暑假复习专题：不等式与不等式组- 2026年暑假人教版七年级数学

**基本信息** 聚焦不等式与不等式组，以“概念-性质-解法-应用-创新”为逻辑链，融合抽象能力与推理意识，实现从基础到综合的系统性突破。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础概念|填空10|不等式定义辨析|从不等关系识别到概念建构| |性质应用|单选1、11|性质3符号法则|性质推导→变形正误判断→参数范围反推| |解法突破|解答17-18|数轴标根法|解不等式→解集合并→数轴直观表达| |综合应用|单选9、22|定义转化法|新定义（同频解/相容组）→模型抽象→逻辑推理|

暑假复习专题：不等式与不等式组-2025-2026学年数学七年级下册人教版（2024） 一、单选题 1．若， 则下列不等式变形不一定成立的是（   ） A． B． C． D． 2．小颖同学用100元钱去购买矿泉水和可乐共30瓶，已知矿泉水每瓶2元，可乐每瓶5元，则小颖同学最多能买可乐（    ） A．12瓶 B．13瓶 C．14瓶 D．15瓶 3．方程组有正整数解，则整数的个数是（    ） A． B． C． D． 4．关于的一元一次不等式组中，两个不等式的解集如图所示，则这个不等式组的解集是（ ） A． B． C． D．无解 5．已知，则整数值为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 6．若不等式组的解集为，则的值为（    ） A． B． C． D． 7．渠县文崇中学组织某次“每周半天计划”活动，学生需完成参观博物馆和参加讲座两项内容．其中讲座时间比参观时间的2倍少10分钟．已知参观时间需超过30分钟，讲座时间不少于60分钟．设参观时间为分钟，则讲座时间为分钟，则下列不等式组正确的是（ ） A． B． C． D． 8．已知关于的不等式组，甲、乙两位同学分别得出以下结论：甲：如果不等式组有且仅有一个整数解，那么的取值范围是；乙：如果，那么此不等式组无解．其中下列判断正确的是（   ） A．甲、乙都对 B．甲错，乙对 C．甲对，乙错 D．甲、乙都错 9．使方程和不等式（组）同时成立的未知数的值称为此方程与不等式（组）的“同频解”．如是方程与不等式的“同频解”；则以下说法：①方程与不等式有且仅有一个正整数“同频解”；②若与有正整数“同频解”，则；③是与的“同频解”，则；④存在整数、使得方程的所有解均是其与的“同频解”．正确的有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 二、填空题 10．下列式子中：①；②；③；④；⑤；⑥，其中是不等式的有____（填序号）． 11．已知关于的不等式的解集为，则的取值范围为_______． 12．按如图程序进行运算：并规定，程序运行到“结果是否大于25”为一次运算，且运算进行2次才停止，则可输入的实数的取值范围是_______________． 13．当________时，代数式减去的差不大于1． 14．如果关于x的不等式组有且只有4个整数解，则a的取值范围是______． 15．已知关于的不等式，下列四个结论： ①若它的解集是，则； ②当，不等式组无解； ③若它的整数解仅有个，则的取值范围是； ④若它有解，则． 则结论正确的是___________．（填序号） 16．为保障某贫困山区小学的学生有充足的学习文具，某小区向住户募集了2330支钢笔，1060本笔记本和若干套尺规套装，小区工作人员将这些物资分成了甲、乙、丙三类包裹进行发放，一个甲类包裹里有25支钢笔，10本笔记本和4套尺规套装，一个乙类包裹里有16支钢笔，8本笔记本和7套尺规套装，一个丙类包裹里有20支钢笔，6本笔记本和3套尺规套装．已知甲、乙、丙三类包裹的数量都为正整数，并且甲类的个数低于28个，乙类个数低于106个，那么所有包裹里尺规套装的总套数为________套． 三、解答题 17．解不等式： (1) (2) 18．解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来． 19．已知关于的二元一次方程组 (1)当时，求原方程组的解． (2)求证：无论取什么实数，与的值不可能相等． (3)当时，求的取值范围． 20．阅读与理解 已知某景区门票票价为元/人，春节期间，为了给假期出行的游客提供优惠，景区给出了如下优惠方案： 游客 优惠方案 学生 凭学生证票价一律打六折； 非学生 人以下（含人）没有优惠； 团购：超过人，其中人按原价售票，超出部分每张票打八折． (1)若有名学生游客买票，则总票款为 元； (2)若有名非学生游客采用团购方式买票，请用含的式子表示总票款； (3)一个旅游团共有名游客，其中非学生游客若达到团购人数并按团购方式买票，已知该旅游团游客总票款为元，请问旅游团有学生游客多少人？ 21．定义：对于一个有理数，我们把称作的对称数．若，则；若，则．例：，． (1)求，的值； (2)已知有理数，，且满足，试求代数式的值； (3)解方程：． 22．定义：如果一元一次不等式组①的解都是一元一次不等式组②的解，那么称一元一次不等式组①是一元一次不等式组②的“相容不等式组”，如果一元一次不等式组①的解都不是一元一次不等式组②的解，那么称一元一次不等式组①是一元一次不等式组②的“相斥不等式组”． (1)根据上述定义，判断不等式组是不等式组的 ．（填序号①“相容不等式组”或②“相斥不等式组”）； (2)若关于的不等式组是的“相斥不等式组”，求的范围； (3)若关于的不等式组是的“相容不等式组”，且和的整数解相同，求的范围． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《暑假复习专题：不等式与不等式组-2025-2026学年数学七年级下册人教版（2024）》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 答案 C B B C C D B B D 1．C 【详解】解：A、若，两边同时减，不等号方向不变，则，A一定成立； B、若，两边同时乘正数，不等号方向不变，则，B一定成立； C、若，的符号不确定，当时，；当时，；当时，，则不一定成立，C符合要求； D、若，两边同时除以正数，不等号方向不变，则，D一定成立． 2．B 【分析】根据总费用不超过100元列出不等式，求解后取符合题意的最大正整数解即可. 【详解】解：设买可乐瓶，则买矿泉水瓶， 由题意，， 解得， ∵为正整数， ∴的最大值为13，即最多能买可乐13瓶. 3．B 【分析】先利用消元法得到关于的表达式，变形后根据条件筛选出符合要求的整数，统计个数即可. 【详解】解：， ①②得 ， 解得 ， 由②得 ， ∵方程组有正整数解，为整数， ∴均为正整数，只需为正整数， ∴为正整数，且， ∴是的正约数，且， ∴的可能取值为， ∴对应整数为，共个． 4．C 【详解】解：不等式组的解集为 ． 5．C 【详解】解：∵ ∴ ∴ ，且为整数 ． 6．D 【分析】先分别解不等式组，得到用，表示的解集，再与已知解集的端点对应，求出，后代入计算． 【详解】解：已知， 解得， 由不等式组的解集为， 可得， 解得， 故． 7．B 【详解】解：设参观时间为分钟，则讲座时间为分钟，由题意，得： . 8．B 【分析】根据不等式组解的情况，对a进行讨论求解． 【详解】解：根据题意，得不等式组的解集为， 由它有且仅有一个整数解， ∴， 解得：，故甲错误； 若它无解，则， 解得：， 因为当时，满足， 所以不等式组无解，故乙正确． 9．D 【分析】先根据方程用含的式子表示，再求不等式或不等式组的解，最后结合定义解答即可． 【详解】解：①， 可转化为， 解得， 方程与不等式有且仅有一个正整数“同频解”为，故①正确； ②由得， 将代入得， 解得， 此时整数解为，则， 即与有正整数“同频解”，则，故②正确； ③由得， 将代入得， 解得， ，即， 是与的“同频解”， ，， ，故③正确； ④由得， 将代入，得， 整理得， 若不等式对所有成立，则系数必须为， ， 解得， 则不等式为，即， 解得， 若取，，则不等式为，恒成立， 方程的所有解都满足不等式，故④正确； 综上可得正确的共有个． 10．①②⑤⑥ 【分析】不等式的概念：用不等号、、、、连接而成的式子叫做不等式，据此逐个判断式子即可． 【详解】解：∵ ①，是用不等号连接的式子，是不等式； ②，是用不等号连接的式子，是不等式； ③，是等式，不是不等式； ④ 是代数式，没有不等号连接，不是不等式； ⑤是用不等号连接的式子，是不等式； ⑥，是用不等号连接的式子，是不等式； 综上所述，是不等式的有①②⑤⑥． 11． 【分析】根据不等式解集的不等号方向变化，利用不等式的基本性质判断的系数的正负，列出关于的不等式，求解即可得到的取值范围. 【详解】解：不等式 的解集为，不等号方向发生改变， 根据不等式的基本性质3：不等式两边同时乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变， 可得 ， 移项得 ， 系数化为得． 12． 【分析】根据程序可以列出不等式组，即可确定实数x的取值范围，从而求解． 【详解】解：根据题意得：第一次：， 第二次：， 根据题意得：， 解得：． 13． 【分析】根据题意列出一元一次不等式，按照解一元一次不等式的步骤求解即可得到的取值范围． 【详解】解：由题意得： 去分母，得： 去括号，得： 移项，得： 合并同类项，得： 系数化为，得： 14． 【分析】先分别解出两个不等式的解，根据不等式组有且只有4个整数解可以是，，，，即可得到，解得即可． 【详解】解：由，得， 由，得， 关于的不等式组有且只有4个整数解， 这4个整数解是，，，， ， 解得：． 15．①②④ 【分析】本题考查的是一元一次不等式组的解法，关键在于先分别解出两个不等式，再根据解集的不同情况（给定解集、无解、整数解个数、有解）反推参数的取值或范围．先解出不等式组的解集为，再结合不同条件逐一分析参数的取值，进而判断各个结论的正确性． 【详解】解： 解不等式①，得： 去分母，得， 去括号，得， 移项合并同类项，得， 系数化为，得， 解不等式②，得： 移项，得， 系数化为，得， 因此不等式组的解集为； ①若解集为，则， 解得，故①正确； ②当时，， 此时不等式组为，不存在满足条件的，不等式组无解，故②正确； ③若不等式组的整数解仅有个，因为，所以整数解为， 因此可得， 不等式三边同乘，得， 三边同加，得，与给出的不符，故③错误； ④若不等式组有解，则需满足， 解得，即，故④正确； 综上，正确结论为①②④． 故答案为①②④． 16．835 【分析】设甲类包裹有个，乙类包裹有个，丙类包裹有个，根据钢笔和笔记本的总数列出三元一次方程组，用表示和，再根据，的取值范围列出关于的不等式组，得到的取值范围，结合，为正整数确定的取值，进而求出，的值，最后计算尺规套装的总套数． 【详解】解：设甲类包裹有个，乙类包裹有个，丙类包裹有个，根据题意得， ，得，解得， 将代入②，得， 化简得，解得， 由题意得，，且，，都为正整数，因此， 解不等式组得 ，因为，为整数，所以同时是和的公倍数，在取值范围内的正整数只有， 将代入得，，均满足条件， 因此尺规套装的总套数为：． 17．(1) (2) 【详解】（1）解：， ∴， 解得：； （2）解：， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：． 18．； 【详解】解：由①，得； 由②，得； ∴不等式组的解集为； 数轴表示： 19．(1) (2)证明：， ②①，得， ， ∴， ∴， ∴与的值不可能相等． (3) 【分析】（1）当 时，方程组变为 ，解得 ，； （2）消去参数 ，直接得到 ，即 ，从而 ，与 的取值无关； （3）求解正确：由得 ，代入不等式 得 ，注意除以负数 时不等号方向改变，解得 ． 【详解】（1）解：把， 代入得， 解得 （2）略 （3）解： ， ②①， 得． 当时， 即， 解得． 20．(1) (2)元 (3)旅游团有学生游客人 【分析】（1）根据优惠方案，得到总票款票价人数折扣即可解答； （2）根据优惠方案，得到总票款为张原价票的金额加上超过人部分的八折票价即可； （3）设旅游团中有学生游客人，非学生游客人，然后列方程求解即可． 【详解】（1）解：由题意可得，总票款为 （元）； （2）解：由题意可得，总票款为元； （3）解：设旅游团中有学生游客人，非学生游客人， 非学生游客若达到团购人数并按团购方式买票， ，解得， 由题意可得，， 解得，符合题意； 答：旅游团有学生游客人． 21．(1)0， (2) (3) 【分析】（1）根据新定义直接求解； （2）先根据新定义及已知条件得到，再将代数式变形为，然后整体代值计算即可； （3）根据新定义分两种情况；，分别解方程即可． 【详解】（1）解：，； （2）解：∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴ ； （3）解：， 当时，即， ， 解得； 当时，即， ， 解得（不符合，舍去）； 综上所述，． 22．(1)① (2)或 (3) 【分析】（1）求出两个不等式组的解集，根据定义进行判断即可； （2）根据定义得到关于a的不等式组，进而计算可以得解； （3）根据“相容不等式组”的定义求出的取值范围，再根据两个不等式组整数解相同求出的取值范围，取两个取值范围的公共部分即可． 【详解】（1）解：不等式组的解集是，不等式组的解集是， 不等式组是不等式组的“相容不等式组”． 故答案为：①． （2）解：∵关于的不等式组是的“相斥不等式组”，且不等式组的解集为， ∴或． ∴或 （3）解：∵不等式组是的“相容不等式组” ， 解得 的整数解为2，3，4，且和的整数解相同， ∴ ∴ 综上所述： 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $