第一周 第1天 集合的概念 暑假自学配套同步分层练习 - 2026年新高一数学上学期人教A版必修第一册

**基本信息** 2026年新高一暑假自学同步分层练习（集合的概念），通过青铜局、黄金局、王者局三级分层，实现从基础概念到综合应用再到创新挑战的知识巩固路径，适配暑假自学梯度需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |青铜局|集合概念、表示方法、元素关系|以多选、填空夯实抽象能力，如集合构成条件判断| |黄金局|集合性质、综合应用、简单证明|通过集合运算培养推理意识，如奇偶集运算规律分析| |王者局|分类讨论、新定义问题|结合新定义问题发展创新意识，如整数集“类”的应用|

2026年暑假新高一自学讲义 56个知识点 · 75道经典例题 · 312个巩固演练 2026年新高一暑假自学 配套同步分层练习 第一周 第1天 集合的概念 青铜局 夯基础·稳扎稳打 1.(多选)下面给出的四类对象中，能构成集合的是(　　) A.2025年参加“两会”的代表 B.长寿的人 C.小于π的所有整数 D.倒数等于它本身的数 2.集合{(x，y)|y=2x-2}表示(　　) A.方程y=2x-2 B.点(x，y) C.平面直角坐标系中的所有点组成的集合 D.一次函数y=2x-2图象上的所有点组成的集合 3.下列元素与集合的关系中，正确的是(　　) A.-1∈N B.0∈Z C.0.∉Q D. ∈Q 4.下列说法中，正确的为(　　) A.集合{x|4<x<5}可以用列举法表示 B.{(x，y)|x+y=0}={x|x+y=0} C.{x|x2-4x+4=0}={y|y=2} D.集合{(2，2)}不满足元素的互异性 5.设A是关于x的方程x2+ax+4=0的解集，且2∈A，则实数a的值为(　　) A.-5 B.-4 C.4 D.5 6.已知A={a-2，2a2+5a，12}，且-3∈A，则由a的值构成的集合是(　　) A.- B. C.{-1} D. 7.(多选)下列集合中表示同一个集合的是(　　) A.M={(3，2)}，N={(2，3)} B.M={2，3}，N={3，2} C.M={(x，y)|x+y=1}，N={y|x+y=1} D.M={x|x>2}，N={t|t>2} 8.设集合A中含有1，a，b三个元素，集合B中含有a，a2，ab三个元素，若A=B，则实数a=　　　　，b=　　　　. 9.若集合A={x|kx2+4x+4=0}中有2个元素，则实数k的取值范围为　　　　　　　　. 10.用适当的方法表示下列集合： (1)大于0.5且不大于6的自然数构成的集合；(3分) (2)由1，2，3三个数字中的两个数字(没有重复数字)组成的自然数的集合；(3分) (3)在自然数集内，小于1 000的奇数构成的集合；(3分) (4)不等式x-2>6的解集；(4分) 黄金局 提能力·融会贯通 11.已知集合A={x|x=2m-1，m∈Z}，B={x|x=2n，n∈Z}且x1，x2∈A，x3∈B，则下列判断不正确的是(　　) A.x1·x2∈A B.x2·x3∈B C.x1+x2∈B D.x1+x2+x3∈A 12.(多选)已知集合A={1，2，3，4，5}，B={(x，y)|x∈A，y∈A，x-y∈A}，C={(x，y)||x-y|=1，(x，y)∈B}，则下列是集合C中的元素的是(　　) A.(1，2) B.(3，4) C.(5，4) D.(3，2) 13.由实数x，-x，|x|-所组成的集合，最多含　　　　　　　个元素. 14.设集合A中的元素均为实数，且满足条件：若a∈A，则∈A(a≠1，且a≠0).求证： (1)若2∈A，则A中必还有另外两个元素；(5分) (2)集合A不可能是单元素集.(8分) 王者局 迎挑战·勇攀高峰 15.已知x，y，z为非零实数，代数式的值所组成的集合是M，则M中的元素个数为　　　　. 16.(多选)在整数集Z中，被5除所得余数为k的所有整数组成一个“类”，记为[k]，即[k]={5n+k|n∈Z}，k=0，1，2，3，4，下列四个结论中正确的是(　　) A.2 025∈[0] B.-3∈[3] C.若整数a，b属于同一“类”，则a-b∈[0] D.若a-b∈[0]，则整数a，b属于同一“类” 第 1 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 $2026年暑假新高一自学讲义 56个知识点 · 75道经典例题 · 312个巩固演练 2026年新高一暑假自学 配套同步分层练习 第一周 第1天 集合的概念 青铜局 夯基础·稳扎稳打 1.(多选)下面给出的四类对象中，能构成集合的是(　　) A.2025年参加“两会”的代表 B.长寿的人 C.小于π的所有整数 D.倒数等于它本身的数 答案　ACD 解析　A，C，D中的元素是确定的. 2.集合{(x，y)|y=2x-2}表示(　　) A.方程y=2x-2 B.点(x，y) C.平面直角坐标系中的所有点组成的集合 D.一次函数y=2x-2图象上的所有点组成的集合 答案　D 解析　本题中的集合是点集，其表示一次函数y=2x-2图象上的所有点组成的集合. 3.下列元素与集合的关系中，正确的是(　　) A.-1∈N B.0∈Z C.0.∉Q D. ∈Q 答案　B 解析　因为-1不是自然数，所以A不正确；因为0是整数，所以B正确；因为0.是有理数，所以C不正确；因为是无理数，不是有理数，所以D不正确. 4.下列说法中，正确的为(　　) A.集合{x|4<x<5}可以用列举法表示 B.{(x，y)|x+y=0}={x|x+y=0} C.{x|x2-4x+4=0}={y|y=2} D.集合{(2，2)}不满足元素的互异性 答案　C 解析　由于集合{x|4<x<5}中有无数个元素，故不宜用列举法表示，故A错误；集合{(x，y)|x+y=0}是点集，集合{x|x+y=0}是数集，两个集合的元素不相同，故B错误；{x|x2-4x+4=0}={2}={y|y=2}，故C正确；集合{(2，2)}只有一个元素(2，2)，符合集合的互异性，故D错误. 5.设A是关于x的方程x2+ax+4=0的解集，且2∈A，则实数a的值为(　　) A.-5 B.-4 C.4 D.5 答案　B 解析　因为2∈A，所以22+2a+4=0，解得a=-4. 6.已知A={a-2，2a2+5a，12}，且-3∈A，则由a的值构成的集合是(　　) A.- B. C.{-1} D. 答案　D 解析　∵-3∈A，A={a-2，2a2+5a，12}， ∴ 解得a=-. 故由a的值构成的集合是. 7.(多选)下列集合中表示同一个集合的是(　　) A.M={(3，2)}，N={(2，3)} B.M={2，3}，N={3，2} C.M={(x，y)|x+y=1}，N={y|x+y=1} D.M={x|x>2}，N={t|t>2} 答案　BD 解析　选项A中的集合M是由点(3，2)组成的点集，集合N是由点(2，3)组成的点集，故集合M与N不是同一个集合；选项C中的集合M是由一次函数y=1-x图象上的所有点组成的集合，集合N是由一次函数y=1-x图象上的所有点的纵坐标组成的集合，故集合M与N不是同一个集合；选项D中的集合M与N是同一个集合；对于选项B，由集合中元素的无序性，可知M，N表示同一个集合. 8.设集合A中含有1，a，b三个元素，集合B中含有a，a2，ab三个元素，若A=B，则实数a=　　　　，b=　　　　. 答案　-1　0 解析　由题意，得1∈B且a≠1，a≠0， ∴ ① 或 ② 由a≠1，解①得 解②得与a≠1矛盾， ∴a=-1，b=0. 9.若集合A={x|kx2+4x+4=0}中有2个元素，则实数k的取值范围为　　　　　　　　. 答案　{k|k<1且k≠0} 解析　若集合A中有2个元素，则方程kx2+4x+4=0有两个不同的根， 即∴k<1且k≠0. 10.用适当的方法表示下列集合： (1)大于0.5且不大于6的自然数构成的集合；(3分) (2)由1，2，3三个数字中的两个数字(没有重复数字)组成的自然数的集合；(3分) (3)在自然数集内，小于1 000的奇数构成的集合；(3分) (4)不等式x-2>6的解集；(4分) 解　(1)用列举法可表示为{1，2，3，4，5，6}. (2)由1，2，3三个数字中的两个数字(没有重复数字)组成的自然数有12，21，13，31，23，32，用列举法可表示为{12，21，13，31，23，32}. (3)用描述法可表示为{x|x=2n+1，且x<1 000，n∈N}. (4)用描述法可表示为{x|x>8}. 黄金局 提能力·融会贯通 11.已知集合A={x|x=2m-1，m∈Z}，B={x|x=2n，n∈Z}且x1，x2∈A，x3∈B，则下列判断不正确的是(　　) A.x1·x2∈A B.x2·x3∈B C.x1+x2∈B D.x1+x2+x3∈A 答案　D 解析　由x1，x2∈A，x3∈B，可知x1，x2是奇数，x3是偶数.因为两个奇数的乘积为奇数，所以x1·x2∈A，即A正确；因为一个奇数和一个偶数的乘积为偶数，所以x2·x3∈B，即B正确；因为两个奇数的和为偶数，所以x1+x2∈B，即C正确；因为两个奇数与一个偶数的和为偶数，所以x1+x2+x3∈B，即D错误. 12.(多选)已知集合A={1，2，3，4，5}，B={(x，y)|x∈A，y∈A，x-y∈A}，C={(x，y)||x-y|=1，(x，y)∈B}，则下列是集合C中的元素的是(　　) A.(1，2) B.(3，4) C.(5，4) D.(3，2) 答案　CD 解析　因为B={(x，y)|x∈A，y∈A，x-y∈A}，故满足条件的元素(x，y)有(2，1)，(3，1)，(4，1)，(5，1)，(3，2)，(4，2)，(5，2)，(4，3)，(5，3)，(5，4)，因为C={(x，y)||x-y|=1，(x，y)∈B}，所以集合C中的元素有(2，1)，(3，2)，(4，3)，(5，4). 13.由实数x，-x，|x|-所组成的集合，最多含　　　　　　　个元素. 答案　2 解析　当x>0时，x=|x|=-=-x<0，此时集合中共有2个元素；当x=0时，x=|x|==-=-x=0，此时集合中共有1个元素；当x<0时=|x|=-=-x>0，此时集合中共有2个元素.综上，此集合最多有2个元素. 14.设集合A中的元素均为实数，且满足条件：若a∈A，则∈A(a≠1，且a≠0).求证： (1)若2∈A，则A中必还有另外两个元素；(5分) (2)集合A不可能是单元素集.(8分) 证明　(1)由题意知，若a∈A，则∈A. 又因为2∈A，所以=-1∈A. 因为-1∈A，所以∈A. 因为∈A，所以=2∈A. 所以若2∈A，则A中必还有另外两个元素，为-1. (2)若A为单元素集， 则a= 即a2-a+1=0，Δ=1-4=-3<0，方程无实数解. 所以a≠所以集合A不可能是单元素集. 王者局 迎挑战·勇攀高峰 15.已知x，y，z为非零实数，代数式的值所组成的集合是M，则M中的元素个数为　　　　. 答案　3 解析　针对x，y，z中，三个为正、两个为正、一个为正、全为负四种情况进行分类讨论，此时代数式的值分别为4，0，0，-4，则M中的元素共3个. 16.(多选)在整数集Z中，被5除所得余数为k的所有整数组成一个“类”，记为[k]，即[k]={5n+k|n∈Z}，k=0，1，2，3，4，下列四个结论中正确的是(　　) A.2 025∈[0] B.-3∈[3] C.若整数a，b属于同一“类”，则a-b∈[0] D.若a-b∈[0]，则整数a，b属于同一“类” 答案　ACD 解析　对于A，因为2 025=405×5，所以2 025∈[0]，故A正确；对于B，因为-3=5×(-1)+2，所以-3∈[2]，故B错误；对于C，若a与b属于同一“类”，则a=5n1+k，b=5n2+k，a-b=5(n1-n2)∈[0](其中n1，n2∈Z)，故C正确；对于D，若a-b∈[0]，设a-b=5n，n∈Z，即a=5n+b，n∈Z，不妨令b=5m+k，m∈Z，k=0，1，2，3，4，则a=5m+5n+k=5(m+n)+k，m∈Z，n∈Z，所以a与b属于同一“类”，故D正确. 第 1 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 $