精品解析：云南省文山州马关县第一中学2025-2026学年高二上学期期中考试数学试题

云南省马关县第一中学2025-2026学年高二年级上学期期中考试 高二数学 (考试时间：120分钟；满分150分) 注意事项： 1. 答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2. 请将答案正确填写在答题卡上 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知全集，集合，，则( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据并集和补集的概念与运算直接得出结果. 【详解】由题意知，，所以. 故选：A. 2. 设函数在上单调递增，则a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定的函数，求出其单调递增区间，再结合集合的包含关系求出范围. 【详解】函数中，，解得， 令，函数在上单调递增，在上单调递减， 而函数在上单调递增，因此函数的单调递增区间是， 依题意，，则，解得， 所以a的取值范围为. 故选：D. 3. 已知直线过点、，且直线的方向向量为，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用直线的方向向量求出直线的斜率，再利用斜率公式可求得实数的值. 【详解】因为直线的方向向量为，则直线的斜率为， 又因为直线过点、，由斜率公式可得，解得. 故选：D. 4. 在棱长为4的正方体内有一点P，它到该正方体共顶点的三个面的距离分别为2，1，1，记正方体的中心为点O，则OP =（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，确定点O，P的坐标，利用空间两点间的距离公式，即可求得答案. 【详解】由题意知在棱长为4的正方体内有一点P，它到该正方体共顶点的三个面的距离分别为2，1，1， 不妨设该顶点为D，以D点为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系： 则，根据正方体的对称性，可取， 故. 故选：D 5. 已知两个向量，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量垂直列方程，化简求得. 【详解】由于， 所以. 故选：C 6. 若方程表示圆，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 方程配方，左边配成平方和的形式，右边为正即可表示圆． 【详解】方程化为标准方程为，有，∴．. 故选：B 7. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】把直线方程化为斜截式，再利用斜率与倾斜角的关系即可得出． 【详解】由，化简得， 所以直线的斜率，又因为直线的倾斜角， 所以，得，故A正确. 故选：A. 8. 某烟花爆竹厂从20万件同类产品中随机抽取了100件进行质检，发现其中有5件不合格，那么请你估计该厂这20万件产品中合格产品约有（ ） A. 1万件 B. 18万件 C. 19万件 D. 2万件 【答案】C 【解析】 【分析】用样本的合格率估计总体的合格率，再估算出合格产品件数． 【详解】由题意合格率为， 因此合格品件数约为（万件）， 故选：C． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列命题正确的有（ ） A. 两平行线间的距离为2 B. 过点且在两坐标轴上截距相等直线有两条 C. 直线的方向向量可以是 D. 直线与直线平行，则或2 【答案】AB 【解析】 【分析】计算平行直线的距离得到A正确；截距相等的直线有和，B正确；直线的一个方向向量是，C错误；当时，两直线重合，D错误. 【详解】A，两平行线间的距离为，A正确； B，过点且在两坐标轴上截距相等的直线：截距为0时， 截距不为0时，设，代入，可得，故直线方程为：，B正确； C，直线的一个方向向量是，与不平行，C错误； D，验证当时，两直线重合，D错误. 故选：AB. 10. 若方程表示的曲线为圆，则实数的值可以为（ ） A. 0 B. C. 1 D. 2 【答案】AD 【解析】 【分析】先将方程合理转化，后结合二元二次方程表示圆的条件求解即可. 详解】方程，即， 若方程表示圆，则，解得或， 结合选项可知AD正确，BC错误. 故选：AD 11. 已知点是所在平面外一点，若，，，下列结论正确的有（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据平面向量的定义，平行，垂直，模长的定义可以对每一个选项进行逐一判断，进而得出答案. 【详解】对于：∵，所以正确； 对于：， ∴，所以不垂直， 所以不正确； 对于：， ， 所以正确； 对于：，， 而， ∴不平行于；所以不正确. 故选：. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知圆锥的母线与底面所成角为，高为1，则该圆锥的母线长为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据圆锥的结构特征，圆锥底面半径、高、母线长构成一个直角三角形，可根据锐角三角函数进行求解底面圆的半径，再利用勾股定理求解母线. 【详解】已知圆锥的母线与底面所成角为，高为1， 因为圆锥底面半径、高、母线长构成一个直角三角形， 所以底面圆半径为1，所以母线长等于. 故答案为：. 13. 计算____________ 【答案】## 【解析】 【分析】根据对数的运算性质计算即可. 【详解】 . 故答案为： 14. 在中，若，，，则的面积是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据余弦定理求，再根据三角形面积公式求结果. 【详解】因为, 所以（负值舍去） 因此的面积是 故答案为 【点睛】本题考查余弦定理以及三角形面积公式，考查基本分析求解能力，属中档题. 四、解答题 15. 已知直线过点，直线：． （1）若，求直线的方程； （2）若直线与轴和直线围成的三角形的面积为，求直线的方程． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）由题意，根据垂直关系可求得直线斜率，结合直线方程的点斜式即得解； （2）分直线斜率不存在和斜率存在两种情况讨论，当斜率存在时，设直线：，用表示面积，求解即可 【小问1详解】 设直线的斜率为，直线的斜率为 因为，所以 又因，所以 又因为直线过点 直线的方程为，即． 【小问2详解】 若直线斜率不存在，则直线： 此时，直线与轴和直线围成的三角形面积为，符合题意． 若直线斜率存在，设直线的斜率为 设直线：，与轴交点为点 令，解得 所以点坐标为 直线与直线的交点为点 因为直线与轴和直线围成的三角形面积为 即 即，可求得 则直线的方程为 综上：直线的方程为或． 16. 已知甲组数据，，…，的茎叶图如图所示，其中数据的整数部分为茎，数据的小数部分（仅一位小数）为叶，例如第一数据为5.3. （1）为甲组数据的平均值、方差、中位数M； （2）乙组数据为，，…，，且甲、乙两组数据合并后的30个数据的平均值，方差，求乙组数据的平均值和方差，写出必要的计算过程和步骤. 【答案】（1）；； （2） 【解析】 【分析】（1）根据茎叶图求平均值，再由方差与均值的关系求，将茎叶图中的数据从小到大排列确定中位数M. （2）由甲乙平均数及（1）的结果列方程求乙组数据的平均值，再由方差与均值的关系列方程组求出，进而求方差. 【小问1详解】 甲组数据为，，， 则甲组数据的中位数， 甲组数据的平均值. 甲组数据的方差. 【小问2详解】 由，可得 由，解得 则. 17. 已知圆C的圆心为，且该圆被直线截得的弦长为 （1）求该圆的方程； （2）求过点A的该圆的切线方程 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）利用弦长公式求得半径即可； （2）分直线的斜率存在和不存在，由圆心到直线的距离等于半径求解. 【小问1详解】 解：圆C的圆心到直线的距离为： ， 则弦长为，解得， 所以圆的方程为：； 【小问2详解】 当直线斜率不存在时，直线方程为：， 则圆心到直线的距离为，复合题意； 当直线的斜率存在时，设直线方程为，即， 则圆心到直线的距离，解得， 所以直线的方程为：， 综上：该圆的切线方程为：或 18. 如图，正四棱柱中，，点E在上且． （1）证明：； （2）求点B到平面的距离； （3）求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）建立如图所示坐标系，求出，再由数量积为零证明两直线垂直即可； （2）求出平面的法向量，代入空间向量的点到面的距离公式求解即可； （3）直接代入空间向量的线面角公式求解即可； 【小问1详解】 如图，以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系， 则， 则，， 所以，所以，即. 【小问2详解】 由可得， ， 设平面的法向量为， 则，取，则， 又， 所以点B到平面的距离为， 【小问3详解】 由（2）可得平面法向量为，又， 设直线与平面所成角为， 则， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 19. 已知 （1）若函数，求函数在上的最值； （2）若函数有三个零点，求实数a的取值范围； （3），不等式 成立，求实数的最小值. 【答案】（1）最小值为，最大值为11 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）易得，再利用二次函数的性质求解； （2）易得，作出其大致图象，利用数形结合法求解； （3）根据是奇函数，也是R上的增函数，先转化为，不等式成立，求得的最小值，然后转化为，成立，可得，，进而结合对勾函数的性质求解即可. 【小问1详解】 因为， 所以， 因为，所以， 当，即时，函数取得最小值； 当，即时，函数取得最大值11. 【小问2详解】 由题意得：， 作出其大致图象，如图所示： 因为函数有三个零点， 所以， 故实数a的取值范围是. 【小问3详解】 易知是奇函数，也是R上的增函数， 因为不等式成立， 所以，不等式成立， 所以，不等式成立， 令， 又，则当时，函数取得最小值， 所以，成立， 即，， 令，由对勾函数的性质得，函数在上单调递增， 所以当时，函数取得最小值， 所以，即， 所以实数的最小值是. 【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化： 一般地，已知函数， （1）若，，总有成立，故； （2）若，，有成立，故； （3）若，，有成立，故； 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 云南省马关县第一中学2025-2026学年高二年级上学期期中考试 高二数学 (考试时间：120分钟；满分150分) 注意事项： 1. 答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2. 请将答案正确填写在答题卡上 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1 已知全集，集合，，则( ) A. B. C. D. 2. 设函数在上单调递增，则a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 3. 已知直线过点、，且直线的方向向量为，则的值为（ ） A. B. C. D. 4. 在棱长为4正方体内有一点P，它到该正方体共顶点的三个面的距离分别为2，1，1，记正方体的中心为点O，则OP =（ ） A. B. C. 2 D. 5 已知两个向量，且，则（ ） A. B. C D. 6. 若方程表示圆，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 8. 某烟花爆竹厂从20万件同类产品中随机抽取了100件进行质检，发现其中有5件不合格，那么请你估计该厂这20万件产品中合格产品约有（ ） A. 1万件 B. 18万件 C. 19万件 D. 2万件 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列命题正确的有（ ） A. 两平行线间的距离为2 B. 过点且在两坐标轴上截距相等的直线有两条 C. 直线的方向向量可以是 D. 直线与直线平行，则或2 10. 若方程表示的曲线为圆，则实数的值可以为（ ） A. 0 B. C. 1 D. 2 11. 已知点是所在平面外一点，若，，，下列结论正确的有（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知圆锥的母线与底面所成角为，高为1，则该圆锥的母线长为__________． 13. 计算____________ 14. 在中，若，，，则的面积是________． 四、解答题 15. 已知直线过点，直线：． （1）若，求直线的方程； （2）若直线与轴和直线围成的三角形的面积为，求直线的方程． 16. 已知甲组数据，，…，的茎叶图如图所示，其中数据的整数部分为茎，数据的小数部分（仅一位小数）为叶，例如第一数据为5.3. （1）为甲组数据平均值、方差、中位数M； （2）乙组数据为，，…，，且甲、乙两组数据合并后的30个数据的平均值，方差，求乙组数据的平均值和方差，写出必要的计算过程和步骤. 17. 已知圆C的圆心为，且该圆被直线截得的弦长为 （1）求该圆的方程； （2）求过点A的该圆的切线方程 18. 如图，正四棱柱中，，点E在上且． （1）证明：； （2）求点B到平面的距离； （3）求直线与平面所成角的正弦值． 19. 已知 （1）若函数，求函数在上的最值； （2）若函数有三个零点，求实数a的取值范围； （3），不等式 成立，求实数的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $