湖北荆州市江陵中学2025-2026学年高二下学期数学作业6.16（期末复习-数列）

**基本信息** 聚焦数列核心素养，系统整合等差等比基础、递推求通项及求和证明，提炼累加法、构造法等实用技巧，知识逻辑从概念到应用层层递进。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |等差等比基础|单选1-3、8，多选10|基本量法、性质应用（中项、Sn性质）|从定义到通项、求和公式，结合等比中项、Sn最值分析| |递推数列与通项|单选4-7，填空14，解答15、18(1)|累加法、取倒数构造等比、累乘法|通过递推关系转化为等差/等比数列，体现化归思想| |数列求和与证明|解答15(2)、16-19|裂项相消、错位相减、分类讨论|从通项到求和，结合不等式证明，培养运算与推理能力|

2026年6月16日高中数学作业 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．记为等差数列的前项和．若，则（    ） A．25 B．22 C．20 D．15 2．已知等差数列的公差，且成等比数列，则数列的前2025项和为（    ） A． B． C．505 D．1013 3．已知递增的等比数列满足，，则的公比（   ） A．6 B．3 C．2 D． 4．数列满足：，，则（    ） A． B． C． D． 5．设数列满足，则的前2026项和为（   ） A． B． C． D． 6．已知数列满足，，则（    ） A． B． C． D． 7．已知数列满足，且，则使不等式成立的的最大值为（    ） A．98 B．99 C．100 D．101 8．已知，分别为等差数列，的前n项和，且，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．已知数列满足，的前n项和为，则（   ） A． B．数列是等比数列 C．，，构成等差数列 D．数列前100项和为 10．已知等差数列的前项和存在最大值，且，，则（   ） A． B． C．当时，取得最大值 D．取得最小正值时为31 11．记为数列的前项和，已知则（    ） A．2025是数列中的项 B．数列是公比为2的等比数列 C． D．若，则数列的前项和小于 三、填空题 12．我国度量衡的发展有着悠久的历史，战国时期就已经出现了类似于砝码的、用来测量物体质量的“环权”．已知9枚环权的质量（单位：铢）从小到大构成项数为9的数列，该数列的前3项成等差数列，后7项成等比数列，且，则___________；数列所有项的和为____________． 13．数列满足，前16项和为540，则 ______________. 14．已知数列满足，，，则数列的通项公式为__________． 四、解答题 15．记为数列的前n项和，已知是公差为的等差数列． (1)求的通项公式； (2)证明：． 16．记为等差数列的前项和，已知． (1)求的通项公式； (2)求数列的前项和． 17．已知数列是等比数列，，，数列满足：. (1)求，的通项公式； (2)求数列的前项和. 18．已知数列满足． (1)证明：数列为等差数列； (2)设，记数列的前n项和为． （i）求； （ii）若成立，求m的取值范围． 19．记为正项数列的前项和，已知. (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足，，求证：. 试卷第1页，共3页 《2026年6月16日高中数学作业》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C D B C B D B A AD ACD 题号 11 答案 ACD 1．C 【分析】方法一：根据题意直接求出等差数列的公差和首项，再根据前项和公式即可解出； 方法二：根据等差数列的性质求出等差数列的公差，再根据前项和公式的性质即可解出． 【详解】方法一：设等差数列的公差为，首项为，依题意可得， ，即, 又，解得：， 所以． 故选：C. 方法二：，，所以，， 从而，于是， 所以． 故选：C. 2．D 【分析】根据成等比数列，结合等差数列的通项公式可得，进而得到，，进而求和即可. 【详解】设首项为，因为成等比数列， 所以，则， 解得或，当时，，此时与成等比数列矛盾，故排除， 当时，，此时令， 而其前2025项和为， . 故选：D 3．B 【分析】由等比数列的性质可得的值，结合以及为递增数列可得和的值，从而可得公比. 【详解】由，，解得或， 因为是递增数列，所以，则，又为递增的等比数列，所以. 故选：B. 4．C 【分析】由累加法可得，从而可得的值. 【详解】由，可得， 利用累加法可得, 化简得，则. 故选：C. 5．B 【分析】先求出的通项公式，再求前项和为，最后代入计算即可. 【详解】当时，； 当时，；， 所以，即， 当时，不满足； 所以 所以的前项和为. 所以 6．D 【分析】先由得到，利用累加法求出，则. 【详解】因为，所以即； 所以 即； 所以，而也符号该式，故 故选：D 7．B 【分析】利用取倒数法并构造新数列求其通项公式，再由等比数列求和公式结合数列的单调性解不等式即可. 【详解】由，可得， 易知，两侧同时除，可得，整理得， 所以是以为首项，为公比的等比数列， 则， 故， 故， 易知单调递增，，所以. 故选：B 8．A 【分析】利用等差数列的前项和公式即可求解. 【详解】因为，分别为等差数列，的前n项和， 所以， ， 所以. 故选：A. 9．AD 【分析】令，计算可判断A，当，可得，两式相减可得，进而逐项计算可判断BCD. 【详解】对于A，当时，可得，故A正确； 对于B， 当时，， 两式相减可得，所以， 当，适合上式，所以； 由不是常数，所以数列不是等比数列，故B错误； 对于C，由可知，， 所以是以2为首项，1为公差的等差数列， 所以，所以，， ， 又，所以， 所以，，不构成等差数列，故C错误； 对于D，， 所以 ，故D正确. 故选：AD. 10．ACD 【分析】根据条件确定等差数列的首项和公差的正负判断A，根据等差数列性质可判断BC，根据二次函数性质可判断D. 【详解】对于A，设等差数列首项为，公差为， 则， 因为存在最大值，所以数列的公差，数列单调递减， 要使​存在最大值，则数列先正后负，首项，故A正确； 对于B，由等差数列性质可知，故B错误； 对于C，因为，所以， 所以时，取得最大值，故C正确； 对于D，由可得， 由，可得， 所以取得最小正值时为31，故D正确. 11．ACD 【分析】由的通项公式即可判断AC；由即可判断B；由裂项相消即可判断D． 【详解】对于A，当为偶数时，令，符合题意，故A正确； 对于B，由题知，， 故数列是公比为4的等比数列，故B错误； 对于C，由题知，， 所以，故C正确； 对于D，，， 设数列的前项和为， 则，故D正确； 故选：ACD． 12． 48 384 【分析】方法一：根据题意结合等差、等比数列的通项公式列式求解，进而可求得结果；方法二：根据等比中项求，在结合等差、等比数列的求和公式运算求解. 【详解】方法一：设前3项的公差为，后7项公比为， 则，且，可得， 则，即，可得， 空1：可得， 空2： 方法二：空1：因为为等比数列，则， 且，所以； 又因为，则； 空2：设后7项公比为，则，解得， 可得，所以. 故答案为：48；384. 13． 【分析】对为奇偶数分类讨论，分别得出奇数项、偶数项的递推关系，由奇数项递推公式将奇数项用表示，由偶数项递推公式得出偶数项的和，建立方程，求解即可得出结论. 【详解】， 当为奇数时，；当为偶数时，. 设数列的前项和为， ， . 故答案为：. 【点睛】本题考查数列的递推公式的应用，以及数列的并项求和，考查分类讨论思想和数学计算能力，属于较难题. 14． 【分析】由得，构造等比数列即可求解. 【详解】由，，，可得， 所以是以3为首项、3为公比的等比数列，所以， 则，； 故答案为：. 15．(1) (2)见解析 【分析】（1）利用等差数列的通项公式求得，得到，利用和与项的关系得到当时，,进而得：，利用累乘法求得，检验对于也成立，得到的通项公式； （2）由（1）的结论，利用裂项求和法得到，进而证得. 【详解】（1）∵，∴,∴, 又∵是公差为的等差数列， ∴,∴, ∴当时，， ∴, 整理得：, 即, ∴ ， 显然对于也成立， ∴的通项公式； （2） ∴ 16．(1) (2) 【分析】（1）根据题意列式求解，进而可得结果； （2）先求，讨论的符号去绝对值，结合运算求解. 【详解】（1）设等差数列的公差为， 由题意可得，即，解得， 所以， （2）因为， 令，解得，且， 当时，则，可得； 当时，则，可得 ； 综上所述：. 17．(1)，，，. (2). 【分析】（1）根据，，通过等比数列定义求出公比，代入等比数列通项公式求出，再根据作差法求出在时，，验证当时，符合该式，即可求出； （2）利用裂项相消的方法求出即可. 【详解】（1）设等比数列的公比为，则，所以，， 因为， 当时，， 两式相减得， 则时，； 当时，由得，解得符合该式； 所以，. （2）由于， ， 所以. 18．(1)证明见解析 (2)（i）；（ii） 【分析】（1）等式两边同时除以可得； （2）（ii）由错位相减法求和即可； （ii）构造数列，由不等式组求数列的最值大即可. 【详解】（1）因为，即， 所以数列是以为首项，3为公差的等差数列. （2）（i）由（1）知， 所以， 所以， 所以， ， 所以 ， 所以. （ii）因为， 所以， 令， 不妨设的第项取得最大值， 所以，解得， 所以的最大值为， 所以，即m的取值范围是. 19．(1) (2)由题可得，所以， 又，所以， 又也满足上式， 所以， 【分析】（1）由与关系结合题意可得答案； （2）由（1）结合累乘法可得，从而可得通项公式，然后由裂项求和法可得答案. 【详解】（1）当时，可得， 当时，，. 作差可得， 因为是正项数列，所以，即数列为等差数列， 所以. （2）略 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $