精品解析：江苏省南通市启东市2025-2026学年七年级下学期6月期末数学试题

七年级期中学业水平测试 数学试卷 注意事项 考生在答题前请认真阅读本注意事项 1．本试卷共6页，满分为150分，考试时间为120分钟．考试结束后，请将本试卷和答题纸一并交回． 2．答题前，请务必将自己的姓名、考试证号用0.5毫米黑色字迹的签字笔填写在试卷及答题纸指定的位置． 3．答案必须按要求填涂、书写在答题纸上，在试卷、草稿纸上答题一律无效． 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的序号填涂在答题纸上． 1. 下列四幅图案可以看作是以图案中某部分为基本图形平移得到的是（ ） A. B. C. D. 2. 在，，1.23，0这四个数中，属于无理数的是（　　） A. B. C. 1.23 D. 0 3. 如图，点B、C、D在同一直线上，ABCE，若∠A＝55°，∠ACB＝65°，则∠1的值为（　　） A. 80° B. 65° C. 60° D. 55° 4. 下面列出的不等式中．正确的是（ ） A. “m不是正数”表示为 B. “不大于3”表示为 C. “至少是6”表示为 D. “与4的差是负数”表示为 5. 读了《曹冲称象》的故事后，亮亮深受启发，他利用排水法测出了正方体物块的体积（即物块的体积等于排出的水的体积）．如图，他将一个正方体物块悬挂后完全浸入盛满水的圆柱形小桶中（绳子的体积忽略不计），水溢出至一个量筒中，测得溢出的水的体积为．由此，可估计该正方体物块的棱长位于哪两个相邻的整数之间（ ） A. 1和2之间 B. 2和3之间 C. 3和4之间 D. 4和5之间 6. 如图，三个含的直角三角尺拼成一个图形，下列条件能判定的是（　　） A. B. C. D. 7. 某月1日—10日，甲、乙两人的手机“微信运动”的步数统计图如图所示，则下列错误的结论是（ ） A. 1日—10日，甲的步数逐天增加 B. 1日—6日，乙的步数逐天减少 C. 第9日，甲、乙两人的步数正好相等 D. 第11日，甲的步数不一定比乙的步数多 8. 父子二人并排竖直站立于游泳池中时，爸爸露出水面的高度是他自身身高的，儿子露出水面的高度是他自身高的，父子二人的身高之和为3.4米，若设爸爸的身高为x米，儿子的身高为y米，则可列方程组（ ） A. B. C. D. 9. 已知关于的不等式组的整数解有且只有3个，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 10. 盲道方便了盲人的通行，保持盲道畅通是我们每个人的义务．盲道一般由带有凸起的方形地砖铺设而成（图1），在部分盲道建立平面直角坐标系，如图2，每个正方形的边长都为相同的整数个单位长度，则图中点的坐标为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本题共6小题，第11~12题每小题3分，第13~16题每小题4分，共22分）不需写出解答过程，把最后结果填在答题纸对应的位置上． 11. 已知，，和互为邻补角，则_______． 12. 写出一个以为解的二元一次方程组_______． 13. 在画频数分布直方图时，一组数据的最小值为149，最大值为172，若确定组距为3，则分成的组数是_____． 14. 一家商店以每辆元的进价购入一批自行车共辆，并以每辆元的价格销售．两个月后，自行车的销售额已超过这批自行车进货的总费用，这时至少已售出_______辆自行车． 15. 某兴趣小组利用几何图形画出螳螂的简笔画，如图，已知，，，则________． 16. 我们知道：任意一个有理数与无理数的和为无理数，任意一个不为零的有理数与一个无理数的积为无理数，而零与无理数的积为零，由此可得，如果，其中，为有理数，为无理数，那么，且．运用上述知识解决下列问题： （1）如果，其中，为有理数，则的算术平方根为_______； （2）如果，为有理数，且，则的值为_______． 三、解答题（本题共9小题，共98分）解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．请在答题纸对应的位置和区域内解答． 17. 完成下列小题； （1）计算：； （2）如图，直线，相交于点，且．若，求的度数． 18. 如图，所有小正方形的边长都为1，，，都在格点上，请利用网格中的格点按要求画图． （1）过点画的平行线（标出格点，不写画法，下同）； （2）过点画直线的垂线（标出一个格点）；并注明垂足为； （3）图中表示点到的距离是线段 的长度． 19. 如图是小明所在学校的平面示意图，每个小正方形的边长均为1个单位长度，已知实验楼的位置是，行政楼的位置是． （1）根据题意，画出相应的平面直角坐标系； （2）分别用坐标表示出餐厅、艺术楼的位置； （3）若音乐楼的位置是，在图中标出它的位置． 20. 完成下列小问； （1）解方程组：； （2）解不等式，并把它的解集在数轴上表示出来． 21. 如图，下列三个条件：①；②；③．从中任选两个作为条件，剩下的一个作为结论，并写出证明过程． 条件：_______，结论：_______．证明：_______． 22. 劳动教育实践活动 为了培养学生的劳动习惯，提升学生的劳动技能，某中学开展了劳动教育实践活动．某个“综合与实践”小组为了了解全校3600名学生的劳动实践活动情况，随机抽取部分学生进行问卷调查，形成了如下调查报告（不完整）： ××中学学生劳动实践活动情况调查报告 调查主题 ××中学学生劳动实践活动情况 调查方式 第一项 您平均每周参加劳动实践活动的时间大约是（只能单选，每项含最小值，不含最大值） A．6小时及以上； B．4~6小时； C．2~4小时； D．0~2小时． 平均每周参加劳动实践活动的时间调查统计图 数据的收集、 整理与描述 第二 项 您参加劳动实践活动的主要项目是（可多选） E．整理自己的房间； F．在学校打扫卫生； G．做家务； H．参加社区组织的劳动实践活动． 参加劳动实践活动的主要项目调查统计图 调查结论 …… 请根据以上调查报告，解答下列问题： （1）求参与本次抽样调查的学生人数及这些学生中选择“在学校打扫卫生”的人数； （2）估计该校3600名学生中，平均每周参加劳动实践活动时间在“6小时及以上”的人数； （3）请你结合本次调查报告所提供的数据，给该校中学生提出一条合理化建议． 23. 某班同学计划暑假参加“非遗传承，研学之旅”活动，已知该活动有画糖人和剪纸两个体验节目，据了解体验2次画糖人的费用比1次剪纸的费用多10元，体验4次画糖人的费用和3次剪纸的费用相同．考虑场地和安全原因，两个体验节目都要有同学参加，且体验画糖人的总次数要超过剪纸总次数的3倍． （1）请分别求出画糖人和剪纸的体验单价； （2）请你设计一种总费用为600元的活动方案． 24. 【学习探究】 任何一个二元一次方程在一般情况下有无数个解，如果将二元一次方程的每个解对应值中的值作为一个点的横坐标，的值作为这个点的纵坐标，在平面直角坐标系内描出各点，以方程的解为坐标的点的全体叫做方程的图象． 【初步探究】 （1）探究二元一次方程的图象． ①在表格中列出二元一次方程的解： … 0 1 2 … … 0 1 2 … ②将表中每组对应值中的值作为一个点的横坐标，的值作为这个点的纵坐标，得到点的坐标：…，，（ ， ），（ ， ），…请在平面直角坐标系内描出以上各点，并画出图象； 【类比探究】 （2）已知二元一次方程，类比以上方法完成下表： … 1 2 … … 1 … 表中 ， ，并在平面直角坐标系中画出二元一次方程的“图象”，请写出上述两个二元一次方程“图象”的交点的坐标：（ ， ），并解释交点的意义： ； 【拓展探究】 （3）若二元一次方程的“图象”与轴相交于点，求三角形的面积． 25. 已知C为射线上方一点，过点C作的平行线，点O在射线上运动（不与点A，C重合），点D在射线上，连接，满足． （1）如图1，点O在线段上，，若，依题意补全图形，并直接写出的度数； （2）点E，F在射线上，连接，，满足． ①如图2，点O在线段上，，写出一个m的值，使得恒为定值，并求出此定值； ②如图3，，，若直线和直线中至少有一条与直线平行或垂直，直接写出m的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 七年级期中学业水平测试 数学试卷 注意事项 考生在答题前请认真阅读本注意事项 1．本试卷共6页，满分为150分，考试时间为120分钟．考试结束后，请将本试卷和答题纸一并交回． 2．答题前，请务必将自己的姓名、考试证号用0.5毫米黑色字迹的签字笔填写在试卷及答题纸指定的位置． 3．答案必须按要求填涂、书写在答题纸上，在试卷、草稿纸上答题一律无效． 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的序号填涂在答题纸上． 1. 下列四幅图案可以看作是以图案中某部分为基本图形平移得到的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了图形的平移； 图形的平移只改变图形的位置，而不改变图形的形状、大小和方向，据此可得答案． 【详解】解：A.改变了图形的方向，不是平移得到的； B.是平移得到的； C.改变了图形的方向，不是平移得到的； D.改变了图形的大小，不是平移得到的； 故选：B． 2. 在，，1.23，0这四个数中，属于无理数的是（　　） A. B. C. 1.23 D. 0 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了无理数的定义，无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数．据此解答即可． 【详解】解：在，，1.23，0这四个数中，，1.23，0是有理数，是无理数， 故选：B． 3. 如图，点B、C、D在同一直线上，ABCE，若∠A＝55°，∠ACB＝65°，则∠1的值为（　　） A. 80° B. 65° C. 60° D. 55° 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角形的内角和定理可求出∠B的值，再根据两直线平行，同位角相等即可得解. 【详解】如图， ∵∠A＝55°，∠ACB＝65°， ∴∠B＝180°﹣55°﹣65°＝60°． ∵AB∥CE， ∴∠1＝∠B＝60°． 故选：C． 【点睛】本题考查平行线的性质和三角形的内角和定理，熟知平行线的性质是解题的关键. 4. 下面列出的不等式中．正确的是（ ） A. “m不是正数”表示为 B. “不大于3”表示为 C. “至少是6”表示为 D. “与4的差是负数”表示为 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了列不等式，理解各选项中的关键词语对应的数学符号，逐一判断即可． 【详解】解：A、“m不是正数”表示为，选项成错误； B、“不大于3”表示为，选项成错误； C、“至少是6”表示为，选项成错误； D、“与4的差是负数”表示为，选项正确； 故选：D． 5. 读了《曹冲称象》的故事后，亮亮深受启发，他利用排水法测出了正方体物块的体积（即物块的体积等于排出的水的体积）．如图，他将一个正方体物块悬挂后完全浸入盛满水的圆柱形小桶中（绳子的体积忽略不计），水溢出至一个量筒中，测得溢出的水的体积为．由此，可估计该正方体物块的棱长位于哪两个相邻的整数之间（ ） A. 1和2之间 B. 2和3之间 C. 3和4之间 D. 4和5之间 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查无理数估算的实际应用，根据题意，得到正方体的棱长为，夹逼法求出范围即可． 【详解】解：由题意，得：正方体的棱长为， ∵， ∴； 故选：B． 6. 如图，三个含的直角三角尺拼成一个图形，下列条件能判定的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键； 根据平行线的判定定理，逐一判定选项即可求解 【详解】A、， ，不满足题意； B、， ，满足同意； C、， ，不满足题意； D、， ，不满足题意； 故选：B 7. 某月1日—10日，甲、乙两人的手机“微信运动”的步数统计图如图所示，则下列错误的结论是（ ） A. 1日—10日，甲的步数逐天增加 B. 1日—6日，乙的步数逐天减少 C. 第9日，甲、乙两人的步数正好相等 D. 第11日，甲的步数不一定比乙的步数多 【答案】B 【解析】 【分析】对照折线统计图，逐项分析，找到合乎题意的选项，甲，乙两条线，分开看，注意图例． 【详解】A. 通过折线统计图中甲的图例实线部分，在1日—10日步数逐天增加，正确，不符合题意； B. 通过折线统计图中乙的图例虚线部分，在1日—5日步数逐天减少，第6日有所增加，错误，符合题意； C. 通过折线统计图中甲乙折线部分在第9日出现了重合，所以甲、乙两人的步数正好相等，正确； D. 第11日图形没有给出，只能预测，所以不一定，正确． 题目要求选择错误的结论，B选项错误． 故选B． 【点睛】本题考查了折线统计图，折线统计图用折线的起伏表示数据的增减变化情况。不仅可以表示数量的多少，而且可以反映数据的增减变化情况，理解折线起伏的意义是解题关键． 8. 父子二人并排竖直站立于游泳池中时，爸爸露出水面的高度是他自身身高的，儿子露出水面的高度是他自身高的，父子二人的身高之和为3.4米，若设爸爸的身高为x米，儿子的身高为y米，则可列方程组（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意可得两个等量关系：①爸爸的身高＋儿子的身高＝3.4米；②父亲在水中的身高（1−）x＝儿子在水中的身高（1−）y，根据等量关系可列出方程组． 【详解】设爸爸的身高为x米，儿子的身高为y米， 由题意得：， 故选：A． 【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，关键是弄清题意，找出题目中的等量关系，解决此题的关键是知道父亲和儿子浸没在水中的身高是相等的． 9. 已知关于的不等式组的整数解有且只有3个，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组和不等式组的整数解，能根据不等式组整数解有且只有3个，得出关于m的不等式是解此题的关键．先求出不等式组的解集，再根据已知得出关于m的不等式即可． 【详解】解：解不等式组，得， ∵该不等式组的整数解有且只有3个， ∴不等式组的整数解为，，， ∴， 故选：B． 10. 盲道方便了盲人的通行，保持盲道畅通是我们每个人的义务．盲道一般由带有凸起的方形地砖铺设而成（图1），在部分盲道建立平面直角坐标系，如图2，每个正方形的边长都为相同的整数个单位长度，则图中点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查坐标与图形，一元一次不等式组的实际应用，设正方形的边长为个单位长度，由图可得：，求出不等式组的整数解即可． 【详解】解：设正方形的边长为个单位长度． 由图可知，，解得． 为整数， ， 则点的横坐标为，纵坐标为， 即点． 故选B． 二、填空题（本题共6小题，第11~12题每小题3分，第13~16题每小题4分，共22分）不需写出解答过程，把最后结果填在答题纸对应的位置上． 11. 已知，，和互为邻补角，则_______． 【答案】122 【解析】 【详解】解：∵和互为邻补角， ， ， . 12. 写出一个以为解的二元一次方程组_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查二元一次方程组的解．根据二元一次方程组的解的定义解决此题． 【详解】解：以为解的二元一次方程组是， 故答案为：（答案不唯一）． 13. 在画频数分布直方图时，一组数据的最小值为149，最大值为172，若确定组距为3，则分成的组数是_____． 【答案】8 【解析】 【分析】本题考查了频数分布直方图的知识，根据最大值与最小值的差与组距的商的结果进行判定即可求解． 【详解】解：， ∴分成8组， 故答案为：8 ． 14. 一家商店以每辆元的进价购入一批自行车共辆，并以每辆元的价格销售．两个月后，自行车的销售额已超过这批自行车进货的总费用，这时至少已售出_______辆自行车． 【答案】 【解析】 【分析】找出题目中的不等关系是解题关键，设已售出自行车的数量为，根据销售额超过进货总费用列不等式，求解后取符合题意的最小正整数即可． 【详解】解：设这时已售出辆自行车， 根据题意得：， 计算得：， 解得：， 为正整数， 的最小值为． 15. 某兴趣小组利用几何图形画出螳螂的简笔画，如图，已知，，，则________． 【答案】##15度 【解析】 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，过点C作，先证明，然后根据平行线的性质求出，，最后利用角的和差关系求解即可．添加合适的辅助线是解题的关键． 【详解】解：过点C作， ∵， ∴， ∴，， 又，， ∴，， ∴． 故答案为：． 16. 我们知道：任意一个有理数与无理数的和为无理数，任意一个不为零的有理数与一个无理数的积为无理数，而零与无理数的积为零，由此可得，如果，其中，为有理数，为无理数，那么，且．运用上述知识解决下列问题： （1）如果，其中，为有理数，则的算术平方根为_______； （2）如果，为有理数，且，则的值为_______． 【答案】 ①. ②. 或 【解析】 【分析】根据题干给出的结论，将原式整理为“有理数部分加无理数与有理数的乘积等于”的形式，令无理数的系数和有理数部分分别为，得到方程组求解后，再进行计算即可. 【详解】解：（1）∵， 整理，得， ∵，为有理数，为无理数， ∴， 解得； 将，代入得， 的算术平方根为，因此的算术平方根为； （2）∵， 整理，得， ∵，为有理数，为无理数， ∴， ∴ 当，时， 当，时， 因此的值为或. 三、解答题（本题共9小题，共98分）解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．请在答题纸对应的位置和区域内解答． 17. 完成下列小题； （1）计算：； （2）如图，直线，相交于点，且．若，求的度数． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据绝对值、根式的性质化简计算即可； （2）由  得 ，由对顶角相等得 ，再计算即可． 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 解：， ，  ， ． 18. 如图，所有小正方形的边长都为1，，，都在格点上，请利用网格中的格点按要求画图． （1）过点画的平行线（标出格点，不写画法，下同）； （2）过点画直线的垂线（标出一个格点）；并注明垂足为； （3）图中表示点到的距离是线段 的长度． 【答案】（1）如图所示，即为所求； （2）如图所示，垂线，垂足即为所求； （3） 【解析】 【分析】（1）利用网格的边长和角度特征，构造同位角相等作平行线； （2）利用网格的边长和角度特征，构造直角三角形作垂线； （3）由点到直线的距离是垂线段的长度作答即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：， 点到的距离是线段的长度． 19. 如图是小明所在学校的平面示意图，每个小正方形的边长均为1个单位长度，已知实验楼的位置是，行政楼的位置是． （1）根据题意，画出相应的平面直角坐标系； （2）分别用坐标表示出餐厅、艺术楼的位置； （3）若音乐楼的位置是，在图中标出它的位置． 【答案】（1）见解析 （2）餐厅，艺术楼； （3）如图所示． 【解析】 【分析】此题主要考查了坐标确定位置，正确得出原点的位置是解题关键． （1）根据实验楼和行政楼的坐标，确定原点，再画出平面直角坐标系即可； （2）根据（1）中建立的平面直角坐标系，即可解答； （3）根据坐标，再图中标出即可． 【小问1详解】 如图所示，平面直角坐标系即为所求； 【小问2详解】 解：由图可知： 餐厅，艺术楼； 【小问3详解】 解：音乐楼的位置如图所示． 20. 完成下列小问； （1）解方程组：； （2）解不等式，并把它的解集在数轴上表示出来． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【小问1详解】 解：， 得， 得，解得， 把代入②得，解得， 故原方程组的解为； 【小问2详解】 解：， 两边同时乘以得，即， 移项并合并同类项得， 解得． 21. 如图，下列三个条件：①；②；③．从中任选两个作为条件，剩下的一个作为结论，并写出证明过程． 条件：_______，结论：_______．证明：_______． 【答案】见解析（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质与判定；根据；，得出，证明，即可证明． 【详解】条件：①；②，结论：③． 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴． 22. 劳动教育实践活动 为了培养学生的劳动习惯，提升学生的劳动技能，某中学开展了劳动教育实践活动．某个“综合与实践”小组为了了解全校3600名学生的劳动实践活动情况，随机抽取部分学生进行问卷调查，形成了如下调查报告（不完整）： ××中学学生劳动实践活动情况调查报告 调查主题 ××中学学生劳动实践活动情况 调查方式 第一项 您平均每周参加劳动实践活动的时间大约是（只能单选，每项含最小值，不含最大值） A．6小时及以上； B．4~6小时； C．2~4小时； D．0~2小时． 平均每周参加劳动实践活动的时间调查统计图 数据的收集、 整理与描述 第二 项 您参加劳动实践活动的主要项目是（可多选） E．整理自己的房间； F．在学校打扫卫生； G．做家务； H．参加社区组织的劳动实践活动． 参加劳动实践活动的主要项目调查统计图 调查结论 …… 请根据以上调查报告，解答下列问题： （1）求参与本次抽样调查的学生人数及这些学生中选择“在学校打扫卫生”的人数； （2）估计该校3600名学生中，平均每周参加劳动实践活动时间在“6小时及以上”的人数； （3）请你结合本次调查报告所提供的数据，给该校中学生提出一条合理化建议． 【答案】（1）参与本次抽样调查的学生人数为300人，这些学生中选择“在学校打扫卫生”的人数为186人 （2）1152人 （3）见解析 【解析】 【分析】本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件． （1）用D类人数除以所占百分比即可得到总人数；再用总人数乘以F类所占百分比，即可求解； （2）利用样本估计总体的思想即可解决问题； （3）从平均每周阅读课外书的时间和阅读的课外书的主要来源写出一条你获取的信息即可． 【小问1详解】 解：（人）． （人）； 答：参与本次抽样调查的学生人数为300人，这些学生中选择“在学校打扫卫生”的人数为186人； 【小问2详解】 解：（人）． 答：估计该校3600名学生中，平均每周参加劳动实践活动时间在“6小时及以上”的人数有1152人； 【小问3详解】 解：答案不唯一，例如： 由于平均每周参加劳动实践活动时间在“4小时以下”的人数最多， 所以，建议中学生应该增加劳动实践活动时间，培养劳动习惯，提升劳动技能；或由于参加劳动实践活动的主要项目中，选择“在学校打扫卫生”的人数最多（或参加劳动实践活动的主要项目中，选择“做家务”和“参加社区组织的劳动实践活动”的人数很少），建议中学生多帮家长做家务，积极参加社会公益劳动，提升劳动技能，培养高尚道德情操． 23. 某班同学计划暑假参加“非遗传承，研学之旅”活动，已知该活动有画糖人和剪纸两个体验节目，据了解体验2次画糖人的费用比1次剪纸的费用多10元，体验4次画糖人的费用和3次剪纸的费用相同．考虑场地和安全原因，两个体验节目都要有同学参加，且体验画糖人的总次数要超过剪纸总次数的3倍． （1）请分别求出画糖人和剪纸的体验单价； （2）请你设计一种总费用为600元的活动方案． 【答案】（1）画糖人的体验单价是15元，剪纸的体验单价是20元 （2）画糖人28次，剪纸9次；画糖人32次，剪纸6次；画糖人36次，剪纸3次 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、不等式的应用和二元一次方程的整数解问题，正确理解题意是关键； （1）设画糖人的体验单价是x元，剪纸的体验单价是y元，根据题意列出方程组求解即可； （2）设画糖人体验a次，剪纸体验b次，根据题意可得：，即，然后结合体验画糖人的总次数要超过剪纸总次数的3倍，可得关于b的不等式，求出b的范围后再结合a、b为正整数，，b是3的倍数即可解答． 【小问1详解】 解：设画糖人的体验单价是x元，剪纸的体验单价是y元， 根据题意可得：， 解得：， 答：画糖人的体验单价是15元，剪纸的体验单价是20元； 【小问2详解】 解：设画糖人体验a次，剪纸体验b次，根据题意可得：， 即， ∵体验画糖人的总次数要超过剪纸总次数的3倍，即， ∴，即， ∵a、b为正整数，，b是3的倍数， ∴，相应的， 综上：总费用为600元的活动方案可以是：画糖人28次，剪纸9次；画糖人32次，剪纸6次；画糖人36次，剪纸3次． 24. 【学习探究】 任何一个二元一次方程在一般情况下有无数个解，如果将二元一次方程的每个解对应值中的值作为一个点的横坐标，的值作为这个点的纵坐标，在平面直角坐标系内描出各点，以方程的解为坐标的点的全体叫做方程的图象． 【初步探究】 （1）探究二元一次方程的图象． ①在表格中列出二元一次方程的解： … 0 1 2 … … 0 1 2 … ②将表中每组对应值中的值作为一个点的横坐标，的值作为这个点的纵坐标，得到点的坐标：…，，（ ， ），（ ， ），…请在平面直角坐标系内描出以上各点，并画出图象； 【类比探究】 （2）已知二元一次方程，类比以上方法完成下表： … 1 2 … … 1 … 表中 ， ，并在平面直角坐标系中画出二元一次方程的“图象”，请写出上述两个二元一次方程“图象”的交点的坐标：（ ， ），并解释交点的意义： ； 【拓展探究】 （3）若二元一次方程的“图象”与轴相交于点，求三角形的面积． 【答案】（1）0，0，1，1， （2），，3，3，方程组的解为函数的图象与函数的图象交点坐标； （3） 【解析】 【分析】（1）根据①所求填空并描出对应的点，连接这些点得到图象； （2）将对应值代入求出a，b的值，仿照（1）画出对应的图象，并找到交点坐标，根据交点坐标满足两个方程即可得到结论； （3）求出点的坐标为，利用三角形面积公式计算即可． 【小问1详解】 解：②将表中每组对应值中的值作为一个点的横坐标，的值作为这个点的纵坐标，得到点的坐标：…，，，，… 图略； 【小问2详解】 解：将代入，得，解得； 将代入，得，解得； 图象略， 解，得， ∴交点A的坐标为， 表示方程组的解为函数的图象与函数的图象交点坐标； 【小问3详解】 解：当时，解得， ∴二元一次方程的“图象”与轴相交于点的坐标为， ∴三角形的面积． 25. 已知C为射线上方一点，过点C作的平行线，点O在射线上运动（不与点A，C重合），点D在射线上，连接，满足． （1）如图1，点O在线段上，，若，依题意补全图形，并直接写出的度数； （2）点E，F在射线上，连接，，满足． ①如图2，点O在线段上，，写出一个m的值，使得恒为定值，并求出此定值； ②如图3，，，若直线和直线中至少有一条与直线平行或垂直，直接写出m的值． 【答案】（1）补图见解析， （2）①；②m的值为或或 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理以及三角形外角的性质等知识，解题的关键是： （1）利用平行线的性质，利用三角形外角的性质求出，即可求解； （2）①设，则可求，，，，，，进而求出 则，即时，，即可求解； ②分点O在线段、线段的延长线讨论，然后画出符合题意的图形，利用平行线的性质，三角形内角和定理等求解即可． 【小问1详解】 解：补图如图， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：①设，如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ， ∴当，即时，， ∴当时，恒为定值； ②当O在线段时，若，如图， ∵，，， ∴，， 由①知：， ∴， 解得； 当O在线段时，若，如图， ∴， ∵， ∴， 解得（舍去）； 当O在线段延长线时，若，如图， 则 ∵， 又， ∴ ∴， 解得； 当O在线段延长线时，若，如图， ∴， ∴， 解得， 综上，m的值为或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $