精品解析：江苏宿迁市2025-2026学年下学期七年级期末学业水平监测数学

2025—2026学年第二学期七年级期末学业水平监测 数学 分值：150分 时间：120分钟 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．每小题有且只有一个选项是正确的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置） 1. 下列方程中，是二元一次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 中国古算诗词歌赋较多．古算诗词题，是反映数学数量关系的内在联系及其规律的一种文学浪漫形式．下列分别是古算诗词题“圆中方形”“方形圆径”“圆材藏壁”“勾股容圆”所描绘的图形，其中既不是轴对称图形也不是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 4. 有两个容量足够大的玻璃杯，分别装有a克水、b克水，，都加入c克水后，下列式子能反映此时两个玻璃杯中水质量的大小关系的是（ ） A. B. C. D. 5. 对于命题“如果，那么”．用反证法证明，应假设（ ） A. B. C. D. 6. 我国宋代数学家秦九韶发明的“大衍求一术”阐述了多元方程的解法，大衍问题源于《孙子算经》中“物不知数”问题：“今有物，不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三……，问物几何？”意思是：有一些物体不知个数，每3个一数，剩余2个；每5个一数，剩余3个……．问这些物体共有多少个？设3个一数共数了x次，5个一数共数了y次，其中x，y为正整数，依题意可列方程（ ） A. B. C. D. 7. 已知是方程的一组解，则的值为（ ） A. B. C. D. 8. 观察图中尺规作图的痕迹，则（ ） A. 平分 B. C. D. 9. 如图，将沿方向平移得到，若，，则的长为（ ） A. 3 B. C. 4 D. 10. 如图，已知，则下列结论成立的是（ ） A. B. C. D. 11. “七巧板”是我们祖先的一项卓越创造，可以拼出许多有趣的图形，被誉为“东方魔板”．如图，用图①的一副七巧板拼成图②房子的图案，若七巧板的面积为，则图②中阴影部分的面积是（ ） A. B. C. D. 12. 如图，是正方形的中心，图中可以通过一次旋转与重合的三角形（自身除外）的个数是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分，不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 13. 通电瞬间，导线中的电流以接近光速形成，但其中自由电子定向移动的平均速度大约只有，比蜗牛爬行的速度还慢．将数据“0.000074”用科学记数法表示为________． 14. 命题“如果，那么”是_______（填“真”或“假”）命题． 15. 若，则代数式的值为_________． 16. 如图，将绕点逆时针方向旋转到的位置，点落在边上的点处，若，，则_______． 17. 在五角星形中，的度数_______． 18. 若关于的一元一次不等式组有解，则的取值范围是 _________． 19. 已知，，是三个非负数，且满足，，设，则的最大值为________． 20. 如图，在直角中，，，，，将绕点顺时针旋转，点、的对应点分别是、，若点为线段的中点，点为线段上一动点．则在旋转过程中，线段的最小值为_____． 三、解答题（共8小题，共82分，解答时应写出必要的步骤、过程或文字说明．） 21. 计算： （1） （2） 22. 已知x与y互为相反数，且．求x，y的值． 23. 证明：三个连续自然数之和能被整除． 24. 解不等式组，并把它的解集在数轴上表示出来． 25. 已知：如图，平分，点在上，点在的延长线上，交于点，且． （1）判断与的位置关系，并说明理由． （2）求证：． 26. 为提升学生体育素质，丰富课余活动，某阳光体育学校用元从体育用品专卖店一次性购买三类球共个．已知每个篮球元，每个足球元，每个排球元，且购买足球和排球的数量相同． （1）求该校购买的篮球、足球、排球各多少个？ （2）该校计划再次从同一体育用品专卖店购买篮球和排球共个，且总费用不超过元，求该校最多可以购买多少个篮球？ 27. 定义：任意三个数，，若满足，则称为，的“调和数”． （1）若，，则，的“调和数”_______． （2）若，，求，的“调和数”； （3）若，的“调和数”满足且，，均为正整数，求的值． 28. 折纸不仅有趣，还蕴含着丰富的数学知识，某数学兴趣小组以“直角三角形的折叠”为主题开展数学探究活动．如图，在中，，，点是边上一动点，将沿直线翻折后得到． （1）如图，若，则________． （2）如图，若点落在的内部（不包含的边），则的取值范围为． （3）在折叠的过程中，当垂直于某一边时，求的度数． （4）在折叠的过程中，射线与射线相交于点．若是轴对称图形，直接写出的度数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年第二学期七年级期末学业水平监测 数学 分值：150分 时间：120分钟 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．每小题有且只有一个选项是正确的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置） 1. 下列方程中，是二元一次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程的定义，解题的关键是准确把握二元一次方程定义中的各个要素，即含有两个未知数，且含未知数的项的次数都是1，同时是整式方程． 根据二元一次方程的定义，逐一分析选项中的方程是否满足含有两个未知数且未知数的最高次数为1以及是整式方程这几个条件． 【详解】A、方程，含有两个未知数和，并且和的次数都是1，同时它是整式方程，符合二元一次方程的定义，所以该选项正确； B、方程，其中未知数和的最高次数都是2，不满足二元一次方程中含未知数的项的次数是1这一条件，所以该选项错误； C、方程，可变形为与是相乘的关系，次数为，不满足二元一次方程的次数要求，所以该选项错误； D、方程，因为分母中含有未知数，它不是整式方程，而二元一次方程必须是整式方程，所以该选项错误． 故选A． 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了同底数幂相乘（除），合并同类项， 先判断是否是同类项解答A，B，再根据同底数幂相乘法则计算判断C，然后根据同底数幂相除法则计算判断D即可． 【详解】解：因为不是同类项，不能合并，所以A，B 不正确，不符合题意； 因为，所以C不正确，不符合题意； 因为，所以D正确，符合题意； 故选：D． 3. 中国古算诗词歌赋较多．古算诗词题，是反映数学数量关系的内在联系及其规律的一种文学浪漫形式．下列分别是古算诗词题“圆中方形”“方形圆径”“圆材藏壁”“勾股容圆”所描绘的图形，其中既不是轴对称图形也不是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形，中心对称图形的识别．解题的关键在于熟练掌握：在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180度，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．根据中心对称和轴对称的定义，进行判断即可． 【详解】解：A、既是轴对称图形，也是中心对称图形，不符合题意； B、既是轴对称图形，也是中心对称图形，不符合题意； C、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； D、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，符合题意； 故选D． 4. 有两个容量足够大的玻璃杯，分别装有a克水、b克水，，都加入c克水后，下列式子能反映此时两个玻璃杯中水质量的大小关系的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了不等式的基本性质．根据不等式的性质，在两边同时加上相同的正数，不等式方向不变，即可求解． 【详解】解：∵初始时，两杯水的质量分别为克和克， ∴加入克水后，两杯水的质量变为克和克， ∵， ∴， 故选：A 5. 对于命题“如果，那么”．用反证法证明，应假设（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了反证法，正确理解反证法的意义及步骤是解题的关键．根据反证法的步骤，第一步假设结论不成立，据此进行解答即可． 【详解】解：由于结论的否定为：， 用反证法证明命题时，要首先假设结论的否定成立， 故应假设，由此推出矛盾． 故选：A． 6. 我国宋代数学家秦九韶发明的“大衍求一术”阐述了多元方程的解法，大衍问题源于《孙子算经》中“物不知数”问题：“今有物，不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三……，问物几何？”意思是：有一些物体不知个数，每3个一数，剩余2个；每5个一数，剩余3个……．问这些物体共有多少个？设3个一数共数了x次，5个一数共数了y次，其中x，y为正整数，依题意可列方程（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查根据实际问题列二元一次方程，熟练掌握从实际情境中找出等量关系是解题关键．根据题目中“每 3 个一数，剩余 2 个；每 5 个一数，剩余 3 个”这两个条件，分别找出物体总数与、的等式关系，进而列出方程． 【详解】解：∵每 3 个一数，数了次，剩余 2 个， ∴物体总数可表示为 ． 又∵每 5 个一数，数了次，剩余 3 个， ∴物体总数也可表示为 ． 由于物体总数是固定的， ∴ 故选：A． 7. 已知是方程的一组解，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据方程解的定义，将已知的解代入原方程，直接计算即可求出的值． 【详解】∵ 是方程 的解， ∴ 将 代入方程得， ∴的值为． 8. 观察图中尺规作图的痕迹，则（ ） A. 平分 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是作线段的垂线，根据作图痕迹可得，从而可得答案． 【详解】解：解：由作图可得：， 故选：D． 9. 如图，将沿方向平移得到，若，，则的长为（ ） A. 3 B. C. 4 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平移的性质，正确的识别图形是解题的关键． 由平移的性质得到，即可求解． 【详解】解：∵将沿方向平移得到， ∴， ∵，， ∴， ∴． 故选：C． 10. 如图，已知，则下列结论成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行线的性质判断即可． 【详解】解∶∵， ∴． 11. “七巧板”是我们祖先的一项卓越创造，可以拼出许多有趣的图形，被誉为“东方魔板”．如图，用图①的一副七巧板拼成图②房子的图案，若七巧板的面积为，则图②中阴影部分的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据七巧板的结构特征，确定各板块面积与总面积的比例关系，识别阴影部分对应的图形，计算面积之和即可． 【详解】解：如图， 根据七巧板的结构可知，①和②面积相等，占整个图的，④和⑥面积相等，占整个图的，⑦占整个图的，⑤占整个图的，③占整个图的，④和⑥面积之和等于⑦的面积，④、⑥、⑦面积之和等于①的面积， 观察图②可知，阴影部分由七巧板中的正方形⑤和平行四边形③拼成， ∴阴影部分的面积为． 12. 如图，是正方形的中心，图中可以通过一次旋转与重合的三角形（自身除外）的个数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意可得正方形被两条对角线和两条中点连线分成了8个全等的小三角形，再结合旋转的性质即可得出结果． 【详解】解：∵是正方形的中心， ∴正方形被两条对角线和两条对边中点连线分成了8个全等的小三角形， ∴绕点顺时针旋转与重合，绕点顺时针旋转与重合，绕点顺时针旋转与重合，绕点逆时针旋转与重合，绕点顺时针旋转与重合； 如图，连接与交于点，绕点顺时针旋转与重合， 综上所述，共个． 二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分，不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 13. 通电瞬间，导线中的电流以接近光速形成，但其中自由电子定向移动的平均速度大约只有，比蜗牛爬行的速度还慢．将数据“0.000074”用科学记数法表示为________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值． 科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同． 【详解】解：， 故答案为：． 14. 命题“如果，那么”是_______（填“真”或“假”）命题． 【答案】假 【解析】 【详解】解：当，时，满足条件， 此时，，可得，不满足命题的结论， 因此该命题是假命题． 15. 若，则代数式的值为_________． 【答案】 【解析】 【分析】先利用完全平方公式展开所求代数式，再结合已知条件整体代入计算即可． 【详解】解：根据完全平方公式，得 ， ， 移项得 ， 将代入得原式． 16. 如图，将绕点逆时针方向旋转到的位置，点落在边上的点处，若，，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．由旋转得，，而点落在边上的点处，由，即可求解． 【详解】解：∵将绕点逆时针方向旋转到， ∴，， ∵点落在边上的点处， ∴， 故答案为：． 17. 在五角星形中，的度数_______． 【答案】##180度 【解析】 【分析】利用三角形的外角性质将分散的五个角转化到一个三角形的内角中，再利用三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：设与交于点，与交于点，如图， 在中，， 在中，， 在中，， ∴． 18. 若关于的一元一次不等式组有解，则的取值范围是 _________． 【答案】 【解析】 【分析】先确定不等式组的解集形式，不等式组有解即两个不等式的解集在数轴上存在公共部分，据此推导的取值范围． 【详解】解：∵关于的一元一次不等式组有解， ∴，即． 19. 已知，，是三个非负数，且满足，，设，则的最大值为________． 【答案】 【解析】 【分析】将和用表示，将用表示，求出的取值范围，然后根据不等式的性质求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴ ∵，，是三个非负数， ∴ 解得 ∴ ∴ ∴的最大值为12． 20. 如图，在直角中，，，，，将绕点顺时针旋转，点、的对应点分别是、，若点为线段的中点，点为线段上一动点．则在旋转过程中，线段的最小值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了旋转的性质，三角形面积计算，垂线段最短，先求出，由旋转的性质可得；连接，根据，得到当最小时，最小；由垂线段最短可得当时，最小，利用等面积法求出的长即可得到答案． 【详解】解：∵直角中，，，， ∴， 由旋转的性质可得； 如图所示，连接， ∵， ∴当点D在上时，有最小值，最小值为， ∴当最小时，最小； 如图所示，当时，最小， 此时有， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴， ∴的最小值为． 故答案为：． 三、解答题（共8小题，共82分，解答时应写出必要的步骤、过程或文字说明．） 21. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： . 22. 已知x与y互为相反数，且．求x，y的值． 【答案】 【解析】 【分析】先根据“x与y互为相反数”，得出，结合已知条件“”建立关于x，y的二元一次方程组，解方程组即可． 【详解】解：∵x与y互为相反数， ∴， ∴， 解得：． 23. 证明：三个连续自然数之和能被整除． 【答案】证明见解析． 【解析】 【分析】本题考查了整式的加减，列代数式，设第一个数为（是自然数），则第二个数为，第三个数为，则这三个自然数的和，从而求证，根据题意数量关系列出正确的代数式求解是解题的关键． 【详解】证明：设第一个数为（是自然数），则第二个数为，第三个数为， ∴这三个自然数的和 ， ∵， ∴三个连续的自然数之和能被整除． 24. 解不等式组，并把它的解集在数轴上表示出来． 【答案】，解集在数轴上表示如下： 【解析】 【分析】首先解每个不等式，两个不等式的解集的公共部分就是不等式组的解集，再将解集表示在数轴上即可． 【详解】解：由得：， 由得：， 则不等式组的解集为， 解集在数轴上表示略． 25. 已知：如图，平分，点在上，点在的延长线上，交于点，且． （1）判断与的位置关系，并说明理由． （2）求证：． 【答案】（1），理由如下： ∵，且， ∴， ∴． （2）由（1）得，， ， 又∵平分， ∴， ∴． 【解析】 【分析】（1）根据与是互为邻补角，因此．结合已知，可推得，根据平行线的判定定理即可判断与的位置关系． （2）由（1）得，，．结合平分的条件，可得，通过等量代换即可完成求证． 【小问1详解】 略． 【小问2详解】 略． 26. 为提升学生体育素质，丰富课余活动，某阳光体育学校用元从体育用品专卖店一次性购买三类球共个．已知每个篮球元，每个足球元，每个排球元，且购买足球和排球的数量相同． （1）求该校购买的篮球、足球、排球各多少个？ （2）该校计划再次从同一体育用品专卖店购买篮球和排球共个，且总费用不超过元，求该校最多可以购买多少个篮球？ 【答案】（1）该校购买篮球100个，足球50个，排球50个 （2）该校最多可以购买26个篮球 【解析】 【分析】（1）设购买足球x个，购买篮球y个，则排球购买x个，结合题意可得，进一步解方程组可得答案； （2）设购买篮球m个，则购买排球个，可得，进一步解不等式可得答案. 【小问1详解】 解：设购买足球x个，购买篮球y个，则排球购买x个， 由题意得，， 解得， 答：购买足球50个，排球50个，篮球100个； 【小问2详解】 解：设购买篮球m个，则购买排球个， 由题意得，， 解得， ∵m为整数， ∴m的最大值为26. 答：该校最多可以购买26个篮球． 27. 定义：任意三个数，，若满足，则称为，的“调和数”． （1）若，，则，的“调和数”_______． （2）若，，求，的“调和数”； （3）若，的“调和数”满足且，，均为正整数，求的值． 【答案】（1） （2）或 （3）或或 【解析】 【分析】（1）根据“调和数”的定义得出关于的一元一次方程，求解即可； （2）利用完全平方公式计算得出或，分两种情况，分别利用“调和数”的定义，计算即可得出结果； （3）求出，再结合且，，均为正整数，得出，，为勾股数组合，由此计算即可得出结果． 【小问1详解】 解：由题意可得， 解得； 【小问2详解】 解：∵， ∴或， 当时，， ∴， 当时，， ∴； 综上所述，或； 【小问3详解】 解：由题意可得， ∴， ∵， ∴， 整理得， ∵，，均为正整数， ∴， ∴将两边同时除以得， ∴， ∴， ∵且，，均为正整数， ∴，，为勾股数组合， 当，，为勾股数，，时，，，，满足和，符合题意； 当，，为勾股数，，时，，，，满足和，符合题意； 当，，为勾股数，，时，，，，满足和，符合题意； 验证其他常见勾股数均不满足条件，因此的取值为或或． 28. 折纸不仅有趣，还蕴含着丰富的数学知识，某数学兴趣小组以“直角三角形的折叠”为主题开展数学探究活动．如图，在中，，，点是边上一动点，将沿直线翻折后得到． （1）如图，若，则________． （2）如图，若点落在的内部（不包含的边），则的取值范围为． （3）在折叠的过程中，当垂直于某一边时，求的度数． （4）在折叠的过程中，射线与射线相交于点．若是轴对称图形，直接写出的度数． 【答案】（1） （2） （3）或 （4）或或或 【解析】 【分析】（1）根据折叠的性质得到，根据角的和差计算即可； （2）找临界点，根据角的和差及折叠的性质计算即可； （3）根据三角形内角和得到，根据折叠的性质得到，分三种情况根据折叠的性质计算即可； （4）根据轴对称的性质可知或或．根据折叠的性质可知，分三种情况分别求出或或时的度数即可． 【小问1详解】 解：∵将沿直线翻折后得到， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：如图，当落在边上时，， ∴， 如图，当落在边上时，， ∵将沿直线翻折后得到， ∴， 综上所述，若点落在的内部（不包含的边），则； 【小问3详解】 解：∵在中，，， ∴， ∵将沿直线翻折后得到， ∴， 如图，当时，设交于点， 可知， ∴， ∴， ∴，不成立； 如图，当时， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 如图，当时， ∵， ∴， ∴， ∵将沿直线翻折后得到， ∴， ∴， ∴； 综上所述，的度数为或； 【小问4详解】 解：∵是轴对称图形， ∴对称轴两边的角相等， 即或或． ∵在中，，， ∴， ∵将沿直线翻折后得到， ∴， 如图，当射线与射线相交于点时， ∴， 若，则， ∴， ∴； 若，可知不存在； 若，可知不存在； 如图，当射线与线段相交于点时， ∴， 若，则，可知不存在； 若，可知不存在； 若，可知不存在； 如图，当线段与线段相交于点时， 设， 若，则， ∵， ∴， 解得：， ∴； 若， ∵， ∴， 解得：， ∴； 若，则， ∵， ∴， 解得：， ∴； 综上所述，的度数为或或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $