江苏苏州市昆山市2025-2026学年八年级下学期期末数学学情自测

初二数学 （满分130分，时间120分钟） 一、选择题：本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请将答案涂在答题卷相对应的位置上． 1．若，则的值为 A． B． C． D． 2．掷两枚质地均匀的骰子，每个骰子的六个面上分别刻有1～6的点数，下列事件是必然事件的是 A．掷的点数之和大于1 B．掷的点数之和大于3 C．掷的点数之和为6 D．掷的点数之和为13 3．若关于的一元二次方程的一个实数根为1，则另一实数根为 A． B． C． D． 4．如图，在中，，将绕点旋转得到，连接，．添加一个条件使四边形是正方形，那么添加的条件可以是 A． B． C． D． 5．用两张全等的直角三角形纸片不能拼成的平面图形是 A．等腰三角形 B．矩形 C．梯形 D．平行四边形 6．如图，在中，，，，平分交于点，则线段的长度为 A． B． C． D． 7．如图，在梯形中，，，是中点．连接，，交于点，连接，，交于点．连接，则的长为 A．2 B．4 C．6 D．8 8．如图，公元3世纪，我国汉代数学家赵爽用图1验证了勾股定理，这个图形被称为“弦图”．数学研究小组利用“弦图”开展了探究，在如图2所示的“弦图”中，延长交于点，连接，交于点，连接．若，则下列结论不正确的是 A． B． C． D． 二、填空题：本大题共8题，每小题3分，共24分，把答案直接填在答题卷相应的位置上． 9．一个样本共有20个数据，分别落在4个组内．如果数据落在第一、二、三组的频数分别是3，6，7，那么数据落在第四组的频数为 ▲ ． 10．已知，与的面积之比为1∶4，则与的周长之比为 ▲ ． 11．苏州市地形由平原、水域及丘陵山地构成，其中水域分布广泛．如图为苏州市地貌类型扇形统计图，如果苏州市丘陵山地面积约为，那么苏州市水域面积约为 ▲ ． 12．如图，在中，点，分别在，上．添加一个条件使得，那么添加的条件可以是 ▲ ． 13．已知一元二次方程的两个实数根分别为、，则代数式的值为 ▲ ． 14．如图，将矩形放在平面直角坐标系中，点在轴正半轴，点在轴正半轴，点在第一象限且坐标为．直线与轴交于点，与轴交于点，点为线段上一点，过作于点，作于点．若四边形四边形，则点的坐标为 ▲ ． 15．如图，在中，，分别为，边上中点，，交于点．若的面积为6，则的面积为 ▲ ． 16．如图，在中，，，，为对角线．是边上一动点，连接，将绕点按逆时针方向旋转得到．当点落在上时，的长为 ▲ ． 三、解答题：本大题共11小题，共82分．把解答过程写在答题卷相对应的位置上，解答时应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明． 17．（本题满分8分，每小题4分） 解方程：（1）； （2）． 18．（本题满分5分） 关于的一元二次方程有两个不相等实数根，求的取值范围． 19．（本题满分7分） 为对比节水龙头的节水效果，某家庭采用简单随机抽样的方法，对“未使用节水龙头”和“使用节水龙头”两种状态各50天的日用水量（用表示，单位：）进行了抽样调查．把所得的数据分组整理，并绘制成统计图表． 未使用节水龙头时50天日用水量频率分布表 日用水量 频率 0.02 0.44 0.36 0.14 （1）的值为 ▲ ，请把频数分布直方图补充完整（画图后标注相应数据）； （2）“使用节水龙头”后，日用水量在的百分比减少了多少？ （3）根据抽样调查结果，估计该家庭“使用节水龙头”50天比“未使用节水龙头”50天能节省多少水？ 20．（本题满分6分） 如图，在中，，，，，交于点． （1）求证：； （2）若，，求的长． 21．（本题满分6分） 某网店销售一批防晒衣，平均每天可销售20件，每件盈利30元．网店为了增加每天的盈利，决定采取降价销售的措施．假设在一定范围内，防晒衣的销售单价每降低1元，每天销售量就增加2件．如果降价后网店销售这批防晒衣每天盈利768元，那么防晒衣的单价应降多少元？ 22．（本题满分7分） 如图，在中，，为边上中线，过点作，过点作，，交于点，连接． （1）求证：； （2）如果，，求四边形的周长． 23．（本题满分7分） 已知关于的一元二次方程． （1）求证：一元二次方程总有两个不相等的实数根； （2）若，是关于的一元二次方程的两个实数根，试说明． 24．（本题满分8分） （1）如图1，矩形纸片，是上一点，连接，将沿折叠，使点落在边上的点处．若，，求的长； （2）尺规作图：如图2，矩形，在边上找一点，使得（不写作法，保留作图痕迹并标注字母）． 25．（本题满分8分） 三国时期的数学家赵爽在《勾股圆方图说》中记载了构造几何图形解一元二次方程的方法，以解一元二次方程为例： 将方程写成； 如图1，大正方形由4个小长方形与中间的小正方形组成， 大正方形面积为，4个小长方形与正方形的面积的和为，即． 所以，．易得一个正实数根． 请用构造几何图形方法解决下列问题： （1）一元二次方程的一个正实数根为 ▲ ； （2）关于的一元二次方程（为常数），在所构造的图形中大正方形的面积为81，求出该一元二次方程的正实数根及的值．（在图2虚线框中画出构造的几何图形并标出相应的边长）． 26．（本题满分10分） 【项目式学习】 项目主题：学科融合——用数学眼光观察世界 项目背景：学习完《相似图形》后，某学校科学小组的同学尝试用数学知识和方法研究物理光学问题 【项目任务一】 我国古代墨子对光的直线传播、光的反射和小孔成像进行了研究．如图1，已知物体与其像平行．小孔到的距离，到的距离，物体的长为，求像的长； 【项目任务二】 人类对凸透镜特性的认知，最早源于对自然现象的观察与实践．如图2，在光路图中，直线表示光轴，表示凸透镜（光轴），点为光心，为凸透镜的焦点．入射光线光轴，折射光线经过焦点，为物体经透镜所成的像（光轴，光轴）．请写出物距、焦距及像距之间的数量关系并说明理由． 27．（本题满分10分） 如图，在矩形中，，．点从点出发，沿对角线向点匀速运动，速度为，过点作交于点，以为一边作正方形，使得点落在射线上，设点运动的时间为（单位：）． （1）当时，正方形的边长（即的长）为 ▲ ； （2）如图1，当，，三点在同一直线上时，求点的运动时间； （3）如图2，连接，当为以为腰的等腰三角形时，求点的运动时间． 学科网（北京）股份有限公司 $