期末统考模拟数学试题（四）2025—2026学年度隆昌市知行中学第二学期八年级

**基本信息** 这份八年级期末模拟卷以真实情境与梯度设计为特色，通过AI学习统计、杨辉三角文化、收纳箱采购等问题，考查分式、函数、几何等核心知识，体现抽象能力、几何直观与应用意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|12/48|分式、统计、函数图像、平行四边形|第2题结合AI学习时间统计，考查众数、平均数等数据意识| |填空题|4/16|科学记数法、函数取值、动点最值|第16题矩形动点与中点最值，体现几何直观与空间观念| |解答题|6/56|几何证明、统计分析、函数综合、实际应用|22题从正方形旋转拓展到菱形探究，培养推理能力与创新意识；21题收纳箱采购问题，考查模型意识与应用能力|

( 学校 班级 姓名 考号 ……………………… 密 ………………………………………… 封 …………………………… 线 ……………………………… ) 隆昌市知行中学2025—2026学年度期末统考模拟试题 数学 答题卡 ( 考生禁填 缺考标记 缺考考生由监考员贴条形码，并用2B铅笔填涂上面的缺考标记 ) ( 注意事项 ) ( 1. 答题前，考生务必认真核对条形码上的姓名、准考证号，无误后将本人 姓名、准考证号填写在相应的位置 。 2. 选择题填涂时，必须使用 2B 铅笔按 图示规范填涂；非选择题必 须用 0.5 毫米黑色墨迹签字笔书写， 字体工整、字迹清楚。 3. 非选择题请按照题目顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域 书写的答案无效；在草稿纸、试题上答题无效。 4. 保持卡面清洁，不要折叠、弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、 刮纸刀。 ) ( Ⅰ 卷 （选择题 共48分） （考生须用2 B 铅笔填涂） ) ( 1 [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 5 [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 9 [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 2 [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 6 [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 10 [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 3 [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 7 [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 11 [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 4 [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 8 [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 12 [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] ) ( 13、______ _ _ _ _ _ ___ 14、_______ _______ 15、_____ _ __ _ _____ 16、 ) ( Ⅱ 卷 （非选择题 共72分） （考生须用 0.5 毫 米 黑色墨迹签字笔书写） ) ( 二、填空题（每空4分，共16分） 13 、 14 、 15 、 16 、 ) ( 解答题（ 共 56 分 ） 17 、 （本小题 两个小题，每个小题4分， 满 分 8 分） （ 1 ）计算： （2）先化简，再求值： ，再从 中选择一个你喜欢的整数代入求值 。 ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 ) ( 18、（本小题满分 8 分） ) ( 19 、（本小题满分 8 分） （1） ______ ， _______ ； （2） 求丙同学的面试成绩 p ； （3） 通过比 较方差，可判断评委对学生面试表现评价的一致性程度 。 据此推断评委对______同学的评价更一致（填“甲”、“乙”或“丙”）； （4） 按笔试成绩占 50% ，面试成绩占 50% 选出综合成绩最高的同学是 ______ （ 填“甲”、“乙”或“丙”） 。 ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 ) ( 20 、（本小题满分 10 分） ) ( 2 1 、 （ 本小题满分 10 分 ） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 ) ( 22 、（本小题满分 12 分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ ( 学校： 考号： 姓名： 班级： 密 封 线 内 不 答 密 封 线 )隆昌市知行中学2025—2026学年度第二学期初中八年级期末统考模拟 数 学 试 题（四） 本试卷三个大题共22个小题，全卷满分120分，考试时间120分钟。 注意事项： 1、答题前，请考生务必将自己姓名、考号、班级等写在试卷相应的位置上； 2、选择题选出答案后，用钢笔或黑色水笔把答案标号填写在选择题答题卡的相应号上。 一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分。） 1、下列各式，，，，，其中分式共有（    ） A、1个 B、2个 C、3个 D、4个 2、随着人工智能的快速发展，越来越多的学生使用AI 辅助学习、小凯记录了自己连续八周每周使用AI 辅助学习的时间（单位：分钟），并绘制了如图所示的折线统计图、根据统计图，下列关于小凯这八周使用AI 辅助学习时间的描述，错误的是（      ） A、众数是127分钟 B、平均数是133分钟 C、中位数是132分钟 D、总时间是1064分钟 ( 第 2 题图 时间 / 分钟 1 150 130 140 120 110 160 周次 2 3 4 5 6 7 8 0 127 123 132 139 127 132 152 132 图 1 A B C D E P 第 3 题图 5 图 2 a O x/cm y 9 b ) 3、如图，已知矩形ABCD中，点E是BC的中点，点P从点B出发，沿以的速度匀速运动到点B，到达点B后停止。图2是点P运动时，的面积（）随运动时间x（s）变化的关系图像，则图2中a，b的值为（     ） A、， B、， C、， D、， 4、已知正比例函数（k、b为常数，，）中，y随x的增大而减小，则一次函数的图象大致是（      ） ( O y x A O y x B O y x C O y x D ) 5、如图，在□ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，.若，，则BD的长为（    ） A、8 B、 C、 D、16 ( D C A B 第 5 题图 O y x D C A B 第 6 题图 O 第 8 题图 杨辉三角 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 …………… ) 6、八年级学生去距学校50km的博物馆参观，按时到达学校的学生乘大巴先出发，10min后，晚来的学生乘出租车出发，结果他们同时到达。已知出租车的平均速度是大巴平均速度的1.2倍，已知大巴车的平均速度为每小时x千米；根据题意列出方程为（       ） A、 B、 C、 D、 7、如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的位置如图所示，，若，则点D的坐标为（     ） A、（，） B、（，） C、（，） D、（，） 8、杨辉三角形又称贾宪三角形，因首现于南宋杰出数学家杨辉的《详解九章算法》而得名，它的排列规律如图所示：在第一行中间写下数字1；在第二行写下两个1，和第一行的1形成三角形；随后的每一行，第一个位置和最后一个位置的数都是1，其他的每个位置的数都是它左上方和右上方的数之和。若从杨辉三角形的第三行起，每行第3个位置的数依次组织一系列新的数，依次记作，由图可知若，则（    ） A、2025 B、2026 C、2027 D、2028 9、如图，在□ABCD中，AC与BD交于点O，点E为AD的中点。若，对角线，□ABCD面积为24，则□ABCD的周长为（    ） A、20 B、24 C、28 D、30 ( O 第 9 题图 A B C D E y x O 第 1 0 题图 A B C D E P M 第 11 题图 A B C F E ) 10、如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的两边OC、OA分别在x轴、y轴的正半轴上，反比例函数与AB相交于点D，与BC相交于点E，若，且的面积是12，则k的值为（    ） A、10 B、8 C、5 D、4 11、如图，在中，，，，P为边BC上一动点，于E，于F，M为EF中点，当点P从点B运动到点C，EM最小值为（    ） A、2.4 B、4 C、4.8 D、5 12、如图，已知正方形ABCD的边长为4，点P是对角线BD上一点，于点E，于点F，连接AP，EF.给出下列结论：①且；②；③一定是等腰三角形；④四边形PECF的周长为；⑤EF的最小值为；⑥.其中结论正确的是（     ） A、①③④⑤ B、②③④⑥ C、①④⑤⑥ D、①②⑤⑥ ( F 第 12 题图 A B C D E P M 第 1 6 题图 A C D E P F B O 第 1 5 题图 - 2 y - 5 y= 3 x+b x P y=ax - 3 ) 二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分） 13、可乐和奶茶含有大量的咖啡因，世界卫生组织建议青少年每天摄入的咖啡因不能超过0.000085kg，将数据0.000085用科学记数法表示为__ __； 14、在函数中，自变量x的取值范围__ __； 15、如图，已知函数和的图像交于点P（，），则根据图像可得不等式的解集是__ _； 16、如图，在矩形ABCD中，，，E、F分别是边AB、BC上的动点，且，M为EF中点，P是边AD上的一个动点，则的最小值是______. 三、解答题：（本大题共6个小题，共56分。解答应写出必要的文字说明或演算步骤。） 17、（本小题2个小题，每个小题4分，满分8分） （1）计算： （2）先化简，再求值：，再从中选择一个你喜欢的整数代入求值。 18、（本小题满分8分） 如图，在□ABCD中，点E，F分别在AB，CD的延长线上，且，连接DE，BF （1）求证：四边形BEDF是平行四边形； （2）若DE平分，，，求□ABCD的周长。 ( F B A C D E ) ( 密 封 线 内 不 要 答 题 线 封 密 )19、（本小题满分8分）某中学为选拔“校园形象代言人”，先后进行了笔试和面试，在笔试中，甲、乙、丙三位同学脱颖而出，他们的笔试成绩（满分为100分）分别是87，85，90。在面试中，十位评委对甲、乙、丙三位同学的表现进行打分，每位评委最高打10分，面试成绩等于各位评委打分之和。对三位同学的面试数据进行整理、描述和分析，并给出了相关信息。 ( a . 评委给甲、乙两位同学打分的折线图 评委打分 / 分 30% 10 分 9 分 6 分 8 分 b . 评委给丙两位同学扇形的折线图 20% 40% 10% 乙 2 4 6 8 10 9 7 8 6 0 10 评委编号 1 3 5 7 9 甲 ) c、甲、乙、丙三位同学面试情况统计表 同学 评委打分的中位数 评委打分的众数 面试成绩 方差 甲 m 9和10 85 1.85 乙 8.5 8 87 s 丙 8 n p 2.01 根据以上信息，回答下列问题： （1）______，_______； （2）求丙同学的面试成绩p； （3）通过比较方差，可判断评委对学生面试表现评价的一致性程度。据此推断评委对______同学的评价更一致（填“甲”、“乙”或“丙”）； （4）按笔试成绩占50%，面试成绩占50%选出综合成绩最高的同学是______（填“甲”、“乙”或“丙”）。 20、（本小题满分10分）如图，反比例函数与一次函数的图象交于点A（2，3），点B是反比例函数图象上一点，轴于点C，交一次函数的图象于点D，连接AB. （1）直接写出反比例函数与一次函数的表达式； （2）直接写出 的x取值范围 ( y O x A B C D )（3）当时，求的面积。 21、（本小题满分10分）某学校计划采购A、B两种型号的收纳箱，用于教室书本收纳，相关信息如下：①已知商家购进A种收纳箱的单价是B种收纳箱单价的倍，用1200元单独购进A种收纳箱的数量，比用1000元单独购进B种收纳箱的数量少10个；②A种收纳箱每个售价60元，B种收纳箱每个售价40元，商家推出优惠：购进A种收纳箱超过15个时，每个A种收纳箱降价3元，B种收纳箱价格不变。学校计划购进A、B两种收纳箱共80个，且A种收纳箱的数量不低于B种收纳箱数量的，又不超过B种收纳箱数量的 （1）A、B两种收纳箱的单价各是多少元？ （2）设购进A种收纳箱m个，收纳箱的总费用为W元，请设计出最省钱的购进方案，并求出最少费用。 22、（本小题满分12分）【综合与实践】 【课本再现】人教版九年级上册数学教材第60页有一例题：点E是正方形ABCD中CD边上任意一点，以点A为中心，把顺时针旋转，画出旋转后的图形。由作图过程可以得出.由此，老师进行了延伸拓展，与同学们一起探究。 ( 图 1 B E F G A C D 图 2 B E F A C D 图 3 B E A C D A N 图 4 B E F M C D ) （1）如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别是BC，CD边上的动点，，把绕点A顺时针旋转至，试探究EF，BE，FD之间的关系？并说明理由； 【类比探究】 （2）如图2，在四边形ABCD中，，，，以点A为顶点的，AE，AF与BC，CD边分别交于E，F两点、你认为（1）的结论是否依然成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由； 【拓展提升】 （3）如图3，在中，，，点D，E是AC边上的两点，且，请写出AD，DE，EC之间的关系，并说明理由； （4）如图4，在菱形ABCD中，，点E，F分别是边BC，CD上的动点（不与端点重合），且，连接BD分别与边AE，AF交于点M，N，当时，求证： 隆昌市知行中学2025—2026学年度第二学期初中八年级期末统考模拟数学试题（4）——第 2 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 隆昌市知行中学2025—2026学年度第二学期初中八年级期末统考模拟 数学试题（四）参考答案及评分意见 本试卷三个大题共22个小题，全卷满分120分，考试时间120分钟。 注意事项： 1、答题前，请考生务必将自己姓名、考号、班级等写在试卷相应的位置上； 2、选择题选出答案后，用钢笔或黑色水笔把答案标号填写在选择题答题卡的相应号上。 一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分。） 1、下列各式，，，，，其中分式共有（ B   ） A、1个 B、2个 C、3个 D、4个 2、随着人工智能的快速发展，越来越多的学生使用AI 辅助学习、小凯记录了自己连续八周每周使用AI 辅助学习的时间（单位：分钟），并绘制了如图所示的折线统计图、根据统计图，下列关于小凯这八周使用AI 辅助学习时间的描述，错误的是（    A  ） A、众数是127分钟 B、平均数是133分钟 C、中位数是132分钟 D、总时间是1064分钟 ( 第 2 题图 时间 / 分钟 1 150 130 140 120 110 160 周次 2 3 4 5 6 7 8 0 127 123 132 139 127 132 152 132 图 1 A B C D E P 第 3 题图 5 图 2 a O x/cm y 9 b ) 3、如图，已知矩形ABCD中，点E是BC的中点，点P从点B出发，沿以的速度匀速运动到点B，到达点B后停止。图2是点P运动时，的面积（）随运动时间x（s）变化的关系图像，则图2中a，b的值为（    A ） A、， B、， C、， D、， 4、已知正比例函数（k、b为常数，，）中，y随x的增大而减小，则一次函数的图象大致是（   C   ） ( O y x A O y x B O y x C O y x D ) 5、如图，在□ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，.若，，则BD的长为（  C  ） A、8 B、 C、 D、16 ( D C A B 第 5 题图 O y x D C A B 第 6 题图 O 第 8 题图 杨辉三角 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 …………… ) 6、八年级学生去距学校50km的博物馆参观，按时到达学校的学生乘大巴先出发，10min后，晚来的学生乘出租车出发，结果他们同时到达。已知出租车的平均速度是大巴平均速度的1.2倍，已知大巴车的平均速度为每小时x千米；根据题意列出方程为（    C   ） A、 B、 C、 D、 7、如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的位置如图所示，，若，则点D的坐标为（   C   ） A、（，） B、（，） C、（，） D、（，） 8、杨辉三角形又称贾宪三角形，因首现于南宋杰出数学家杨辉的《详解九章算法》而得名，它的排列规律如图所示：在第一行中间写下数字1；在第二行写下两个1，和第一行的1形成三角形；随后的每一行，第一个位置和最后一个位置的数都是1，其他的每个位置的数都是它左上方和右上方的数之和。若从杨辉三角形的第三行起，每行第3个位置的数依次组织一系列新的数，依次记作，由图可知若，则（  B   ） A、2025 B、2026 C、2027 D、2028 9、如图，在□ABCD中，AC与BD交于点O，点E为AD的中点。若，对角线，□ABCD面积为24，则□ABCD的周长为（  A   ） A、20 B、24 C、28 D、30 ( O 第 9 题图 A B C D E y x O 第 1 0 题图 A B C D E P M 第 11 题图 A B C F E ) 10、如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的两边OC、OA分别在x轴、y轴的正半轴上，反比例函数与AB相交于点D，与BC相交于点E，若，且的面积是12，则k的值为（  C   ） A、10 B、8 C、5 D、4 11、如图，在中，，，，P为边BC上一动点，于E，于F，M为EF中点，当点P从点B运动到点C，EM最小值为（   A  ） A、2.4 B、4 C、4.8 D、5 12、如图，已知正方形ABCD的边长为4，点P是对角线BD上一点，于点E，于点F，连接AP，EF.给出下列结论：①且；②；③一定是等腰三角形；④四边形PECF的周长为；⑤EF的最小值为；⑥.其中结论正确的是（  D   ） A、①③④⑤ B、②③④⑥ C、①④⑤⑥ D、①②⑤⑥ ( F 第 12 题图 A B C D E P M 第 1 6 题图 A C D E P F B O 第 1 5 题图 - 2 y - 5 y= 3 x+b x P y=ax - 3 ) 二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分） 13、可乐和奶茶含有大量的咖啡因，世界卫生组织建议青少年每天摄入的咖啡因不能超过0.000085kg，将数据0.000085用科学记数法表示为__ __；【答案】 14、在函数中，自变量x的取值范围__ __；【答案】且 15、如图，已知函数和的图像交于点P（，），则根据图像可得不等式的解集是__ _； 【答案】 16、如图，在矩形ABCD中，，，E、F分别是边AB、BC上的动点，且，M为EF中点，P是边AD上的一个动点，则的最小值是______.【答案】11 三、解答题：（本大题共6个小题，共56分。解答应写出必要的文字说明或演算步骤。） 17、（本小题2个小题，每个小题4分，满分8分） （1）计算： 【详解】解原式 【点评】本题考查了有理数的乘方、零指数幂、负整指数幂及实数的性质，熟练地掌握以上知识点是关键。 （2）先化简，再求值：，再从中选择一个你喜欢的整数代入求值。 【详解】解原式 要使原分式有意义，则分母不能为0，即，，， ∴，，， 在中，当，原式． 【点评】本题考查了分式的化简求值，熟练地掌握相关运算法则是解题的关键。 18、（本小题满分8分） 如图，在□ABCD中，点E，F分别在AB，CD的延长线上，且，连接DE，BF （1）求证：四边形BEDF是平行四边形； （2）若DE平分，，，求□ABCD的周长。 【详解】（1）证明：在□ABCD中，， ∵ ∴ ( F B A C D E )∴ 又∵ ∴四边形BEDF是平行四边形； （2）解：∵四边形ABCD是平行四边形 ∴ ∴ ∵DE平分 ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴□ABCD的周长． 【点评】本题考查了平行四边形的性质，解题的关键是掌握相关知识的灵活应用。 19、（本小题满分8分）某中学为选拔“校园形象代言人”，先后进行了笔试和面试，在笔试中，甲、乙、丙三位同学脱颖而出，他们的笔试成绩（满分为100分）分别是87，85，90。在面试中，十位评委对甲、乙、丙三位同学的表现进行打分，每位评委最高打10分，面试成绩等于各位评委打分之和。对三位同学的面试数据进行整理、描述和分析，并给出了相关信息。 ( a . 评委给甲、乙两位同学打分的折线图 评委打分 / 分 30% 10 分 9 分 6 分 8 分 b . 评委给丙两位同学扇形的折线图 20% 40% 10% 乙 2 4 6 8 10 9 7 8 6 0 10 评委编号 1 3 5 7 9 甲 ) c、甲、乙、丙三位同学面试情况统计表 同学 评委打分的中位数 评委打分的众数 面试成绩 方差 甲 m 9和10 85 1.85 乙 8.5 8 87 s 丙 8 n p 2.01 根据以上信息，回答下列问题： （1）______，_______； （2）求丙同学的面试成绩p； （3）通过比较方差，可判断评委对学生面试表现评价的一致性程度。据此推断评委对______同学的评价更一致（填“甲”、“乙”或“丙”）； （4）按笔试成绩占50%，面试成绩占50%选出综合成绩最高的同学是______（填“甲”、“乙”或“丙”）。 【详解】（1）解：由折线统计图得，甲的得分是7，10，10，7，9，9，8，9，10，6 把甲的得分从小到大排列，排在中间的两个数分别是9，9， 故中位数 乙的得分是8，8，9，10，8，10，9，8，9，8， 其中8出现次数最多， 故众数． 故答案为：9，8； （2）解：丙同学的面试成绩（分） 答∶丙同学的面试成绩为83分； （3）解：乙的平均得分为（分） 乙的方差为 ∵ 可知乙的得分的波动比甲和丙小， ∴甲、乙、丙三位同学中，评委对乙的评价更一致， 故答案为∶乙． （4）解∶ 甲的综合成绩为∶（分） 乙的综合成绩为∶（分） 丙的综合成绩为∶ （分） ∵． ∴综合成绩最高的是丙． 故答案为∶丙． 【点评】本题考查折线统计图，中位数、方差以及加权平均数，理解中位数、方差的意义和计算方法是正确解答的前提． （1）根据中位数的定义可得m的值， 根据众数的定义可得 n的值； （2）把十位评委的打分相加即可得丙的得分； （3）先求出乙的方差，根据方差的意义解答即可； （4）根据加权平均数公式计算即可得出结论． 20、（本小题满分10分）如图，反比例函数与一次函数的图象交于点A（2，3），点B是反比例函数图象上一点，轴于点C，交一次函数的图象于点D，连接AB. （1）直接写出反比例函数与一次函数的表达式； （2）直接写出 的x取值范围 （3）当时，求的面积。 【详解】（1）解：∵反比例函数与一次函数的图象交于点A（2，3） ( y O x A B C D )∴， ∴， ∴反比例函数为：，一次函数的解析式为：． （2）∵反比例函数与一次函数的图象交于点A（2，3） ∴由图象可知， 的x取值范围是 故答案为： ( y O x A B C D E F )（3）∵ ∴C（4，0） ∵轴于点C，交一次函数的图象于点D， ∴点B的横坐标为4．点D的横坐标为4． ∴， ∴B（4，），D（4，5） ∴ 过点B作轴交一次函数的图象交于点E，过点A作与点F， ∴，点E的纵坐标为 ∴ 把代入，得 ∴ ∴E（，） ∴ ∴ 【点评】本题主要考查了一次函数与反例函数的综合问题，待定系数法求反比例函数以及一次函数的解析式。一次函数与反比例函数的交点问题，两点之间的距离公式等知识，掌握反比例函数的性质以及一次函数的性质是解题的关键。 21、（本小题满分10分）某学校计划采购A、B两种型号的收纳箱，用于教室书本收纳，相关信息如下：①已知商家购进A种收纳箱的单价是B种收纳箱单价的倍，用1200元单独购进A种收纳箱的数量，比用1000元单独购进B种收纳箱的数量少10个；②A种收纳箱每个售价60元，B种收纳箱每个售价40元，商家推出优惠：购进A种收纳箱超过15个时，每个A种收纳箱降价3元，B种收纳箱价格不变。学校计划购进A、B两种收纳箱共80个，且A种收纳箱的数量不低于B种收纳箱数量的，又不超过B种收纳箱数量的. （1）A、B两种收纳箱的单价各是多少元？ （2）设购进A种收纳箱m个，收纳箱的总费用为W元，请设计出最省钱的购进方案，并求出最少费用。 【详解】（1）解：设B种收纳箱的单价为x元，则A种收纳箱的单价为元， 根据题意得： 解得： 经检验，是原方程的解，且符合题意 则 答：A种收纳箱单价为30元，B种收纳箱单价为20元； （2）解：由题意得，购进A种收纳箱m个，则购进B种收纳箱（）个， 根据题意得： 解得： ∴每个A种收纳箱售价为元，B种收纳箱售价不变为40元 ∴总费用 ∵ ∴W随m的增大而增大 ∴当m取最小值20时，W最小 此时，（元） 答：最省钱的购进方案是购进A种收纳箱20个，B种收纳箱60个，最少费用为3540元。 【点评】本题主要考查了分式方程的应用及一次函数的应用，涉及一元一次不等式组的应用，在解题过程中主要分式方程要检验，对一次函数的增减性要会判断。 22、（本小题满分12分）【综合与实践】 【课本再现】人教版九年级上册数学教材第60页有一例题：点E是正方形ABCD中CD边上任意一点，以点A为中心，把顺时针旋转，画出旋转后的图形。由作图过程可以得出.由此，老师进行了延伸拓展，与同学们一起探究。 ( 图 1 B E F G A C D 图 2 B E F A C D 图 3 B E A C D A N 图 4 B E F M C D ) （1）如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别是BC，CD边上的动点，，把绕点A顺时针旋转至，试探究EF，BE，FD之间的关系？并说明理由； 【类比探究】 （2）如图2，在四边形ABCD中，，，，以点A为顶点的，AE，AF与BC，CD边分别交于E，F两点、你认为（1）的结论是否依然成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由； 【拓展提升】 （3）如图3，在中，，，点D，E是AC边上的两点，且，请写出AD，DE，EC之间的关系，并说明理由； （4）如图4，在菱形ABCD中，，点E，F分别是边BC，CD上的动点（不与端点重合），且，连接BD分别与边AE，AF交于点M，N，当时，求证： ( 图 1 B E F G A C D )【详解】（1）解：，理由如下： 由旋转性质得 ∴，， ∵四边形ABCD是正方形 ∴ ∵， ∴ ( G 图 2 B E F A C D )∴ ∴ ∵ ∴（SAS） ∴ ∵ ∴． （2）解：结论依然成立，理由如下： 将绕点A逆时针旋转，使AB与AD重合，得到，如图 由旋转性质得 ∴，，， ∵ ∴ ∴F、D、G三点共线． ∴ ∵ ∴ ∴，即 ∵ ∴（SAS） ∴ ∵ ∴． （3）解：，理由如下： 将绕点B顺时针旋转，使AB与BC重合，得到，连接EG，如图 ( 图 3 B E A C D G )由旋转性质得 ∴，，， ∵， ∴ ∴ ∴，即是直角三角形． ∴ ∵ ∴ ∴，即 ∵ ∴（SAS） ∴ ∴． ( H A N 图 4 B E F M C D )（4）证明：将绕点A逆时针旋转，使AB与AD重合，得到，连接HN，如图 ∵四边形ABCD是菱形 ∴，，BD为对角线 ∴． 由旋转性质得 ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴ ∵ ∴（SAS） ∴，， ∴ ∴． ∵ ∴，即为直角三角形． 由勾股定理，得 ∴ 【点评】本题主要考查了旋转的性质，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，解答本题的关键是学会运用旋转法添加辅助线，构造全等三角形解决问题。 隆昌市知行中学2025—2026学年度第二学期初中八年级期末统考模拟数学试题（4）答案—第 4 页 共 10 页 学科网（北京）股份有限公司 $