精品解析：江苏省常州市2025-2026学年八年级第二学期数学期末试卷

2025－2026学年第二学期八年级期末数学卷2026.6 注意事项： 1、本试卷共6页，全卷满分100分，考试时间为90分钟．考生应将答案全部填写在答题卡相应的位置上，写在本试卷上无效．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．考试时不允许使用计算器． 2、答题前，考生务必将自己的姓名、考试证号填写在试卷上，并填涂好答题卡上的考生信息． 3、作图必须用2B铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚． 一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分） 1. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了二次根式有意义的条件，直接利用二次根式的概念，被开方数不小于0，进而得出答案． 【详解】解：式子在实数范围内有意义，则， 解得：． 故选：C． 2. 下列调查中，适合采用普查的是（ ） A. 了解一批手机电池的使用寿命 B. 了解一批苹果的甜度 C. 了解班级同学所穿鞋子的尺码 D. 了解太湖中现有鱼的种类 【答案】C 【解析】 【分析】普查适用于调查范围小、易操作、不具有破坏性的调查，据此判断即可． 【详解】解：A、测试一批手机电池的使用寿命具有破坏性，不适合普查，不符合题意； B、测试一批苹果的甜度具有破坏性，且整体数量较多，不适合普查，不符合题意； C、班级同学人数少，调查范围小，操作方便，适合普查，符合题意； D、太湖范围大，鱼的数量多，难以进行全面普查，不适合普查，不符合题意． 3. 已知，则下列式子一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据已知，结合分式的性质或代入变形即可判断各选项是否成立． 【详解】解：∵， ∴，且， A、，，该选项不符合题意； B、，该选项符合题意； C、，不一定等于，该选项不符合题意； D、，该选项不符合题意． 4. 下列事件是必然事件的是（ ） A. 购买1张福利彩票中特等奖 B. 在平面内任意画一个三角形，它的内角和是 C. 射击运动员射击一次，命中靶心 D. 一枚硬币连续抛掷2次，每次都正面朝上 【答案】B 【解析】 【详解】解：A、购买张福利彩票中特等奖，可能发生也可能不发生，是随机事件，不符合要求； B、任意平面内的三角形内角和一定为，是必然事件，符合要求； C、射击运动员射击一次命中靶心，可能发生也可能不发生，是随机事件，不符合要求； D、一枚硬币连续抛掷次每次都正面朝上，可能发生也可能不发生，是随机事件，不符合要求． 5. 已知，，则的值为（ ） A. 6 B. 7 C. 12 D. 14 【答案】C 【解析】 【分析】把所求代数式因式分解得到，再代入计算即可． 【详解】解：∵，， ∴ ． 6. 如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点的坐标为，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】连接交于点，根据正方形对角线互相垂直平分且相等的性质，求出和的长，进而确定点的坐标． 【详解】解：连接交于点，如图， 四边形是正方形， ，与互相平分且相等， 点的坐标为， ，且在轴上， ，， ， 点的坐标为． 7. 式子的值不可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先对原式通分化简，结合分式有意义条件和平方的非负性，判断结果的可能取值，即可得到答案． 【详解】解： ∴， ∴式子的值不可能为0 当时，原式值为，B可能； 当时，原式值为，C可能； 当时，原式值为，D可能． 8. 如图，，，，分别是各边的中点，连接，，相交于点，连接，，相交于点．则下列说法不正确的是（ ） A. 四边形是平行四边形 B. 当时，四边形是矩形 C. 当是菱形时，四边形是菱形 D. 四边形可能是正方形 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质和中点定义，可证四边形和均为平行四边形，从而得出且，判定四边形为平行四边形；利用菱形的对称性可证对角线互相垂直，判定其为菱形；结合矩形和正方形的判定条件分析各选项即可． 【详解】解：四边形是平行四边形， ， 分别是的中点， ， 且， 四边形是平行四边形， ，即， 同理可得且，四边形是平行四边形； ，即， ， 四边形是平行四边形，故A选项正确； 当是菱形时，，图形关于对角线所在直线对称， 点与点关于对称， ， 四边形是平行四边形， 四边形是菱形，故C选项正确； 当是菱形且满足时，四边形既是菱形又是矩形，此时它是正方形，故D选项正确； 当时，无法推导出，即不一定等于，四边形不一定是矩形，故B选项错误. 二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分） 9. 若分式有意义，则的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据分式有意义时分母不为0，列式求解即可． 【详解】解：∵分式有意义， ∴， 解得． 10. 某种油菜籽在相同条件下发芽实验的结果如下： 每批粒数 100 300 400 600 1000 2000 3000 发芽的频率（精确到） 则这种油菜籽发芽的概率的估计值是_________（精确到）． 【答案】 【解析】 【分析】当试验次数足够大时，频率稳定在某个常数附近，该常数即为概率的估计值，观察表格中频率的稳定范围即可求解． 【详解】解：观察表格可得，随着试验次数增加，这种油菜籽发芽的频率稳定在附近， ∴这种油菜籽发芽的概率的估计值为． 11. 常州4月6日~12日的气温折线图如图所示，则这一周中温差最小的日期是4月_________日． 【答案】11 【解析】 【详解】解：由折线图可得， 4月6日的温差为，4月7日的温差为，4月8日的温差为，4月9日的温差为， 4月10日的温差为，4月11日的温差为，4月12日的温差为， ∵， ∴这一周中温差最小的日期是4月11日． 12. 一只不透明的袋子中装有个白球，5个红球，这些球除颜色外都相同．将球摇匀，从中任意摸出1个球，若要使从中摸出白球的概率比摸出红球的概率大，则的最小值为_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据概率公式，概率等于所求情况数与总情况数的比，两种球概率的分母相同，则只需白球数量大于红球数量，列出不等式即可求解的最小值． 【详解】解：∵袋子中白球数量为个，红球数量为个， ∴摸出白球的概率为，摸出红球的概率为，且， 由题意得， 解得， ∵为整数， ∴的最小值为． 13. 高空抛物严重威胁着人们的“头顶安全”，即便是常见小物件，一旦高空落下，也威力惊人，而且用时很短，常常避让不及．据研究，物体自由下落的高度与所需的时间满足关系式，如果1个鸡蛋从离地面的高空落下，则鸡蛋落到地面所用的时间是_________． 【答案】 【解析】 【分析】将已知的下落高度代入给定关系式，再化简二次根式即可得到所求时间． 【详解】解：把代入，得， ∴如果1个鸡蛋从离地面的高空落下，则鸡蛋落到地面所用的时间是． 14. 如图，在直角梯形中，，，，分别是腰，下底的中点．当平分时，的长为_________． 【答案】 【解析】 【分析】首先得到，推出，利用勾股定理求出，然后利用三角形中位线的性质求解． 【详解】解：∵在直角梯形中，， ∴ ∵平分 ∴ ∴ ∴ ∴ ∵，分别是腰，下底的中点 ∴． 15. 若x为的小数都分，则代数式的值为________． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查了估算无理数的大小，完全平方公式，求代数式的值的应用，先求出的范围，求出x的值，根据完全平方公式变形，最后代入即可求出答案． 【详解】解：， ， ， 故答案为：5． 16. 如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，为的中点．点在上，点在上（点不与点，重合），且．过点作，交于点，以和为邻边作．当将分成面积相等的两部分时，的长为_________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据点、的坐标求出点的坐标，进而得到直线的解析式. 设，根据表示出点、的坐标. 根据平行四边形是中心对称图形，经过对称中心的直线平分其面积，可知直线经过线段的中点， 利用中点坐标公式表示出中点坐标，代入直线解析式求出的值，即可得到的长. 【详解】解：点的坐标为，点的坐标为，为的中点， 点的坐标为，即； 设直线的解析式为， 将点代入，得，解得， 直线的解析式为， 设，则， 点在上，点的坐标为， 点的坐标为， 点在上，  点的坐标为， 四边形是平行四边形，且将分成面积相等的两部分， 直线经过的对称中心，即线段的中点， ∵线段的中点坐标为，即， ∴将点代入，得 ，解得； . 三、解答题（本大题共8小题，共68分．第17，21，22题每题8分，第18题4分；第19题10分，第20题6分，第23，24题每题12分） 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）将各项化简后，再合并同类二次根式即可得到结果； （2）根据二次根式的乘除混合运算法则进行计算即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 18. 先分解因式，然后计算求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】先利用完全平方公式对原式分解因式，再代入计算即可． 【详解】解：， ∵， ∴． 19. 完成下列小问； （1）计算：； （2）解方程：． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： 去分母得， 解得， 检验：将代入 ∴原方程的解为． 20. 跳绳是一项集健身与娱乐为一体的体育活动，有利于学生的身心健康发展，为了解全校学生的跳绳水平，随机抽取了部分学生1分钟的跳绳次数（次数用表示，单位：次），将其分成以下五组：A组（），B组（），C组（），D组（），E组（），并将所得数据整理成如下频数分布直方图和扇形统计图（不完整）． 根据以上信息回答下列问题： （1）在这次调查中，个体是 ，一共抽取了 名学生； （2）将频数分布直方图补充完整，并写出扇形统计图中的值： ； （3）若该中学共有1500名学生，估计1分钟跳绳次数在范围的学生有多少名． 【答案】（1）每名学生1分钟的跳绳次数；50 （2）；144 （3）60名 【解析】 【分析】（1）根据个体的定义可得第一空的答案，用A组的人数除以其人数占比可得第二空的答案； （2）求出B组的学生人数，再补全统计图；用360乘以C组的人数占比即可求出n的值； （3）用1500乘以样本中E组的人数占比即可得到答案． 【小问1详解】 解：由题意得，在这次调查中，个体是每名学生1分钟的跳绳次数； 一共抽取了名学生； 【小问2详解】 解：B组的学生有名， 补全频数分布直方图： ； 【小问3详解】 解：名， 答：估计1分钟跳绳次数在范围的学生有60名． 21. 常州博物馆文创区，将厚重的历史转化为轻盈的创意，让博物馆的陪伴在家庭生活中持续延续，其中的文创冰箱贴更是深受大家喜爱．已知“青瓷鸡首壶冰箱贴”的单价比“龙纹砖冰箱贴”的单价低12元，用288元购买的“龙纹砖冰箱贴”的数量和用216元购买的“青瓷鸡首壶冰箱贴”的数量相同．求“龙纹砖冰箱贴”的单价为多少元？ 【答案】“龙纹砖冰箱贴”的单价为48元 【解析】 【分析】设“龙纹砖冰箱贴”的单价为x元，则“青瓷鸡首壶冰箱贴”的单价为元，根据用288元购买的“龙纹砖冰箱贴”的数量和用216元购买的“青瓷鸡首壶冰箱贴”的数量相同建立方程求解即可． 【详解】解：设“龙纹砖冰箱贴”的单价为x元，则“青瓷鸡首壶冰箱贴”的单价为元， 由题意得，， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 答：“龙纹砖冰箱贴”的单价为48元． 22. 如图，在矩形中，，，点、分别在边，上，，连接，、，． （1）求证：，互相平分； （2）若四边形是菱形，求的长． 【答案】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∴，互相平分； （2）3 【解析】 【分析】（1）只需要证明四边形是平行四边形，即可证明，互相平分； （2）由菱形的性质得到，由矩形的性质得到，设，则，由勾股定理可得方程，解方程即可得到答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵四边形是菱形， ∴； ∵四边形是矩形， ∴； 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴． 23. 数学来源于生活，生活中的现象可以帮助我们更好地理解和应用数学． （1）实验1：两个杯子中依次盛有，糖水，分别含糖，，并且这两杯糖水的浓度相等，即．将这两杯糖水倒入一个大空杯子里，则大杯糖水的浓度与原各小杯糖水的浓度相等，用等式表示为 ； （2）实验2：两个杯子中依次盛有，糖水，分别含糖，，并且第1杯糖水的浓度大于第2杯糖水的浓度，即，所以． ①将这两杯糖水倒入一个大空杯子里，则大杯糖水的浓度 第1杯糖水的浓度，大杯糖水的浓度 第2杯糖水的浓度（填“”“”或“”），用不等式组表示为 ； ②用所学的知识说明①中的不等式组成立． 【答案】（1） （2） ① ；； ②说明如下： ∵，均为正数， ∴，即，且，， ∵， 又∵，， ∴， ∴， ∵， 又∵，， ∴， ∴， 综上可得，不等式组成立. 【解析】 【分析】（1）根据糖水的浓度等于糖的质量除以糖水的质量，结合题干信息，列出等式即可； （2）① 高浓度糖水与低浓度糖水混合后，浓度介于两个原浓度之间，据此判断大小关系并写出不等式组即可；②利用作差法，结合已知条件，即可证明不等式成立. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 24. 在综合与实践活动课上，同学们以“平行四边形的翻折”为主题开展数学活动．在中，为边上的一点，将沿翻折，点的对应点为． （1）如图1，当点恰好落在边上时，四边形的形状为 ； （2）如图2，当点与点重合时，若，垂足为，且，，直接判断四边形的形状，并求的长； （3）如图3，，，．若时，射线与射线相交于点，则点在边上运动的过程中，的最小值为 ． 【答案】（1）菱形； （2）四边形是等腰梯形，； （3） 【解析】 【分析】（1）由平行四边形的性质推出，由折叠的性质得到，则可证明，推出，据此可得结论； （2）可证明，则可得到；证明和都是等腰直角三角形，得到，则可证明；由勾股定理得，，则可证明四边形是梯形，证明，则可证明四边形是等腰梯形； （3）过点A作于点M，可证明，得到，则当时，有最小值，即此时有最小值；可证明四边形是矩形，得到；推出，则，据此可得答案． 【小问1详解】 解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴； 由折叠的性质可得， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形； 【小问2详解】 解：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴； 由折叠的性质可得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； ∵，即， ∴， ∴和都是等腰直角三角形， ∴， ∴； 由勾股定理得，， ∴， ∴四边形是梯形， 又∵， ∴四边形是等腰梯形； 【小问3详解】 解：如图所示，过点A作于点M， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 由折叠的性质可得， ∴， ∴， ∴当时，有最小值，即此时有最小值； 当时，则， 又∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴； 在中，， ∴， ∴， ∴的最小值为，即的最小值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025－2026学年第二学期八年级期末数学卷2026.6 注意事项： 1、本试卷共6页，全卷满分100分，考试时间为90分钟．考生应将答案全部填写在答题卡相应的位置上，写在本试卷上无效．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．考试时不允许使用计算器． 2、答题前，考生务必将自己的姓名、考试证号填写在试卷上，并填涂好答题卡上的考生信息． 3、作图必须用2B铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚． 一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分） 1. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 下列调查中，适合采用普查的是（ ） A. 了解一批手机电池的使用寿命 B. 了解一批苹果的甜度 C. 了解班级同学所穿鞋子的尺码 D. 了解太湖中现有鱼的种类 3. 已知，则下列式子一定成立的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列事件是必然事件的是（ ） A. 购买1张福利彩票中特等奖 B. 在平面内任意画一个三角形，它的内角和是 C. 射击运动员射击一次，命中靶心 D. 一枚硬币连续抛掷2次，每次都正面朝上 5. 已知，，则的值为（ ） A. 6 B. 7 C. 12 D. 14 6. 如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点的坐标为，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 7. 式子的值不可能为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，，，，分别是各边的中点，连接，，相交于点，连接，，相交于点．则下列说法不正确的是（ ） A. 四边形是平行四边形 B. 当时，四边形是矩形 C. 当是菱形时，四边形是菱形 D. 四边形可能是正方形 二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分） 9. 若分式有意义，则的取值范围是_____． 10. 某种油菜籽在相同条件下发芽实验的结果如下： 每批粒数 100 300 400 600 1000 2000 3000 发芽的频率（精确到） 则这种油菜籽发芽的概率的估计值是_________（精确到）． 11. 常州4月6日~12日的气温折线图如图所示，则这一周中温差最小的日期是4月_________日． 12. 一只不透明的袋子中装有个白球，5个红球，这些球除颜色外都相同．将球摇匀，从中任意摸出1个球，若要使从中摸出白球的概率比摸出红球的概率大，则的最小值为_________． 13. 高空抛物严重威胁着人们的“头顶安全”，即便是常见小物件，一旦高空落下，也威力惊人，而且用时很短，常常避让不及．据研究，物体自由下落的高度与所需的时间满足关系式，如果1个鸡蛋从离地面的高空落下，则鸡蛋落到地面所用的时间是_________． 14. 如图，在直角梯形中，，，，分别是腰，下底的中点．当平分时，的长为_________． 15. 若x为的小数都分，则代数式的值为________． 16. 如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，为的中点．点在上，点在上（点不与点，重合），且．过点作，交于点，以和为邻边作．当将分成面积相等的两部分时，的长为_________． 三、解答题（本大题共8小题，共68分．第17，21，22题每题8分，第18题4分；第19题10分，第20题6分，第23，24题每题12分） 17. 计算： （1）； （2）． 18. 先分解因式，然后计算求值：，其中． 19. 完成下列小问； （1）计算：； （2）解方程：． 20. 跳绳是一项集健身与娱乐为一体的体育活动，有利于学生的身心健康发展，为了解全校学生的跳绳水平，随机抽取了部分学生1分钟的跳绳次数（次数用表示，单位：次），将其分成以下五组：A组（），B组（），C组（），D组（），E组（），并将所得数据整理成如下频数分布直方图和扇形统计图（不完整）． 根据以上信息回答下列问题： （1）在这次调查中，个体是 ，一共抽取了 名学生； （2）将频数分布直方图补充完整，并写出扇形统计图中的值： ； （3）若该中学共有1500名学生，估计1分钟跳绳次数在范围的学生有多少名． 21. 常州博物馆文创区，将厚重的历史转化为轻盈的创意，让博物馆的陪伴在家庭生活中持续延续，其中的文创冰箱贴更是深受大家喜爱．已知“青瓷鸡首壶冰箱贴”的单价比“龙纹砖冰箱贴”的单价低12元，用288元购买的“龙纹砖冰箱贴”的数量和用216元购买的“青瓷鸡首壶冰箱贴”的数量相同．求“龙纹砖冰箱贴”的单价为多少元？ 22. 如图，在矩形中，，，点、分别在边，上，，连接，、，． （1）求证：，互相平分； （2）若四边形是菱形，求的长． 23. 数学来源于生活，生活中的现象可以帮助我们更好地理解和应用数学． （1）实验1：两个杯子中依次盛有，糖水，分别含糖，，并且这两杯糖水的浓度相等，即．将这两杯糖水倒入一个大空杯子里，则大杯糖水的浓度与原各小杯糖水的浓度相等，用等式表示为 ； （2）实验2：两个杯子中依次盛有，糖水，分别含糖，，并且第1杯糖水的浓度大于第2杯糖水的浓度，即，所以． ①将这两杯糖水倒入一个大空杯子里，则大杯糖水的浓度 第1杯糖水的浓度，大杯糖水的浓度 第2杯糖水的浓度（填“”“”或“”），用不等式组表示为 ； ②用所学的知识说明①中的不等式组成立． 24. 在综合与实践活动课上，同学们以“平行四边形的翻折”为主题开展数学活动．在中，为边上的一点，将沿翻折，点的对应点为． （1）如图1，当点恰好落在边上时，四边形的形状为 ； （2）如图2，当点与点重合时，若，垂足为，且，，直接判断四边形的形状，并求的长； （3）如图3，，，．若时，射线与射线相交于点，则点在边上运动的过程中，的最小值为 ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $