1.5.2　全称量词命题和存在量词命题的否定 同步练 2026-2027学年 高中数学 高一上学期 人教A版 必修第一册

**基本信息** 聚焦全称与存在量词命题否定，通过基础巩固、能力提升、综合应用三层设计，实现从概念理解到逻辑推理再到综合应用的递进，培养数学抽象与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|量词命题否定基本规则|选用高考真题改编题（如第1-3题），直接考查否定形式转换| |能力提升|命题真假判断与否定应用|设置多选（第8-9题），结合具体情境辨析否定的逻辑关系| |综合应用|参数范围与跨情境探究|设计开放题（第15-16题），融合方程与不等式，提升数学建模能力|

1.5.2　全称量词命题和存在量词命题的否定 1. (2024·杭州高级中学高一期中) 命题p：∀x∈N，x3＞x2的否定是(　 　) A. ∀x∈N，x3≤x2 B. ∃x∉N，x3≤x2 C. ∃x∈N，x3≤x2 D. ∃x∈N，x3＜x2 2. (2024·河北保定部分高中高一联考) 命题“存在x∈Q，使得x＋是无理数”的否定是(　 　) A. 存在x∈Q，使得x＋不是无理数 B. 存在x∉Q，使得x＋不是无理数 C. 对任意x∈Q，都有x＋是无理数 D. 对任意x∈Q，都有x＋不是无理数 3. 设命题p：任意实数的平方都不小于0，则命题p的否定是(　 　) A. ∃x∈R，x2≥0 B. ∀x∈R，x2＜0 C. ∃x∈R，x2＜0 D. ∃x∈R，x2＞0 4. 下列命题中，其否定中为真命题的是 (　 　) A. 有些实数的绝对值不是正数 B. 所有平行四边形都不是菱形 C. 任意两个等边三角形都是相似的 D. 3是方程x2－9＝0的一个根 5. (2024·杭州萧山中学高一检测)已知命题p：∃x＞0，x2＋2x＋1＝x，则(　 　) A. p为真命题，命题p的否定：∃x＞0，x2＋2x＋1＝x B. p为假命题，命题p的否定：∀x＞0，x2＋2x＋1≠x C. p为真命题，命题p的否定：∀x＞0，x2＋2x＋1≠x D. p为假命题，命题p的否定：∀x≤0，x2＋2x＋1≠x 6. 命题“∀x∈R，∃n∈N*，使得n≥x2”的否定形式为(　 　) A. ∀x∈R，∃n∈N*，使得n＜x2 B. ∀x∈R，∀n∈N*，使得n＜x2 C. ∃x∈R，∃n∈N*，使得n＜x2 D. ∃x∈R，∀n∈N*，使得n＜x2 7. 已知命题p：∃x＞0，x＋a－1＝0为假命题，则实数a的取值范围是(　 　) A. a＞1 B. a≥1 C. a＜1 D. a≤1 8. (多选)关于命题的否定，下列说法中正确的有(　 　) A. p：能被2整除的数是偶数；p的否定：存在一个能被2整除的数不是偶数 B. p：有些矩形是正方形；p的否定：所有的矩形都不是正方形 C. p：有的三角形为正三角形；p的否定：所有的三角形不都是正三角形 D. p：∀n∈N，2n≤100；p的否定：∃n∈N，2n＞100 9. (多选)命题p：∃x∈R，使，命题q：∀x∈(0，＋∞)，有x2＜x3，则(　 　) A. p的否定是假命题 B. q的否定是真命题 C. p是存在量词命题 D. q是全称量词命题 10. 命题“对于所有的实数x，都有x2－x＋1＝0”可用符号记为　 　，该命题的否定为　 　.  11. 命题p是“对某些实数x，有x－a＞0，或x－b≤0，其中a，b是常数”. (1)命题p的否定是　 　；  (2)当a，b满足条件　 　时，命题p的否定为真.  12. 已知任意0≤x1≤3，存在－m≤x2≤2，使得x1≥x2，则实数m的取值范围是　 　.  13. 写出下列命题的否定，并判断其真假. (1)p：不论m取任何实数，方程x2＋x－m＝0必有实数根； (2)q：存在一个实数x，使得x2＋x＋3≤0； (3)r：等圆的面积相等，周长相等. 14. 已知命题p：∀x∈{x|1≤x≤2}，a≥x＋1，命题q：∃x∈R，2x2＋5x＋a＝0，若p的否定是假命题，q是真命题，求实数a的取值范围. 15. 立德中学开展小组合作学习模式，高二某班某组王小一同学给组内王小二同学出题如下：若命题“∃x∈R，x2＋2x＋m≤0”是假命题，求m的范围.王小二略加思索，反手给了王小一一道题：若命题“∀x∈R，x2＋2x＋m＞0”是真命题，求m的范围.你认为，两位同学题中m的范围是否一致? 　 　(填“是”或“否”)  16. (2024·东营一中高一检测)是否存在整数m，使得命题“∀x≥－，－5＜3－4m＜x＋1”是真命题?若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由. 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.5.2　全称量词命题和存在量词命题的否定 1. (2024·杭州高级中学高一期中) 命题p：∀x∈N，x3＞x2的否定是(　C　) A. ∀x∈N，x3≤x2 B. ∃x∉N，x3≤x2 C. ∃x∈N，x3≤x2 D. ∃x∈N，x3＜x2 【解析】∵命题p：∀x∈N，x3＞x2，∴命题p的否定为“∃x∈N，x3≤x2”. 2. (2024·河北保定部分高中高一联考) 命题“存在x∈Q，使得x＋是无理数”的否定是(　D　) A. 存在x∈Q，使得x＋不是无理数 B. 存在x∉Q，使得x＋不是无理数 C. 对任意x∈Q，都有x＋是无理数 D. 对任意x∈Q，都有x＋不是无理数 【解析】命题“存在x∈Q，使得x＋是无理数”的否定是“对任意x∈Q，都有x＋不是无理数”. 3. 设命题p：任意实数的平方都不小于0，则命题p的否定是(　C　) A. ∃x∈R，x2≥0 B. ∀x∈R，x2＜0 C. ∃x∈R，x2＜0 D. ∃x∈R，x2＞0 【解析】命题p：任一实数的平方都不小于0，是全称量词命题，故命题p的否定为存在量词命题，即∃x∈R，x2＜0. 4. 下列命题中，其否定中为真命题的是 (　B　) A. 有些实数的绝对值不是正数 B. 所有平行四边形都不是菱形 C. 任意两个等边三角形都是相似的 D. 3是方程x2－9＝0的一个根 【解析】A的否定：所有实数的绝对值都是正数，假命题；B的否定：有些平行四边形是菱形，真命题；C的否定：有些等边三角形不相似，假命题；D的否定：3不是方程x2－9＝0的一个根，假命题. 5. (2024·杭州萧山中学高一检测)已知命题p：∃x＞0，x2＋2x＋1＝x，则(　B　) A. p为真命题，命题p的否定：∃x＞0，x2＋2x＋1＝x B. p为假命题，命题p的否定：∀x＞0，x2＋2x＋1≠x C. p为真命题，命题p的否定：∀x＞0，x2＋2x＋1≠x D. p为假命题，命题p的否定：∀x≤0，x2＋2x＋1≠x 【解析】对于方程x2＋2x＋1＝x，即x2＋x＋1＝0，Δ＝1－4＝－3＜0，∴方程无解，故p为假命题，命题p的否定：∀x＞0，x2＋2x＋1≠x. 6. 命题“∀x∈R，∃n∈N*，使得n≥x2”的否定形式为(　D　) A. ∀x∈R，∃n∈N*，使得n＜x2 B. ∀x∈R，∀n∈N*，使得n＜x2 C. ∃x∈R，∃n∈N*，使得n＜x2 D. ∃x∈R，∀n∈N*，使得n＜x2 【解析】根据含有量词的命题的否定的概念可知D正确. 7. 已知命题p：∃x＞0，x＋a－1＝0为假命题，则实数a的取值范围是(　B　) A. a＞1 B. a≥1 C. a＜1 D. a≤1 【解析】∵命题p：∃x＞0，x＋a－1＝0为假命题，∴¬p：∀x＞0，x＋a－1≠0是真命题，即x≠1－a，∴1－a≤0，即a≥1，∴a的取值范围是a≥1. 8. (多选)关于命题的否定，下列说法中正确的有(　ABD　) A. p：能被2整除的数是偶数；p的否定：存在一个能被2整除的数不是偶数 B. p：有些矩形是正方形；p的否定：所有的矩形都不是正方形 C. p：有的三角形为正三角形；p的否定：所有的三角形不都是正三角形 D. p：∀n∈N，2n≤100；p的否定：∃n∈N，2n＞100 【解析】“有的三角形为正三角形”为存在量词命题，其否定为全称量词命题：所有的三角形都不是正三角形，C错误. 9. (多选)命题p：∃x∈R，使，命题q：∀x∈(0，＋∞)，有x2＜x3，则(　BCD　) A. p的否定是假命题 B. q的否定是真命题 C. p是存在量词命题 D. q是全称量词命题 【解析】对于A，由，得方程组无解，即不存在x∈R，使，p是假命题，则p的否定为真命题，A错误；对于B，当 x＝时，x2＝，x3＝，此时x2＞x3，即∃x∈(0，＋∞)，使x2≥x3，∴命题q是假命题，则q的否定为真命题，B正确；命题p是存在量词命题，命题q是全称量词命题，C，D正确. 10. 命题“对于所有的实数x，都有x2－x＋1＝0”可用符号记为　∀x∈R，x2－x＋1＝0　，该命题的否定为　∃x∈R，x2－x＋1≠0　.  11. 命题p是“对某些实数x，有x－a＞0，或x－b≤0，其中a，b是常数”. (1)命题p的否定是　对任意实数x，有x－a≤0，且x－b＞0　；  (2)当a，b满足条件　b＜a　时，命题p的否定为真.  【解析】(1)命题p的否定：对任意实数x，有x－a≤0，且x－b＞0. (2)要使命题p的否定为真，需要使不等式组的解集为R.通过画数轴可看出，a，b应满足的条件是b＜a. 12. 已知任意0≤x1≤3，存在－m≤x2≤2，使得x1≥x2，则实数m的取值范围是　m≥　.  【解析】对任意0≤x1≤3，存在－m≤x2≤2，使得x1≥x2等价于(x1)min≥(x2)min，得0≥－m，∴m≥. 13. 写出下列命题的否定，并判断其真假. (1)p：不论m取任何实数，方程x2＋x－m＝0必有实数根； (2)q：存在一个实数x，使得x2＋x＋3≤0； (3)r：等圆的面积相等，周长相等. 解：(1)这一命题可以表述为p：对所有的实数m，方程x2＋x－m＝0有实数根，其否定形式是¬p：存在实数m，使得x2＋x－m＝0没有实数根.当Δ＝1＋4m＜0，即m＜－时，一元二次方程没有实数根，∴¬p是真命题. (2)这一命题的否定形式是¬q：对所有实数x，都有x2＋x＋3＞0.利用配方法可以验证¬q是一个真命题. (3)这一命题的否定形式是¬r：存在一对等圆，其面积不相等或周长不相等，由平面几何知识得¬r是一个假命题. 14. 已知命题p：∀x∈{x|1≤x≤2}，a≥x＋1，命题q：∃x∈R，2x2＋5x＋a＝0，若p的否定是假命题，q是真命题，求实数a的取值范围. 解：∵p的否定是假命题，∴p是真命题，由“∀x∈{x|1≤x≤2}，a≥x＋1”为真命题，得a≥3.∵q是真命题，∴关于x的方程2x2＋5x＋a＝0有实数根，则Δ＝25－8a≥0，解得a≤.综上，实数a的取值范围是3≤a≤. 15. 立德中学开展小组合作学习模式，高二某班某组王小一同学给组内王小二同学出题如下：若命题“∃x∈R，x2＋2x＋m≤0”是假命题，求m的范围.王小二略加思索，反手给了王小一一道题：若命题“∀x∈R，x2＋2x＋m＞0”是真命题，求m的范围.你认为，两位同学题中m的范围是否一致? 　是　(填“是”或“否”)  【解析】∵命题“∃x∈R，x2＋2x＋m≤0”的否定是“∀x∈R，x2＋2x＋m＞0”，而命题“∃x∈R，x2＋2x＋m≤0”是假命题，则其否定“∀x∈R，x2＋2x＋m＞0”为真命题，∴两位同学题中的m的范围是一致的. 16. (2024·东营一中高一检测)是否存在整数m，使得命题“∀x≥－，－5＜3－4m＜x＋1”是真命题?若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由. 解：假设存在整数m，使得命题“∀x≥－，－5＜3－4m＜x＋1”是真命题. ∵当x≥－时，x＋1≥，∴－5＜3－4m＜，解得＜m＜2，又m为整数， ∴m＝1，故存在整数m＝1，使得命题“∀x≥－，－5＜3－4m＜x＋1”是 真命题. 学科网（北京）股份有限公司 $