精品解析：湖北武汉市重点中学5G联合体2024-2025学年高一上学期期末考试数学试卷

2024-2025学年度上学期武汉市重点中学5G联合体期末考试 高一数学试卷 考试时间：2025年1月16日 试卷满分：150分 ★祝考试顺利★ 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名､准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交. 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 下列表示集合和关系的图中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】因为集合，， 所以集合和关系的图为A. 2. 二次函数的最大值为，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次函数的最值得出二次函数的开口得出单调性即可比较大小. 【详解】二次函数的最大值为， 则二次函数开口向下，且二次函数对称轴为，所以单调递增，单调递减， 又，所以. 3. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】∵ ，∴ ，即 . 由得， 整理得 ，即 ，解得 . ∵ ，且 ， ∴ 为第二象限角，第二象限角的正弦值为正，∴ . 4. 我国著名数学家华罗庚先生曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，割裂分家万事休.”在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数的图象的特征，如函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】通过分析函数的奇偶性以及特定区间上函数值的正负来排除错误选项. 【详解】由函数解析式可知，分母，解得，即函数的定义域为 ， 因为，所以函数为偶函数，其图象关于轴对称， 观察选项，C选项图象关于原点对称，故C错误； 当时，，则，所以，又 ，所以，即当时，函数图象位于轴上方， 观察选项，A选项在  上图象位于  轴下方，故A错误； 当时，，则，所以，又，所以，即当时，函数图象位于轴下方， 观察选项，D选项在  上图象位于  轴上方，故D错误； 综上所述，只有B选项符合题意，故B正确. 5. 已知，，记，，则与的大小关系是（ ） A. B. C. D. 与的大小关系不确定 【答案】A 【解析】 【分析】利用作差法可判断. 【详解】 因为，， 所以，. 所以，得，即. 6. 已知函数的定义域是，的图象与的图象关于点成中心对称，若的定义域为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据函数图像中心对称的坐标性质推导与的解析式关系，结合的定义域求出的定义域，再根据抽象函数“同一对应法则作用对象范围一致”的规则，令落在的定义域范围内，解不等式得到的定义域，最终计算的值. 【详解】设函数图象上任意一点的坐标为. ∵ 的图象与的图象关于点成中心对称， ∴ 点关于点的对称点为，且该点在的图象上， ∴ ，即. ∵ 的定义域是，∴ ， 即 ，解得 ，故的定义域为. 对于函数，则需满足， 即 ，解得 ∴ 的定义域为，即，， ∴ .故选C. 7. 已知函数，关于的方程有个不同的根，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分析函数性质，结合函数性质画出函数图象，解方程可得或，结合图象及条件列不等式即可得结论. 【详解】，的定义域为. ，则函数为偶函数. 当时，，函数在上单调递减，且，时，； 函数为偶函数，函数在上单调递增； 函数的值域为，图象如图所示： ， ，解得或. 方程有个不同的根， 函数的图象与直线和直线的图象共有3个交点. ，得. 实数的取值范围为. 8. 已知奇函数的定义域为，满足对任意、，且，都有，且，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】构造辅助函数，判断其奇偶性与单调性，分和两种情况转化不等式求解. 【详解】设，定义域为， 因为是定义域为的奇函数，故， 则， 因此是定义域为的偶函数。 对任意，，由， 可得当时，，即， 因此在上单调递增；由偶函数对称性可知，在上单调递减， 由，得，且， 当时，两边同乘（不等号方向不变），得，即， 结合在上单调递增，得； 当时，两边同乘（不等号方向改变），得，即， 又在上单调递减，得； 综上，不等式的解集为. 二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列函数中，同时满足：①在上是增函数；②为奇函数；③最小正周期为的函数有（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】利用三角函数的性质可判断. 【详解】对于A，在上单调递增，，所以在上单调递增， 又因为是奇函数，最小正周期为，满足3个条件，故A正确； 对于B，因为，所以为偶函数，不满足条件②，故B错误； 对于C，的最小正周期为，不满足条件③，故C错误； 对于D，因为，所以为奇函数，最小正周期为， 由，，得，， 所以取，得的一个单调递增区间为， 因为，所以在上单调递增，满足3个条件，故D正确. 10. 下列命题正确的是（ ） A. 命题“，”的否定是“，使得”； B. 函数（且）的图象恒过定点； C. 与表示同一个函数； D. 函数的单调减区间是. 【答案】BCD 【解析】 【详解】对于A，命题“，”的否定是“，使得”，故A错误； 对于B，因为，所以函数的图象恒过定点，故B正确； 对于C，由，解得，所以函数的定义域为， 由，得，的定义域为， 所以两函数的定义域相同，对应关系相同，所以与表示同一个函数，故C正确； 对于D，由，解得或，所以函数的定义域为， 令，在上单调递减，在上单调递增， 而函数是增函数， 所以函数的单调减区间是，故D正确. 11. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】通过同构构造函数，利用该函数的单调性推导出，结合函数的单调性逐一验证各个选项即可. 【详解】由题意得，设， 因为单调递增， 单调递增，所以单调递增，则， 对于A，因为单调递增，所以，故A正确， 对于B，等价于，无法由得出，故B错误， 对于C，，因为，且单调递增， 所以，故C正确， 对于D， 单调递减，所以，即，故D正确. 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分. 12. 计算：_____________． 【答案】17 【解析】 【分析】由指数与对数的运算法则结合条件求解即可. 【详解】原式为， 其中，， ，， 即. 13. 存在，使不等式成立.则实数的取值范围是____________． 【答案】 【解析】 【分析】应用存在性条件结合一元二次不等式计算求解. 【详解】存在，使不等式成立， 则实数，即得， 所以，所以的取值范围是 14. 已知函数，若时，方程的解分别为、，方程的解分别为、，则的最小值为____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据方程的解分别为、，得到的表达式；根据方程的解分别为、，得到的表达式；根据指数运算性质得到关于的表达式，结合的取值范围，即可求出的最小值. 【详解】，或. 、是方程的解，且，， ，. ，，，得. ，或. 、是方程的解，且，， ，. ，，，得. . ，； ，得； ，即. 的最小值为. 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 设集合，，. （1）若，求，； （2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围. 【答案】（1）或， （2） 【解析】 【分析】（1）求解一元二次不等式确定集合，再由集合交、并、补运算即可求解； （2）通过集合是集合的真子集，构造不等式求解即可. 【小问1详解】 由，，即， 当时，或，， 则或，； 【小问2详解】 由得：或， 已知，则或， 因为“”是“”的充分不必要条件， 即集合是集合的真子集，需满足或， 解得：或， 综上可知：. 即实数的取值范围是. 16. （1）角终边上一点的横、纵坐标的比值为，求的值； （2）函数为定义在上的奇函数，当时，，求的解析式． 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）利用诱导公式化简三角函数式，结合三角函数定义得后代入计算可得； （2）利用奇函数的性质，可得时及时的解析式，进而可得函数解析式. 【详解】（1）设角终边上一点， 由题意得角终边上点的横纵坐标比值，故，, 由诱导公式得. （2）因为是上的奇函数，故，且； 当时，由题得； 当时，，则； 故 综上所述，. 17. 为响应国家提出的“大众创业，万众创新”的号召，小王同学大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业.经过市场调查，生产某小型电子产品需投入年固定成本万元，每生产万件，需另投入流动成本万元.在年产量不足万件时，（万元）；在年产量不小于万件时，（万元）.每件产品售价为元. 假设小王生产的产品当年全部售完. （1）写出年利润（万元）关于年产量（万件）的函数解析式； （注：年利润年销售收入固定成本流动成本） （2）年产量为多少万件时，小王在这一产品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1） （2）年产量为万件时，所获利润最大，最大利润为（万元） 【解析】 【分析】（1）直接根据题中所给的利润关系及相应成本可得函数解析式； （2）根据分段函数的性质，分别求出函数在两段上的最大值，再比较可得最大利润. 【小问1详解】 因为年产量（万件），年销售收入为万元，固定成本为万元， 且年利润年销售收入固定成本流动成本， 当时，流动成本， 所以； 当时，流动成本， 所以. 因此，年利润的函数解析式为. 【小问2详解】 分当时，由基本不等式，当且仅当，​即时取等号，满足， 因此，（万元） 当时，是开口向下的二次函数， 对称轴为，且在定义域内，所以当时，利润函数取得最大值. 比较得，因此当年产量为万件时，利润最大，最大利润为（万元）. 18. 定义在的函数满足对任意、，都有，则称 为 “类对数型”函数. （1）求证：为 “类对数型”函数； （2）当时，，请判断并证明函数的单调性； （3）若为 “类对数型”函数， 求的值. 【答案】（1）证明：的定义域为，满足定义要求. 对任意， ；， 即，满足“类对数型”函数定义，故是“类对数型”函数. （2）是单调递增函数. 证明：令，得，解得. 对任意，有. 根据题目条件，当时，因此. 将​改写为​​，代入“类对数型”恒等式得， 移项整理得结合，可得. 即对任意，都有，因此在定义域上单调递增. （3） 【解析】 【分析】（1）验证满足类对数型恒等式，即； （2）先令得，再对 利用及条件，由恒等式变形得，证明单调递增； （3）令得，再将原式按互为倒数的两项配对求和，加上 即得结果. 【小问1详解】 略. 【小问2详解】 略. 【小问3详解】 令，代入定义得.  对任意，令​，代入定义得， 即，得. 原式中，共对，加上， 总和为. 19. 已知函数为奇函数. （1）求实数的值； （2）设函数，若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围； （3）解关于的不等式. 【答案】（1） （2） （3）当时，解集为；当时，解集为空集；当时，解集为. 【解析】 【分析】（1）利用奇函数性质求参数，再验证即可； （2）由单调性得其最小值，将存在性条件转化为在给定区间的最小值不小于该值，换元后求二次函数最值； （3）将表达式代入不等式，由于分母恒正可直接去分母，对参数分类讨论，解指数不等式. 【小问1详解】 因为是奇函数，定义域为，由奇函数性质， 代入得， 验证可得，满足奇函数定义，故. 【小问2详解】 已知，可知是上的增函数. 当时，的最小值为. 对任意，存在使， 等价于在上的最小值大于等于在上的最小值. 令，，则， ，是开口向上的二次函数，对称轴， 则最小值为， 令，即实数的取值范围为. 【小问3详解】 由（1）知，是定义域为的奇函数，得，因此. 将代入得，已知对任意，都有， 不等式两边同乘正数，整理得，对系数分类讨论： ①：若，不等式变为，恒成立； 若 ，，不等式变形为，此时右边，而恒成立，不等式恒成立. 因此，当时，解集为. ②：此时，不等式变形为，由于， 因此右边，而恒成立，不等式无解 因此，当时，解集为空集. ③：此时，不等式变形为，此时， 对不等式两边以3为底取对数得. 因此，当时，解集为. 综上，当时，解集为；当时，解集为空集；当时，解集为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度上学期武汉市重点中学5G联合体期末考试 高一数学试卷 考试时间：2025年1月16日 试卷满分：150分 ★祝考试顺利★ 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名､准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交. 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 下列表示集合和关系的图中正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 二次函数的最大值为，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 3. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 4. 我国著名数学家华罗庚先生曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，割裂分家万事休.”在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数的图象的特征，如函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 5. 已知，，记，，则与的大小关系是（ ） A. B. C. D. 与的大小关系不确定 6. 已知函数的定义域是，的图象与的图象关于点成中心对称，若的定义域为，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数，关于的方程有个不同的根，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 已知奇函数的定义域为，满足对任意、，且，都有，且，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列函数中，同时满足：①在上是增函数；②为奇函数；③最小正周期为的函数有（ ） A. B. C. D. 10. 下列命题正确的是（ ） A. 命题“，”的否定是“，使得”； B. 函数（且）的图象恒过定点； C. 与表示同一个函数； D. 函数的单调减区间是. 11. 若，则（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分. 12. 计算：_____________． 13. 存在，使不等式成立.则实数的取值范围是____________． 14. 已知函数，若时，方程的解分别为、，方程的解分别为、，则的最小值为____________． 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 设集合，，. （1）若，求，； （2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围. 16. （1）角终边上一点的横、纵坐标的比值为，求的值； （2）函数为定义在上的奇函数，当时，，求的解析式． 17. 为响应国家提出的“大众创业，万众创新”的号召，小王同学大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业.经过市场调查，生产某小型电子产品需投入年固定成本万元，每生产万件，需另投入流动成本万元.在年产量不足万件时，（万元）；在年产量不小于万件时，（万元）.每件产品售价为元. 假设小王生产的产品当年全部售完. （1）写出年利润（万元）关于年产量（万件）的函数解析式； （注：年利润年销售收入固定成本流动成本） （2）年产量为多少万件时，小王在这一产品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？ 18. 定义在的函数满足对任意、，都有，则称 为 “类对数型”函数. （1）求证：为 “类对数型”函数； （2）当时，，请判断并证明函数的单调性； （3）若为 “类对数型”函数， 求的值. 19. 已知函数为奇函数. （1）求实数的值； （2）设函数，若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围； （3）解关于的不等式. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $