第1章 反比例函数拓展：等腰三角形存在性问题总结 2026--2027学年苏科版九年级数学上册

**基本信息** 以“分类讨论+数形结合+代数转化”为核心，通过“两圆一线”模型与标准化步骤构建系统性解题方法，衔接反比例函数与等腰三角形性质的综合应用，培养几何直观与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |核心知识点|3个核心方法|“两圆一线”找点模型、距离平方代数转化、五步解题流程|从几何模型定位到代数运算转化，再到步骤规范，形成“模型→运算→应用”递进逻辑| |典型考法|4类考法（含4例题）|坐标轴/双曲线上找点、平移背景、限定腰问题的分类策略|考法从基础到综合，覆盖动点限制条件与图形变换，体现模型观念的应用拓展|

考法 1：坐标轴上找点（两定一动，动点在坐标轴） 例题 1 解析 (1) 首先求解函数解析式： 在中，，设，， 由勾股定理得，解得， 所以，，即。 将代入反比例函数，得，所以反比例函数解析式为。 将代入，得，解得，即。 将、代入一次函数，得： ，解得， 所以一次函数解析式为。 (2) 探究等腰三角形的存在性，已知定点、，动点在轴上，设，分三种情况讨论： ① 当时：，所以，即，解得或， 此时点坐标为或。 ② 当时：，所以， 由距离公式：， 展开得：，即，解得或， 时，与重合，无法构成三角形，舍去，所以。 ③ 当时：此时在的垂直平分线上， 由距离公式：， 展开得：，即，解得， 所以。 综上，符合条件的点坐标为、、、。 考法 2：反比例函数图象上找点（动点在双曲线上） 例题 2：解析：已知定点、，动点在上，设，分三种情况讨论： ① 当时：，所以， 即，整理得， 因式分解得，解得或。 时，与重合，舍去；时，；时，；时，。这三个点都在反比例函数图象上，符合条件。 ② 当时：，所以， 即，展开整理得：， 即， 令，则，代入得： ，即，解得或。 当时，，即，解得， 对应，所以、。 当时，，即，判别式，无解。 ③ 当时：此时在的垂直平分线上， 的中点为，的斜率为，所以垂直平分线的斜率为， 垂直平分线的方程为：，整理得。 联立反比例函数，得：， 两边乘得：，即， 判别式，无实根，所以这种情况不存在符合条件的点。 综上，符合条件的点坐标为、、、、。 考法 3：平移背景下的等腰三角形存在性 例题 3 解析 （1） 将点B（2，a）代入直线AB的解析式y=-2x+8中， 得-2×2+8=a， ∴a=4， ∴B（2，4）， 将B（2，4）代入反比例函数解析式y=（x＞0）中，得k=xy=2×4=8； ∴反比例函数表达式为：y=． （2）①∵将直线AB向右平移1个单位长度，得到对应直线MN， ∴直线MN的解析式为：y=-2（x-1）+8=-2x+10， 联立,解得或 ∴直线MN与反比例函数图象的交点坐标为：（4，2），（1，8）； ②如图，∵将线段AB向右平移m个单位长度（m＞0），得到对应线段CD， ∴CD=AB，AC=BD=m， ∵A（0，8），B（2，4）， ∴C（m，8），D（m+2，4）， 若△BCD是以BC为腰的等腰三角形，需要分以下两种情况： Ⅰ、当BC=CD时， ∴BC=AB， ∴点B在线段AC的垂直平分线上， ∴m=2×2=4， Ⅱ、当BC=BD时， ∵B（2，4），C（m，8）， ∴BC= ∴=m， ∴m=5， 综上可知，△BCD是以BC为腰的等腰三角形，满足条件的m的值为4或5 考法 4：限定腰的等腰三角形存在性 例题 4 解析 已知、，先计算的长度： 。 动点在轴上，设，因为是以为腰，所以分两种情况： ① 当时：， 由距离公式：， 展开得：，即， 解得， 所以点坐标为或。 ② 当时：， 由距离公式：， 展开得：，即， 解得， 所以点坐标为或。 综上，符合条件的点坐标为、、、。 巩固练习答案与解析 1、答案： (1) 双曲线解析式为； (2) 、、； (3) 。 解析：的中点为，垂直平分线与轴交点即为，解得。 2、答案： (1) ； (2) 能，； (3) 。 解析：求得时，，，，构成等腰直角三角形。 3、答案： (1) 直线解析式为； (2) 或； (3) 点坐标为、、、。 解析：求得、，，分三种情况讨论得到结果。 4、答案： (1) 一次函数，反比例函数； (2) 或； (3) 点坐标为、、、、。 解析：，分三种情况讨论得到结果。 5、答案： (1) 一次函数关系式为 y1=x+2，k的值为 3； (2) △COD 的面积为 4； (3) 存在，点M的坐标为 (0,)、(0,)、(0,6)、(0,)。 6、答案： ∵正方形ABCD的边长为4，AC，BD交于点E， ∴C(4,4)，E(2,2)， 将E点坐标代入双曲线 得2= 解得k1=4， ∴双曲线的解析式为y=， 故答案为：(4,4)，(2,2)，y=； (2) ∵双曲线与BC，CD分别交于点M，N， ∴设M(m,4)，N(4,n)， ∴4m=4n， ∴m=n， ∴MC=NC， 由正方形可知，∠BCD=90∘， ∴∠CMN=45∘，∠CBD=45∘， ∴∠CMN=∠CBD， ∴MN∥BD； (3) ∵正方形边长为4， 由（1）知E(2,2)， ∴AE= ①当AP=AE= ∵P(m，)，E(m+2,2)，点P、E在反比例函数图象上， ∴m=2(m+2)， ∴m=+2； ②当EP=AE时，点P与点B重合， ∵P(m,4)，E(m+2,2)，点P、E在反比例函数图象上， ∴4m=2(m+2)， ∴m=2； ③当EP=AP时，点P、E不可能都在反比例函数图象上，故此情况不存在； 综上所述，满足条件的m的值为2或+2 学科网（北京）股份有限公司 $ 反比例函数中等腰三角形存在性问题总结 一、核心知识点参考 在反比例函数背景下的等腰三角形存在性问题，是中考数学的典型压轴题型，它融合了函数性质、几何图形性质与坐标代数运算，核心解题思路是分类讨论 + 数形结合 + 代数转化，以下是核心知识点： 1. “两圆一线” 找点模型 当已知两个定点、，需要寻找动点使得为等腰三角形时，所有满足条件的点的轨迹可以用 “两圆一线” 来概括： 1. 以为圆心，长为半径作圆：圆上的任意点都满足，此时为等腰三角形的顶角顶点。 2. 以为圆心，长为半径作圆：圆上的任意点都满足，此时为等腰三角形的顶角顶点。 3. 作线段的垂直平分线：垂直平分线上的任意点都满足，此时为等腰三角形的顶角顶点。 通过这个模型，我们可以直观地定位动点的可能位置，避免分类讨论时出现遗漏。 2. 坐标下的代数转化方法 在平面直角坐标系中，我们可以将 “两边相等” 的几何条件，转化为两点间距离公式的代数等式，从而通过解方程求解动点坐标。 设点，定点，，则： · 当时： · 当时： · 当时： 注意：我们通常使用距离的平方进行计算，避免开根号带来的复杂运算，同时也能保证等式的等价性。 3. 通用解题步骤 解决此类问题，我们可以遵循以下标准化步骤，确保逻辑清晰、不重不漏： 1. 明确分类标准：按等腰三角形的顶角顶点进行分类，即分别讨论 “以为顶点”、“以为顶点”、“以为顶点” 三种情况，对应上述的三种边相等的条件。 2. 几何构图辅助：利用 “两圆一线” 模型，先大致画出动点的可能位置，预判解的个数，做到心中有数。 3. 设元与代数化：设出动点的坐标，根据当前分类的边相等条件，列出距离平方相等的方程。 4. 结合约束条件：结合动点的位置限制（如在轴上则，在反比例函数上则），联立方程求解。 5. 检验解的合理性：排除三点共线的情况（此时无法构成三角形），以及不符合动点范围的解（如题目限定，则舍去负的解）。 二、典型考法与例题 反比例函数背景下的等腰三角形存在性问题，常见的考法可以分为以下四类，我们通过典型例题来逐一讲解： 考法 1：坐标轴上找点（两定一动，动点在坐标轴） 这是最基础、最常见的考法，已知两个定点，动点限制在轴或轴上，探究是否存在点使得三角形为等腰三角形。 例题 1 在平面直角坐标系中，一次函数（）与反比例函数（）的图象交于、两点，过点作轴于，，，且点的坐标为（，）。 (1) 求反比例函数与一次函数的解析式； (2) 在轴上是否存在一点，使是等腰三角形？若存在，请求出所有符合条件的点坐标；若不存在，请说明理由。 考法 2：反比例函数图象上找点（动点在双曲线上） 这类考法中，动点限制在反比例函数的图象上，需要联立圆的方程（或距离方程）与反比例函数解析式，求解交点坐标。 例题 2 已知反比例函数，点是该函数图象上的一点，为坐标原点，在反比例函数的图象上是否存在点，使得为等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的点坐标。 考法 3：平移背景下的等腰三角形存在性 这类考法结合了图形的平移，动点是平移的距离，需要先表示出平移后点的坐标，再根据等腰条件列方程求解。 例题 3 如图，一次函数y=-2x+8的图象经过B（2，a），交y轴于点A．反比例函数y=（x＞0）的图象经过点B． （1）求反比例函数表达式； （2）将直线AB向右平移1个单位长度，得到对应直线MN，求直线MN与反比例函数图象的交点坐标； （3）将线段AB向右平移m个单位长度，得到对应线段CD，连接AC、BD．在线段AB运动过程中，连接BC，若△BCD是以BC为腰的等腰三角形，求所有满足条件的m的值． 考法 4：限定腰的等腰三角形存在性 这类考法会限定等腰三角形的腰，比如 “以为腰”，此时只需要讨论两种情况，不需要讨论的情况，减少了分类的数量。 例题 4 直线与反比例函数的图象交于、两点，在轴上是否存在点，使得是以为腰的等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的点坐标。 三、巩固练习 1、如图，双曲线的图象经过矩形的、边的中点、，若，且四边形的面积为 2。 (1) 求双曲线的解析式； (2) 求点，，的坐标： (3) 若点为轴上一动点，使得为以为底边的等腰三角形，请直接写出点的坐标。 2、一次函数与反比例函数（）的图象交点的横坐标是 4，点在第一象限内，过点作平行于轴的直线，交一次函数图像于点，过点作平行于轴的直线，交反比例函数的图象于点。 (1) 求的值； (2) 当，时，能否为等腰三角形，若能出点坐标，若不能，请说明理由； (3) 若，且，结合函数的图象，直接写出的取值范围。 3、如图，直线与轴交于点，与轴交于点，且与反比例函数在第一象限内的图象交于点，作轴于点。OD=2 (1) 求直线的函数解析式； (2) 设点是轴上的点，若的面积等于 4，求点的坐标； (3) 设点是轴上的点，且为等腰三角形，直接写出点的坐标。 4、一次函数的图象和反比例函数的图象交于和两点。 (1) 求一次函数和反比例函数的表达式； (2) 请直接写出不等式的解集； (3) 连结，设点为轴上一点，使得为等腰三角形，求点的坐标。 5、 如图,一次函数 y1=x+b 的图象与 y 轴交于点A(0,2),与反比例函数 y2=的图象分别交于点C,D(a,−1),连接OC,OD.作CE⊥x轴于点E,且OE=OB. (1)求一次函数关系式和k的值； (2)求△COD的面积； (3)点M是y轴上一点,是否存在点M,使以点M,O,C为顶点的三角形是等腰三角形,若存在,请直接写出点M的坐标;若不存在,请说明理由 6、 正方形的边长为 4,交于点, 在点处建立平面直角坐标系如图所示. (1) 如图 (1), 双曲线过点, 完成填空，点的坐标是 , 点的坐标是 , 双曲线的解析式是 , 点C的坐标是______，点E的坐标是______，双曲线的解析式是______ (2) 如图 (2), 双曲线与与BC，CD分别交于点M，N.求证MN∥BD； (3) 如图 (3), 将正方形ABCD向右平移m(m>0)个单位长度，使过点E的双曲线与AB交于点P.当△AEP为等腰三角形时，求m的值. 学科网（北京）股份有限公司 $