1.1 集合的概念 课时同步练习卷-2026年暑假预习高一数学人教A版必修第一册

**基本信息** 本练习通过基础认知、概念辨析、综合应用三层设计，实现从集合概念理解到逻辑推理的递进，适配高一暑假集合初步知识巩固，培养抽象能力与推理意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础认知|集合定义、元素关系|单选题（1-8题）直接考查确定性（如“迟到学生”能否构成集合）、符号表示（∈/∉）| |概念辨析|元素特性、集合相等|多选题（9-11题）结合互异性（如含2,x,x²集合中x取值）、填空题（12-14题）符号填空与集合相等判断| |综合应用|新定义运算、逻辑证明|解答题（17-19题）含集合元素个数讨论、“乘法封闭集”证明，体现数学思维的严谨性与应用意识|

1.1 集合的概念课时同步练习卷 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（25-26高一上·河北邢台·阶段检测）下列各组对象中不能构成集合的是（    ） A．数学课迟到的学生 B．小于的正整数 C．未来世界的高科技产品 D．所有有理数 【答案】C 【分析】由集合定义分别判断是否满足集合中元素的特征即可得出结论. 【详解】对于A，数学课迟到的学生具备集合元素的确定性,能构成集合，故A不符合题意； 对于B，小于π的正整数具备集合元素的确定性，能构成集合，故B不符合题意； 对于C，“未来世界的高科技产品”中的“高科技产品”没有明确标准，不具备确定性，因此不能构成集合，故C符合题意； 对于D，所有有理数具备集合元素的确定性，能构成集合,故D不符合题意. 故选：C. 2．（25-26高一上·广东广州·期中）下列关系中正确的个数为（    ） ①，②，③，④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】由数与数域的关系判断出正确个数，求出答案. 【详解】对于①，，①错误； 对于②，，②正确； 对于③，，③错误； 对于④，，④错误， 故正确的个数为1个. 故选：A 3．（2026高一上·上海·专题练习）下列与集合表示同一集合的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】据集合的定义及表示方法求解即可. 【详解】选项A： 是表示平面直角坐标系中的一个点，不是集合，故A错误； 选项B： 是点集，与数集的元素类型不同，不是同一集合，故B错误； 选C：解方程 ，因式分解得 ，解得 或 ， 因此集合 ，与原集合是同一集合，故C正确； 选项D： 是两个等式构成的集合，不是同一集合，故D错误. 故选：C 4．（25-26高一上·山东济南·期中）用列举法表示集合是大于且小于3的整数，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】把描述法表示的集合转化成列举法来表示即可. 【详解】集合是大于且小于3的整数, 故选：A. 5．（25-26高一上·河北邢台·阶段检测）集合（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求解，即可求解. 【详解】由， 解得， 所以. 故选：B 6．（25-26高一上·海南海口·阶段检测）已知集合，若，则（   ） A． B． C．或 D．1或 【答案】B 【分析】分和讨论即可. 【详解】若，则①，解得，此时，不满足集合互异性，舍去； ②，解得或（舍去）， 当时，，满足题意， 则. 故选：B. 7．（2026高三上·广东湛江·专题练习）已知集合，若且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据元素与集合的关系求得的取值范围. 【详解】因为， 又且，则. 故选：D 8．（25-26高一上·陕西西安·阶段检测）定义集合运算：.若集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据定义得到两集合中元素之和，并结合元素互异性得到答案. 【详解】， 由题意得. 故选：C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（25-26高一上·云南昭通·阶段检测）已知集合A中三个元素分别为2，，，若，则x的取值可能为（   ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】AD 【分析】根据元素与集合的关系，结合集合中元素的互异性求解. 【详解】由，则或， 若，解得或，代回集合检验可得合题意，（舍去）， 若，解得，代回集合检验可得合题意，（舍去）， 综上，的可能取值为或. 故选：AD. 10．（25-26高一上·辽宁朝阳·开学考试）下列四个命题中正确的是（    ） A．方程的解集为 B．方程组的解集可表示为 C．由实数所组成的集合最多含2个元素 D．集合中含有3个元素 【答案】BC 【分析】求出解集判断AB；利用绝对值及方根的意义判断C；求出集合A判断D. 【详解】对于A，由二次根式和绝对值均为非负数，得方程的解为，解集为，A错误； 对于B，由，解得，因此给定集合表示为，B正确； 对于C，，当时，；当时，； 当时，，因此所组成的集合最多含2个元素，C正确； 对于D，由，得可取，即可取， 因此集合含有4个元素，D错误. 故选：BC 11．（25-26高一上·四川眉山·期中）已知集合只有一个元素，则实数的取值可以是（   ） A．0 B．1 C． D． 【答案】AB 【分析】根据题意，分和，两种情况讨论，结合一元二次方程的性质，即可求解. 【详解】因为集合只有一个元素， 当时，方程，解得，此时集合，满足题意； 当时，要使得只有一个实根，则满足， 即，解得，此时方程的解为，即，满足题意， 综上可得，实数的取值可以是或. 故选：AB. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（25-26高一上·全国·课堂例题）用符号“”或“”填空． （1）________； （2）3.14________； （3）________； （4）________； （5）________； （6）0________． 【答案】 【分析】根据常用数集的表示符号及其含义进行判断，得到答案. 【详解】（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）. 故答案为：，，，，， 13．（25-26高一上·上海·随堂练习）有两组集合（1），；（2），其中集合相等的是第________组． 【答案】（1） 【分析】根据集合相等的概念判断即可. 【详解】两个集合的元素完全相同就是相等集合. 对于（1），集合与集合中均为数集，且它们的元素完全相同，是相等的集合，体现了集合的无序性； 对于（2），集合与集合中均为点集，点和点是不同的点， 所以集合与集合的元素不同，不是相等的集合. 故答案为：（1）. 14．（25-26高一上·天津河北·阶段检测）已知集合，若，则实数的所有可能取值组成的集合为____． 【答案】 【分析】由题意得，或，或，进而分别求解，结合集合元素的互异性可得结论. 【详解】因为，， 所以，或，或， 若，则，所以，解得或， 当时，，符合题意，当时，，不符合题意； 若，则，又，方程无解； 若，则，解得或， 当时，，不符合题意，当时，，符合题意； 综上所述，实数的所有可能取值组成的集合为. 故答案为：. 四、解答题：本大题共5题，第15题13分，第16-17题每题15分，第18-19题每题17分，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（25-26高一上·全国·课后作业）选择适当方法表示下列集合： (1)由不超过5的所有自然数组成的集合A； (2)不等式的解集组成集合； (3)二次函数的图象上所有的点组成的集合． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用列举法表示集合即可； （2）利用描述法表示集合即可； （3）利用描述法表示集合即可． 【详解】（1）利用列举法表示集合； （2）利用描述法表示集合； （3）利用描述法表示集合． 16．（25-26高一上·全国·课后作业）已知集合是由、、三个元素组成的，且，求实数的值. 【答案】 【分析】分、两种情况进行讨论，结合集合中的元素满足互异性可求得实数的值. 【详解】因为，且， 若，可得，则，此时集合中的元素不满足互异性，舍去； 若，即，即，解得或（舍）， 当时，，集合中的元素满足互异性，合乎题意. 综上所述，. 17．（25-26高一上·广东中山·阶段检测）已知集合. (1)若中有两个元素，求实数的取值范围； (2)若中至多有一个元素，求实数取值范围. 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）转化为关于的方程的方程有两个不等的实数根，用判别式即可求解； （2）分，两种情况讨论，当时用判别式即可求解. 【详解】（1）由于中有两个元素， 关于的方程有两个不等的实数根， ，且，即，且. 故实数的取值范围是或； （2）当时，方程为，集合只有一个元素； 当时，若关于的方程有两个相等的实数根，则中只有一个元素， 即，， 若关于的方程没有实数根，则中没有元素， 即. 综上可知，实数的取值范围是. 18．（25-26高一上·四川广安·阶段检测）设数集满足：，又若实数是数集中的一个元素，则一定也是数集中的一个元素，求证： (1)若，则集合中还有其他两个元素； (2)集合不可能是单元素集合． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）根据题意“若，则有”，取，依次代入计算即可求得其他两个元素； （2）假设集合中只有1个元素，结合题意，得到方程，利用一元二次方程的根的判别式为负数否定假设，即可得证. 【详解】（1）依题意，若，则，若，则， 若，则， 所以当时，集合中还有其他两个元素和； （2）假设集合中只有1个元素（），由题意可知， 因为集合为单元素集合，所以， 即，又由，则此方程无实数解， 所以假设不成立，故集合不可能是单元素集合. 19．（25-26高一上·北京石景山·期末）设非空数集，若，都有，则称是一个“乘法封闭集”；若，有，则称为的一个“完美元素”. (1)已知含有两个元素的集合是一个“乘法封闭集”，求集合； (2)已知集合. （i）判断集合是否是一个“乘法封闭集”，并说明理由； （ii）若是集合的一个“完美元素”，求的值. 【答案】(1)，或 (2)（i）是，证明见解析；（ii） 【分析】（1）根据“乘法封闭集”的定义求解即可； （2）（i）根据“乘法封闭集”的定义进行证明即可； （ii）根据“完美元素”的定义，得到和的关系，进行讨论排除即可. 【详解】（1）设集合， 因为集合是一个“乘法封闭集”，所以，，， 所以或， 解得或，解得或， 所以或， 若令，则，所以，解得（舍去），此时， 若令，则，所以，或，解得或（舍去），此时，或， 综上，，或； （2）（i）设，则， 所以， 因为，所以，， 所以，所以是一个“乘法封闭集”； （ii）因为是集合的一个“完美元素”， 所以， 所以，且不同时为0， ， 因为，所以或， 假设，则，即为3的倍数， 设，若，则，不是3的倍数， 若，则，不是3的倍数， 若，则，不是3的倍数， 所以. 2 / 9 1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.1 集合的概念课时同步练习卷 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（25-26高一上·河北邢台·阶段检测）下列各组对象中不能构成集合的是（    ） A．数学课迟到的学生 B．小于的正整数 C．未来世界的高科技产品 D．所有有理数 2．（25-26高一上·广东广州·期中）下列关系中正确的个数为（    ） ①，②，③，④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（2026高一上·上海·专题练习）下列与集合表示同一集合的是（ ） A． B． C． D． 4．（25-26高一上·山东济南·期中）用列举法表示集合是大于且小于3的整数，正确的是（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高一上·河北邢台·阶段检测）集合（   ） A． B． C． D． 6．（25-26高一上·海南海口·阶段检测）已知集合，若，则（   ） A． B． C．或 D．1或 7．（2026高三上·广东湛江·专题练习）已知集合，若且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 8．（25-26高一上·陕西西安·阶段检测）定义集合运算：.若集合，，则（   ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（25-26高一上·云南昭通·阶段检测）已知集合A中三个元素分别为2，，，若，则x的取值可能为（   ） A． B．0 C．1 D．2 10．（25-26高一上·辽宁朝阳·开学考试）下列四个命题中正确的是（    ） A．方程的解集为 B．方程组的解集可表示为 C．由实数所组成的集合最多含2个元素 D．集合中含有3个元素 11．（25-26高一上·四川眉山·期中）已知集合只有一个元素，则实数的取值可以是（   ） A．0 B．1 C． D． 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（25-26高一上·全国·课堂例题）用符号“”或“”填空． （1）________； （2）3.14________； （3）________； （4）________； （5）________； （6）0________． 13．（25-26高一上·上海·随堂练习）有两组集合（1），；（2），其中集合相等的是第________组． 14．（25-26高一上·天津河北·阶段检测）已知集合，若，则实数的所有可能取值组成的集合为____． 四、解答题：本大题共5题，第15题13分，第16-17题每题15分，第18-19题每题17分，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（25-26高一上·全国·课后作业）选择适当方法表示下列集合： (1)由不超过5的所有自然数组成的集合A； (2)不等式的解集组成集合； (3)二次函数的图象上所有的点组成的集合． 16．（25-26高一上·全国·课后作业）已知集合是由、、三个元素组成的，且，求实数的值. 17．（25-26高一上·广东中山·阶段检测）已知集合. (1)若中有两个元素，求实数的取值范围； (2)若中至多有一个元素，求实数取值范围. 18．（25-26高一上·四川广安·阶段检测）设数集满足：，又若实数是数集中的一个元素，则一定也是数集中的一个元素，求证： (1)若，则集合中还有其他两个元素； (2)集合不可能是单元素集合． 19．（25-26高一上·北京石景山·期末）设非空数集，若，都有，则称是一个“乘法封闭集”；若，有，则称为的一个“完美元素”. (1)已知含有两个元素的集合是一个“乘法封闭集”，求集合； (2)已知集合. （i）判断集合是否是一个“乘法封闭集”，并说明理由； （ii）若是集合的一个“完美元素”，求的值. 2 / 9 1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 $