）已知关于x，y的方程组与关于x，y的方程组的解相同，求a，b的值． 【考点】二元一次方程组的解；解二元一次方程组． 【专题】一次方程（组）及应用；运算能力． 【答案】，b＝3． 【分析】根据已知的两个方程组的解相同得到关于x、y的方程组，求出x、y的值，再将x、y的值代入含a、b的两个方程中，得到关于a、b的二元一次方程组，进而求出a、b的值即可． 【解答】解：关于x，y的方程组与关于x，y的方程组的解相同， ∴先解方程组， 由①得y＝3x﹣5， 将y＝3x﹣5代入②得，4x﹣7（3x﹣5）＝ 1， 4x﹣21x+35＝1， ﹣17x＝﹣34， 解得x＝2， 将x＝2代入y＝3x﹣5，得y＝1； ∴两个方程组的公共解为， 将代入含有a，b的方程组，即， ∴， 由③+④得，4a＝2， 解得， 将代入④得，， 1+b＝4， 解得b＝3． 【点评】本题考查二元一次方程的解，正确进行计算是解题关键． 考点卡片 1．非负数的性质：绝对值 在实数范围内，任意一个数的绝对值都是非负数，当几个数或式的绝对值相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0． 2．非负数的性质：偶次方 偶次方具有非负性． 任意一个数的偶次方都是非负数，当几个数或式的偶次方相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0． 3．同类项 （1）定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，这样的项叫做同类项． 同类项中所含字母可以看成是数字、单项式、多项式等． （2）注意事项： ①一是所含字母相同，二是相同字母的指数也相同，两者缺一不可； ②同类项与系数的大小无关； ③同类项与它们所含的字母顺序无关； ④所有常数项都是同类项． 4．二元一次方程的解 （1）定义：一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解． （2）在二元一次方程中，任意给出一个未知数的值，总能求出另一个未知数的一个唯一确定的值，所以二元一次方程有无数解． （3）在求一个二元一次方程的整数解时，往往采用“给一个，求一个”的方法，即先给出其中一个未知数（一般是系数绝对值较大的）的值，再依次求出另一个的对应值． 5．二元一次方程组的解 （1）定义：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解． （2）一般情况下二元一次方程组的解是唯一的．数学概念是数学的基础与出发点，当遇到有关二元一次方程组的解的问题时，要回到定义中去，通常采用代入法，即将解代入原方程组，这种方法主要用在求方程中的字母系数． 6．解二元一次方程组 （1）用代入法解二元一次方程组的一般步骤：①从方程组中选一个系数比较简单的方程，将这个方程组中的一个未知数用含另一个未知数的代数式表示出来．②将变形后的关系式代入另一个方程，消去一个未知数，得到一个一元一次方程．③解这个一元一次方程，求出x（或y）的值．④将求得的未知数的值代入变形后的关系式中，求出另一个未知数的值．⑤把求得的x、y的值用“{”联立起来，就是方程组的解． （2）用加减法解二元一次方程组的一般步骤：①方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数既不相等又不互为相反数，就用适当的数去乘方程的两边，使某一个未知数的系数相等或互为相反数．②把两个方程的两边分别相减或相加，消去一个未知数，得到一个一元一次方程．③解这个一元一次方程，求得未知数的值．④将求出的未知数的值代入原方程组的任意一个方程中，求出另一个未知数的值．⑤把所求得的两个未知数的值写在一起，就得到原方程组的解，用的形式表示． 7．由实际问题抽象出二元一次方程组 （1）由实际问题列方程组是把“未知”转化为“已知”的重要方法，它的关键是把已知量和未知量联系起来，找出题目中的相等关系． （2）一般来说，有几个未知量就必须列出几个方程，所列方程必须满足：①方程两边表示的是同类量；②同类量的单位要统一；③方程两边的数值要相符． （3）找等量关系是列方程组的关键和难点，有如下规律和方法： ①确定应用题的类型，按其一般规律方法找等量关系．②将问题中给出的条件按意思分割成两个方面，有“；”时一般“；”前后各一层，分别找出两个等量关系．③借助表格提供信息的，按横向或纵向去分别找等量关系．④图形问题，分析图形的长、宽，从中找等量关系． 8．二元一次方程组的应用 （一）列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤： （1）审题：找出问题中的已知条件和未知量及它们之间的关系． （2）设元：找出题中的两个关键的未知量，并用字母表示出来． （3）列方程组：挖掘题目中的关系，找出两个等量关系，列出方程组． （4）求解． （5）检验作答：检验所求解是否符合实际意义，并作答． （二）设元的方法：直接设元与间接设元． 当问题较复杂时，有时设与要求的未知量相关的另一些量为未知数，即为间接设元．无论怎样设元，设几个未知数，就要列几个方程． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 学困生专题复习《二元一次方程组》 一．选择题（共10小题） 1．（2026•青羊区校级模拟）我国明代珠算家程大位的名著《直指算法统宗》里有一道著名算题：一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚各几丁？译成白话文，其意思是：有100个和尚分100个馒头，正好分完．如果大和尚一人分3个，小和尚3人分一个，试问大小和尚各有几人？设大和尚x人，小和尚y人，可列方程组为（　　） A． B． C． D． 2．（2026春•西城区校级期中）二元一次方程x﹣y＝3和3 x+y＝1的部分解如表1、表2所示，则方程组的解是（　　） 表1 x ﹣1 0 1 2 y ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 表2 x ﹣1 0 1 2 y 4 1 ﹣2 ﹣5 A． B． C． D． 3．（2026春•婺城区校级期中）已知是方程2x+ay＝3的一个解，那么a的值是（　　） A．1 B．3 C．﹣3 D．﹣1 4．（2026春•南岗区校级期中）下列方程中，是二元一次方程的是（　　） A．2x﹣y＝3 B．x+3＝2 C． D．2x+y+3z＝16 5．（2025秋•象州县期末）用代入消元法解二元一次方程组，下列变形正确的是（　　） A．由①得y＝5﹣2x B．由①得y＝2x﹣5 C．由②得x＝3y﹣10 D．由②得x＝10+3y 6．（2025秋•泸州校级期末）如果是方程x﹣3y＝﹣2的一组解，那么代数式4﹣2a+6b的值是（　　） A．0 B．2 C．6 D．8 7．（2026春•正定县校级月考）方程（m﹣2025）x|m|﹣2024+（n+3）y|n|﹣2＝4050是关于x、y的二元一次方程，则（　　） A．m＝±2025，n＝±3 B．m＝2025，n＝3 C．m＝﹣2025，n＝﹣3 D．m＝﹣2025，n＝3 8．（2026春•郸城县月考）已知是关于x，y的方程组，则x+y的值为（　　） A．2 B．5 C．13 D．﹣1 9．（2026春•郸城县月考）将9个不同的整数填入方格中，使得每行、每列、每条对角线上的三个数之和都相等，则a和b的值分别是（　　） 4b﹣2 12 2a+1 7 3b﹣3 2a A．a＝﹣4，b＝3 B．a＝﹣4，b＝﹣3 C．a＝4，b＝3 D．a＝4，b＝﹣3 10．（2026春•泉港区月考）用加减消元法解方程组，下列做法正确的是（　　） A．①+② B．①﹣② C．①+②×5 D．①×5﹣② 二．填空题（共5小题） 11．（2026春•思明区校级期中）已知是关于x、y的方程ax﹣2y＝1的一个解，则a的值为　 　 ． 12．（2025秋•金水区校级期末）已知方程组的解是，则方程组的解是 　 　 ． 13．（2026春•海淀区校级期中）如果是关于x，y的二元一次方程2x﹣y＝1的一组解，那么代数式7﹣2m+n＝　 　 ． 14．（2026春•沙坪坝区期中）2026年新春，重庆无人机表演大放异彩，点亮山城夜空．重庆某工厂计划批量生产表演专用无人机，现有工人共40名，每名工人每天可生产无人机机身5台或生产机翼12片．已知1台无人机机身需要搭配4片机翼才能组装成套．设安排x人生产机身，y人生产机翼，恰好使每天生产的机身与机翼配套，则可列方程组为：　 　 ． 15．（2026•平邑县一模）已知关于x，y的二元一次方程组且x+y＜0，则写出满足条件的k的一个整数　 　 ． 三．解答题（共5小题） 16．（2026春•开州区期中）解方程组： （1）； （2）． 17．（2025秋•深圳校级期末）小明解关于x，y的二元一次方程组时的过程如下： 第1步：①﹣②得x﹣y＝4③ 第2步：③×3得3x﹣3y＝12④ 第3步：①﹣④得x＝﹣3 第4步：将x＝﹣3代入③得﹣3﹣y＝4，即y＝﹣7 所以原方程组的解为． （1）你认为小明的做法从第　 　 步开始出现错误； （2）请写出正确的解法． 18．（2026春•沙坪坝区期中）关于x，y的二元一次方程ax+by＝c（其中a≠b≠c）中的常数项c与未知数x的系数互换，得到的方程叫“变更方程”．例如：“ax+by＝c”变更方程为“cx+by＝a”． （1）求方程5x﹣4y＝3与它的“变更方程”组成的方程组的解； （2）已知关于x，y的二元一次方程ax+by＝c的系数满足a+b+c＝0，且ax+by＝c与它的“变更方程”组成的方程组的解恰好是关于x，y的二元一次方程mx+ny＝p的一个解，求代数式（m+n）m﹣p（n+p）+2026的值． 19．（2026春•浚县月考）信阳毛尖是中国十大名茶之一，具有“细、圆、光、直、多白毫、香高、味浓、汤色绿”的独特风格，被誉为“绿茶之王”．固始皇姑山茶是全国农产品地理标志产品，干茶条索紧秀圆直，汤色柳芽黄清澈，具兰花香气，鲜爽回甘，种植历史超2300年．河南某茶叶经销商要购进“信阳毛尖”和“固始皇姑山茶”进行销售，已知购进3份信阳毛尖与2份固始皇姑山茶共需要280元，购进2份信阳毛尖与3份固始皇姑山茶共需要270元，求每份信阳毛尖和每份固始皇姑山茶的价格． 20．（2026春•淄博校级月考）若关于x、y的方程组和方程组有相同的解，请分别求出a、b的值． 学困生专题复习《二元一次方程组》 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A C A A B D D B C A 一．选择题（共10小题） 1．（2026•青羊区校级模拟）我国明代珠算家程大位的名著《直指算法统宗》里有一道著名算题：一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚各几丁？译成白话文，其意思是：有100个和尚分100个馒头，正好分完．如果大和尚一人分3个，小和尚3人分一个，试问大小和尚各有几人？设大和尚x人，小和尚y人，可列方程组为（　　） A． B． C． D． 【考点】由实际问题抽象出二元一次方程组． 【专题】一次方程（组）及应用；应用意识． 【答案】A 【分析】根据“大和尚和小和尚共100人，大和尚一人分3个，小和尚3人分一个，共分完100个馒头”，即可列出关于x，y的二元一次方程组，此题得解． 【解答】解：∵大和尚和小和尚共100人， ∴x+y＝100； ∵大和尚一人分3个，小和尚3人分一个，共分完100个馒头， ∴3xy＝100． ∴根据题意可列出方程组． 故选：A． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 2．（2026春•西城区校级期中）二元一次方程x﹣y＝3和3 x+y＝1的部分解如表1、表2所示，则方程组的解是（　　） 表1 x ﹣1 0 1 2 y ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 表2 x ﹣1 0 1 2 y 4 1 ﹣2 ﹣5 A． B． C． D． 【考点】解二元一次方程组． 【专题】一次方程（组）及应用；运算能力． 【答案】C 【分析】二元一次方程组的解是同时满足方程组中两个方程的解，本题可利用加减消元法直接求解，也可以观察表格，找出两个方程的公共解即可求解． 【解答】解：解法一： ①+②，得x﹣y+3x+y＝3+1， 化简得4x＝4，解得x＝1， 把x＝1代入①，得1﹣y＝3，解得y＝﹣2， 故原方程组的解为； 解法二：观察表1和表2可知，当x＝1时，两个方程对应的y值均为﹣2，故原方程组的解为， 故选：C． 【点评】本题考查的是解二元一次方程组，熟知解二元一次方程组的基本步骤是解题的关键． 3．（2026春•婺城区校级期中）已知是方程2x+ay＝3的一个解，那么a的值是（　　） A．1 B．3 C．﹣3 D．﹣1 【考点】二元一次方程的解． 【专题】一次方程（组）及应用；运算能力． 【答案】A 【分析】根据二元一次方程的解的定义把代入方程2x+ay＝3中即可求出a的值． 【解答】解：把代入方程2x+ay＝3中，得2+a＝3， 解得a＝1， 故选：A． 【点评】本题考查了二元一次方程的解，熟练掌握二元一次方程的解的定义是解题的关键． 4．（2026春•南岗区校级期中）下列方程中，是二元一次方程的是（　　） A．2x﹣y＝3 B．x+3＝2 C． D．2x+y+3z＝16 【考点】二元一次方程的定义． 【专题】一次方程（组）及应用；推理能力． 【答案】A 【分析】利用二元一次方程的定义判断即可． 【解答】解：A、2x﹣y＝3符合二元一次方程的定义，符合题意； B、x+3＝2是一元一次方程，不符合题意； C、2y＝6不是整式方程，故不是二元一次方程，不符合题意； D、2x+y+3z＝16是三元一次方程，不符合题意． 故选：A． 【点评】本题主要考查的是二元一次方程的定义，熟知含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程是解题的关键． 5．（2025秋•象州县期末）用代入消元法解二元一次方程组，下列变形正确的是（　　） A．由①得y＝5﹣2x B．由①得y＝2x﹣5 C．由②得x＝3y﹣10 D．由②得x＝10+3y 【考点】解二元一次方程组． 【专题】一次方程（组）及应用；运算能力． 【答案】B 【分析】根据代入消元法解二元一次方程组即可． 【解答】解：， 由①，得y＝2x﹣5， 或由②，得x＝10﹣3y， 故选：B． 【点评】本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握代入消元法是解题的关键． 6．（2025秋•泸州校级期末）如果是方程x﹣3y＝﹣2的一组解，那么代数式4﹣2a+6b的值是（　　） A．0 B．2 C．6 D．8 【考点】二元一次方程的解． 【专题】一次方程（组）及应用；运算能力． 【答案】D 【分析】将代入原方程，可得出a﹣3b＝﹣2，再将其代入原式＝4﹣2（a﹣3b）中，即可求出结论． 【解答】解：将代入原方程得：a﹣3b＝﹣2， ∴4﹣2a+6b＝4﹣2（a﹣3b）＝4﹣2×（﹣2）＝8． 故选：D． 【点评】本题考查了二元一次方程的解，牢记“把方程的解代入原方程，等式左右两边相等”是解题的关键． 7．（2026春•正定县校级月考）方程（m﹣2025）x|m|﹣2024+（n+3）y|n|﹣2＝4050是关于x、y的二元一次方程，则（　　） A．m＝±2025，n＝±3 B．m＝2025，n＝3 C．m＝﹣2025，n＝﹣3 D．m＝﹣2025，n＝3 【考点】二元一次方程的定义；绝对值． 【专题】一次方程（组）及应用；运算能力． 【答案】D 【分析】利用二元一次方程的定义，可列出关于m，n的不等式及含绝对值的方程，解之即可得出m，n的值． 【解答】解：∵方程（m﹣2025）x|m|﹣2024+（n+3）y|n|﹣2＝4050是关于x、y的二元一次方程， ∴， 解得：． 故选：D． 【点评】本题考查了二元一次方程的定义以及绝对值，牢记“含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程”是解题的关键． 8．（2026春•郸城县月考）已知是关于x，y的方程组，则x+y的值为（　　） A．2 B．5 C．13 D．﹣1 【考点】解二元一次方程组． 【专题】一次方程（组）及应用；运算能力． 【答案】B 【分析】由①+②得，x+y+1＝6，即可得到x+y的值． 【解答】解：， ①+②得，x+y+1＝6， ∴x+y＝6﹣1， ∴x+y＝5， ∴x+y的值为5． 故选：B． 【点评】本题考查了加减法解二元一次方程组，解题的关键是掌握相关计算． 9．（2026春•郸城县月考）将9个不同的整数填入方格中，使得每行、每列、每条对角线上的三个数之和都相等，则a和b的值分别是（　　） 4b﹣2 12 2a+1 7 3b﹣3 2a A．a＝﹣4，b＝3 B．a＝﹣4，b＝﹣3 C．a＝4，b＝3 D．a＝4，b＝﹣3 【考点】二元一次方程组的应用；一元一次方程的应用． 【专题】一次方程（组）及应用． 【答案】C 【分析】根据每行、每列、每条对角线上的三个数之和都相等，列出二元一次方程组并求解即可． 【解答】解：由题意得：， 整理得：， 解得：， 即a＝4，b＝3； 故选：C． 【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，掌握其相关知识点是解题的关键． 10．（2026春•泉港区月考）用加减消元法解方程组，下列做法正确的是（　　） A．①+② B．①﹣② C．①+②×5 D．①×5﹣② 【考点】解二元一次方程组． 【专题】一次方程（组）及应用；运算能力． 【答案】A 【分析】利用加减消元法解方程组即可． 【解答】解：， ①+②，可以消去x， ∴选项A做法正确． 故选：A． 【点评】本题考查了解二元一次方程组，掌握解二元一次方程组的方法是解题的关键． 二．填空题（共5小题） 11．（2026春•思明区校级期中）已知是关于x、y的方程ax﹣2y＝1的一个解，则a的值为　1　 ． 【考点】二元一次方程的解． 【专题】一次方程（组）及应用；运算能力． 【答案】1． 【分析】根据二元一次方程的解的定义，将x与y的值代入原方程，即可求出的值． 【解答】解：由条件可得3a﹣2×1＝1， 移项合并同类项，得3 a＝3， 化系数为1，解得a＝1． 故答案为：1． 【点评】本题考查了二元一次方程的解，熟练掌握该知识点是关键． 12．（2025秋•金水区校级期末）已知方程组的解是，则方程组的解是 　　 ． 【考点】二元一次方程组的解；解二元一次方程组． 【专题】探究型；转化思想；运算能力． 【答案】． 【分析】根据二元一次方程组的解确定变形后方程组的解即可． 【解答】解：将是代入， 得， 方程组转化为： 则， 解得． 故答案为：． 【点评】本题考查了二元一次方程组的解，解题关键是整体和转化思想的运用． 13．（2026春•海淀区校级期中）如果是关于x，y的二元一次方程2x﹣y＝1的一组解，那么代数式7﹣2m+n＝　6　 ． 【考点】二元一次方程的解；代数式求值． 【专题】一次方程（组）及应用；运算能力． 【答案】6． 【分析】根据二元一次方程的解的定义把代入关于x，y的二元一次方程2x﹣y＝1中，得2m﹣n＝1，再将要求的式子变形为7﹣（2m﹣n），再代入求值即可． 【解答】解：把代入关于x，y的二元一次方程2x﹣y＝1中，得2m﹣n＝1， ∴7﹣2m+n＝7﹣（2m﹣n）＝7﹣1＝6， 故答案为：6． 【点评】本题考查了二元一次方程的解，代数式求值，得出2m﹣n＝1是解题的关键． 14．（2026春•沙坪坝区期中）2026年新春，重庆无人机表演大放异彩，点亮山城夜空．重庆某工厂计划批量生产表演专用无人机，现有工人共40名，每名工人每天可生产无人机机身5台或生产机翼12片．已知1台无人机机身需要搭配4片机翼才能组装成套．设安排x人生产机身，y人生产机翼，恰好使每天生产的机身与机翼配套，则可列方程组为：　　 ． 【考点】由实际问题抽象出二元一次方程组． 【专题】一次方程（组）及应用；应用意识． 【答案】． 【分析】根据该工厂现有工人数及生产机翼的总数量是生产机身总数量的4倍，即可列出关于x，y的二元一次方程组，此题得解． 【解答】解：∵该工厂现有工人共40名， ∴x+y＝40； ∵每名工人每天可生产无人机机身5台或生产机翼12片，且1台无人机机身需要搭配4片机翼才能组装成套， ∴4×5x＝12y， ∴根据题意可列出方程组． 故答案为：． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 15．（2026•平邑县一模）已知关于x，y的二元一次方程组且x+y＜0，则写出满足条件的k的一个整数　3（答案不唯一）　 ． 【考点】二元一次方程组的解；解二元一次方程组． 【专题】一次方程（组）及应用；运算能力；推理能力． 【答案】3（答案不唯一）． 【分析】运用整体思想，将①﹣②，得到x+y＝﹣k+1，结合x+y＜0，求出k的取值范围，再选取一个合适的整数即可． 【解答】解：， 将①﹣②，得x+y＝﹣k+1， ∵x+y＜0， ∴﹣k+1＜0， ∴k＞1， ∴k＝2，3，4……．（答案不唯一）， 故答案为：3（答案不唯一）． 【点评】本题考查二元一次方程组的解，解二元一次方程组，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 三．解答题（共5小题） 16．（2026春•开州区期中）解方程组： （1）； （2）． 【考点】解二元一次方程组． 【专题】一次方程（组）及应用；运算能力． 【答案】（1）； （2）． 【分析】（1）把①代入②得y＝﹣2，把y＝﹣2代入①得x＝3，从而可得方程组的解； （2）方程②×2+①得x＝3，把x＝3代入①可得y＝0，从而可得方程组的解． 【解答】解：（1）， 把①代入②解得y＝﹣2， 把y＝﹣2代入①得x＝﹣2+5＝3， 所以，方程组的解为； （2）， ②×2+①解得：x＝3， 把x＝3代入①解得：y＝0， 所以，方程组的解为． 【点评】本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握该知识点是关键． 17．（2025秋•深圳校级期末）小明解关于x，y的二元一次方程组时的过程如下： 第1步：①﹣②得x﹣y＝4③ 第2步：③×3得3x﹣3y＝12④ 第3步：①﹣④得x＝﹣3 第4步：将x＝﹣3代入③得﹣3﹣y＝4，即y＝﹣7 所以原方程组的解为． （1）你认为小明的做法从第　1　 步开始出现错误； （2）请写出正确的解法． 【考点】解二元一次方程组；二元一次方程组的解． 【专题】一次方程（组）及应用；运算能力． 【答案】（1）1； （2）①﹣②得x+y＝4③， ③×3得3x+3y＝12④， ①+④得7x＝21， 解得x＝3， 将x＝3代入③得3+y＝4，即y＝1， 所以原方程组的解为． 【分析】（1）根据解方程组的过程判断即可； （2）利用加减消元法解二元一次方程组即可． 【解答】解：（1）小明的做法从第1步开始出现错误； 故答案为：1； （2）， ①﹣②得x+y＝4③，③×3得3x+3y＝12④， ①+④得7x＝21， 解得x＝3， 将x＝3代入③得3+y＝4，即y＝1， 所以原方程组的解为． 【点评】本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握解二元一次方程组的方法是解题的关键． 18．（2026春•沙坪坝区期中）关于x，y的二元一次方程ax+by＝c（其中a≠b≠c）中的常数项c与未知数x的系数互换，得到的方程叫“变更方程”．例如：“ax+by＝c”变更方程为“cx+by＝a”． （1）求方程5x﹣4y＝3与它的“变更方程”组成的方程组的解； （2）已知关于x，y的二元一次方程ax+by＝c的系数满足a+b+c＝0，且ax+by＝c与它的“变更方程”组成的方程组的解恰好是关于x，y的二元一次方程mx+ny＝p的一个解，求代数式（m+n）m﹣p（n+p）+2026的值． 【考点】二元一次方程的解． 【专题】一次方程（组）及应用；运算能力． 【答案】（1）； （2）2026． 【分析】（1）先根据“变更方程”的定义，写出原方程的变更方程，再解由两个方程组成的二元一次方程组即可； （2）先写出ax+by＝c的变更方程，再联立两个方程，结合条件a+b+c＝0，求出方程组的解，最后代入mx+ny＝p即可． 【解答】解：（1）因为5x﹣4y＝3的“变更方程”为3x﹣4y＝5， 联立方程组， 用①式减去②式消去y：得2x＝﹣2，x＝﹣1， 将x＝﹣1代入①式：5×（﹣1）﹣4y＝3， 解得：y＝﹣2， 所以方程组的解为：； （2）原方程ax+by＝c的“变更方程”为cx+by＝a， 联立方程组 用①式减去②式消去by：（a﹣c）x＝c﹣a， 得：x＝﹣1， 将x＝﹣1代入①式：﹣a+by＝c， by＝a+c， 由a+b+c＝0得a+c＝﹣b， 所以by＝﹣b， 因为b≠0（若b＝0，则原方程不是二元一次方程）， 所以y＝﹣1， 方程组的解为代入mx+ny＝p得： ﹣m﹣n＝p， 即m+n+p＝0， 所以m+n＝﹣p．将m+n＝﹣p代入代数式： （m+n）m﹣p（n+p）+2026 ＝﹣pm﹣pn﹣p2+2026 ＝﹣p（m+n）﹣p2+2026 ＝﹣p（﹣p）﹣p2+2026 ＝2026． 【点评】本题考查二元一次方程组的求解，解决本题的关键是运用“变更方程”的定义，通过联立方程求解方程组，再利用方程的解代入代数式求值． 19．（2026春•浚县月考）信阳毛尖是中国十大名茶之一，具有“细、圆、光、直、多白毫、香高、味浓、汤色绿”的独特风格，被誉为“绿茶之王”．固始皇姑山茶是全国农产品地理标志产品，干茶条索紧秀圆直，汤色柳芽黄清澈，具兰花香气，鲜爽回甘，种植历史超2300年．河南某茶叶经销商要购进“信阳毛尖”和“固始皇姑山茶”进行销售，已知购进3份信阳毛尖与2份固始皇姑山茶共需要280元，购进2份信阳毛尖与3份固始皇姑山茶共需要270元，求每份信阳毛尖和每份固始皇姑山茶的价格． 【考点】二元一次方程组的应用；一元一次方程的应用． 【专题】一次方程（组）及应用． 【答案】每份信阳毛尖的价格是60元，固始皇姑山茶的价格是50元． 【分析】设每份信阳毛尖的价格是m元，每份固始皇姑山茶的价格是n元，根据题意，得解方程组即可； 【解答】解：设每份信阳毛尖的价格是m元，每份固始皇姑山茶的价格是n元， 根据题意，得 解得 答：每份信阳毛尖的价格是60元，固始皇姑山茶的价格是50元． 【点评】本题主要考查了二元一次方程组的应用，一元一次方程的应用，掌握其相关知识点是解题的关键． 20．（2026春•淄博校级月考）若关于x、y的方程组和方程组有相同的解，请分别求出a、b的值． 【考点】二元一次方程组的解． 【专题】一次方程（组）及应用；运算能力． 【答案】a＝1，b＝﹣1． 【分析】将两个方程组中的第一个方程联立，求出x，y的值，代入两个方程组中的第二个方程中得到关于a，b的方程组，求出方程组的解即可． 【解答】解：∵这两个方程组有相同的解， ∴先解方程组， 解得：， 将代入另外两个方程中，得：， 解得：． 【点评】本题考查了二元一次方程组的解，熟练解二元一次方程组是解题的关键． 考点卡片 1．绝对值 （1）概念：数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值． ①互为相反数的两个数绝对值相等； ②绝对值等于一个正数的数有两个，绝对值等于0的数有一个，没有绝对值等于负数的数． ③有理数的绝对值都是非负数． （2）如果用字母a表示有理数，则数a 绝对值要由字母a本身的取值来确定： ①当a是正有理数时，a的绝对值是它本身a； ②当a是负有理数时，a的绝对值是它的相反数﹣a； ③当a是零时，a的绝对值是零． 即|a|＝{a（a＞0）0（a＝0）﹣a（a＜0） 2．代数式求值 （1）代数式的值：用数值代替代数式里的字母，计算后所得的结果叫做代数式的值． （2）代数式的求值：求代数式的值可以直接代入、计算．如果给出的代数式可以化简，要先化简再求值． 题型简单总结以下三种： ①已知条件不化简，所给代数式化简； ②已知条件化简，所给代数式不化简； ③已知条件和所给代数式都要化简． 3．一元一次方程的应用 （一）一元一次方程解应用题的类型有： （1）探索规律型问题； （2）数字问题； （3）销售问题（利润＝售价﹣进价，利润率100%）；（4）工程问题（①工作量＝人均效率×人数×时间；②如果一件工作分几个阶段完成，那么各阶段的工作量的和＝工作总量）； （5）行程问题（路程＝速度×时间）； （6）等值变换问题； （7）和，差，倍，分问题； （8）分配问题； （9）比赛积分问题； （10）水流航行问题（顺水速度＝静水速度+水流速度；逆水速度＝静水速度﹣水流速度）． （二）利用方程解决实际问题的基本思路如下：首先审题找出题中的未知量和所有的已知量，直接设要求的未知量或间接设一关键的未知量为x，然后用含x的式子表示相关的量，找出之间的相等关系列方程、求解、作答，即设、列、解、答． 列一元一次方程解应用题的五个步骤 1．审：仔细审题，确定已知量和未知量，找出它们之间的等量关系． 2．设：设未知数（x），根据实际情况，可设直接未知数（问什么设什么），也可设间接未知数． 3．列：根据等量关系列出方程． 4．解：解方程，求得未知数的值． 5．答：检验未知数的值是否正确，是否符合题意，完整地写出答句． 4．二元一次方程的定义 （1）二元一次方程的定义 含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程． （2）二元一次方程需满足三个条件：①首先是整式方程．②方程中共含有两个未知数．③所有未知项的次数都是一次．不符合上述任何一个条件的都不叫二元一次方程． 5．二元一次方程的解 （1）定义：一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解． （2）在二元一次方程中，任意给出一个未知数的值，总能求出另一个未知数的一个唯一确定的值，所以二元一次方程有无数解． （3）在求一个二元一次方程的整数解时，往往采用“给一个，求一个”的方法，即先给出其中一个未知数（一般是系数绝对值较大的）的值，再依次求出另一个的对应值． 6．二元一次方程组的解 （1）定义：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解． （2）一般情况下二元一次方程组的解是唯一的．数学概念是数学的基础与出发点，当遇到有关二元一次方程组的解的问题时，要回到定义中去，通常采用代入法，即将解代入原方程组，这种方法主要用在求方程中的字母系数． 7．解二元一次方程组 （1）用代入法解二元一次方程组的一般步骤：①从方程组中选一个系数比较简单的方程，将这个方程组中的一个未知数用含另一个未知数的代数式表示出来．②将变形后的关系式代入另一个方程，消去一个未知数，得到一个一元一次方程．③解这个一元一次方程，求出x（或y）的值．④将求得的未知数的值代入变形后的关系式中，求出另一个未知数的值．⑤把求得的x、y的值用“{”联立起来，就是方程组的解． （2）用加减法解二元一次方程组的一般步骤：①方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数既不相等又不互为相反数，就用适当的数去乘方程的两边，使某一个未知数的系数相等或互为相反数．②把两个方程的两边分别相减或相加，消去一个未知数，得到一个一元一次方程．③解这个一元一次方程，求得未知数的值．④将求出的未知数的值代入原方程组的任意一个方程中，求出另一个未知数的值．⑤把所求得的两个未知数的值写在一起，就得到原方程组的解，用的形式表示． 8．由实际问题抽象出二元一次方程组 （1）由实际问题列方程组是把“未知”转化为“已知”的重要方法，它的关键是把已知量和未知量联系起来，找出题目中的相等关系． （2）一般来说，有几个未知量就必须列出几个方程，所列方程必须满足：①方程两边表示的是同类量；②同类量的单位要统一；③方程两边的数值要相符． （3）找等量关系是列方程组的关键和难点，有如下规律和方法： ①确定应用题的类型，按其一般规律方法找等量关系．②将问题中给出的条件按意思分割成两个方面，有“；”时一般“；”前后各一层，分别找出两个等量关系．③借助表格提供信息的，按横向或纵向去分别找等量关系．④图形问题，分析图形的长、宽，从中找等量关系． 9．二元一次方程组的应用 （一）列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤： （1）审题：找出问题中的已知条件和未知量及它们之间的关系． （2）设元：找出题中的两个关键的未知量，并用字母表示出来． （3）列方程组：挖掘题目中的关系，找出两个等量关系，列出方程组． （4）求解． （5）检验作答：检验所求解是否符合实际意义，并作答． （二）设元的方法：直接设元与间接设元． 当问题较复杂时，有时设与要求的未知量相关的另一些量为未知数，即为间接设元．无论怎样设元，设几个未知数，就要列几个方程． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $