精品解析：湖北省武汉市武钢三中等六校2025-2026学年高一上学期期末考试数学试题

2025—2026学年度上学期期末 高一数学试卷 考试时间：2026年2月2日下午14：00—16：00 试卷满分：150分 一､选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若角的终边上有一点，且，则（ ） A. 4 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由任意角的三角函数定义即可求解. 【详解】由题意得， 即，解得或（舍去）， 故选：C. 2. 已知幂函数在上单调递减，则（ ） A. B. C. 3 D. 或3 【答案】B 【解析】 【分析】根据幂函数的定义求出的值，再根据条件即可求出结果. 【详解】因为函数为幂函数， 所以，即，解得或， 又在上单调递减，所以， 故选：B. 3. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由诱导公式及二倍角公式进行求解． 【详解】 ． 故选：B 4. 荀子《劝学》中说：“不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海．”我们可以把看作是每天的“进步”率都是，一年后是37.7834；而把看作是每天“退步”率都是，一年后是0.0255；这样，一年后的“进步值”是“退步值”的倍．那么当“进步”的值是“退步”的值的10倍，大约经过（ ）天．（参考数据：，） A. 130 B. 230 C. 150 D. 115 【答案】D 【解析】 【分析】结合已知条件，利用对数运算即可求解. 【详解】设经过天“进步”的值是“退步”的值的倍. 则 ，即， 故，即， 故， 故大约经过115天. 故选：D. 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据对数函数单调性结合中间值“”比较大小即可. 【详解】因为，即； 又因为； 且， 综上所述：. 故选：B. 6. 已知函数，若成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先判断函数关于对称，然后对函数求导得出在上单调递增，在上单调递减，最后根据单调性和对称性列出不等式，进而求解即可. 【详解】因为函数， 所以. 所以函数关于对称. 当时，，求导得. 因为，所以，所以，又，所以. 所以在上单调递增，根据对称性，那么函数在上单调递减， 所以若成立，根据单调性和对称性可得 ，即， 平方得，化简得， 解得. 故选：D. 7. 已知函数在区间内既有最大值又有最小值，则的值不可能为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】由条件求出的范围，结合正弦函数的性质列不等式可求结论. 【详解】因为，， 所以， 函数在区间内既有最大值又有最小值， 则函数的最大值为，最小值为或函数的最大值为1，最小值为， 故或， 所以或， 所以的值不可能为. 故选：D. 8. 存在函数满足：对任意都有（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用函数的定义，逐一考查所给的函数，不满足题意的选项给出反例，符合题意的函数给出解析式即可. 【详解】根据函数的定义可知， A选项： 令，得，再令，得，因此不符合函数的定义，A错误； B选项：由，得，令，得，得，所以，因此符合函数的定义，B正确； C选项：令，则，所以，再令，则，所以，因此不符合函数的定义，C错误； D选项：令，；再令，，因此不符合函数的定义，D错误. 故选：B 二､多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下面说法正确的是（ ） A. 若且，则 B. 小于的角都是锐角 C. 已知圆心角为的扇形的弧长为，则该扇形的面积为 D. 若为第一象限角，，则 【答案】CD 【解析】 【分析】对于A，结合正弦函数图象解不等式可判断；对于B，根据负角和零角不是锐角可判断；对于C，结合扇形的弧长公式和面积公式可判断；对于D，根据为第一象限角，求出的范围，根据，求出，结合的范围即可求出判断. 【详解】对于A，若且，由正弦函数图象得，故A错误； 对于B，小于的角有可能是零角或负角，零角或负角不是锐角，故B错误； 对于C，因为扇形的圆心角为，即，弧长为，则扇形的半径， 则扇形的面积为，故C正确； 对于D，因为为第一象限角，即， 则，所以， ， 解得或（舍去），故D正确. 故选：CD. 10. 已知函数的定义域为，为偶函数，，则有（ ） A. B. 为奇函数 C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】由题意得到函数图象关于直线对称，关于中心对称，可判断B；得到周期为，可判断C；根据周期性和对称性可判断A；求出，结合周期性可判断D. 【详解】因为为偶函数，则，即， 所以函数图象关于直线对称， 又因为，由可化为， 所以函数图象关于中心对称，故B错误； 易知，又，所以， 故函数的周期为，故，故C正确； 又，故A正确； 易知，，故， ，故D正确. 故选：ACD. 11. 用表示不超过实数的最大整数，如：．现已知函数为奇函数，函数，则下列叙述正确的是（ ） A. 的图象关于原点对称 B. 的值域是 C. 函数的图象与轴有三个交点 D. 方程在上有3个实数根 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据函数奇偶性先求出参数，得出的解析式，从而得出的解析式，取特殊值检验即可得出选项A；然后分析函数的单调性与值域，进一步分析的性质即可得出选项B；将函数的图象与轴的交点个数问题转换为方程实数根的个数问题根据B选项的结论结合函数分析即可得出选项C；方程在上的实数根的个数问题转化为在上的实数根的个数问题，然后根据给定条件分析即可得出选项D. 【详解】由函数是定义域为上的奇函数， 所以， 解得：，此时函数， 由定义域为关于原点对称， 且 ， 所以函数为奇函数，所以， 所以， 由， ， 则， 所以不是奇函数，故图象不关于原点对称， 故A选项不正确； 由函数在上单调递增，所以函数在上单调递增， 所以函数在上单调递减， 所以函数在上单调递增， 也即得出在上单调递增， 当无限趋近时，无限趋近， 无限趋近，无限趋近， 当无限趋近时，无限趋近， 无限趋近，无限趋近， 所以函数，由， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 所以的值域是，故B选项正确； 函数的图象与轴的交点个数即为函数的零点个数， 令即为方程的实根个数， 当时，， 此时，满足题意， 当时，， 此时，满足题意， 当时，， 此时，满足题意， 当时，， 此时，不满足题意， 所以方程有3个实根， 即函数的图象与轴有三个交点，故C选项正确； 方程在上的实数根的个数问题转化为 在上的实数根的个数问题， 当时，，故， 此时方程为，解得：， 当时，，故， 此时方程为，解得：， 当时，，则，此时成立， 综上所述，方程在上有3个实数根， 故选：BCD. 三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若，则__________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据对数运算先得到，再根据指数运算的关系可直接求得结果. 【详解】因为，所以， 所以. 故答案为：. 13. 已知，则__________． 【答案】## 【解析】 【分析】由题意得，，或，结合，得，即可求解． 【详解】由，得 ，或， 得，或， 因为，所以， 则， 故答案为： 14. 已知，若函数恰有四个零点，则实数的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】由题意可知为的一个零点，分段讨论可得与的图象有3个交点，画出函数图象，结合图象分析可讨论出的范围. 【详解】由题意可知为的一个零点， 函数恰有四个零点，即方程有四个实数根，其中为其一个实数根， 当时，由可得， 当时，由可得， 令，， 即方程有三个实数根，即函数与的图象有3个交点， 当，如图所示，函数与的图象有3个交点，所以符合题意， 当，如图所示，需证明当时，函数与的图象有2个交点， 当时，，， 令，则， 因为有2个交点，所以，即，解得， 设两交点横坐标为，且， 解出， 因为，所以， 所以，， 综上，实数的取值范围是. 故答案为：. 四､解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤． 15. 已知函数 （1）若定义域为，求实数的取值范围． （2）若函数在上为减函数；求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题意得恒成立，分为和两种情况，分别讨论求解即可得到答案； （2）令，根据复合函数的单调性由题意可知在上为减函数且恒为正，分为和两种情况，分别讨论求解即可求出答案. 【小问1详解】 定义域为，即恒成立， 当时，不恒成立，不满足题意； 当时，则，解得， 综上，实数a的取值范围为． 【小问2详解】 因为在上为减函数，令， 在其定义域上为增函数， 所以在上为减函数且恒为正， 当时，若，，不符合题意； 当时，函数的对称轴为， 则，解得. 所以实数a的取值范围为． 16. 已知. （1）若，求的值； （2）已知，，且、，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）化简函数的解析式，由可得出的值，再利用弦化切可得出所求代数式的值； （2）由结合两角和的正切公式求出的值，利用二倍角公式以及弦化切可求得的正弦值和余弦值，求出的值，进而可求出的值，求出的取值范围，即可得出的值. 【小问1详解】 ， 因为，所以， 所以 . 【小问2详解】 由，解得， 所以， ， 由，得， 所以 ， 因为，，所以，故， 又，，所以，故， 所以，故． 17. 已知，函数 （1）若相邻两条对称轴之间的距离为，求在上的单调递减区间； （2）若对任意恒成立，求最小值． 【答案】（1）和 （2） 【解析】 【分析】（1）由三角恒等变换化为：，由周期性求出，得，再由余弦函数的单调性求解； （2）由在处取到最大值或者最小值进行求解． 【小问1详解】 若相邻两条对称轴之间的距离为， 则最小正周期 由解得． 的单调递减区间是 又分别取， 可得在上的单调递减区间为和． 【小问2详解】 若对任意的恒成立， 则在处取到最大值或者最小值， ， ， 时，. 18. 已知函数为奇函数 （1）求的值； （2）记， ①存在，使得成立，求实数的取值范围； ②若方程在上有两个解，证明： 【答案】（1） （2）① ；②证明见解析 【解析】 【分析】（1）由奇函数的性质及对数的运算性质进行求解； （2）①转化为即在上有解，即可求解；②在上有两个解，令在上单增，且，即在上有两个解，其中，要证明即证． 【小问1详解】 为R上奇函数，， ， 检验时，， ，满足为奇函数，． 【小问2详解】 ①， 存在，使得成立， 即在上有解． 记， 在上单调递增，且， 在上单调递增，且， ， 在上单调递增，值域为， ； ②若方程在上有两个解， 即在上有两个解， 即在上有两个解， 令在上单调递增，且， 即在上有两个解，其中， 要证明，即证， ， 注意到若有两根，则两根异号， ∴若在上有两个解，则有一解在中，一解在中． 不妨设， 令，则， ， 又， ， 令，易得在时单调递减，， 即. 19. 已知函数 （1）证明：图像关于对称． （2）若存在，使得关于的不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围； （3）若在内恰有2022个零点，请求出所有满足条件的． 【答案】（1）证明见解析 （2） （3）答案见解析 【解析】 【分析】（1）证明即可证明图像关于对称； （2）根据将关于的不等式对任意的恒成立转化为对任意的恒成立，令，则转化为对恒成立，分为和两种情况分别求解即可得到答案； （3）先证明函数是以为周期的周期函数，先考虑在时的零点情况，令，则讨论根的情况，分为，，，和五种情况，结合函数的周期性，即可求出的值. 【小问1详解】 所以图像关于对称． 【小问2详解】 因为当时，， 所以， ∴存在，使得对任意的恒成立， 只需对任意的恒成立， 令， 由得，则， ， 则对恒成立， 即对恒成立， 时，， ，， 函数在单调递减，则，则， 所以， 综上，的取值范围为. 【小问3详解】 ， 因为 所以函数是以为周期的周期函数， 先考虑但， 所以只需先考虑在时的零点情况， 是由和复合而成的， ，由得，即， 函数在和上单调递增， 作出的图象： ①时，只有一个实根， 和在有两个交点， 所以仅在上有两个零点且均在上， 若在内恰有2022个零点， 则或， 即或； ②时，有两个实根， 和在上有两个交点，和只有一个交点， 所以在上有三个零点且一个为，另外两个在上， 若在内恰有2022个零点， 则， 即； ③时，有两个实根， 和在上有两个交点，和在上有两个交点， 所以在上有4个零点， 若在内恰有2022个零点， 则， 即； ④时，有两个实根， 和在上只有一个交点，和在上有两个交点，所以在上有三个零点且一个为，另外两个在上， 若在内恰有2022个零点， 则， 即； ⑤时，只有一个实根，和在有两个交点， 所以在上有两个零点且均在上， 因此，若在内恰有2022个零点， 则或， 即或， 综上，当时，或， 当时，， 当时，， 当时，或. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度上学期期末 高一数学试卷 考试时间：2026年2月2日下午14：00—16：00 试卷满分：150分 一､选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若角的终边上有一点，且，则（ ） A. 4 B. C. D. 2. 已知幂函数在上单调递减，则（ ） A. B. C. 3 D. 或3 3. 若，则（ ） A. B. C. D. 4. 荀子《劝学》中说：“不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海．”我们可以把看作是每天的“进步”率都是，一年后是37.7834；而把看作是每天“退步”率都是，一年后是0.0255；这样，一年后的“进步值”是“退步值”的倍．那么当“进步”的值是“退步”的值的10倍，大约经过（ ）天．（参考数据：，） A. 130 B. 230 C. 150 D. 115 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数，若成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数在区间内既有最大值又有最小值，则的值不可能为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 8. 存在函数满足：对任意都有（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下面说法正确的是（ ） A. 若且，则 B. 小于的角都是锐角 C. 已知圆心角为的扇形的弧长为，则该扇形的面积为 D. 若为第一象限角，，则 10. 已知函数的定义域为，为偶函数，，则有（ ） A. B. 为奇函数 C. D. 11. 用表示不超过实数的最大整数，如：．现已知函数为奇函数，函数，则下列叙述正确的是（ ） A. 的图象关于原点对称 B. 的值域是 C. 函数的图象与轴有三个交点 D. 方程在上有3个实数根 三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若，则__________． 13. 已知，则__________． 14. 已知，若函数恰有四个零点，则实数的取值范围是__________． 四､解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤． 15. 已知函数 （1）若定义域为，求实数的取值范围． （2）若函数在上为减函数；求实数的取值范围． 16. 已知. （1）若，求的值； （2）已知，，且、，求的值． 17. 已知，函数 （1）若相邻两条对称轴之间的距离为，求在上的单调递减区间； （2）若对任意恒成立，求最小值． 18. 已知函数为奇函数 （1）求的值； （2）记， ①存在，使得成立，求实数的取值范围； ②若方程在上有两个解，证明： 19. 已知函数 （1）证明：图像关于对称． （2）若存在，使得关于的不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围； （3）若在内恰有2022个零点，请求出所有满足条件的． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $