1.5.1 全称量词与存在量词-【无敌原创】2025-2026学年高中数学必修第一册同步课时卷

第一章集合与常用逻辑用语 19 1.5全称量词与存在量词 7.下列命题，是全称量词命题的是 1.5.1全称量词与存在量词 是存在量词命题的是 (填序号) ①正方形的四条边相等；②有两个角是 基础过关) 45°的三角形是等腰直角三角形；③正数的 1.下列语句不是全称量词命题的是() 平方根不等于0；④至少有一个正整数是 A.任何一个实数乘零都等于零 偶数；⑤有的梯形对角线相等；⑥存在一 B.自然数都是正整数 对实数x,y,使2x十3y十3>0成立. C.高一(1)班绝大多数同学是团员 8.判断下列命题哪些是全称量词命题，哪些 D.每一个实数都有大小 是存在量词命题，并判断其真假性. 2.(多选)下列命题中是存在量词命题的是 (1)每一条线段的长度都能用正有理数来 表示； A.有些自然数是偶数 (2)存在一个实数x,使得等式x2+x+ B.正方形是菱形 8=0成立； C.能被6整除的数也能被3整除 (3)对所有的正实数t,W为正且E<t; D.存在x∈R,使得|x≤0 (4)存在实数x,使得x2一3x一4=0； 3.下列命题中的假命题是 (5)存在实数对(x,y),使得3x-4y-5>0: A.3x∈R,|x|=0 (6)角平分线上的点到这个角的两边的距 B.3x∈R,2x-10=1 离相等. C.Vx∈R,x3>0 D.Hx∈R,x2+1>0 4.下列命题中既是全称量词命题又是真命 题的是 A.Vx∈R,2x+1>0 B.若2x为偶数，则x∈N C.菱形的四条边都相等 D.π是无理数 5.已知命题p:Hx∈R,x2+2x一a>0.若p 为真命题，则实数a的取值范围是() A.{aa>-1} B.{aa<-1} C.{ala≥-1} D.{aa≤-1} 6.命题“有些负数满足不等式(1十x)(1一 9x)2>0”用“了”写成存在量词命题 为 20无敌原创同步必刷点数学·必修第一册 能力提升) 5.已知m∈R,命题p:Vx∈[-1,1]，不等 式m≤一x恒成立，若p为真命题，求m 1.已知命题p:3x∈R,x2+4x十a=0,若命 的取值范围. 题p是假命题，则实数a的取值范围是 () A.{a0<a<4} B.{aa>4} C.{aa<0} D.{aa≥4} 2.已知A={x|1≤x≤2}，命题“Hx∈A, x2一a≤0”是真命题的一个充分不必要条 件是 () A.a≥4B.a≤4C.a≥5D.a≤5 3.若Hx∈[0,3]，使得不等式a≥-x2+2x 成立，则实数a的取值范围是 () A.{a-3≤a≤0} B.{aa≥0} C.{aa≥1} D.{aa≥-3} 4.若存在x∈R,使ax2+2x十1<0，则实数 a的取值范围为154无敌原创同步必刷点数学·必修第一册 (2)M∩P={x|5<x≤8}的充分不必要条件是a在 {a一3≤a≤5}中任取一个值都可以 (3)若a=-5,显然M∩P={x|-5≤x<-3或5<x≤8》 是M∩P={x|5<x≤8}的必要不充分条件.故a<一3为必 要不充分条件。 9.证明：必要性：由于方程ax2十bx十c=0有一正根和一负 根，所以△=-4ac>0,x=后<0(1，为方程的两 根)，所以ac<0.充分性：由ac<0,可推得b一4ac>0及 x1·x2=二<0(1，x2为方程的两根)，所以方程ax2+bx十 a c=0有两个相异实根，且两根异号，即方程ax2十bx十c=0 有一正根和一负根.综上可知，一元二次方程ax2十bx十c= 0有一正根和一负根的充要条件是ac<0. 10.证明：充分性：因为m≥2，所以△=m一4≥0，所以方程 x2十mx十1=0有实根，设两根为x1,x2,由根与系数的关系 知x1x2=1>0,所以x1,x2同号.又x1十x=一m≤-2<0， 所以x)1,x2同为负数.即x2十mx十1=0有两个负实根的充分条 件是m≥2.必要性：因为x2十mx十1=0有两个负实根，设其为 1△=m2-4≥0， ,2,且x2=1,所以 即 +十x2=-m<0, 1m2或m≤-2， 解得m≥2. m>0, 11.解：“a一b十c=0”是“二次方程ax2十bx+c=0有一根为 一1”的充要条件.理由如下：当a,b,c∈R,a≠0时，若“a一 b十c=0”,则一1满足二次方程ax2十bx十c=0,即“二次方 程ax2十bx十c=0有一根为-1”，故“a一b+c=0”是“二次 方程ax2+bx+c=0有一根为一1”的充分条件.若“二次方 程ax2+bx+c=0有一根为一1”，则“a一b十c=0”,故“a b十c=0”是“二次方程ax2十bx十c=0有一根为一1”的必要 条件.综上所述，“a一b十c=0”是“二次方程ax2+bx十c=0 有一根为一1”的充要条件. 1.5全称量词与存在量词 1.5.1全称量词与存在量词 【基础过关】 1.C【解析：A中命题可改写为：任意一个实数乘零都等 于零，故A是全称量词命题；B中命题可改写为：任意的自 然数都是正整数，故B是全称量词命题；C中命题可改写 为：高一(1)班存在部分同学是团员，C不是全称量词命题； D中命题可改写为：任意的一个实数都有大小，故D是全称 量词命题.故选C.] 2.AD【解析：命题A含有存在量词；命题B可以叙述为 “所有的正方形都是菱形”，是全称量词命题；命题C能被6 整除的数都能被3整除，是全称量词命题；命题D是存在量 词命题.故选AD.] 3.C【解析：当x=0时，x3=0,故选项C为假命题.故 选C.】 4.C[解析：A选项，是全称量词命题，但不是真命题，故A 不正确；B选项，是全称量词命题，但不是真命题，故B不正 确；C选项，是全称量词命题，也是真命题，故C正确；D选 项，是真命题，但不是全称量词命题，故D不正确.故选C.】 5.B[解析：依题意知不等式x2+2x一a>0对x∈R恒成 立，所以必有△=4+4a<0,解得a<-1.故选B.】 6.3x<0,(1十x)(1一9x)2>0[解析：存在量词命题“存 在M中的元素x,使p(x)成立”可用符号简记为“了x∈M, p(x)”.] 7.①②③④⑤⑥【解析：①②③是全称量词命题，④⑤ ⑥是存在量词命题.] 8.解：(1)为全称量词命题，且为假命题，如边长为1的正方 形，其对角线的长度为√2，√2就不能用正有理数表示. (2)为存在量词命题，且为假命题，方程x2十x十8=0的判 别式△=-31<0，故方程无实数解。 (3)为全称量词命题，且为假命题，如取t=1,则√<t不 成立。 (4)为存在量词命题，且为真命题，方程x2一3x一4=0的判别 式△=b-4ac=25>0. (5)为存在量词命题，且为真命题，如取实数对(2,0)，则 3x-4y-5>0成立 (6)为全称量词命题，且为真命题 【能力提升】 1.B[解析：因为p是假命题，所以方程x2+4x+a=0没 有实数根，即△=16-4a<0,即a>4.故选B.】 2.C【解析：当该命题是真命题时，只需a≥(x2)nx,x∈ A={x|1≤x≤2).又y=x2在1≤x≤2上的最大值是4，所 以a≥4.因为a≥4羚a≥5，a≥5→a≥4.所以命题“Hx∈ A,x2一a≤0”是真命题的一个充分不必要条件是a≥5.故 选C.] 3.C[解析：设f(x)=x2一2x十a,x∈[0,3]，Hx∈[0,3]， 使得不等式x2-2x十a≥0成立，需f(x)mm≥0，此二次函数 的对称轴为x=1,故f(x)mm=f(1)=1-2×1十a≥0，解得 a≥1.故选C.] 4.{a|a<1}【解析：当a≤0时，显然存在x∈R,使ax2+ 2x+1<0;当a>0时，需满足△=4一4a>0,解得a<1.故 0<a<1.综上所述，实数a的取值范围是{aa<1}.] 5.解：若p为真命题，则m≤（一x)min,所以m≤一1.所以m 的取值范围是{mm≤一1}. 1.5.2全称量词命题和存在 量词命题的否定 【基础过关】 1.C【解析：命题p为存在量词命题，其否定形式为全称量 词命题，7：Vx∈R,x2+2x十3≥0.故选C.1 2.C【解析：命题p是存在量词命题，其否定形式为全称量词 命题，即对任意的实数m,方程x2十mx十1=0无实数根.故 选C.] 3.D[解析：命题p:Hx∈A,2x∈B是一个全称量词命题， 命题p的否定应为：3x∈A,2x￠B.故选D.] 4.C[解析：利用存在量词命题的否定是全称量词命题求 解.“存在实数x,使x>1”的否定是“对任意实数x,都有x≤ 1”.故选C.】 5.存在一个x∈R,使得x2一2x十4>0[解析：原命题为全 称量词命题，其否定为存在量词命题，既要否定量词又要否 定结论，所以其否定为存在一个x∈R,使得x2一2x十 4>0.】 6.任意x∈R,使得x2十2x十5≠0【解析：存在量词命题的 否定是全称量词命题，将“存在”改为“任意”，“=”改为 “≠”.】 7.解：(1)所有的四边形都没有外接圆 (2)存在一个末位数字为9的整数不能被3整除 (3)Hx∈R,x2+1>≥0. 8.解：(1)p:存在一个实数m,使方程x2十mx一1=0没有 实数根.因为该方程的判别式△=m2十4>0恒成立，所以一 p为假命题： (2)p:3x,y∈R,x2+y2+2x-4y+5≠0.因为x2+y2+ 2x-4y+5=(x+1)2+(y-2)2,当x=0,y=0时，x2+ y2十2x一4y+5≠0成立，所以饣为真命题. 【能力提升】 1.A[解析：若判断某命题的否定的真假，只要判断出原命 题的真假即可，它们的真假性始终相反，因为p:为全称量词 命题，且是假命题，所以p1是真命题.命题p2,,p:均为 真命题，即一p2,一p,7p,均为假命题.故选A.】 2.ACD【解析：A的否定：存在一个矩形，其对角线不相 参考答案155 等，假命题；B的否定：3x∈N,x2<1,真命题；C的否定：有 些等边三角形不相似，假命题：D的否定：3不是方程x2一 9=0的一个根，假命题.故选ACD.] 3.D【解析：因为命题“3x∈R,使4r2+x+子(a-2)<0” 是假命题，所以命题“Vx∈R,使4x2十x十子(a-2)>0”是 真命题，即判别式4=1-4X4×（a-2)<0,解得a>是 故选D.] 4.AC【解析：命题p:“Vx∈R,x2+1≠0”的否定是 “了x∈R,x2+1=0”.所以力是真命题，力是假命题.故 选AC.】 5.ABD[解析：“有的三角形为正三角形”为存在量词命 题，其否定为全称量词命题：“所有的三角形都不是正三角 形”，故选项C错误.故选ABD.】 6.{aa>≥-8}[解析：当x∈{x|1≤x≤2}时，因为x2+ 2x=(x十1)2一1，所以3≤x2十2x≤8，由题意有a≥- (x2+2x),所以a≥-8.] 7.{aa≤1〉【解析：因为命题一p是假命题，所以p是真命 题，即存在x∈R,x2十2x十a=0为真命题，所以△=4 4a≥0，所以a≤1.] 8.解：由命题“3x∈R,使得x十mxo十2m十5<0”为假命 题，则命题“Vx∈R,使得x2+mx十2m十5≥0”为真命题. 所以△=m2-4(2m+5)≤0，所以-2≤m≤10.所以m的取 值范围是{m一2≤m≤10}. 9.解：由题意知命题p,q都是真命题.由Vx,且1≤x≤3，都 有m≥x都成立，只需m大于或等于x的最大值，即m≥3. 由3x,且1≤x≤3，使m≥x成立，只需m大于或等于x的 最小值，即m≥1，因为两者同时成立，故实数m的取值范围 为{mm≥3}∩{mm≥1}={mm≥3. 习题课(2) 【基础过关】 1.B[解析：p:ab=0,即为a=0或b=0;q:a2+b=0,即 为a=b=0.所以若p成立，则g不一定成立，反之若q成 立，则p一定成立，所以p是q的必要不充分条件.故选B.] 2.A[解析：由x>2成立可得x>1也成立，所以x>2的 一个必要条件为x>1.故选A.】 3.A[解析：若A∩B={4},则m2+1=4,即m2=3,解得 m=√3或m=-√5.故“m=√3”是“A∩B=(4}”的充分不 必要条件.故选A.】