2026年暑期同步个性化分层专项训练之《不等式与不等式组》七年级数学下册人教版

**基本信息** 聚焦中等生需求，以"概念理解-解法应用-实际建模"为逻辑主线，通过分层题型系统构建不等式与不等式组的解题方法体系，培养运算能力与模型意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础概念|3题（选择3/8/11）|不等式性质3条判定法则、文字语言转化符号表达技巧|从性质公理推导解集规律，建立"数-式-符号"转化链| |解法应用|7题（选择1/2/6/9/10、解答20）|"同大取大"等四句解集口诀、数轴标根法|从单一不等式到含参数组，形成"解法-验根-整数解"完整流程| |实际应用|5题（解答17-19）|不等关系隐含条件挖掘、经济问题建模步骤|通过购物/工程等情境，实现"数学语言→不等式模型"转化|

尖子生专题复习《不等式与不等式组》 一．选择题（共9小题） 1．（2026•江阳区校级二模）若关于x的不等式3（x﹣1）＞2（m+x）只有两个负整数解，则m的取值范围是（　　） A． B． C． D． 2．（2026•洛阳模拟）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（　　） A． B． C． D． 3．（2026春•海口期中）已知（m﹣2）x＞m﹣2的解集是x＜1，则m的取值范围是（　　） A．m＞2 B．m＜2 C．m≥2 D．m≤2 4．（2026•博望区二模）已知三个实数a，b，c，满足a﹣b+c＜0，a+b+c＝1，则下列结论不正确的是（　　） A． B．若a＞c，则 C．a+3b+c＞2 D．b2＞4ac 5．（2025秋•拱墅区期末）育才中学组织初二年级研学，现有36座和42座两种客车供选择租用，若只租用36座客车若干辆，则正好坐满；若只租用42座客车，则能少租一辆，且有一辆车没有坐满，但超过30人．现在设租36座的车x辆，则x满足的不等关系为（　　） A．36x≤42（x﹣1） B．36x＞42（x﹣1） C．36x＜42（x﹣2）+30 D．36x＞42（x﹣2）+30 6．（2026春•浔阳区校级期中）若a＜b，则下列式子一定成立的是（　　） A．ac＞bc B．2a＞2b C．2﹣a＞2﹣b D．a﹣2＞b﹣2 7．（2026•韩城市二模）不等式5x+8≥2x﹣1的最小整数解是（　　） A．﹣3 B．﹣2 C．﹣1 D．3 8．（2026•上城区二模）设a，b，c是互不相等的实数，且，下列式子正确的是（　　） A．a＞b＞c B．c＞b＞a C．a﹣c＝3（a﹣b） D．a﹣c＝4（a﹣b） 9．（2026春•武汉期中）对于任意正整数m，n定义运算※为，计算：（8※40）的结果为（　　） A． B． C． D． 二．填空题（共6小题） 10．（2026•武陟县二模）写出满足不等式组的一个整数解：　 　 ． 11．（2026春•海口期中）若关于x的不等式组无解，则b的取值范围是　 　 ． 12．（2026春•东台市月考）将一箱苹果分给若干个小朋友，若每位小朋友分6个苹果，则还剩12个苹果；若每位小朋友分9个苹果，则最后一个小朋友能分到不足5个苹果．这一箱苹果的个数是 　 　 ． 13．（2026春•盐城月考）若不等式有解，则实数a的最小值是　 　 ． 14．（2026•城关区模拟）若代数式2x+3与1+x的值同时为非负数，x应满足的条件是　 　 ． 15．（2026•前进区校级一模）关于x的不等式组有且只有三个整数解，则a的取值范围是　 　 ． 三．解答题（共5小题） 16．（2026•九龙坡区校级三模）求不等式组的解集． 解：解不等式①，得：　 　 ． 解不等式②，得：　 　 ． 在同一数轴上表示不等式①②的解集： ∴原不等式组的解集为　 　 ． 17．（2026•沁水县二模）为了给学生提供更丰富、更营养的早餐．某校食堂窗口增加了豆浆，有小杯豆浆和大杯豆浆供学生选择．已知小杯豆浆的实际容积为190mL，大杯豆浆的实际容积为240mL．某天，九年级一班学生购买了这两种豆浆共50杯，这些豆浆的总量为10000mL． （1）九年级一班学生购买小杯豆浆和大杯豆浆各多少杯． （2）若小杯豆浆每杯售价为1.5元，大杯豆浆每杯售价为2元，这天食堂共售出这两种豆浆300杯，如果食堂豆浆的销售额不低于500元，则大杯豆浆至少出售了多少杯． 18．（2026•三原县二模）解不等式，并将其解集表示在如图所示的数轴上． 19．（2026春•灌南县期中）对于未知数为x，y的二元一次方程组，如果方程组的解x，y满足|x﹣y|＝1，我们就说方程组的解x与y具有“友好关系”． （1）方程组的解x与y　 　 （填“具有”或“不具有”）“友好关系”； （2）若方程组的解x与y具有“友好关系”，求m的值； （3）未知数为x，y的方程组，其中a与x，y都是正整数，该方程组的解x与y是否具有“友好关系”？如果具有，请求出a的值及方程组的解；如果不具有，请说明理由． 20．（2026春•盐城月考）某学校的编程课上，一位同学设计了一个运算程序，如图所示．按上述程序进行运算，程序运行到“判断结果是否大于23”为一次运行． （1）若x＝5，直接写出该程序需要运行　 　 次才停止； （2）若该程序只运行了1次就停止了，则x的取值范围是　 　 ； （3）若该程序只运行了2次就停止了，求x的取值范围． 尖子生专题复习《不等式与不等式组》 参考答案与试题解析 一．选择题（共9小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 答案 B B B B D C A C C 一．选择题（共9小题） 1．（2026•江阳区校级二模）若关于x的不等式3（x﹣1）＞2（m+x）只有两个负整数解，则m的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【考点】一元一次不等式的整数解． 【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力． 【答案】B 【分析】首先解不等式，然后根据条件即可确定m的值． 【解答】解：3（x﹣1）＞2（m+x）， 3x﹣3＞2m+2x， x＞2m+3， ∵关于x的不等式3（x﹣1）＞2（m+x）只有两个负整数解， ∴﹣3≤2m+3＜﹣2， ∴﹣3≤m． 故选：B． 【点评】本题考查不等式的整数解问题，解题的关键是理解题意，属于基础题，中考常考题型． 2．（2026•洛阳模拟）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（　　） A． B． C． D． 【考点】解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式的解集． 【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力；推理能力． 【答案】B 【分析】分别求解两个一元一次不等式，再取公共解集，依据实心、空心规则在数轴标注范围． 【解答】解：， 解不等式①得，x≥1， 解不等式②得，x＜4， ∴不等式组的解集为：1≤x＜4． 把不等式组的解集在数轴上表示，如图所示： ， 故选：B． 【点评】本题考查一元一次不等式组求解与数轴表示．熟练掌握不等式变号法则和数轴画图规范是解题关键． 3．（2026春•海口期中）已知（m﹣2）x＞m﹣2的解集是x＜1，则m的取值范围是（　　） A．m＞2 B．m＜2 C．m≥2 D．m≤2 【考点】解一元一次不等式． 【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力． 【答案】B 【分析】由关于x的不等式（m﹣2）x＞m﹣2的解集是x＜1，知m﹣2＜0，解之即可． 【解答】解：∵关于x的不等式（m﹣2）x＞m﹣2的解集是x＜1， ∴m﹣2＜0， 则m＜2， 故选：B． 【点评】本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变． 4．（2026•博望区二模）已知三个实数a，b，c，满足a﹣b+c＜0，a+b+c＝1，则下列结论不正确的是（　　） A． B．若a＞c，则 C．a+3b+c＞2 D．b2＞4ac 【考点】不等式的性质． 【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力． 【答案】B 【分析】根据不等式的性质结合二次函数的性质对各选项逐一判断即可． 【解答】解：已知三个实数a，b，c，满足a﹣b+c＜0，a+b+c＝1， 由a+b+c＝1，得b＝1﹣a﹣c，代入a﹣b+c＜0中，得2a+2c＜1， ∴， ∴A选项正确． ∵a＞c，∴a+c＜2a，结合，不能判定， 例如，a＝0.2，b＝0.7，c＝0.1符合题意，显然， ∴B选项不正确． 由a﹣b+c＜0，得﹣a+b﹣c＞0 ①， 由a+b+c＝1，得2a+2b+2c＝2②， ①+②，得a+3b+c＞2， ∴C选项正确． 对于函数y＝ax2+bx+c，根据题意可知，函数图象经过点P（1，1），点Q（﹣1，a﹣b+c）． ∵a﹣b+c＜0， ∴点Q在第三象限． 若a＝0，则已知的两式变为﹣b+c＜0，b+c＝1， ∴﹣b+1﹣b＜0， 解得， ∴b2＞4ac成立， 若a≠0，则抛物线y＝ax2+bx+c一定与x轴有两个不同的交点，且（a﹣b+c）（a+b+c）＜0， ∴Δ＝b2﹣4ac＞0即b2＞4ac成立， ∴D选项正确． 故选：B． 【点评】本题考查不等式的性质，正确进行计算是解题关键． 5．（2025秋•拱墅区期末）育才中学组织初二年级研学，现有36座和42座两种客车供选择租用，若只租用36座客车若干辆，则正好坐满；若只租用42座客车，则能少租一辆，且有一辆车没有坐满，但超过30人．现在设租36座的车x辆，则x满足的不等关系为（　　） A．36x≤42（x﹣1） B．36x＞42（x﹣1） C．36x＜42（x﹣2）+30 D．36x＞42（x﹣2）+30 【考点】由实际问题抽象出一元一次不等式． 【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力． 【答案】D 【分析】根据总人数不变，结合42座客车的乘坐情况（少租一辆，有一辆没坐满但超过30人），列出关于x的不等关系，对应选项判断即可． 【解答】解：由题意得：36x＞42（x﹣2）+30， 故选：D． 【点评】本题考查了不等式的应用．理解题意是关键． 6．（2026春•浔阳区校级期中）若a＜b，则下列式子一定成立的是（　　） A．ac＞bc B．2a＞2b C．2﹣a＞2﹣b D．a﹣2＞b﹣2 【考点】不等式的性质． 【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力． 【答案】C 【分析】根据不等式的基本性质逐一判断各选项即可得到答案． 【解答】解：根据不等式的基本性质逐一判断可得： A、c的符号不确定，当c＞0时，ac＜bc；当c＜0时，ac＞bc；当c＝0时，ac＝bc，因此A不一定成立； B、不等式两边同乘正数2，不等号方向不变，可得2a＜2b，因此B不成立； C、不等式两边同乘负数﹣1，不等号方向改变，得﹣a＞﹣b，两边同时加2，不等号方向不变，得2﹣a＞2﹣b，因此C一定成立； D、不等式两边同时减2，不等号方向不变，可得a﹣2＜b﹣2，因此D不成立． 故选：C． 【点评】本题考查不等式的性质，正确进行计算是解题关键． 7．（2026•韩城市二模）不等式5x+8≥2x﹣1的最小整数解是（　　） A．﹣3 B．﹣2 C．﹣1 D．3 【考点】一元一次不等式的整数解． 【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力． 【答案】A 【分析】先解不等式得到解集，再在解集中找出最小整数即可得到答案． 【解答】解：5x+8≥2x﹣1， 3x≥﹣9， 解得x≥﹣3， ∴解集中的最小整数为﹣3． 故选：A． 【点评】本题考查了一元一次不等式的整数解，熟练掌握该知识点是关键． 8．（2026•上城区二模）设a，b，c是互不相等的实数，且，下列式子正确的是（　　） A．a＞b＞c B．c＞b＞a C．a﹣c＝3（a﹣b） D．a﹣c＝4（a﹣b） 【考点】不等式的性质；等式的性质． 【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力；推理能力． 【答案】C 【分析】先对已知等式进行去分母变形，再整理得到a、b、c之间的关系，进而判断选项的正误． 【解答】解：已知ac＝b，等式两边同时乘以3： 2a+c＝3b， 移项整理： a+c＝3b﹣a， a+c＝3（b﹣a）， ∴选项C的式子成立， AB选项中a、b、c的大小关系无法直接由已知条件判断，因为他们的正负和具体数值不确定；D选项的式子a﹣c＝4（a﹣b）也无法由已知条件推出． 故选：C． 【点评】本题考查代数式的变形与等式性质的应用．熟练掌握等式的基本性质，对已知条件进行合理变形，是解题的关键． 9．（2026春•武汉期中）对于任意正整数m，n定义运算※为，计算：（8※40）的结果为（　　） A． B． C． D． 【考点】解一元一次不等式；实数的运算． 【专题】二次根式；运算能力． 【答案】C 【分析】根据新定义运算法则先计算8※40和，然后再根据法则计算（8※40）即可． 【解答】解：∵8＜40， ∴8※4022， ∵， ∴※， ∴（8※40） ＝（22）÷（） ＝6+2． 故选：C． 【点评】本题考查了二次根式的混合运算，理解新定义运算法则是解题的关键． 二．填空题（共6小题） 10．（2026•武陟县二模）写出满足不等式组的一个整数解：　0（答案不唯一）　 ． 【考点】一元一次不等式组的整数解；解一元一次不等式组． 【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力． 【答案】0（答案不唯一）． 【分析】先求出不等式组的解集，再在解集范围内找出一个整数解即可． 【解答】解：由x+2＞1得x＞1﹣2，即x＞﹣1， 结合①可得不等式组的解集为﹣1＜x≤2， 所以不等式组的一个整数解为0（答案不唯一）． 故答案为：0（答案不唯一）． 【点评】本题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握该知识点是关键． 11．（2026春•海口期中）若关于x的不等式组无解，则b的取值范围是b≤7　 ． 【考点】解一元一次不等式组． 【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力． 【答案】b≤7． 【分析】先求出两个不等式的解集，再根据已知得出关于b的不等式，求出不等式的解集即可． 【解答】解：解不等式x﹣5≥2得：x≥7， ∵不等式组无解， ∴b≤7， 即b的取值范围是b≤7． 故答案为：b≤7． 【点评】本题考查了解一元一次不等式，解一元一次不等式组的应用，解此题的关键是得出关于b的不等式，难度适中． 12．（2026春•东台市月考）将一箱苹果分给若干个小朋友，若每位小朋友分6个苹果，则还剩12个苹果；若每位小朋友分9个苹果，则最后一个小朋友能分到不足5个苹果．这一箱苹果的个数是 　48　 ． 【考点】一元一次不等式组的应用． 【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力． 【答案】48． 【分析】设有x位小朋友，则这一箱苹果的个数是（6x+12）个，根据若每位小朋友分9个苹果，则有 1 位小朋友能分到，但不足 5 个苹果建立不等式组，求出不等式组的解集，再根据x为正整数求解即可得． 【解答】解：设有x位小朋友，则这一箱苹果的个数是（6x+12）个，则： ， ∴， ∵x为正整数， ∴x＝6， ∴6x+12＝6×6+12＝48， 故答案为：48． 【点评】本题考查了一元一次不等式组的应用，正确建立不等式组是解题关键． 13．（2026春•盐城月考）若不等式有解，则实数a的最小值是　2　 ． 【考点】解一元一次不等式；绝对值． 【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力． 【答案】2． 【分析】通过确定绝对值的零点，分区间去绝对值，计算左边表达式的最小值，由于不等式有解，因此a的最小值等于左边表达式的最小值，运用分类讨论思想求解． 【解答】解：通过确定绝对值的零点，分区间去绝对值，计算左边表达式的最小值，由于不等式有解，因此a的最小值等于左边表达式的最小值，运用分类讨论思想解答如下： 首先求绝对值的零点，令，得x＝3；令，得x＝6，分三种情况讨论： 当x＜3时，原式左边，该一次函数x的系数为负，y随x增大而减小，因此x＜3时，； 当3≤x≤6时，原式左边，该一次函数x的系数为负，y随x增大而减小，因此在x＝6时取得最小值，； 当x＞6时，原式左边，该一次函数x的系数为正，y随x增大而增大，因此x＞6时，； 综上，左边表达式的最小值为2，不等式有解，则a≥2，因此实数a的最小值为2． 故答案为：2． 【点评】本题考查了解一元一次不等式，熟练掌握分类讨论是关键． 14．（2026•城关区模拟）若代数式2x+3与1+x的值同时为非负数，x应满足的条件是x≥﹣1　 ． 【考点】解一元一次不等式；代数式求值． 【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力． 【答案】x≥﹣1． 【分析】利用题意得到关于x的不等式组，解不等式组即可． 【解答】解：由题意得， 由①得，x， 由②得，x≥﹣1， ∴不等式组的解集为x≥﹣1． 故答案为：x≥﹣1． 【点评】本题主要考查了解一元一次不等式组，熟知解一元一次不等式组的步骤是解题的关键． 15．（2026•前进区校级一模）关于x的不等式组有且只有三个整数解，则a的取值范围是　0≤a＜1　 ． 【考点】一元一次不等式组的整数解． 【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力． 【答案】0≤a＜1． 【分析】先求出不等式组的解集，再根据不等式组有且只有三个整数解求出整数解，得出关于a的不等式组，解得即可． 【解答】解；解不等式组，得a＜x≤3， ∵只有三个整数解， ∴a的取值范围是0≤a＜1． 故答案为：0≤a＜1． 【点评】本题考查了一元一次不等式组的整数解，解一元一次不等式组，解此题的关键是能根据已知和不等式组的解集得出关于a的不等式组． 三．解答题（共5小题） 16．（2026•九龙坡区校级三模）求不等式组的解集． 解：解不等式①，得：x≤3　 ． 解不等式②，得：x＞﹣2　 ． 在同一数轴上表示不等式①②的解集： ∴原不等式组的解集为　﹣2＜x≤3　 ． 【考点】解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式的解集． 【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力． 【答案】x≤3；x＞﹣2；﹣2＜x≤3． 【分析】根据解一元一次不等式组的步骤进行求解即可． 【解答】解：解不等式①，得x≤3； 解不等式②，得x＞﹣2； 在同一条数轴上表示不等式①②的解集： ， 因此，原不等式组的解集为﹣2＜x≤3． 故答案为：x≤3；x＞﹣2；﹣2＜x≤3． 【点评】本题主要考查了一元一次不等式组的整数解、在数轴上表示不等式组的解集及解一元一次不等式组，熟知解一元一次不等式组的步骤是解题的关键． 17．（2026•沁水县二模）为了给学生提供更丰富、更营养的早餐．某校食堂窗口增加了豆浆，有小杯豆浆和大杯豆浆供学生选择．已知小杯豆浆的实际容积为190mL，大杯豆浆的实际容积为240mL．某天，九年级一班学生购买了这两种豆浆共50杯，这些豆浆的总量为10000mL． （1）九年级一班学生购买小杯豆浆和大杯豆浆各多少杯． （2）若小杯豆浆每杯售价为1.5元，大杯豆浆每杯售价为2元，这天食堂共售出这两种豆浆300杯，如果食堂豆浆的销售额不低于500元，则大杯豆浆至少出售了多少杯． 【考点】一元一次不等式的应用． 【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力． 【答案】（1）九年级一班学生购买小杯豆浆40杯，大杯豆浆10杯； （2）大杯豆浆至少出售了100杯． 【分析】（1）设九年级一班学生购买小杯豆浆x杯，购买大杯豆浆y杯，根据题意得：，解得； （2）设大杯豆浆出售m杯，则小杯豆浆出售（300﹣m）杯，根据题意得：2m+1.5（300﹣m）≥500，解得m≥100，故大杯豆浆至少出售了100杯． 【解答】解：（1）两种豆浆共50杯，这些豆浆的总量为10000mL． 设九年级一班学生购买小杯豆浆x杯，购买大杯豆浆y杯， 根据题意得：， ①×240得，240x+240y＝12000③， ③﹣②得，50x＝2000， 解得，x＝40， 把x＝40代入①得，y＝10， 故原二元一次方程组的解为， 答：九年级一班学生购买小杯豆浆40杯，大杯豆浆10杯； （2）设大杯豆浆出售m杯， 根据题意得：2m+1.5（300﹣m）≥500， 化简得，0.5m≥50， 解得m≥100， 答：大杯豆浆至少出售了100杯． 【点评】本题考查一元一次不等式的应用，正确进行计算是解题关键． 18．（2026•三原县二模）解不等式，并将其解集表示在如图所示的数轴上． 【考点】解一元一次不等式；在数轴上表示不等式的解集． 【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力． 【答案】x≤3，． 【分析】依次去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1，得到不等式的解集，再把解集在数轴上表示出来即可． 【解答】解：去分母，得：（2x﹣3）+3≥6（x﹣2）， 去括号，得：2x﹣3+3≥6x﹣12， 移项，得：2x﹣6x≥﹣12+3﹣3， 合并同类项，得：﹣4x≥﹣12， 解得：x≤3， 不等式的解集在数轴上表示如下： ． 【点评】本题考查解一元一次不等式和在数轴上表示不等式的解集，掌握解一元一次不等式的方法是解集本题的关键． 19．（2026春•灌南县期中）对于未知数为x，y的二元一次方程组，如果方程组的解x，y满足|x﹣y|＝1，我们就说方程组的解x与y具有“友好关系”． （1）方程组的解x与y　具有　 （填“具有”或“不具有”）“友好关系”； （2）若方程组的解x与y具有“友好关系”，求m的值； （3）未知数为x，y的方程组，其中a与x，y都是正整数，该方程组的解x与y是否具有“友好关系”？如果具有，请求出a的值及方程组的解；如果不具有，请说明理由． 【考点】解一元一次不等式组；绝对值；二元一次方程组的解；解二元一次方程组． 【答案】（1）具有； （2）或； （3）当a＝1时，该方程组的解x与y具有“友好关系”，理由如下： ， ①+②得，（a+2）y＝12， ∴y． ∵a与x，y都是正整数， ∴a+2是12的正因数， ∴a+2＝1，2，3，4，6，12， 又∵a是正整数， ∴a+2＝3，4，6，12， ∴a＝1，2，4，10， 当a＝1时，y＝4，代入②得，﹣x+6＝5，解得x＝3， 此时|x﹣y|＝|3﹣4|＝1，具有“友好关系”； 当a＝2时，y＝3，代入②得，﹣x+6＝5，解得x＝1， 此时|x﹣y|＝|1﹣3|＝2≠1，不具有“友好关系”； 当a＝4时，y＝2，代入②得，﹣x+4＝5，解得x＝﹣1，不符合题意，舍去； 当a＝10时，y＝1，代入②得，﹣x+2＝5，解得x＝﹣3，不符合题意，舍去； 综上，当a＝1时，该方程组的解x与y具有“友好关系”． 【分析】（1）求出方程组的解，再根据“友好关系”的定义判断即可求解； （2）求出方程组的解，根据“友好关系”的定义列出方程解答即可求解； （3）由方程组可得，再根据x、y都是正整数求出方程组的解，再根据“友好关系”的定义判断即可求解． 【解答】解：（1）具有“友好关系”，理由如下： ， ①﹣②得，3y＝9， 解得y＝3， 将y＝3代入②得，x﹣3＝﹣1， 解得x＝2， ∴方程组的解为， ∴|x﹣y|＝|2﹣3|＝1， ∴方程组的解x与y具有“友好关系”， 故答案为：具有； （2）， ②﹣①得，2x﹣2y＝6m﹣6， ∴x﹣y＝3m﹣3， ∵方程组的解x与y具有“友好关系”， ∴|x﹣y|＝|3m﹣3|＝1， 解得或， ∴m的值为或； （3）当a＝1时，该方程组的解x与y具有“友好关系”，理由如下： ， ①+②得，（a+2）y＝12， ∴y． ∵a与x，y都是正整数， ∴a+2是12的正因数， ∴a+2＝1，2，3，4，6，12， 又∵a是正整数， ∴a+2＝3，4，6，12， ∴a＝1，2，4，10， 当a＝1时，y＝4，代入②得，﹣x+6＝5，解得x＝3， 此时|x﹣y|＝|3﹣4|＝1，具有“友好关系”； 当a＝2时，y＝3，代入②得，﹣x+6＝5，解得x＝1， 此时|x﹣y|＝|1﹣3|＝2≠1，不具有“友好关系”； 当a＝4时，y＝2，代入②得，﹣x+4＝5，解得x＝﹣1，不符合题意，舍去； 当a＝10时，y＝1，代入②得，﹣x+2＝5，解得x＝﹣3，不符合题意，舍去； 综上，当a＝1时，该方程组的解x与y具有“友好关系”． 【点评】本题考查了解二元一次方程组，方程组的解，理解定义是解题的关键． 20．（2026春•盐城月考）某学校的编程课上，一位同学设计了一个运算程序，如图所示．按上述程序进行运算，程序运行到“判断结果是否大于23”为一次运行． （1）若x＝5，直接写出该程序需要运行　4　 次才停止； （2）若该程序只运行了1次就停止了，则x的取值范围是x＞13　 ； （3）若该程序只运行了2次就停止了，求x的取值范围． 【考点】一元一次不等式组的应用． 【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力． 【答案】（1）4； （2）x＞13； （3）8＜x≤13． 【分析】（1）根据运算程序计算运行的结果，再与23比大小，即可求解； （2）根据运算程序，列出不等式，即可求解； （3）根据运算程序，列出不等式组，即可求解． 【解答】解：（1）程序运行到“判断结果是否大于23”为一次运行． 输入5，第一次运行的结果为5×2﹣3＝7＜23； 输入7，第二次运行的结果为7×2﹣3＝11＜23； 输入11，第三次运行的结果为11×2﹣3＝19＜23； 输入19，第四次运行的结果为19×2﹣3＝35＞23； 所以若x＝5，直接写出该程序需要运行4次才停止； 故答案为：4； （2）∵该程序只运行了1次就停止了， ∴2x﹣3＞23， ∴x的取值范围是x＞13； 故答案为：x＞13； （3）∵该程序只运行了2次就停止了， ∴， 解得：8＜x≤13． 【点评】本题考查一元一次不等式的应用，正确进行计算是解题关键． 考点卡片 1．绝对值 （1）概念：数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值． ①互为相反数的两个数绝对值相等； ②绝对值等于一个正数的数有两个，绝对值等于0的数有一个，没有绝对值等于负数的数． ③有理数的绝对值都是非负数． （2）如果用字母a表示有理数，则数a 绝对值要由字母a本身的取值来确定： ①当a是正有理数时，a的绝对值是它本身a； ②当a是负有理数时，a的绝对值是它的相反数﹣a； ③当a是零时，a的绝对值是零． 即|a|＝{a（a＞0）0（a＝0）﹣a（a＜0） 2．实数的运算 （1）实数的运算和在有理数范围内一样，值得一提的是，实数既可以进行加、减、乘、除、乘方运算，又可以进行开方运算，其中正实数可以开平方． （2）在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行． 另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用． 【规律方法】实数运算的“三个关键” 1．运算法则：乘方和开方运算、幂的运算、指数（特别是负整数指数，0指数）运算、根式运算、特殊三角函数值的计算以及绝对值的化简等． 2．运算顺序：先乘方，再乘除，后加减，有括号的先算括号里面的，在同一级运算中要从左到右依次运算，无论何种运算，都要注意先定符号后运算． 3．运算律的使用：使用运算律可以简化运算，提高运算速度和准确度． 3．代数式求值 （1）代数式的值：用数值代替代数式里的字母，计算后所得的结果叫做代数式的值． （2）代数式的求值：求代数式的值可以直接代入、计算．如果给出的代数式可以化简，要先化简再求值． 题型简单总结以下三种： ①已知条件不化简，所给代数式化简； ②已知条件化简，所给代数式不化简； ③已知条件和所给代数式都要化简． 4．等式的性质 （1）等式的性质 性质1、等式两边加同一个数（或式子）结果仍得等式； 性质2、等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式． （2）利用等式的性质解方程 利用等式的性质对方程进行变形，使方程的形式向x＝a的形式转化． 应用时要注意把握两关： ①怎样变形； ②依据哪一条，变形时只有做到步步有据，才能保证是正确的． 5．二元一次方程组的解 （1）定义：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解． （2）一般情况下二元一次方程组的解是唯一的．数学概念是数学的基础与出发点，当遇到有关二元一次方程组的解的问题时，要回到定义中去，通常采用代入法，即将解代入原方程组，这种方法主要用在求方程中的字母系数． 6．解二元一次方程组 （1）用代入法解二元一次方程组的一般步骤：①从方程组中选一个系数比较简单的方程，将这个方程组中的一个未知数用含另一个未知数的代数式表示出来．②将变形后的关系式代入另一个方程，消去一个未知数，得到一个一元一次方程．③解这个一元一次方程，求出x（或y）的值．④将求得的未知数的值代入变形后的关系式中，求出另一个未知数的值．⑤把求得的x、y的值用“{”联立起来，就是方程组的解． （2）用加减法解二元一次方程组的一般步骤：①方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数既不相等又不互为相反数，就用适当的数去乘方程的两边，使某一个未知数的系数相等或互为相反数．②把两个方程的两边分别相减或相加，消去一个未知数，得到一个一元一次方程．③解这个一元一次方程，求得未知数的值．④将求出的未知数的值代入原方程组的任意一个方程中，求出另一个未知数的值．⑤把所求得的两个未知数的值写在一起，就得到原方程组的解，用的形式表示． 7．不等式的性质 （1）不等式的基本性质 ①不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变，即： 若a＞b，那么a±m＞b±m； ②不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，即： 若a＞b，且m＞0，那么am＞bm或； ③不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，即： 若a＞b，且m＜0，那么am＜bm或； （2）不等式的变形：①两边都加、减同一个数，具体体现为“移项”，此时不等号方向不变，但移项要变号；②两边都乘、除同一个数，要注意只有乘、除负数时，不等号方向才改变． 【规律方法】 1．应用不等式的性质应注意的问题：在不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数时，一定要改变不等号的方向；当不等式的两边要乘以（或除以）含有字母的数时，一定要对字母是否大于0进行分类讨论． 2．不等式的传递性：若a＞b，b＞c，则a＞c． 8．在数轴上表示不等式的解集 用数轴表示不等式的解集时，要注意“两定”： 一是定界点，一般在数轴上只标出原点和界点即可．定边界点时要注意，点是实心还是空心，若边界点含于解集为实心点，不含于解集即为空心点； 二是定方向，定方向的原则是：“小于向左，大于向右”． 【规律方法】不等式解集的验证方法 某不等式求得的解集为x＞a，其验证方法可以先将a代入原不等式，则两边相等，其次在x＞a的范围内取一个数代入原不等式，则原不等式成立． 9．解一元一次不等式 根据不等式的性质解一元一次不等式 基本操作方法与解一元一次方程基本相同，都有如下步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤化系数为1． 以上步骤中，只有①去分母和⑤化系数为1可能用到性质3，即可能变不等号方向，其他都不会改变不等号方向． 注意：符号“≥”和“≤”分别比“＞”和“＜”各多了一层相等的含义，它们是不等号与等号合写形式． 10．一元一次不等式的整数解 解决此类问题的关键在于正确解得不等式的解集，然后再根据题目中对于解集的限制得到下一步所需要的条件，再根据得到的条件进而求得不等式的整数解．可以借助数轴进行数形结合，得到需要的值，进而非常容易的解决问题． 11．由实际问题抽象出一元一次不等式 用不等式表示不等关系时，要抓住题目中的关键词，如“大于（小于）、不超过（不低于）、是正数（负数）”“至少”、“最多”等等，正确选择不等号． 因此建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵，不同的词里蕴含这不同的不等关系． 12．一元一次不等式的应用 （1）由实际问题中的不等关系列出不等式，建立解决问题的数学模型，通过解不等式可以得到实际问题的答案． （2）列不等式解应用题需要以“至少”、“最多”、“不超过”、“不低于”等词来体现问题中的不等关系．因此，建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵． （3）列一元一次不等式解决实际问题的方法和步骤： ①弄清题中数量关系，用字母表示未知数． ②根据题中的不等关系列出不等式． ③解不等式，求出解集． ④写出符合题意的解． 13．解一元一次不等式组 （1）一元一次不等式组的解集：几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它们所组成的不等式组的解集． （2）解不等式组：求不等式组的解集的过程叫解不等式组． （3）一元一次不等式组的解法：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集． 方法与步骤：①求不等式组中每个不等式的解集；②利用数轴求公共部分． 解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到． 14．一元一次不等式组的整数解 （1）利用数轴确定不等式组的解（整数解）． 解决此类问题的关键在于正确解得不等式组或不等式的解集，然后再根据题目中对于解集的限制得到下一步所需要的条件，再根据得到的条件进而求得不等式组的整数解． （2）已知解集（整数解）求字母的取值． 一般思路为：先把题目中除未知数外的字母当做常数看待解不等式组或方程组等，然后再根据题目中对结果的限制的条件得到有关字母的代数式，最后解代数式即可得到答案． 15．一元一次不等式组的应用 对具有多种不等关系的问题，考虑列一元一次不等式组，并求解． 一元一次不等式组的应用主要是列一元一次不等式组解应用题，其一般步骤： （1）分析题意，找出不等关系； （2）设未知数，列出不等式组； （3）解不等式组； （4）从不等式组解集中找出符合题意的答案； （5）作答． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 学困生专题复习《不等式与不等式组》 一．选择题（共10小题） 1．（2026春•龙华区校级期中）不等式x+1＞2的解集在数轴上表示正确的一个为（　　） A． B． C． D． 2．（2026•铁岭模拟）如图，小明设计一组测量实验．①将200mL的水倒入一个容积为600mL的杯子中；②若将5颗完全相同的大铁球放入水中，水刚好到杯口，没有溢出；③若将8颗完全相同的小铁球放入水中，水没有满；④再加入1颗大铁球，水满且溢出来．根据以上的实验过程，推测1颗小铁球的体积可能是（　　） A．35cm3 B．45cm3 C．55cm3 D．60cm3 3．（2026春•禅城区期中）已知一元一次不等式组的解集为x≤4，那么a的取值范围是（　　） A．a≥3 B．a＞3 C．a≤3 D．a＜3 4．（2026春•顺义区校级期中）若a＜b，则下列各式中正确的是（　　） A．a+2＞b+2 B．a﹣c＞b﹣c C．﹣5a＞﹣5b D． 5．（2026春•浑南区期中）某游乐园的过山车项目要求游客身高不低于140cm才能乘坐，用x（单位：cm）表示游客的身高，该项目要求游客的身高应满足的不等关系为（　　） A．x＞140 B．x≥140 C．x≤140 D．x＜140 6．（2026•平定县一模）若不等式组的解集是x＜2，则a的取值范围是（　　） A．a＜2 B．a≤2 C．a＞2 D．a≥2 7．（2026•莱芜区模拟）下列判断不正确的是（　　） A．若m＞n，则m+3＞n+3 B．若m＞n，则﹣3m＜﹣3n C．若m≤n，则md≤nd D．若md2＞nd2，则m＞n 8．（2026春•蒙城县月考）随着AI技术广泛应用于人们日常生活，为更好地服务广大读者，某图书馆准备引进智能机器人服务读者．经市场调研发现：甲种型号机器人的单价为13万元，乙种型号机器人的单价为10万元，图书馆准备用不低于114万元的资金购进甲、乙两种型号的机器人共10套（两种型号均有），那么购买甲种型号的智能机器人多少套时，所花资金最少？（　　） A．4套 B．5套 C．6套 D．7套 9．（2026春•太原校级月考）惊蛰，古称“启蛰”，是二十四节气之一，标志着仲春时节的开始，气温转暖，渐有春雷，今年惊蛰这一天太原市的最高气温是12℃，最低气温是﹣3℃，则当天我市气温t（℃）满足的不等关系为（　　） A．t＞12 B．t＜﹣3 C．﹣3＜t＜12 D．﹣3≤t≤12 10．（2026•余杭区二模）杭州入选“2025年全国文明城市”，为深化学生对文明城市的认知，某校举办了文明知识竞答活动，一共10道题，每一题答对得10分，答错或不答扣5分．设答对了x道题，若得分不低于80分，可列出关于x的不等式是（　　） A．10x﹣5（10﹣x）≥80 B．10x﹣5（10﹣x）≤80 C．10x+5（10﹣x）≥80 D．10x+5（10﹣x）≤80 二．填空题（共5小题） 11．（2026春•徐汇区校级期中）如果a＞b，那么﹣3a+1　 　 ﹣3b+1．（填入“＞”、“＜”或“＝”） 12．（2026春•浔阳区校级期中）春节民俗经国务院批准列入第一批国家级非物质文化遗产名录，舟山春节有打年糕的习俗，以谐音取“年高”之意．糯米做成年糕的过程中，由于增加水分，会使得质量增加20%．现有糯米x斤，做成年糕后质量超过60斤，则可列出不等式　 　 ． 13．（2026春•绿园区校级期中）用不等号填空：若a＞b，则a﹣5　 　 b﹣5，﹣4a　 　 ﹣4b，　 　 ． 14．（2026春•江北区校级月考）若（a﹣3）x|a﹣2|+5＞0是关于x的一元一次不等式，则a的值为　 　 ． 15．（2026•巨野县模拟）某学校的编程课上，一位同学设计了一个运算程序，如图所示．按上述程序进行运算，程序运行到“判断结果是否大于23”为一次运行．若该程序只运行了2次就停止了，则x的取值范围是 　 　 ． 三．解答题（共5小题） 16．（2026•天津二模）解不等式组 请结合题意填空，完成本题的解答． （1）解不等式①，得　 　 ； （2）解不等式②，得　 　 ； （3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来： （4）原不等式组的解集为　 　 ． 17．（2026•永丰县模拟）某地冻雨灾害期间，部分高速路段积雪结冰．为了消除安全隐患，方便群众出行，政府迅速调集了一批铲雪车用于路面积雪清理．已知甲款铲雪车每小时可清理24km，乙款铲雪车每小时可清理30km． （1）在某高速积雪路段，政府共调来了5辆铲雪车，5h刚好清理了690km，求甲、乙两款铲雪车各调来多少辆？ （2）现还有A，B两路段的积雪未清理，计划调集7辆甲款铲雪车和3辆乙款铲雪车赶赴现场进行清理．已知A、B两路段长度均为480km，且A路段只能让甲款铲雪车通过，B路段两款车辆都能通过．现10辆铲雪车分别在两路段同时开工，要使A路段的清理时间不大于B路段的清理时间，则至少要调集多少辆甲款铲雪车到A路段？ 18．（2026春•碑林区校级期中）解不等式1，并写出它的所有非负整数解． 19．（2026•河东区模拟）解不等式组：，并在数轴上表示它的解集． 请结合解题过程，完成本题的解答． （Ⅰ）解不等式①，得 　 　 ； （Ⅱ）解不等式②，得 　 　 ； （Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来： （Ⅳ）原不等式组的解集为 　 　 ． 20．（2026春•兰州期中）我们定义：如果两个一元一次不等式有公共整数解，那么称这两个不等式互为“同根不等式”，其中一个不等式是另一个不等式的“同根不等式”． （1）不等式x﹣5≥0　 　 x﹣5＜0的“同根不等式”（填“是”或“不是”）； 不等式x﹣1≥0　 　 1﹣x＜0的“同根不等式”（填“是”或“不是”）． （2）若关于x的不等式x+2m≥0不是2x﹣1≤x+5的“同根不等式”，求m的取值范围． （3）若a≠0，关于x的不等式与不等式ax﹣a≤0互为“同根不等式”．直接写出a的取值范围． 学困生专题复习《不等式与不等式组》 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D B B C B D C B D A 一．选择题（共10小题） 1．（2026春•龙华区校级期中）不等式x+1＞2的解集在数轴上表示正确的一个为（　　） A． B． C． D． 【考点】解一元一次不等式；在数轴上表示不等式的解集． 【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力． 【答案】D 【分析】先移项、合并同类项解出不等式的解集，再在数轴上表示出来即可． 【解答】解：解不等式x+1＞2可得x＞1， 在数轴上表示为： 故选：D． 【点评】本题考查了解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握以上知识点是关键． 2．（2026•铁岭模拟）如图，小明设计一组测量实验．①将200mL的水倒入一个容积为600mL的杯子中；②若将5颗完全相同的大铁球放入水中，水刚好到杯口，没有溢出；③若将8颗完全相同的小铁球放入水中，水没有满；④再加入1颗大铁球，水满且溢出来．根据以上的实验过程，推测1颗小铁球的体积可能是（　　） A．35cm3 B．45cm3 C．55cm3 D．60cm3 【考点】一元一次不等式组的应用；认识立体图形． 【专题】几何图形；运算能力；推理能力． 【答案】B 【分析】先根据大铁球的实验情况求出大铁球体积的范围，再结合小铁球的实验情况，求出小铁球体积的范围，进而确定答案． 【解答】解：杯子还能装的体积：600﹣200＝400mL＝400cm3． 由②设大铁球体积为V大，则5V大＝400，V大＝80； 设小铁球体积为V小， 由③得8V小＜400， V小＜50． 由④得8V小+80＞400， V小＞40． ∴根据以上的实验过程，推测1颗小铁球的体积可能是45cm3． 故选：B． 【点评】本题主要考查体积的估算与不等式的简单应用，熟练掌握根据实验情况列出关于球体积的不等式是解题的关键． 3．（2026春•禅城区期中）已知一元一次不等式组的解集为x≤4，那么a的取值范围是（　　） A．a≥3 B．a＞3 C．a≤3 D．a＜3 【考点】不等式的解集；解一元一次不等式组． 【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力． 【答案】B 【分析】根据“同小取小”的法则，列不等式求解即可． 【解答】解：∵一元一次不等式组的解集为x≤4， ∴4＜a+1， 解得a＞3． 故选：B． 【点评】本题考查了不等式的解集，熟练掌握该知识点是关键． 4．（2026春•顺义区校级期中）若a＜b，则下列各式中正确的是（　　） A．a+2＞b+2 B．a﹣c＞b﹣c C．﹣5a＞﹣5b D． 【考点】不等式的性质． 【专题】实数；抽象能力． 【答案】C 【分析】根据不等式的性质解决此题． 【解答】解：A．根据不等式的性质，由a＜b，得a+2＜b+2，那么A错误，故A不符合题意． B．根据不等式的性质，由a＜b，得a﹣c＜b﹣c，那么B错误，故B不符合题意． C．根据不等式的性质，由a＜b，得﹣5a＞﹣5b，那么C正确，故C符合题意． D．根据不等式的性质，由a＜b，得，那么D错误，故D不符合题意． 故选：C． 【点评】本题主要考查不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解决本题的关键． 5．（2026春•浑南区期中）某游乐园的过山车项目要求游客身高不低于140cm才能乘坐，用x（单位：cm）表示游客的身高，该项目要求游客的身高应满足的不等关系为（　　） A．x＞140 B．x≥140 C．x≤140 D．x＜140 【考点】由实际问题抽象出一元一次不等式． 【专题】一元一次不等式（组）及应用；应用意识． 【答案】B 【分析】不低于表示为≥，进而可用含x的不等式表示出该项目要求游客的身高应满足的不等关系，此题得解． 【解答】解：根据题意得：x≥140． 故选：B． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键． 6．（2026•平定县一模）若不等式组的解集是x＜2，则a的取值范围是（　　） A．a＜2 B．a≤2 C．a＞2 D．a≥2 【考点】解一元一次不等式组；不等式的解集． 【专题】计算题． 【答案】D 【分析】利用不等式取解集的方法判断即可确定出a的范围． 【解答】解：∵不等式组的解集是x＜2， ∴a≥2． 故选：D． 【点评】此题考查了不等式的解集，解答此题学生一定要注意不等式组解集的取法． 7．（2026•莱芜区模拟）下列判断不正确的是（　　） A．若m＞n，则m+3＞n+3 B．若m＞n，则﹣3m＜﹣3n C．若m≤n，则md≤nd D．若md2＞nd2，则m＞n 【考点】不等式的性质． 【专题】一元一次不等式（组）及应用；推理能力． 【答案】C 【分析】逐一分析各选项是否符合不等式变形规则即可． 【解答】解：根据不等式性质逐项分析判断如下： A．若m＞n，则m+3＞n+3，正确，不符合题意； B．若m＞n，则﹣3m＜﹣3n，正确，不符合题意； C．若m≤n，则md≤nd（d＞0），原说法错误，符合题意； D．若md2＞nd2，则m＞n，正确，不符合题意． 故选：C． 【点评】本题考查了不等式的性质，熟记知识点是解题关键． 8．（2026春•蒙城县月考）随着AI技术广泛应用于人们日常生活，为更好地服务广大读者，某图书馆准备引进智能机器人服务读者．经市场调研发现：甲种型号机器人的单价为13万元，乙种型号机器人的单价为10万元，图书馆准备用不低于114万元的资金购进甲、乙两种型号的机器人共10套（两种型号均有），那么购买甲种型号的智能机器人多少套时，所花资金最少？（　　） A．4套 B．5套 C．6套 D．7套 【考点】一元一次不等式的应用． 【专题】一元一次不等式（组）及应用． 【答案】B 【分析】由甲的单价高于乙，因此总资金随甲的购买数量增大而增大，只需找出满足资金要求的甲的最小正整数值即可得到答案． 【解答】解：设购买甲种型号机器人x套，则购买乙种型号机器人（10﹣x）套，x为正整数，且1≤x≤9， 总资金＝13x+10（10﹣x）＝3x+100， ∵资金不低于114万元， ∴3x+100≥114， 解得， ∴当x取满足条件的最小值时，所花资金最小， ∵x为正整数， ∴x的最小值为5， 即购买甲种型号智能机器人5套时，所花资金最少， 故选：B． 【点评】本题主要考查了一元一次不等式的应用，掌握其相关知识点是解题的关键． 9．（2026春•太原校级月考）惊蛰，古称“启蛰”，是二十四节气之一，标志着仲春时节的开始，气温转暖，渐有春雷，今年惊蛰这一天太原市的最高气温是12℃，最低气温是﹣3℃，则当天我市气温t（℃）满足的不等关系为（　　） A．t＞12 B．t＜﹣3 C．﹣3＜t＜12 D．﹣3≤t≤12 【考点】不等式的定义；正数和负数． 【专题】一元一次不等式（组）及应用；推理能力． 【答案】D 【分析】根据最高气温和最低气温的实际含义，气温t不低于最低气温，不高于最高气温，包含端点值，即可得到正确结果． 【解答】解：∵当天太原市的最低气温是﹣3℃，最高气温是12℃， ∴当天我市气温t（℃）满足的不等关系为﹣3≤t≤12． 故选：D． 【点评】本题考查的是不等式的定义，正数和负数，熟知不等式的定义是解题的关键． 10．（2026•余杭区二模）杭州入选“2025年全国文明城市”，为深化学生对文明城市的认知，某校举办了文明知识竞答活动，一共10道题，每一题答对得10分，答错或不答扣5分．设答对了x道题，若得分不低于80分，可列出关于x的不等式是（　　） A．10x﹣5（10﹣x）≥80 B．10x﹣5（10﹣x）≤80 C．10x+5（10﹣x）≥80 D．10x+5（10﹣x）≤80 【考点】由实际问题抽象出一元一次不等式． 【专题】一元一次不等式（组）及应用；应用意识． 【答案】A 【分析】设答对了x道题，则答错或不答（10﹣x）道题，利用得分＝10×答对题目数﹣5×答错或不答题目数，结合得分不低于80分，可列出关于x的一元一次不等式，此题得解． 【解答】解：设答对了x道题，则答错或不答（10﹣x）道题， 根据题意得：10x﹣5（10﹣x）≥80． 故选：A． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键． 二．填空题（共5小题） 11．（2026春•徐汇区校级期中）如果a＞b，那么﹣3a+1　＜　 ﹣3b+1．（填入“＞”、“＜”或“＝”） 【考点】不等式的性质． 【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力． 【答案】＜． 【分析】利用不等式的基本性质即可得到结论． 【解答】解：由题意可得：﹣3a＜﹣3b， ﹣3a+1＜﹣3b+1． 故答案为：＜． 【点评】本题考查不等式的性质，正确进行计算是解题关键． 12．（2026春•浔阳区校级期中）春节民俗经国务院批准列入第一批国家级非物质文化遗产名录，舟山春节有打年糕的习俗，以谐音取“年高”之意．糯米做成年糕的过程中，由于增加水分，会使得质量增加20%．现有糯米x斤，做成年糕后质量超过60斤，则可列出不等式　（1+20% ）x＞60　 ． 【考点】由实际问题抽象出一元一次不等式． 【专题】一元一次不等式（组）及应用；应用意识． 【答案】（1+20% ）x＞60． 【分析】利用做成年糕后的质量＝（1+20%）×糯米的质量，结合做成年糕后质量超过60斤，即可列出关于x的一元一次不等式，此题得解． 【解答】解：根据题意得：（1+20% ）x＞60． 故答案为：（1+20% ）x＞60． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键． 13．（2026春•绿园区校级期中）用不等号填空：若a＞b，则a﹣5　＞　 b﹣5，﹣4a　＜　 ﹣4b，　＞　 ． 【考点】不等式的性质． 【专题】计算题． 【答案】＞；＜；＞ 【分析】根据不等式的基本性质1，不等式a＞b不等式两边减同一个数5，不等号的方向不变，则a﹣5＞b﹣5；不等式两边除以同一个负数﹣4，不等号的方向改变则，﹣4a＜﹣4b；不等式两边乘同一个正数，不等号的方向不变则． 【解答】解：∵a＞b，∴根据不等式的基本性质1可得：a﹣5＞b﹣5； 再根据不等式的基本性质3可得：﹣4a＜﹣4b； 再根据不等式的基本性质2可得：． 【点评】不等式的性质： （1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变． （2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变． （3）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． 14．（2026春•江北区校级月考）若（a﹣3）x|a﹣2|+5＞0是关于x的一元一次不等式，则a的值为　1　 ． 【考点】一元一次不等式的定义；绝对值． 【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力． 【答案】1． 【分析】根据次数等于1且系数不等于0列式求解即可． 【解答】解：根据次数等于1且系数不等于0列式可得： |a﹣2|＝1且a﹣3≠0， ∴a﹣2＝±1且a≠3， 解得a＝1． 故答案为：1． 【点评】本题考查了一元一次不等式的定义，熟练掌握该知识点是关键． 15．（2026•巨野县模拟）某学校的编程课上，一位同学设计了一个运算程序，如图所示．按上述程序进行运算，程序运行到“判断结果是否大于23”为一次运行．若该程序只运行了2次就停止了，则x的取值范围是 　8＜x≤13　 ． 【考点】一元一次不等式组的应用． 【专题】一元一次不等式（组）及应用；应用意识． 【答案】8＜x≤13 【分析】根据该程序只运行了2次就停止了，即可得出关于x的一元一次不等式组，解之即可得出x的取值范围． 【解答】解：依题意得：， 解得：8＜x≤13． 故答案为：8＜x≤13． 【点评】本题考查了一元一次不等式组的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组是解题的关键． 三．解答题（共5小题） 16．（2026•天津二模）解不等式组 请结合题意填空，完成本题的解答． （1）解不等式①，得x≥﹣1　 ； （2）解不等式②，得x≤2　 ； （3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来： （4）原不等式组的解集为　﹣1≤x≤2　 ． 【考点】解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式的解集． 【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力． 【答案】（1）x≥﹣1； （2）x≤2； （3）数轴表示如下： （4）﹣1≤x≤2． 【分析】（1）由一元一次不等式的解法，去括号、移项、合并同类项、系数化为1即可得到答案； （2）由一元一次不等式的解法，移项、合并同类项、系数化为1即可得到答案； （3）由不等式在数轴上的表示方法直接作图即可得到答案； （4）由不等式组解集求法：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解求出不等式组解集即可得到答案． 【解答】解：（1）3x≥x﹣2， 移项得3x﹣x≥﹣2， 合并同类项得2x≥﹣2， ∴x≥﹣1； 故答案为：x≥﹣1； （2）x﹣3≤5﹣3x， 移项得x+3x≤5+3， 合并同类项得4x≤8， ∴x≤2； 故答案为：x≤2； （3）如图所示： （4）由（3）中所画数轴可知，原不等式组的解集为﹣1≤x≤2． 故答案为：﹣1≤x≤2． 【点评】本题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握该知识点是关键． 17．（2026•永丰县模拟）某地冻雨灾害期间，部分高速路段积雪结冰．为了消除安全隐患，方便群众出行，政府迅速调集了一批铲雪车用于路面积雪清理．已知甲款铲雪车每小时可清理24km，乙款铲雪车每小时可清理30km． （1）在某高速积雪路段，政府共调来了5辆铲雪车，5h刚好清理了690km，求甲、乙两款铲雪车各调来多少辆？ （2）现还有A，B两路段的积雪未清理，计划调集7辆甲款铲雪车和3辆乙款铲雪车赶赴现场进行清理．已知A、B两路段长度均为480km，且A路段只能让甲款铲雪车通过，B路段两款车辆都能通过．现10辆铲雪车分别在两路段同时开工，要使A路段的清理时间不大于B路段的清理时间，则至少要调集多少辆甲款铲雪车到A路段？ 【考点】一元一次不等式的应用；一元一次方程的应用；二元一次方程组的应用． 【专题】一次方程（组）及应用． 【答案】（1）甲款铲雪车2辆，乙款铲雪车3辆； （2）6辆． 【分析】（1）设甲款铲雪车x辆，乙款铲雪车y辆，根据题意列出二元一次方程组，解方程组，即可求解． （2）设要调集m辆甲款铲雪车到A路段，根据题意列出不等式，求得最小整数解，即可求解． 【解答】解：（1）设甲款铲雪车x辆，乙款铲雪车y辆， 依题意，得， 解得， 答：甲款铲雪车2辆，乙款铲雪车3辆； （2）设要调集m辆甲款铲雪车到A路段， ∵A路段的清理时间不大于B路段的清理时间，且A，B两路段长度均为480km， ∴A路段的清理速度不小于B路段的清理速度， 依题意，得24m≥24（7﹣m）+30×3， 解得． ∵m为整数，则最小整数解为6， 答：要使A路段的清理时间不大于B路段的清理时间，则至少要调集6辆甲款铲雪车到A路段． 【点评】本题主要考查了一元一次不等式的应用，一元一次方程的应用，二元一次方程组的应用，掌握其相关知识点是解题的关键． 18．（2026春•碑林区校级期中）解不等式1，并写出它的所有非负整数解． 【考点】解一元一次不等式；一元一次不等式的整数解． 【答案】见试题解答内容 【分析】去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化成1即可． 【解答】解：去分母得：2（x﹣2）+6＞3x 2x﹣4+6＞3x 2x﹣3x＞﹣2 ﹣x＞﹣2 x＜2， 所以不等式的所有非负整数解为0，1． 【点评】本题考查了解一元一次不等式，一元一次不等式的整数解的应用，能根据不等式的基本性质求出解不等式的解集是解此题的关键． 19．（2026•河东区模拟）解不等式组：，并在数轴上表示它的解集． 请结合解题过程，完成本题的解答． （Ⅰ）解不等式①，得 x≤1　 ； （Ⅱ）解不等式②，得 x≤4　 ； （Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来： （Ⅳ）原不等式组的解集为 x≤1　 ． 【考点】解一元一次不等式组． 【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力． 【答案】（Ⅰ）x≤1；（Ⅱ）x≤4；（Ⅳ）x≤1． 【分析】求出每个不等式的解集，根据找不等式组解集的规律找出即可． 【解答】解：， （Ⅰ）解不等式①，得x≤1； （Ⅱ）解不等式②，得x≤4； （Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来： （Ⅳ）原不等式组的解集为x≤1． 故答案为：（Ⅰ）x≤1；（Ⅱ）x≤4；（Ⅳ）x≤1． 【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 20．（2026春•兰州期中）我们定义：如果两个一元一次不等式有公共整数解，那么称这两个不等式互为“同根不等式”，其中一个不等式是另一个不等式的“同根不等式”． （1）不等式x﹣5≥0　不是　 x﹣5＜0的“同根不等式”（填“是”或“不是”）； 不等式x﹣1≥0　是　 1﹣x＜0的“同根不等式”（填“是”或“不是”）． （2）若关于x的不等式x+2m≥0不是2x﹣1≤x+5的“同根不等式”，求m的取值范围． （3）若a≠0，关于x的不等式与不等式ax﹣a≤0互为“同根不等式”．直接写出a的取值范围． 【考点】一元一次不等式的整数解；解一元一次不等式． 【答案】（1）不是，是； （2）m＜﹣3； （3）a＜0或． 【分析】（1）直接解不等式判断是否有公共整数解即可； （2）根据没有公共整数解列不等式求m范围； （3）分a大于0和小于0两种情况讨论，得到a的取值范围． 【解答】解：（1）解不等式x﹣5≥0得x≥5， 解不等式x﹣5＜0得x＜5， 两个不等式没有公共解，因此没有公共整数解， 故x﹣5≥0不是x﹣5＜0的“同根不等式”， 解不等式x﹣1≥0得x≥1， 解不等式1﹣x＜0得x＞1， 两个不等式的公共解为x＞1，存在无数个公共整数解， 故x﹣1≥0是1﹣x＜0的“同根不等式”， 故答案为：不是，是； （2）解不等式x+2m≥0得x≥﹣2m， 解不等式2x﹣1≤x+5得x≤6， ∵x+2m≥0不是2x﹣1≤x+5的“同根不等式”， ∴两个不等式没有公共整数解， ∴﹣2m＞6， 解得m＜﹣3； （3）若a≠0，关于x的不等式与不等式ax﹣a≤0互为“同根不等式”． 解不等式，整理得x＞6﹣2a， 解不等式ax﹣a≤0，整理得a（x﹣1）≤0， ①当a＞0时，不等式化简为x≤1， 要使两个不等式有公共整数解，需满足6﹣2a＜1， 解得，符合条件； ②当a＜0时，不等式化简为x≥1， ∵a＜0， ∴6﹣2a＝6﹣2×a＞6＞1， 两个不等式的公共解为x＞6﹣2a， 因此所有a＜0都符合条件， 综上，a的取值范围是a＜0或． 【点评】本题根据新定义“同根不等式”，即两个一元一次不等式有公共整数解，分别解不等式，再结合定义判断是否满足条件，求解参数范围．正确进行计算是解题关键． 考点卡片 1．正数和负数 1、在以前学过的0以外的数叫做正数，在正数前面加负号“﹣”，叫做负数，一个数前面的“+”“﹣”号叫做它的符号． 2、0既不是正数也不是负数．0是正负数的分界点，正数是大于0的数，负数是小于0的数． 3、用正负数表示两种具有相反意义的量．具有相反意义的量都是互相依存的两个量，它包含两个要素，一是它们的意义相反，二是它们都是数量． 2．绝对值 （1）概念：数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值． ①互为相反数的两个数绝对值相等； ②绝对值等于一个正数的数有两个，绝对值等于0的数有一个，没有绝对值等于负数的数． ③有理数的绝对值都是非负数． （2）如果用字母a表示有理数，则数a 绝对值要由字母a本身的取值来确定： ①当a是正有理数时，a的绝对值是它本身a； ②当a是负有理数时，a的绝对值是它的相反数﹣a； ③当a是零时，a的绝对值是零． 即|a|＝{a（a＞0）0（a＝0）﹣a（a＜0） 3．一元一次方程的应用 （一）一元一次方程解应用题的类型有： （1）探索规律型问题； （2）数字问题； （3）销售问题（利润＝售价﹣进价，利润率100%）；（4）工程问题（①工作量＝人均效率×人数×时间；②如果一件工作分几个阶段完成，那么各阶段的工作量的和＝工作总量）； （5）行程问题（路程＝速度×时间）； （6）等值变换问题； （7）和，差，倍，分问题； （8）分配问题； （9）比赛积分问题； （10）水流航行问题（顺水速度＝静水速度+水流速度；逆水速度＝静水速度﹣水流速度）． （二）利用方程解决实际问题的基本思路如下：首先审题找出题中的未知量和所有的已知量，直接设要求的未知量或间接设一关键的未知量为x，然后用含x的式子表示相关的量，找出之间的相等关系列方程、求解、作答，即设、列、解、答． 列一元一次方程解应用题的五个步骤 1．审：仔细审题，确定已知量和未知量，找出它们之间的等量关系． 2．设：设未知数（x），根据实际情况，可设直接未知数（问什么设什么），也可设间接未知数． 3．列：根据等量关系列出方程． 4．解：解方程，求得未知数的值． 5．答：检验未知数的值是否正确，是否符合题意，完整地写出答句． 4．二元一次方程组的应用 （一）列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤： （1）审题：找出问题中的已知条件和未知量及它们之间的关系． （2）设元：找出题中的两个关键的未知量，并用字母表示出来． （3）列方程组：挖掘题目中的关系，找出两个等量关系，列出方程组． （4）求解． （5）检验作答：检验所求解是否符合实际意义，并作答． （二）设元的方法：直接设元与间接设元． 当问题较复杂时，有时设与要求的未知量相关的另一些量为未知数，即为间接设元．无论怎样设元，设几个未知数，就要列几个方程． 5．不等式的定义 （1）不等式的概念：用“＞”或“＜”号表示大小关系的式子，叫做不等式，用“≠”号表示不等关系的式子也是不等式． （2）凡是用不等号连接的式子都叫做不等式．常用的不等号有“＜”、“＞”、“≤”、“≥”、“≠”．另外，不等式中可含未知数，也可不含未知数． 6．不等式的性质 （1）不等式的基本性质 ①不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变，即： 若a＞b，那么a±m＞b±m； ②不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，即： 若a＞b，且m＞0，那么am＞bm或； ③不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，即： 若a＞b，且m＜0，那么am＜bm或； （2）不等式的变形：①两边都加、减同一个数，具体体现为“移项”，此时不等号方向不变，但移项要变号；②两边都乘、除同一个数，要注意只有乘、除负数时，不等号方向才改变． 【规律方法】 1．应用不等式的性质应注意的问题：在不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数时，一定要改变不等号的方向；当不等式的两边要乘以（或除以）含有字母的数时，一定要对字母是否大于0进行分类讨论． 2．不等式的传递性：若a＞b，b＞c，则a＞c． 7．不等式的解集 （1）不等式的解的定义： 使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解． （2）不等式的解集： 能使不等式成立的未知数的取值范围，叫做不等式的解的集合，简称解集． （3）解不等式的定义： 求不等式的解集的过程叫做解不等式． （4）不等式的解和解集的区别和联系 不等式的解是一些具体的值，有无数个，用符号表示；不等式的解集是一个范围，用不等号表示．不等式的每一个解都在它的解集的范围内． 8．在数轴上表示不等式的解集 用数轴表示不等式的解集时，要注意“两定”： 一是定界点，一般在数轴上只标出原点和界点即可．定边界点时要注意，点是实心还是空心，若边界点含于解集为实心点，不含于解集即为空心点； 二是定方向，定方向的原则是：“小于向左，大于向右”． 【规律方法】不等式解集的验证方法 某不等式求得的解集为x＞a，其验证方法可以先将a代入原不等式，则两边相等，其次在x＞a的范围内取一个数代入原不等式，则原不等式成立． 9．一元一次不等式的定义 （1）一元一次不等式的定义： 含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式． （2）概念解析 一方面：它与一元一次方程相似，即都含一个未知数且未知项的次数都是一次，但也有不同，即它是用不等号连接，而一元一次方程是用等号连接． 另一方面：它与不等式有区别，不等式中可含、可不含未知数，而一元一次不等式必含未知数．但两者也有联系，即一元一次不等是属于不等式． 10．解一元一次不等式 根据不等式的性质解一元一次不等式 基本操作方法与解一元一次方程基本相同，都有如下步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤化系数为1． 以上步骤中，只有①去分母和⑤化系数为1可能用到性质3，即可能变不等号方向，其他都不会改变不等号方向． 注意：符号“≥”和“≤”分别比“＞”和“＜”各多了一层相等的含义，它们是不等号与等号合写形式． 11．一元一次不等式的整数解 解决此类问题的关键在于正确解得不等式的解集，然后再根据题目中对于解集的限制得到下一步所需要的条件，再根据得到的条件进而求得不等式的整数解．可以借助数轴进行数形结合，得到需要的值，进而非常容易的解决问题． 12．由实际问题抽象出一元一次不等式 用不等式表示不等关系时，要抓住题目中的关键词，如“大于（小于）、不超过（不低于）、是正数（负数）”“至少”、“最多”等等，正确选择不等号． 因此建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵，不同的词里蕴含这不同的不等关系． 13．一元一次不等式的应用 （1）由实际问题中的不等关系列出不等式，建立解决问题的数学模型，通过解不等式可以得到实际问题的答案． （2）列不等式解应用题需要以“至少”、“最多”、“不超过”、“不低于”等词来体现问题中的不等关系．因此，建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵． （3）列一元一次不等式解决实际问题的方法和步骤： ①弄清题中数量关系，用字母表示未知数． ②根据题中的不等关系列出不等式． ③解不等式，求出解集． ④写出符合题意的解． 14．解一元一次不等式组 （1）一元一次不等式组的解集：几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它们所组成的不等式组的解集． （2）解不等式组：求不等式组的解集的过程叫解不等式组． （3）一元一次不等式组的解法：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集． 方法与步骤：①求不等式组中每个不等式的解集；②利用数轴求公共部分． 解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到． 15．一元一次不等式组的应用 对具有多种不等关系的问题，考虑列一元一次不等式组，并求解． 一元一次不等式组的应用主要是列一元一次不等式组解应用题，其一般步骤： （1）分析题意，找出不等关系； （2）设未知数，列出不等式组； （3）解不等式组； （4）从不等式组解集中找出符合题意的答案； （5）作答． 16．认识立体图形 （1）几何图形：从实物中抽象出的各种图形叫几何图形．几何图形分为立体图形和平面图形． （2）立体图形：有些几何图形（如长方体、正方体、圆柱、圆锥、球等）的各部分不都在同一个平面内，这就是立体图形． （3）重点和难点突破： 结合实物，认识常见的立体图形，如：长方体、正方体、圆柱、圆锥、球、棱柱、棱锥等．能区分立体图形与平面图形，立体图形占有一定空间，各部分不都在同一平面内． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 中等生专题复习《不等式与不等式组》 一．选择题（共10小题） 1．（2026•长宁县模拟）不等式组的解集为（　　） A．﹣1＜x≤8 B．﹣2＜x≤8 C．﹣1＜x≤4 D．x＜﹣1 2．（2026•银川二模）若关于x的不等式组无解，则m的值可以为（　　） A．﹣3 B．2 C．3 D．5 3．（2026春•鼓楼区校级期中）下列判断不正确的是（　　） A．若a＞b，则﹣2a＜﹣2b B．若a＞b，则a+2＞b+2 C．若ma＞mb，则a＞b D．若a＞b，则a（c2+1）＞b（c2+1） 4．（2026春•江北区校级月考）若关于x的不等式组有且仅有2个整数解，同时关于y的一元一次方程解为非负整数，则所有满足条件的整数a的和为（　　） A．4 B．6 C．7 D．9 5．（2026•庐江县模拟）已知实数a，b满足a﹣b+2＝0，﹣1＜a+b+1＜1，则下列判断正确的是（　　） A．﹣2＜a＜1 B．﹣1＜b＜0 C．0＜a﹣2b＜1 D．﹣5＜2a﹣b＜﹣2 6．（2026春•浑南区期中）已知关于x的不等式组的解集为0≤x≤3，则ba的值为（　　） A．3 B． C．1 D．﹣3 7．（2026•榆树市模拟）已知关于x的不等式3x﹣m+1＞0的最小整数解为2，则实数m的取值范围是（　　） A．m＞4 B．4≤m＜7 C．m＜7 D．4＜m＜7 8．（2026•青秀区校级二模）公路旁边的汽车最高限速标志牌上的数字，指的是汽车在该路段的最高时速不能超过这个数（单位：km/h）．如果某个最高限速标志牌如图所示，用x（单位：km/h）表示该路段汽车时速，则下列不等式对此标志解释正确的是（　　） A．x≥40 B．x≤40 C．x＞40 D．x＜40 9．（2026春•阜新期中）若关于x的不等式组无解，则a的取值范围是（　　） A．a≥4 B．a≤4 C．a＞4 D．a＜4 10．（2026春•蒙城县月考）若关于x的不等式x＜m有且只有两个正整数解，则m的值不能是（　　） A．2 B．2.5 C．2.8 D．3 二．填空题（共5小题） 11．（2026春•南岗区校级期中）用不等式表示“y的一半与5的差小于3”：　 　 ． 12．（2026•盐城一模）关于x的不等式的解集为﹣3＜x＜0或x＞1，则k﹣b＝　 　 ． 13．（2026春•盐城月考）已知关于x的方程4x﹣9＝3k的解是非负数，则k的范围为　 　 ． 14．（2026•吉林校级模拟）已知点（﹣1，2a﹣3）位于第三象限，则a的取值范围是　 　 ． 15．（2026春•杨浦区校级期中）已知关于x的不等式组的所有整数解的和为﹣7，则m的取值范围为　 　 ． 三．解答题（共5小题） 16．（2026春•海口期中）已知y＝kx+b，当x＝2时，y＝﹣4；当x＝﹣1时，y＝5． （1）求k、b的值； （2）求当x＝﹣2时，y的值； （3）当y＞6时，求x． 17．（2026•白云区二模）某校开展校园义卖活动．活动前，张明到纪念品商店购买若干个“广州塔”挂件作为义卖奖品，每个挂件标价10元．请认真阅读结账时老板与张明的对话： （1）结合两人的对话内容，求张明原计划购买“广州塔”挂件多少个？ （2）根据活动情况，需要购买“喜洋洋”挂件和“乐融融”挂件共50个作为补充奖品，两次购买奖品总支出不超过450元．其中“喜洋洋”挂件标价每个8元，“乐融融”挂件标价每个6元．经过沟通，这次老板给予8折优惠，那么张明最多可购买“喜洋洋”挂件多少个？ 18．（2026春•龙华区校级期中）李老师去文具店给30名学生购买笔记本和中性笔． 如果给每人买2本笔记本、1支中性笔，按零售价一共需要480元； 如果给每人买3本笔记本、2支中性笔，按批发价一共需要570元． 已知：每本笔记本批发价比零售价少2元，每支中性笔批发价比零售价少1元． （1）求每本笔记本、每支中性笔的批发价； （2）现按批发价采购笔记本和中性笔一共90件，总费用不超过421元，求最多可以购买多少支中性笔？ 19．（2026•花溪区二模）人工智能的发展为我们的生活增添了许多便利．某快递中转站为提升分拣效率，引进了A、B两种型号的自动分拣机器人．同时使用一台A型机器人和一台B型机器人每小时可以分拣共2000个快递；同时使用一台A型机器人和两台B型机器人每小时可以分拣共2800个快递． （1）求一台A型和一台B型机器人每小时可以分拣多少个快递？ （2）为扩大规模，若另一快递中转站准备同时购买相同型号的A、B两种机器人共5个，该中转站送来一批快递，要求4个小时分拣快递数量不少于20000个，至少需要购买多少个A型机器人？ 20．（2026春•张店区校级期中）解下列不等式． （1）解不等式：5x+7＞3（x+1），并把解集表示在数轴上； （2）求不等式的负整数解． 中等生专题复习《不等式与不等式组》 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A D C B D B B B B A 一．选择题（共10小题） 1．（2026•长宁县模拟）不等式组的解集为（　　） A．﹣1＜x≤8 B．﹣2＜x≤8 C．﹣1＜x≤4 D．x＜﹣1 【考点】解一元一次不等式组． 【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力． 【答案】A 【分析】分别解两个不等式，再求公共部分即可． 【解答】解：， 解不等式5（x﹣2）≤3x+6得x≤8， 解不等式得x＞﹣1， 故不等式的解集为﹣1＜x≤8． 故选：A． 【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”是解题的关键． 2．（2026•银川二模）若关于x的不等式组无解，则m的值可以为（　　） A．﹣3 B．2 C．3 D．5 【考点】解一元一次不等式组． 【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力． 【答案】D 【分析】先分别解不等式组中两个不等式，得到各自的解集，再根据不等式组无解的条件得到m的取值范围，最后结合选项得到正确答案． 【解答】解：解不等式x﹣1＜2得x＜3， 解不等式x+2＞m得x＞m﹣2， ∵不等式组无解， ∴m﹣2≥3， 解得m≥5， 故选：D． 【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”是解题的关键． 3．（2026春•鼓楼区校级期中）下列判断不正确的是（　　） A．若a＞b，则﹣2a＜﹣2b B．若a＞b，则a+2＞b+2 C．若ma＞mb，则a＞b D．若a＞b，则a（c2+1）＞b（c2+1） 【考点】不等式的性质． 【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力． 【答案】C 【分析】根据不等式的性质对各选项进行判断即可． 【解答】解：A．若a＞b，则﹣2a＜﹣2b，故选项A正确； B．若a＞b，则a+2＞b+2，故选项B正确； C．若ma＞mb，当m＞0时，则a＞b；当m＜0时，则a＜b；当m＝0时，则a＝b，故选项C不正确； D．若a＞b，由c2≥0，得c2+1＞0， ∴a（c2+1）＞b（c2+1），故选项D正确． 故选：C． 【点评】本题考查了不等式的性质，掌握不等式的性质是解题的关键． 4．（2026春•江北区校级月考）若关于x的不等式组有且仅有2个整数解，同时关于y的一元一次方程解为非负整数，则所有满足条件的整数a的和为（　　） A．4 B．6 C．7 D．9 【考点】一元一次不等式组的整数解；一元一次方程的解；解一元一次不等式组． 【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力． 【答案】B 【分析】先解不等式组，根据不等式组仅有2个整数解确定整数a的取值范围，再解一元一次方程，根据方程解为非负整数确定符合条件的a的值，最后求和得到答案． 【解答】解：解不等式6x﹣7≥a﹣2得：， 解不等式得：x＜4， ∴不等式组的解集为， ∵不等式组有且仅有2个整数解，小于4的符合条件的两个整数为2和3， ∴， 解得1＜a≤7， ∴范围内的整数a为2，3，4，5，6，7， 解关于y的方程，得， ∵y为非负整数，1＜a≤7，可得3＜a+2≤9，且a+2是12的正因数， ∴符合条件的a+2为4，6，对应可得a＝2，a＝4， ∴所有满足条件的整数a的和为2+4＝6． 故选：B． 【点评】本题考查了解一元一次不等式组的整数解，熟练掌握该知识点是关键． 5．（2026•庐江县模拟）已知实数a，b满足a﹣b+2＝0，﹣1＜a+b+1＜1，则下列判断正确的是（　　） A．﹣2＜a＜1 B．﹣1＜b＜0 C．0＜a﹣2b＜1 D．﹣5＜2a﹣b＜﹣2 【考点】不等式的性质． 【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力． 【答案】D 【分析】根据不等式的性质对各选项进行判断即可． 【解答】解：∵a﹣b+2＝0， ∴b＝a+2， 把b＝a+2代入﹣1＜a+b+1＜1，得﹣1＜a+a+2+1＜1， 化简，得﹣1＜2a+3＜1， 不等式三边同时减去3，得﹣4＜2a＜﹣2， 三边同时除以2，得﹣2＜a＜﹣1． A．﹣2＜a＜1， 实际a的范围是﹣2＜a＜﹣1，该范围包含了﹣1≤a＜1的部分，故选项A错误； B．﹣1＜b＜0， ∵b＝a+2，﹣2＜a＜﹣1， ∴0＜b＜1，故选项B错误； C.0＜a﹣2b＜1， 把b＝a+2代入a﹣2b，得a﹣2（a+2）＝a﹣2a﹣4＝﹣a﹣4， 由﹣2＜a＜﹣1，可得1＜﹣a＜2， ∴﹣3＜﹣a﹣4＜﹣2，即﹣3＜a﹣2b＜﹣2， 与选项C的0＜a﹣2b＜1不符，故选项C错误； D．﹣5＜2a﹣b＜﹣2， 把b＝a+2代入2a﹣b，得2a﹣（a+2）＝2a﹣a﹣2＝a﹣2， 由﹣2＜a＜﹣1可得：﹣4＜a﹣2＜﹣3，即﹣4＜2a﹣b＜﹣3， 显然﹣4＜2a﹣b＜﹣3完全包含在﹣5＜2a﹣b＜﹣2内，故选项D正确． 故选：D． 【点评】本题考查了不等式的性质，掌握不等式的性质是解题的关键． 6．（2026春•浑南区期中）已知关于x的不等式组的解集为0≤x≤3，则ba的值为（　　） A．3 B． C．1 D．﹣3 【考点】解一元一次不等式组． 【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力． 【答案】B 【分析】解不等式组得﹣a﹣1≤x≤b，所以﹣a﹣1＝0，b＝3，然后求出a＝﹣1，最后根据负整数指数幂的意义求解． 【解答】解：不等式组变形为， ∵关于x的不等式组有解， ∴﹣a﹣1≤x≤b， ∵关于x的不等式组的解集为0≤x≤3， ∴﹣a﹣1＝0，b＝3， 解得a＝﹣1， ∴ba＝3﹣1． 故选：B． 【点评】本题考查了解一元一次不等式组：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分． 7．（2026•榆树市模拟）已知关于x的不等式3x﹣m+1＞0的最小整数解为2，则实数m的取值范围是（　　） A．m＞4 B．4≤m＜7 C．m＜7 D．4＜m＜7 【考点】一元一次不等式的整数解． 【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力． 【答案】B 【分析】先解出不等式，然后根据最小整数解为2得出关于m的不等式组，解之即可求得m的取值范围． 【解答】解：3x﹣m+1＞0， 3x＞m﹣1， x， ∵不等式有最小整数解2， ∴， 解得：4≤m＜7， 故选：B． 【点评】本题考查了一元一次不等式的整数解，正确解不等式，求出解集是解答本题的关键． 8．（2026•青秀区校级二模）公路旁边的汽车最高限速标志牌上的数字，指的是汽车在该路段的最高时速不能超过这个数（单位：km/h）．如果某个最高限速标志牌如图所示，用x（单位：km/h）表示该路段汽车时速，则下列不等式对此标志解释正确的是（　　） A．x≥40 B．x≤40 C．x＞40 D．x＜40 【考点】由实际问题抽象出一元一次不等式． 【专题】方程与不等式；运算能力． 【答案】B 【分析】根据最高限速标志牌的意义，即可求解． 【解答】解：根据题意得：不等式对此标志解释正确的是x≤40． 故选：B． 【点评】本题主要考查了列不等式，熟练掌握列出不等式是关键． 9．（2026春•阜新期中）若关于x的不等式组无解，则a的取值范围是（　　） A．a≥4 B．a≤4 C．a＞4 D．a＜4 【考点】解一元一次不等式组． 【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力． 【答案】B 【分析】根据不等式组性质解不等式，然后根据无解情况结合数轴即可解答． 【解答】解：由不等式①得，x＜a， 由不等式②得，x≥4， 根据题意可知原不等式组无解， ∴a≤4． 故答案选：B． 【点评】本题考查不等式组含参数问题，解题关键是知道无解情况下参数取值范围． 10．（2026春•蒙城县月考）若关于x的不等式x＜m有且只有两个正整数解，则m的值不能是（　　） A．2 B．2.5 C．2.8 D．3 【考点】一元一次不等式的整数解． 【专题】一元一次不等式（组）及应用；推理能力． 【答案】A 【分析】先根据不等式正整数解的个数确定参数m的取值范围，进而即可判断求解． 【解答】解：由题意得，它的正整数解只能是1和2， ∴2＜m≤3， ∴m的值不能是2． 故选：A． 【点评】本题考查的是一元一次不等式的整数解，解决此类问题的关键在于正确解得不等式的解集，然后再根据题目中对于解集的限制得到下一步所需要的条件． 二．填空题（共5小题） 11．（2026春•南岗区校级期中）用不等式表示“y的一半与5的差小于3”：　　 ． 【考点】由实际问题抽象出一元一次不等式． 【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力． 【答案】． 【分析】先拆解题目中的数量关系，依次表示出对应量，再根据题目给出的不等关系列出不等式． 【解答】解：根据题意可知：不等式为． 故答案为：． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，理解题意是关键． 12．（2026•盐城一模）关于x的不等式的解集为﹣3＜x＜0或x＞1，则k﹣b＝　6　 ． 【考点】解一元一次不等式． 【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力． 【答案】6． 【分析】将不等式整理后可得kx2﹣bx﹣6＞0或kx2﹣bx﹣6＜0，由解集可得方程kx2﹣bx﹣6＝0解为x＝1或x＝﹣3，将x＝1代入即可求得答案． 【解答】解：已知关于x的不等式， 去分母得：当x＞0时，kx2﹣bx﹣6＞0，当x＜0时，kx2﹣bx﹣6＜0， ∵其解集为﹣3＜x＜0或x＞1， ∴方程kx2﹣bx﹣6＝0解为x＝1或x＝﹣3， 将x＝1代入得k﹣b﹣6＝0， 即k﹣b＝6， 故答案为：6． 【点评】本题考查解一元一次不等式，熟练掌握解不等式的方法是解题的关键． 13．（2026春•盐城月考）已知关于x的方程4x﹣9＝3k的解是非负数，则k的范围为k≥﹣3　 ． 【考点】解一元一次不等式；一元一次方程的解． 【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力． 【答案】k≥﹣3． 【分析】解方程可得，再根据方程的解是非负数，列不等式求解即可． 【解答】解：解方程4x﹣9＝3k，得， ∵方程4x﹣9＝3k的解是非负数， ∴， ∴3k+9≥0， ∴3k≥﹣9， ∴k≥﹣3． 故答案为：k≥﹣3． 【点评】本题考查的是解一元一次不等式，一元一次方程的解，熟知不等式的基本性质是解题的关键． 14．（2026•吉林校级模拟）已知点（﹣1，2a﹣3）位于第三象限，则a的取值范围是a＜1.5　 ． 【考点】解一元一次不等式；点的坐标． 【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力． 【答案】a＜1.5 【分析】在第三象限的点的横坐标和纵坐标都是负数，据此列式计算，即可作答． 【解答】解：∵点（﹣1，2a﹣3）位于第三象限， ∴2a﹣3＜0， ∴a＜1.5， 故答案为：a＜1.5． 【点评】本题考查了一元一次不等式、点的坐标，熟练掌握以上知识点是关键． 15．（2026春•杨浦区校级期中）已知关于x的不等式组的所有整数解的和为﹣7，则m的取值范围为　10≤m＜15或﹣15≤m＜﹣10　 ． 【考点】一元一次不等式组的整数解；解一元一次不等式组． 【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力． 【答案】10≤m＜15或﹣15≤m＜﹣10． 【分析】解第一个不等式求得其解集，然后根据题意确定m的取值范围即可． 【解答】解：解第一个不等式得x， ∵关于x的不等式组的所有整数解的和为﹣7， ∴﹣4﹣3＝﹣7或﹣4﹣3﹣2﹣1+0+1+2＝﹣7， 即它的整数解为﹣4，﹣3或4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2， ∴﹣32或23， 解得：10≤m＜15或﹣15≤m＜﹣10， 故答案为：10≤m＜15或﹣15≤m＜﹣10． 【点评】本题考查一元一次不等式组的整数解，解一元一次不等式组，熟练掌握解不等式组的方法是解题的关键． 三．解答题（共5小题） 16．（2026春•海口期中）已知y＝kx+b，当x＝2时，y＝﹣4；当x＝﹣1时，y＝5． （1）求k、b的值； （2）求当x＝﹣2时，y的值； （3）当y＞6时，求x． 【考点】解一元一次不等式；二元一次方程的解；解二元一次方程组． 【专题】一次方程（组）及应用；一元一次不等式（组）及应用；运算能力． 【答案】（1）； （2）8； （3）x． 【分析】（1）将x＝2，y＝﹣4及x＝﹣1，y＝5代入y＝kx+b中列得关于k，b的二元一次方程组，解方程组即可； （2）结合（1）中所求结果，将x＝﹣2代入所得等式中计算即可； （3）结合（1）中所求结果列得不等式，解不等式即可． 【解答】解：（1）已知y＝kx+b，当x＝2时，y＝﹣4；当x＝﹣1时，y＝5， 则， 解得：； （2）由（1）得y＝﹣3x+2， 当x＝﹣2时， y＝6+2＝8； （3）当y＞6时， 即﹣3x+2＞6， 解得：x． 【点评】本题考查解一元一次不等式，解二元一次方程组，二元一次方程组的解，熟练掌握解方程组及不等式的方法是解题的关键． 17．（2026•白云区二模）某校开展校园义卖活动．活动前，张明到纪念品商店购买若干个“广州塔”挂件作为义卖奖品，每个挂件标价10元．请认真阅读结账时老板与张明的对话： （1）结合两人的对话内容，求张明原计划购买“广州塔”挂件多少个？ （2）根据活动情况，需要购买“喜洋洋”挂件和“乐融融”挂件共50个作为补充奖品，两次购买奖品总支出不超过450元．其中“喜洋洋”挂件标价每个8元，“乐融融”挂件标价每个6元．经过沟通，这次老板给予8折优惠，那么张明最多可购买“喜洋洋”挂件多少个？ 【考点】一元一次不等式的应用． 【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力． 【答案】（1）张明原计划购买“广州塔”挂件17个． （2）张明最多可购买“喜洋洋”挂件35个． 【分析】（1）设张明原计划购买“广州塔”挂件x个，则实际购买（x+1）个，根据实际打折后比原计划少花17元，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论； （2）设张明购买m个“喜洋洋”挂件，则购买（50﹣m）个“乐融融”挂件，利用总价＝单价×数量，结合两次购买奖品总支出不超过450元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围，再取其中的最大整数值即可得出结论． 【解答】解：（1）设张明原计划购买“广州塔”挂件x个，则实际购买（x+1）个， 依题意得：10x﹣10×85%（x+1）＝17， 解得：x＝17． 答：张明原计划购买“广州塔”挂件17个． （2）设张明购买m个“喜洋洋”挂件，则购买（50﹣m）个“乐融融”挂件， 依题意得：10×85%×（17+1）+80%[8m+6（50﹣m）]≤450， 解得：m， 又∵m为整数， ∴m的最大值为35． 答：张明最多可购买“喜洋洋”挂件35个． 【点评】本题考查了一元一次方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． 18．（2026春•龙华区校级期中）李老师去文具店给30名学生购买笔记本和中性笔． 如果给每人买2本笔记本、1支中性笔，按零售价一共需要480元； 如果给每人买3本笔记本、2支中性笔，按批发价一共需要570元． 已知：每本笔记本批发价比零售价少2元，每支中性笔批发价比零售价少1元． （1）求每本笔记本、每支中性笔的批发价； （2）现按批发价采购笔记本和中性笔一共90件，总费用不超过421元，求最多可以购买多少支中性笔？ 【考点】一元一次不等式的应用；一元一次方程的应用；二元一次方程组的应用． 【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力． 【答案】（1）笔记本批发价3元/本，中性笔批发价5元/支； （2）最多购买75支中性笔． 【分析】 （1）设批发单价，换算零售价，依据30人两种采购总价列二元一次方程组，化简消元，解出笔记本、中性笔各自批发价格； （2）设中性笔数量，用总数表示笔记本数量，结合单价列费用不等式，求解取值范围，取最大整数即为中性笔最多采购量． 【解答】解：（1）设笔记本批发价x元/本，中性笔批发价y元/支， 则零售价：笔记本（x+2）元，中性笔（y+1）元， 一共30人，列式为， 解得， 答：笔记本批发价3元/本，中性笔批发价5元/支； （2）设买中性笔m支，则笔记本（90﹣m）本， 3（90﹣m）+5m≤421， 2m≤151， m≤75.5， m为整数， 最大取75， 答：最多购买75支中性笔． 【点评】本题主要考查了二元一次方程组的应用与一元一次不等式的应用，正确得出不等关系，列出不等式是解题关键． 19．（2026•花溪区二模）人工智能的发展为我们的生活增添了许多便利．某快递中转站为提升分拣效率，引进了A、B两种型号的自动分拣机器人．同时使用一台A型机器人和一台B型机器人每小时可以分拣共2000个快递；同时使用一台A型机器人和两台B型机器人每小时可以分拣共2800个快递． （1）求一台A型和一台B型机器人每小时可以分拣多少个快递？ （2）为扩大规模，若另一快递中转站准备同时购买相同型号的A、B两种机器人共5个，该中转站送来一批快递，要求4个小时分拣快递数量不少于20000个，至少需要购买多少个A型机器人？ 【考点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的应用． 【专题】一次方程（组）及应用；一元一次不等式（组）及应用；应用意识． 【答案】（1）一台A型机器人每小时可以分拣1200个快递，一台B型机器人每小时可以分拣800个快递； （2）至少需要购买3个A型机器人． 【分析】（1）设一台A型机器人每小时可以分拣x个快递，一台B型机器人每小时可以分拣y个快递，根据“同时使用一台A型机器人和一台B型机器人每小时可以分拣共2000个快递；同时使用一台A型机器人和两台B型机器人每小时可以分拣共2800个快递”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设需要购买m个A型机器人，则购买（5﹣m）个B型机器人，利用工作总量＝工作总量×工作时间，结合要求4个小时分拣快递数量不少于20000个，可列出关于m的一元一次不等式，解之可得出m的取值范围，再取其中的最小整数值，即可得出结论． 【解答】解：（1）设一台A型机器人每小时可以分拣x个快递，一台B型机器人每小时可以分拣y个快递， 根据题意得：， 解得：． 答：一台A型机器人每小时可以分拣1200个快递，一台B型机器人每小时可以分拣800个快递； （2）设需要购买m个A型机器人，则购买（5﹣m）个B型机器人， 根据题意得：4[1200m+800（5﹣m）]≥20000， 解得：m， 又∵m为正整数， ∴m的最小值为3． 答：至少需要购买3个A型机器人． 【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． 20．（2026春•张店区校级期中）解下列不等式． （1）解不等式：5x+7＞3（x+1），并把解集表示在数轴上； （2）求不等式的负整数解． 【考点】一元一次不等式的整数解；在数轴上表示不等式的解集；解一元一次不等式． 【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力． 【答案】（1）x＞﹣2，； （2）﹣2，﹣1． 【分析】（1）根据解一元一次不等式的方法可以求得该不等式的解集，然后在数轴上表示出其解集； （2）根据解一元一次不等式的方法可以求得该不等式的解集． 【解答】解：（1）5x+7＞3（x+1）， 去括号，得：5x+7＞3x+3， 移项，得：5x﹣3x＞3﹣7， 合并同类项，得：2x＞﹣4， 系数化为1，得：x＞﹣2， 其解集在数轴上表示如下， ； （2）， 去分母，得：2（2x+1）﹣（5x﹣1）＜6， 去括号，得：4x+2﹣5x+1＜6， 移项及合并同类项，得：﹣x＜3， 系数化为1，得：x＞﹣3， ∴该不等式的负整数解为﹣2，﹣1． 【点评】本题考查解一元一次不等式、在数轴上表示不等式的解集，解答本题的关键是明确解一元一次不等式的方法． 考点卡片 1．一元一次方程的解 定义：使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解． 把方程的解代入原方程，等式左右两边相等． 2．一元一次方程的应用 （一）一元一次方程解应用题的类型有： （1）探索规律型问题； （2）数字问题； （3）销售问题（利润＝售价﹣进价，利润率100%）；（4）工程问题（①工作量＝人均效率×人数×时间；②如果一件工作分几个阶段完成，那么各阶段的工作量的和＝工作总量）； （5）行程问题（路程＝速度×时间）； （6）等值变换问题； （7）和，差，倍，分问题； （8）分配问题； （9）比赛积分问题； （10）水流航行问题（顺水速度＝静水速度+水流速度；逆水速度＝静水速度﹣水流速度）． （二）利用方程解决实际问题的基本思路如下：首先审题找出题中的未知量和所有的已知量，直接设要求的未知量或间接设一关键的未知量为x，然后用含x的式子表示相关的量，找出之间的相等关系列方程、求解、作答，即设、列、解、答． 列一元一次方程解应用题的五个步骤 1．审：仔细审题，确定已知量和未知量，找出它们之间的等量关系． 2．设：设未知数（x），根据实际情况，可设直接未知数（问什么设什么），也可设间接未知数． 3．列：根据等量关系列出方程． 4．解：解方程，求得未知数的值． 5．答：检验未知数的值是否正确，是否符合题意，完整地写出答句． 3．二元一次方程的解 （1）定义：一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解． （2）在二元一次方程中，任意给出一个未知数的值，总能求出另一个未知数的一个唯一确定的值，所以二元一次方程有无数解． （3）在求一个二元一次方程的整数解时，往往采用“给一个，求一个”的方法，即先给出其中一个未知数（一般是系数绝对值较大的）的值，再依次求出另一个的对应值． 4．解二元一次方程组 （1）用代入法解二元一次方程组的一般步骤：①从方程组中选一个系数比较简单的方程，将这个方程组中的一个未知数用含另一个未知数的代数式表示出来．②将变形后的关系式代入另一个方程，消去一个未知数，得到一个一元一次方程．③解这个一元一次方程，求出x（或y）的值．④将求得的未知数的值代入变形后的关系式中，求出另一个未知数的值．⑤把求得的x、y的值用“{”联立起来，就是方程组的解． （2）用加减法解二元一次方程组的一般步骤：①方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数既不相等又不互为相反数，就用适当的数去乘方程的两边，使某一个未知数的系数相等或互为相反数．②把两个方程的两边分别相减或相加，消去一个未知数，得到一个一元一次方程．③解这个一元一次方程，求得未知数的值．④将求出的未知数的值代入原方程组的任意一个方程中，求出另一个未知数的值．⑤把所求得的两个未知数的值写在一起，就得到原方程组的解，用的形式表示． 5．二元一次方程组的应用 （一）列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤： （1）审题：找出问题中的已知条件和未知量及它们之间的关系． （2）设元：找出题中的两个关键的未知量，并用字母表示出来． （3）列方程组：挖掘题目中的关系，找出两个等量关系，列出方程组． （4）求解． （5）检验作答：检验所求解是否符合实际意义，并作答． （二）设元的方法：直接设元与间接设元． 当问题较复杂时，有时设与要求的未知量相关的另一些量为未知数，即为间接设元．无论怎样设元，设几个未知数，就要列几个方程． 6．不等式的性质 （1）不等式的基本性质 ①不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变，即： 若a＞b，那么a±m＞b±m； ②不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，即： 若a＞b，且m＞0，那么am＞bm或； ③不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，即： 若a＞b，且m＜0，那么am＜bm或； （2）不等式的变形：①两边都加、减同一个数，具体体现为“移项”，此时不等号方向不变，但移项要变号；②两边都乘、除同一个数，要注意只有乘、除负数时，不等号方向才改变． 【规律方法】 1．应用不等式的性质应注意的问题：在不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数时，一定要改变不等号的方向；当不等式的两边要乘以（或除以）含有字母的数时，一定要对字母是否大于0进行分类讨论． 2．不等式的传递性：若a＞b，b＞c，则a＞c． 7．在数轴上表示不等式的解集 用数轴表示不等式的解集时，要注意“两定”： 一是定界点，一般在数轴上只标出原点和界点即可．定边界点时要注意，点是实心还是空心，若边界点含于解集为实心点，不含于解集即为空心点； 二是定方向，定方向的原则是：“小于向左，大于向右”． 【规律方法】不等式解集的验证方法 某不等式求得的解集为x＞a，其验证方法可以先将a代入原不等式，则两边相等，其次在x＞a的范围内取一个数代入原不等式，则原不等式成立． 8．解一元一次不等式 根据不等式的性质解一元一次不等式 基本操作方法与解一元一次方程基本相同，都有如下步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤化系数为1． 以上步骤中，只有①去分母和⑤化系数为1可能用到性质3，即可能变不等号方向，其他都不会改变不等号方向． 注意：符号“≥”和“≤”分别比“＞”和“＜”各多了一层相等的含义，它们是不等号与等号合写形式． 9．一元一次不等式的整数解 解决此类问题的关键在于正确解得不等式的解集，然后再根据题目中对于解集的限制得到下一步所需要的条件，再根据得到的条件进而求得不等式的整数解．可以借助数轴进行数形结合，得到需要的值，进而非常容易的解决问题． 10．由实际问题抽象出一元一次不等式 用不等式表示不等关系时，要抓住题目中的关键词，如“大于（小于）、不超过（不低于）、是正数（负数）”“至少”、“最多”等等，正确选择不等号． 因此建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵，不同的词里蕴含这不同的不等关系． 11．一元一次不等式的应用 （1）由实际问题中的不等关系列出不等式，建立解决问题的数学模型，通过解不等式可以得到实际问题的答案． （2）列不等式解应用题需要以“至少”、“最多”、“不超过”、“不低于”等词来体现问题中的不等关系．因此，建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵． （3）列一元一次不等式解决实际问题的方法和步骤： ①弄清题中数量关系，用字母表示未知数． ②根据题中的不等关系列出不等式． ③解不等式，求出解集． ④写出符合题意的解． 12．解一元一次不等式组 （1）一元一次不等式组的解集：几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它们所组成的不等式组的解集． （2）解不等式组：求不等式组的解集的过程叫解不等式组． （3）一元一次不等式组的解法：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集． 方法与步骤：①求不等式组中每个不等式的解集；②利用数轴求公共部分． 解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到． 13．一元一次不等式组的整数解 （1）利用数轴确定不等式组的解（整数解）． 解决此类问题的关键在于正确解得不等式组或不等式的解集，然后再根据题目中对于解集的限制得到下一步所需要的条件，再根据得到的条件进而求得不等式组的整数解． （2）已知解集（整数解）求字母的取值． 一般思路为：先把题目中除未知数外的字母当做常数看待解不等式组或方程组等，然后再根据题目中对结果的限制的条件得到有关字母的代数式，最后解代数式即可得到答案． 14．点的坐标 （1）我们把有顺序的两个数a和b组成的数对，叫做有序数对，记作（a，b）． （2）平面直角坐标系的相关概念 ①建立平面直角坐标系的方法：在同一平面内画；两条有公共原点且垂直的数轴． ②各部分名称：水平数轴叫x轴（横轴），竖直数轴叫y轴（纵轴），x轴一般取向右为正方向，y轴一般取象上为正方向，两轴交点叫坐标系的原点．它既属于x轴，又属于y轴． （3）坐标平面的划分 建立了坐标系的平面叫做坐标平面，两轴把此平面分成四部分，分别叫第一象限，第二象限，第三象限，第四象限．坐标轴上的点不属于任何一个象限． （4）坐标平面内的点与有序实数对是一一对应的关系． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $