专题4第十章二元一次方程组易错必刷题型专项训练 2025-2026学年苏科版七年级下册数学期末复习专项

**基本信息** 聚焦二元一次方程组全题型，构建“概念-解法-应用”三阶逻辑体系，提炼换元法、消元法等核心技巧，强化数学建模与逻辑推理。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念与基础|2题型|概念辨析、参数求解|从二元一次方程定义到参数问题，夯实基础| |解法|2题型|消元法、换元法|常规解法到特殊技巧，提升运算能力| |综合问题|3题型|错解复原、相同解、三元一次|综合应用方程性质，培养推理意识| |实际应用|9题型|行程/工程/利润等建模|从生活情境抽象等量关系，发展模型观念|

专题4 第十章 二元一次方程组易错必刷题型专项训练 题型1 二元一次方程组的概念辨析 题型9 行程问题（实际应用） 题型2 二元一次方程组中的参数 题型10 工程问题（实际应用） 题型3 消元法解二元一次方程组 题型11 数字问题（实际应用） 题型4 二元一次方程组的特殊解法 题型12 分配问题（实际应用） 题型5 错解复原问题 题型13 销售利润问题（实际应用） 题型6 相同解问题 题型14 几何问题（实际应用） 题型7 三元一次方程组 题型15 图表信息问题（实际应用） 题型8 方案问题（实际应用） 题型16 古代问题（实际应用） 题型1 二元一次方程组的概念辨析 1．若是关于的二元一次方程，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二元一次方程的定义，需满足两个未知数的次数都为1，且未知数的系数不为0，据此列出等式和不等式求解即可． 【详解】解：∵是关于的二元一次方程 ∴的次数为，且的系数不为，可得且 解得，即， 由得， ∴． 2．下列方程组中，属于二元一次方程组的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二元一次方程组的定义判断，二元一次方程组需满足：共含两个未知数，所有方程都是整式方程，且未知数的最高次数为1，据此逐一判断选项即可. 【详解】解：∵ 二元一次方程组需满足三个条件：方程组中共含有两个未知数；所有方程都是整式方程；未知数的最高次数为1. 对选项逐一判断： A 选项中的次数为2，不满足次数要求，不是二元一次方程组，故A错误； B 选项中含有三个未知数，不满足未知数个数要求，不是二元一次方程组，故B错误； C 选项中含有两个未知数，所有方程都是整式方程，未知数最高次数为1，符合二元一次方程组的定义，故C正确； D 选项中是分式，方程不是整式方程，不满足要求，不是二元一次方程组，故D错误； 3．已知下列方程组： ①；②； ③；④ 其中，________是二元一次方程组．（填序号） 【答案】③ 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的定义，含有两个未知数，且每个含有未知数的项的次数都是1的整式方程是二元一次方程，两个二元一次方程组成的方程组是二元一次方程组，据此求解即可． 【详解】解：方程组①中，方程不是一次方程，故方程组①不是二元一次方程组； 方程组②中，一共有三个未知数，故方程组②不是二元一次方程组； 方程组③是二元一次方程组； 方程组④中，方程不是整式方程，故方程组④不是二元一次方程组； 故答案为：③． 4．已知方程组是关于的二元一次方程组，则的值为______． 【答案】 【分析】此题主要考查了二元一次方程组，绝对值的意义，理解二元一次方程组的定义，熟练掌握绝对值的意义是解决问题的关键． 根据二元一次方程组的定义得，求出后进行验证，即可得出最终的值． 【详解】解：∵方程组是关于的二元一次方程组， ∴，即， 解得：， 当时，原方程组可转化为：，不符合二元一次方程组的定义，舍去； 当时，原方程组可转化为：，符合二元一次方程组的定义； 综上所述：的值为． 故答案为：． 题型2 二元一次方程组中的参数 5．若关于x，y的二元一次方程组的解为，则代数式的值是（     ） A．3 B． C．5 D． 【答案】D 【分析】本题利用二元一次方程组的解的定义，将已知解代入原方程组，得到关于a，b的关系式，直接变形即可求出的值． 【详解】解：∵是原方程组的解， ∴ 将代入原方程组，得：， ，得： 化简得：． 6．若方程组的解满足，则k的值是（     ） A．2 B． C．4 D． 【答案】C 【分析】将方程组两个方程相加，整理得到含的表达式，结合已知列方程，即可求解． 【详解】解： 将两个方程相加，得 整理得 解得． 7．已知关于x，y的方程组，且，则k的值为________． 【答案】 【分析】对原方程组使用①②做加减消元，构造出含的代数式，再代入直接求出． 【详解】解：， 得：， ∴， ， ， ． 8．若是关于的二元一次方程组，则___________． 【答案】或1 【分析】本题考查了根据二元一次方程组的定义求参数，代数式求值问题，熟练掌握和运用二元一次方程组的定义是解决本题的关键． 先根据二元一次方程组的定义得出，据此求出m、n的值，代入计算可得结果． 【详解】解：根据题意知，， 解得，， 或． 故答案为：或1． 题型3 消元法解二元一次方程组 9．解方程组： (1)； (2)； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）使用代入消元法即可求解； （2）使用加减消元法即可求解． 【详解】（1）解：， 将①代入②得：， 解得：， 将代入①得：， 解得， ∴方程组的解为． （2）解：， 由得：， 解得：， 将代入①得：， 解得：， ∴方程组的解为． 10．解下列方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二元一次方程组的求解，运用消元思想，消元方法分为代入消元法和加减消元法． （1）可直接用代入消元法求解， （2）先整理为标准二元一次方程组形式，再用加减消元法求解． 【详解】（1）解： 将①代入②，得 整理得 解得 把代入①，得 原方程组的解是 （2）整理原方程组 第一个方程 ， 展开整理得 第二个方程 ，两边同乘去分母得， 整理得 ①+②得 解得 把代入①，得 解得 原方程组的解是 11．解方程组： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用代入消元法求解即可； （2）先将原方程组整理为标准形式，再用加减消元法求解即可． 【详解】（1）解：， 由得， 把代入得， 解得， 把代入得， 原方程组的解为； （2）解：， 得， 整理得， 得， 解得， 把代入得， 解得， 原方程组的解为． 12．以下是某同学解方程组 的部分运算过程． 解：由①，得③…第一步 把③代入②，得…第二步 去括号，得…第三步 解得．…第四步 (1)这种解二元一次方程组的方法叫作（     ） A．代入消元法      B．加减消元法 (2)上面的运算过程从第 步开始出现了错误． (3)请写出解该方程组的正确过程． 【答案】(1)A (2)三 (3)解：． 由①，得，③ 把③代入②，得 ， 去括号，得， 解得， 将代入③，得， 所以原方程组的解为； 【分析】（1）根据题意可直接进行求解； （2）由解答过程可知在去括号时出现错误，题中所给过程中去括号时没有变号，进而问题可求解； （3）根据代入消元法可进行求解方程． 【详解】（1）解：由题意可知这种求解二元一次方程组的方法叫做代入消元法； （2）由题中所给过程可知：在第三步开始出现错误，这步正确的格式为； （3）略 题型4 二元一次方程组的特殊解法 13．已知方程组的解是，那么方程组的解是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：由题意得，， 解得，． 14．阅读材料：对问题“已知x、y是方程组的解，求一次式的值”，除了直接解该方程组得出答案外，也可以通过“待定系数法”直接求出的值，过程如下： ，得． 等式左边对比待求一次式的系数，便可构造以a、b为未知数的方程组． 解这个方程组，求出a、b的值后，进而可求出的值． (1)根据阅读材料，完成后续解答过程； (2)如果关于x、y的方程组有解，求m的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据材料中所给解题思路求解即可； （2）仿照（1）中解题思路求解即可． 【详解】（1）解：，得， 令 ，得，解得 将代入③，得，则， ∴， ∴； （2）解：，得， ∵该方程组有解， ∴令 ，得 将代入④，得，解得， ∴， ∴， ∴． 15．“换元法”是一种数学的基本方法，一般用来简化运算，初中数学中常用的换元法有整体换元、部分换元、韦达换元、平均值换元、增量型换元等，正确运用换元法的前提是要对题目的特征有比较清晰合理的认识． 例1：关于x的一元一次方程的解为，求关于y的一元一次方程的解． 解：将看作一个整体， ∵两方程形式完全相同， ∴根据方程的解的定义得，即． 例2：二元一次方程组的解是，求方程组的解． 解：将方程组整理得， ∵两方程形式完全相同，方程组的解是， ∴根据方程的解的定义得，即解得：； 根据以上信息，解决下列问题： (1)已知关于x的一元一次方程的解为，求关于y的一元一次方程的解； (2)已知关于x、y的二元一次方程组的解为，求关于x、y的方程组的解. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）仿照例1解答即可； （2）仿照例2解答即可． 【详解】（1）解:将看作一个整体， ∵两方程形式完全相同， ∴根据方程的解的定义，得：，即． （2）解：将方程组整理，得：， ∵两方程形式完全相同，方程组的解是， ∴根据方程的解的定义，得∶， ∴，解得：． 16．问题情境：小明同学在学习二元一次方程组时遇到了这样一个问题： 解方程组． 观察发现： (1)如果用代入消元法或加减消元法求解，运算量比较大，容易出错．如果把方程组中的看成一个整体，把看成一个整体，通过换元，可以解决问题． 设，，则原方程组可化为______，解关于m，n的方程组，得所以，解方程组，得______． 探索猜想： (2)运用上述方法解方程组：； 拓展延伸： (3)已知关于x，y的二元一次方程组的解为，则关于x，y的方程组的解是______． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）根据换元法和加减消元法可得答案； （2）利用换元法将原方程组变形，解关于m，n的方程组，然后得到关于x，y的新的二元一次方程组，再解方程组可得答案； （3）将所求方程组变形，然后得出，进而可得答案． 【详解】（1）解：原方程组可化为； 方程组，得； （2）解：设，． 则原方程组可化为， 解得， ∴， 解得； （3）解：方程组整理得， ∵关于x，y的二元一次方程组的解为， ∴， 解得． 题型5 错解复原问题 17．两位同学在解方程组时，甲同学由正确地解出，乙同学因把写错了解得，则的值为（   ） A．3 B．0 C．1 D．7 【答案】D 【分析】将代入中，得到，解得；将代入中，得，可得二元一次方程组，解得，即可求解． 【详解】解：∵甲同学由正确地解出， ∴； ∴， ∵乙同学因把写错了解得， ∴将代入中，得， ∴可得二元一次方程组，解得， ∴． 18．甲和乙两人同解方程组，甲因抄错了b，解得；乙因抄错了a，解得．则的值等于______． 【答案】 【分析】甲抄错，正确，因此甲的解满足原方程组第一个方程，可求出；乙抄错，正确，因此乙的解满足原方程组第二个方程，可求出，最后计算即可． 【详解】解：原方程组为， 甲抄错，正确，因此甲的解满足方程①， 将代入①，得，解得； 乙抄错，正确，因此乙的解满足方程②， 将代入②，得，解得； ∴． 19．小明，小聪两人同解方程组时，小明看错了方程①中的a，解得，小聪看错了方程②中的b，解得，求的值． 【答案】 【分析】根据方程解的定义，利用看错系数的解分别求出，再代入代数式计算即可． 【详解】由题意得， 把代入得； ， 解得：， 把代入得： ， 解得：， 将，代入得， ． 20．甲、乙两人同解方程组时，甲看错了方程①中的，解得，乙看错了方程②中的，解得． (1)求正确的的值； (2)求原方程组的正确解． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）甲看错方程①中的，就把代入②式，乙看错了方程②中的，就把代入①式； （2）将代入用代入消元法即可求解． 【详解】（1）解：由题意，将代入方程得：，解得； 将代入方程得：，解得． （2）解：由（1）得：原方程组为，即， 将③代入①得：， 解得， 将代入③得：， 则原方程组的正确解为． 题型6 相同解问题 21．已知方程组 与同解，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】两个方程组同解，说明它们的解相同，因此先联立两个不含参数的方程求出公共解，再代入含参数的方程所组成的方程组中解答即可求出的值． 【详解】解：∵两个方程组同解， ∴同时满足两个方程组中的所有方程， 由，解得， 把代入，得， ①②，得， ∴． 22．已知关于，的二元一次方程组的解是．若，满足，则的值为________． 【答案】 【分析】利用整体思想，对比已知方程组与所求方程组的结构，得到关于，的等式，将求得的，值代入计算即可． 【详解】解：关于，的二元一次方程组的解是． 若令，则方程组的解与方程组的解相同， 则，解得， ． 23．已知关于x，y的两个二元一次方程组和的解相同，求的值． 【答案】 【分析】先解关于，的方程组，再解关于，的方程组，然后代入计算即可． 【详解】解：由题意，联立， 解得， 将代入得：， 解得， 则． 24．已知关于x、y的二元一次方程组与方程组有相同的解． (1)求出a、b的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2)1 【分析】（1）根据方程组有相同的解得到和，先根据得到，再代入求解即可； （2）将a、b的值代入计算即可． 【详解】（1）解：关于x，y的二元一次方程组与方程组有相同的解． ∴二元一次方程组①与方程组有相同的解． 由①得：， ∴这两个方程组的相同解为； 将代入得， 解得：； （2）解：． 题型7 三元一次方程组 25．已知方程组，则的值是（    ） A． B．9 C． D．6 【答案】B 【分析】本题考查解三元一次方程组，负整数指数幂，熟练掌握解方程组的方法是解题的关键． 将三个方程相加并整理后求得的值，再利用负整数指数幂即可求得答案． 【详解】解：将方程组中的三个方程相加可得， ∴， ∴． 26．已知，则______． 【答案】3 【详解】解： 得， ∴． 27．解方程组：． 【答案】 【详解】解：， 将，得， 解得， 将，得④， 将代入④，得， 解得， 将，代入①，得， 解得， ∴方程组的解为． 28．阅读下列材料： 小明同学在学习二元一次方程组时遇到了这样一个问题： 解方程组小明发现，如果用代入消元法或加减消元法求解，运算量比较大，容易出错．如果把方程组中的看成一个整体，通过换元，可以解决问题．以下是他的解题过程： 令，原方程组化为，解得， 把代入，得，解得， ∴原方程组的解为． 学以致用： (1)解方程组： (2)有甲、乙、丙三种商品，如果购买甲3件、乙2件、丙1件共需315元，购买甲1件、乙2件、丙3件共需285元，求购买甲、乙、丙三种商品各1件共需多少钱． 【答案】(1) (2)购买甲、乙、丙三种商品各1件共需150元 【分析】（1）根据题中所给的换元法进行求解即可； （2）设购买1件甲商品需元，购买1件乙商品需元，购买1件丙商品需元，由题意得：，然后进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意可令，原方程组化为， 解得：， 把代入得：， 解得：， ∴原方程组的解为； （2）解：设购买1件甲商品需元，购买1件乙商品需元，购买1件丙商品需元，由题意得： ， 得：， ∴； 答：购买甲、乙、丙三种商品各1件共需150元． 题型8 方案问题（实际应用） 29．某校组织学生假期到北京开展研学活动，现已预定的宾馆有二人间、三人间、四人间三种客房供其团队租住．研学团队的20人准备同时租住这三种客房共7间，若每一个房间都住满，则租房方案有（     ） A．4种 B．3种 C．2种 D．1种 【答案】C 【分析】通过设未知数列方程组，结合未知数为正整数的条件枚举得到方案个数，用到二元一次方程组的整数解求解知识，先消元法得到变量关系，再根据正整数的限制确定所有可行方案． 【详解】解：设租住二人间间，三人间间，四人间间，均为正整数， 由题意得， 由①得③， 将①代入②，得， 整理得，即， 将代入③得， ∵均为正整数， ∴，解得， ∵为正整数， ∴或， 当时，，符合要求； 当时，，符合要求； 因此共有2种租房方案． 30．杭州市临安区某社区活动中心准备了手绘团扇与非遗书签赠送给参与活动的市民，已知赠送6把手绘团扇和4枚非遗书签，一共需要花费200元；赠送10把手绘团扇和8枚非遗书签，一共需要花费340元．商店推出两种优惠方案，只能选择其中一种方案参与：方案一：搭配套餐优惠，购买3把团扇+3枚书签的套装，套装按原价打八折，剩余单品按原价购买； 方案二：满减优惠，购买所有商品按原价计算总价，满300减50，满600减120，请你通过计算，购买20把手绘团扇和20枚非遗书签的成本总和最少为______元． 【答案】574 【分析】先设未知数，根据已知条件列二元一次方程组求出手绘团扇和非遗书签的单价，再分别计算两种优惠方案购买指定数量商品的总费用，比较后得到最小成本总和． 【详解】解：设把手绘团扇的价格为元，枚非遗书签的价格为元， 根据题意得： 解得 计算方案一的总费用： 购买把手绘团扇和枚非遗书签，可凑成套把团扇枚书签的套装，剩余把团扇和枚书签按原价购买， 总费用为：（元） 计算方案二的总费用： 原价总费用为（元）， 因为，可享受满减优惠， 总费用为（元） 因为，所以成本总和最少为元． 31．如皋市某中学组织七年级师生前往国家级景区水绘园开展“寻访园林文化”研学活动．学校计划租用座和座两种新能源客车，要求每辆车均坐满． (1)若两种客车共租用辆，且恰好一次载完全部师生人，求这两种客车各租用了多少辆？ (2)研学途中，师生们参观如派盆景展览．工作人员计划在一个面积为平方分米的矩形展台上完全摆满两种规格的盆景底座：大号底座每个占地平方分米，小号底座每个占地平方分米．要求两种底座都必须使用，且展台无空隙、无重叠． ①请写出所有满足条件的摆放方案（需列明大号、小号底座各多少个）； ②若大号底座每个制作成本为元，小号底座每个制作成本为元，为节约成本，应选择哪种方案？最低成本是多少元？ 【答案】(1)45座客车6辆，30座客车6辆 (2)①共3种方案：大号底座3个、小号底座11个；大号底座6个、小号底座6个；大号底座9个、小号底座1个； ②大号底座9个、小号底座1个最省钱，最少243元． 【分析】（1）设45座客车x辆，30座客车y辆，根据车辆总数和座位总数建立二元一次方程组求解． （2）①设大号底座x个，小号底座y个，由面积关系列不定方程，求正整数解． ②将①中各方案逐一计算费用，比较得出最省钱的方案． 【详解】（1）解：设45座客车租用x辆，30座客车租用y辆， 根据题意，得： 解得：， 45座客车租用6辆，30座客车租用6辆． （2）解：①设大号底座x个，小号底座y个， 根据题意，得：， ， ，，且x、y均为正整数， ，即， 当时，； 当时，； 当时，， 满足条件的安排共有3种： 方案一：大号底座3个，小号底座11个； 方案二：大号底座6个，小号底座6个； 方案三：大号底座9个，小号底座1个． ②分别计算各方案的费用： 方案一：（元）， 方案二：（元）， 方案三：（元）， ， 方案三最省钱， 安排大号底座9个、小号底座1个最省钱，最少费用为243元． 32．在我校英语节活动中为表彰先进，现计划购买，，三种类型的奖品（每种类型至少件）作为鼓励，要求类型奖品件数是类型奖品件数的倍，三种类型奖品的单价如下表： 类型 单价（元/件） 设购进件类型奖品，件类型奖品． (1)根据信息填表： 数量（件） 费用（元） ________ ________ (2)根据信息解答问题： ①若购买三种类型的奖品总数为件，共花费元，则三种类型的奖品分别购进多少件？ ②为节省开支，若购买三种类型的奖品共花费元，且类型的奖品件数超过总奖品件数的一半，则三种类型的奖品总数为多少件？ 【答案】(1)根据信息填表： 数量（件） 费用（元） (2)①购进A类型奖品20件，B类型奖品40件，C类型奖品40件；②三种类型的奖品总数为81件或82件 【分析】（1）依据总费用单价数量，分别计算、两类奖品的花费代数式； （2）①根据奖品总件数、总花费建立二元一次方程组，解方程组求出，再算出奖品数量； ②由总花费等式变形得到关于的表达式，结合为正整数、超过总件数一半的不等式约束筛选符合条件的，最后计算两种情况下奖品总件数． 【详解】（1）解：费用：， 费用：， （2）解：①由题意得：， 解得：，则． 答：购进A类型奖品20件，B类型奖品40件，C类型奖品40件； ②由题意得：， 整理得：， ∵x、y为正整数 ∴或或或或， ∵B种类型奖品件数超过礼品总数的一半， ∴或， ∴（件）或（件）， 即三种类型的奖品总数为81件或82件． 题型9 行程问题（实际应用） 33．随着新能源汽车技术的飞速发展，越来越多新能源汽车是由后轮驱动的，所以后轮胎的磨损程度比前轮胎严重．设每个新轮胎报废时的总磨损量为，如某轮胎可行驶公里，则每公里的磨损量为，现有某品牌的轮胎安装在前轮时行驶达到万公里时报废，安装在后轮时行驶达到万公里时报废．如果该汽车行驶若干公里后，将前后轮胎进行对换，那么这两对轮胎最多可以行驶（   ） A．万公里 B．万公里 C．万公里 D．万公里 【答案】B 【分析】本题利用总磨损量的关系求解，当两对轮胎同时报废时，行驶总里程最远，根据每个轮胎报废时总磨损量为，列方程相加即可求出总行驶里程． 【详解】解：设换轮胎前行驶万公里，换胎后再行驶万公里刚好全部报废，总行驶里程万公里. ∵每个新轮胎总磨损量为，前轮每公里磨损量为，后轮每公里磨损量为，原前轮胎换胎后在后轮行驶，总磨损为，原后轮胎换胎后在前轮行驶，总磨损为， ∴可得方程组： ， 将两个方程相加得：， 即， 解得， 因此最多可以行驶万公里． 34．甲、乙两车分别从相距的A、B两地同时出发．如果匀速同向而行，那么甲车后追上乙车；如果匀速相向而行，那么两车在后相遇．设甲车速度为，乙车速度为．根据题意，可列方程组________． 【答案】 【分析】本题根据行程问题中追及和相遇的路程关系列方程组，同向追及时，相同时间内甲车行驶路程比乙车多A、B两地的距离；相向相遇时，两车行驶路程和等于A、B两地的距离，据此即可列出方程组． 【详解】解： 已知甲车速度为，乙车速度为，A、B两地相距， 当两车匀速同向而行，甲车后追上乙车，可得甲车行驶路程减去乙车行驶路程等于两地距离，列方程得， 当两车匀速相向而行，后相遇，可得两车行驶路程和等于两地距离，列方程得， 因此可列方程组为． 35．某快递公司为应对“618”购物节，根据网站预售情况，提前安排了分拣员，如果3名熟练分拣员和1名新手分拣员一天能分拣130件包裹；1名熟练分拣员和2名新手分拣员一天能分拣80件包裹． (1)每名熟练分拣员和新手分拣员每天分别可以分拣多少件包裹？ (2)如果该公司为了按时完成配送任务，快递车按原速度行驶，刚好能在6小时内送完所有包裹；若将速度提高10千米/小时，行驶4小时后，还剩70千米的路程未完成配送．求快递车的总配送路程是多少千米？ 【答案】(1)每名熟练分拣员每天分拣36件，新手分拣员每天分拣22件 (2)快递车的总配送路程是330千米 【分析】（1）设每名熟练分拣员每天可以分拣x件包裹，新手分拣员每天可以分拣y件包裹，根据题意列出方程组，解方程组即可求解； （2）设快递车原速度为 v千米/小时，总路程为S千米，根据题意列出方程组，解方程组即可求解． 【详解】（1）解：设每名熟练分拣员每天分拣x件，新手分拣员每天分拣y件，根据题意得： ， 解得：， 每名熟练分拣员每天分拣36件，新手分拣员每天分拣22件； （2）设原速度为v千米/小时，总路程为S千米，根据题意得： 解得：， 快递车的总配送路程是330千米． 36．爸爸骑摩托车带着小靖在公路上匀速行驶，小靖每隔一段时间看到的里程表上的数如下所示： 时刻 里程表 上的数 是一个两位数，它的两个数字之和是6 是一个两位数，它的十位与个位数字与8:00所看到的正好互换了 是一个三位数，它比8:00时看到的两位数中间多了个0 设8:00时里程表上的这个两位数十位数字为，个位数字为，回答下列问题： (1)用含的代数式表示：时看到里程表上的数_____，时看到里程表上的数_____，时看到里程表上的数____； (2)列方程组并求出时里程表上的数． 【答案】(1)；；； (2)，时里程表上的数为51 【分析】（1）根据数位的概念用十位数字的10倍加上个位数字可求得时两位数；同样用数位的概念进行表达即可表示时和时的数； （2）分别根据两位数的两个数字之和为6和行驶过程中速度不变两个等量关系列出方程． 【详解】（1）解：∵时里程表上的这个两位数十位数字为x，个位数字为y， ∴时里程表上的数可表示为； ∵时看到的两位数十位与个位数字与时所看到的正好互换了 ∴十位数字为y，个位数字为x， ∴时看到里程表上的数表示为； ∵看到的数字是一个三位数，比时看到的两位数的数字中间多了个0， ∴此三位数百位数字是x，十位数字是0，个位数字是y， ∴时看到里程表上的数； （2）解：根据题意，得， 解得：． ∴小靖在时看到里程表上的两位数． 答：小靖在时看到里程表上的两位数是51． 题型10 工程问题（实际应用） 37．抢修一段全长420m的供暖管线，甲、乙两个工程队同时施工，2.5天全部修完，修完时，甲工程队比乙工程队多修了70m．设甲、乙两个工程队的工作效率分别为x米/天和y米/天，可列方程组为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 根据“甲、乙两个工程队同时施工，天修完的供暖管线，且修完时，甲工程队比乙工程队多修了”，即可得出关于，的二元一次方程组． 【详解】解：∵甲、乙两个工程队同时施工，天修完的供暖管线， ∴； ∵修完时，甲工程队比乙工程队多修了， ∴． ∴根据题意可列方程组 故选：B． 38．甲乙两个工程队分别负责两项工作量相同的工程．晴天，甲完成工程要天，乙完成工程要天；雨天，甲和乙的工作效率分别是晴天时的和．实际情况是两队同时开工、同时完工，在施工期间，下雨天的天数与晴天的天数之比是_____．下雨天的天数是_____． 【答案】 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，熟练掌握二元一次方程组的解法是解题的关键，先求出晴天和雨天时甲、乙的工作效率，然后根据两队同时完工，工作量相同，列出方程求解晴天和雨天的天数，再求比例和具体天数． 【详解】解：由题可得：晴天时，甲的工作效率为，乙的工作效率为， 雨天时，甲的工作效率为，乙的工作效率为， 设晴天天数为，雨天天数为， 得：， 得：， 得：， 解得：， 将代入中得：， ∴下雨天天数与晴天天数之比为，下雨天天数为． 39．为打造“塞上湖城”生态名片，银川市对典农河的一段河道进行清淤美化．现有一段长为180米的河道整治任务由甲、乙两个工程队先后接力完成．甲工程队每天整治8米，乙工程队每天整治12米，共用时20天．求整治任务完成后，甲、乙两个工程队分别整治河道的长度． (1)小明、小华两位同学提出的解题思路如下： 小明同学：设整治任务完成后，甲工程队整治河道x米，乙工程队整治河道y米． 根据题意，得 小华同学：设整治任务完成后，m表示___________，n表示___________． 根据题意，得 请你补全小明、小华两位同学的解题思路； (2)求甲、乙两工程队分别整治河道多少米？请从（1）中任选一个方程组求解．（写出完整的解答过程） 【答案】(1)，，甲工程队整治河道用的天数，乙工程队整治河道用的天数，，． (2)整治任务完成后甲工程队整治河道120米，乙工程队整治河道60米． 【分析】（1）根据题意，结合方程组的意义，补充完善即可； （2）选择适当的方法解方程组即可． 本题考查了方程组的应用，熟练掌握列方程组，解方程组是解题的关键． 【详解】（1）解：小明，小华两位同学提出的解题思路如下： 小明同学：设整治任务完成后，甲工程队整治河道米，乙工程队整治河道米， 根据题意，得 小华同学：设整治任务完成后，表示甲工程队整治河道用的天数，表示乙工程队整治河道用的天数， 根据题意，得 （2）解：选小明同学所列方程组解答如下： 设整治任务完成后，甲工程队整治河道米，乙工程队整治河道米， 根据题意，得 ②，得．③ ①，得．④ ③－④，得．把代入①，得． 答：整治任务完成后，甲工程队整治河道120米，乙工程队整治河道60米． 选小华同学所列方程组解答如下： 设整治任务完成后，甲工程队整治河道用天，乙工程队整治河道用天，根据题意，得 ． ①，得．③ ②－③，得， ．把代入①，得， ，． 答：整治任务完成后甲工程队整治河道120米，乙工程队整治河道60米． 40．山西的老旧城区改造，在国家“城市更新行动”的指导下，已从单纯的“旧房翻新”升级为涵盖老旧小区、街区、城中村的综合整治与功能提升．为了提高居民生活质量，推动城市可持续性发展，某地对部分老旧城区进行改造，在改造工程中，有一条米的道路需要改扩建，现有甲、乙两个工程队分别施工修路，甲队每天修建米，乙队每天修建米，两队施工总时间是天，则甲、乙两个工程队分别修建了多少天？ (1)小红同学根据题意，列出了二元一次方程组那么这个方程组中未知数表示的是___________，未知数表示的是_________； (2)小丽同学设甲工程队修建了天，乙工程队修建了天．请你按照小丽的思路解答上面的问题． 【答案】(1)甲工程队修建道路的长度；乙工程队修建道路的长度 (2)甲工程队修建了天，乙工程队修建了天 【分析】（1）根据题意及小红同学列出的方程组即可得到答案； （2）设甲工程队修建了天，乙工程队修建了天，由题意列二元一次方程组求解即可． 【详解】（1）解：小红同学根据题意，列出了二元一次方程组那么这个方程组中未知数表示的是甲工程队修建道路的长度，未知数表示的是乙工程队修建道路的长度； （2）解：设甲工程队修建了天，乙工程队修建了天， 据题意得， 解得， 答：甲工程队修建了天，乙工程队修建了天． 题型11 数字问题（实际应用） 41．如图，约定：上方相邻两数之和等于这两数下方箭头共同指向的数．当时，，的值分别为（     ） A．3，2 B．1，4 C．2，3 D．7，5 【答案】C 【分析】根据题意可得，，，先求出，进而得到，解二元一次方程组即可． 【详解】解：根据题意，可得，，， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得， 则，的值分别为，． 42．我们规定：一个四位数，若满足，则称这个数为“福禄数”．例如：四位数，因为，所以是“福禄数”．按照这个规定，最小的“福禄数”是________；一个“福禄数”，将其千位数字与个位数字调换位置，百位数字与十位数字调换位置，得到一个新的数，记，．若与均是整数，则满足条件的的值是________． 【答案】 【分析】根据“福禄数”的定义进行求解即可；先推导出，再分别求出，，再根据与均是整数，列出符合条件的方程组，解方程组即可． 【详解】解：根据题意：当，，，时，这个“福禄数”最小，即最小的“福禄数”是； ， ， ∴ ， ∵， ∴，， ∴ ， ∵， ∴ ， ， ∵与都是整数， ∴为整数，为整数， ∴为整数，为整数， 根据题意得：，， ∴，， ∴或或或或， 或或或或或26或39 设，， ∴，， ∴，， ∵c、d为整数， ∴为整数，为整数， ∴为整数，为整数， ∴能被3整除，能被2整除， ∴或19， 或或13或， 当时，解得，不符合题意舍去； 当时，解得， ∴，， ∴； 当时，解得，不符合题意舍去； 当时，解得，不符合题意舍去； 当时，解得，不符合题意舍去； 当时，解得，不符合题意舍去； 当时，解得，不符合题意舍去； 当时，解得，不符合题意舍去； 综上，． 43．在正方形网格中有9个数，若各行、各列及对角线上的三个数之和都相等，则称此图为“九宫图”． (1)图（甲）就是一个九宫图的一部分，请你求出，的值； （甲） (2)已知图（乙）和图（丙）都是不完整的九宫图． （乙） （丙） 填空：________，________，________；________，________，________． 【答案】(1)， (2)，，；，， 【分析】本题利用九宫图的定义，即各行、各列及对角线上三个数之和都相等，通过设未知数，列出方程组求解即可，第一问列二元一次方程组求，，第二问分别对图乙和图丙根据和相等的关系列方程，求解得到各未知数的值． 【详解】（1）解：依题意， 整理得 解得： （2）由图（乙）得， ∴，，； 由图（丙）得， ∴，， 44．【阅读资料】对任意的正奇数，都有两个连续的正整数和（），使得．由规律可得如下数表： ，，间的关系 3 4 5 5 12 13 7 24 25 9 40 41 … … … … 【特殊值验证】 (1)当时，请你求出和的值，并验证所得，，是否满足小温的猜想． 【一般化证明】 (2)小温对猜想的条件和结论分析如下，请你帮助小温完成证明过程． 已知：正奇数和两个连续的正整数和（）满足． 求证：． 证明：…… 【答案】(1)，，满足 (2) 证明：由题意得，， ∵， ∴，， ∴． 【分析】（1）根据题意得到，求出和的值，再验证和是否相等即可得出结论； （2）结合和，计算和，即可证明． 【详解】（1）解：由题意得，， 解得； ∵，，， ∴，， ∴， 即，，满足小温的猜想； （2）略 题型12 分配问题（实际应用） 45．我国清代康熙年间编撰的数学典籍《御制数理精蕴》中，记载了诸多“盈朒问题”（即有余、不足类应用题），其解题思路与现代方程思想一脉相承．结合内蒙古草原牧区生活实际，可衍生如下问题：牧民合伙分配一批驮银，若每人分8锭，还剩余5锭；若每人分10锭，则缺少7锭．若设参与分配的牧民有人，驮银有锭，可列方程组为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵参与分配的牧民有人，驮银有锭， 则当每人分锭，剩余锭时，总驮银， 当每人分锭，缺少锭时，总驮银， 因此可得方程组． 46．一个39人的旅游团到一家酒店住宿，酒店的客房只剩下3间一人间和若干间三人间，住宿价格是一人间每晚100元，三人间每晚150元．（说明：男士只能与男士同住，女士只能与女士同住．三人间客房可以不住满，但每间每晚仍需支付150元．） （1）若该旅游团一晚的住宿房费为2050元，则他们租住了_____ 间一人间； （2）若该旅游团租住了所有剩余的一人间，且共有25名男士，则租住一晚的住宿房费最少为_____ 元． 【答案】 1 2100 【分析】（1）设该旅游团租住了x间一人间，y间三人间，利用该旅游团一晚的住宿房费=100×租住一人间的间数+150×租住三人间的间数，可得出关于的二元一次方程，结合均为自然数且，即可得出结论； （2）由“男士只能与男士同住，女士只能与女士同住，三人间客房可以不住满，但每间每晚仍需支付150元”，可得出“当租住的三人间全部住满时，租住一晚的住宿房费最少”，结合男士、女士的人数及租住一人间的数量，可得出租住一晚的住宿房费最少的租住方案，再求出该方案租住一晚的住宿房费即可得出结论． 【详解】解：（1）设该旅游团租住了x间一人间，y间三人间， 根据题意得：， 化简得：， ∴， 又∵均为自然数，且， 当时， ，不是整数； 当时， ，是整数； 当时， ，不是整数； 当时， ，不是整数； ∴， ∴他们租住了1间一人间． （2）设间一人间住男士，间一人间住女士，． 男士住一人间人，剩余男士人需要住三人间． 女士住一人间人，剩余女士人需要住三人间． 当时，男士：， ∴男士三人间数量为9， 女士：， ∴女士三人间数量为4， ∴总费用为； 当时，男士：， ∴男士三人间数量为8， 女士：， ∴女士三人间数量为4， ∴总费用为； 当时，男士：， ∴男士三人间数量为8， 女士：， ∴女士三人间数量为5， ∴总费用为； 当时，男士：， ∴男士三人间数量为8， 女士：， ∴女士三人间数量为5， ∴总费用为； ∴租住一晚的住宿房费最少为2100元． 47．“寒夜客来茶当酒，竹炉汤沸火初红．”茶作为中国传统文化的重要部分，茶具选择影响品茶体验．某茶具厂共有30名工人，每名工人一天能做30个茶杯或10个茶壶，如果6个茶杯和1个茶壶为一套． (1)该工厂应如何安排工人生产，才能使每天生产的茶杯和茶壶刚好配套？ (2)该工厂承接一批茶具订单，若由1人制作这批茶具需要400小时完成．现计划由一部分人先做10小时，然后增加5人与他们一起合作20小时，恰好完成这批订单，假设这些人的工作效率相同，具体应先安排多少人制作茶具？ 【答案】(1)每天安排20人生产茶杯，10人生产茶壶刚好配套 (2)先安排10人制作茶具 【分析】（1）设生产茶杯的工人为x人，生产茶壶的工人为y人，根据等量关系，列出方程组，解方程组即可； （2）设先安排m人制作茶具，将整个任务看作单位1，然后列出方程，解方程即可． 【详解】（1）解：设生产茶杯的工人为x人，生产茶壶的工人为y人， 由题意得：， 解得：， 答：每天安排20人生产茶杯，10人生产茶壶刚好配套； （2）解：设先安排m人制作茶具， 由题意得：， 解得：， 答：先安排10人制作茶具． 48．为深入推进城市老旧小区适老化改造民生工程，切实解决老旧居民楼“上下楼难”的痛点问题，某市全面落实旧楼加装电梯惠民政策，让老旧小区重拾宜居新活力．老张居住的老旧单元楼中，三至七楼共户人家（每层户，一楼、二楼住户不参与）均自愿申请加装电梯．据测算，除政府专项补贴外，这户需共同自筹资金万元，并依据“楼层越高，受益越多，付费越高”的原则，经单元住户共同商议，确定自筹资金分摊规则：每户分摊费用随楼层递增，每升高一层，每户增加万元，且七楼每户的分摊费用是三楼每户的倍． (1)老张家居住在三楼，他这户应自筹资金多少万元？ (2)若四楼其中户因故退出加装电梯，该户原本需承担的费用需由剩余户共同分摊．请设计合理的分摊方案，并说明理由． 【答案】(1)万元 (2)三楼每户约万元，每升高一层每户增加约万元；理由见解析 【分析】（1）设三楼每户分摊费用为万元，每升高一层每户增加万元，再根据“七楼每户费用是三楼的倍”和“户总自筹资金万元”这两个等量关系列出二元一次方程组求解即可； （2）先明确保持原分配核心原则，即七楼每户费用是三楼的倍、每升高一层每户增加万元，再根据剩余户的楼层分布和总自筹资金万元不变的条件，列出对应的二元一次方程组，解方程组求出新的三楼每户分摊费用和每层增加额的近似值，最后得出分摊方案并说明理由即可． 【详解】（1）解：设三楼每户的费用为万元，则七楼每户的费用是万元，可列方程组为 ， 解得； 答：老张这户应自筹资金万元． （2）解：保持原分配核心原则，按总自筹资金万元重新计算，可列方程组： ， 解得， 即分摊方案为：三楼每户约万元，每升高一层每户增加约万元； 理由：该方案延续了原有的“楼层越高，受益越多，付费越高”的公平分摊原则，且总自筹资金仍为万元，完全符合题目要求． 题型13 销售利润问题（实际应用） 49．某班需采购本和尺子作为奖品，尺子3套、本2个，共需34元；尺子2套、本3个，共需36元，通过设适当的未知量可列出方程组若用可得，下列关于“”的意义解释正确的是（    ） A．每套尺子比每个本贵2元 B．每套尺子比每个本便宜2元 C．尺子比本多买了2个 D．尺子比本少买了2个 【答案】B 【分析】根据所列方程组可知x元表示每套尺子的单价，y元表示每个本的单价，据此结合方程和选项可得答案． 【详解】解：根据所列方程组可知x元表示每套尺子的单价，y元表示每个本的单价， ∴的实际意义为每套尺子比每个本便宜2元． 50．某商场购进种头盔个，种头盔个，共花费元．已知一个种头盔比一个种头盔贵元，那么种头盔的单价是______元，种头盔的单价是______元． 【答案】 65 54 【分析】设出A、B两种头盔的单价，根据总花费和两种头盔的单价差两个等量关系列方程组，解方程组即可得到结果． 【详解】解：设种头盔的单价为元，种头盔的单价为元， 根据题意，得 ， 解得． 51．夏季是传染病高发期，为做好防疫工作，某社区医院准备用3000元购买医用口罩和消毒液．若买医用口罩1000个，消毒液120瓶，则还差400元；若买医用口罩1200个，消毒液80瓶，则剩余200元． (1)求医用口罩和消毒液的单价（用二元一次方程组解问题）； (2)由于病毒检测需要，医院除购买医用口罩和消毒液外，还需购买单价为8元的口罩m个，若需购买医用口罩和口罩共1500个，且，剩余的钱全部用来购买消毒液，恰好用完这3000元，则m可能的值为__________． 【答案】(1)医用口罩单价为元，消毒液单价为元 (2)或 【分析】（1）根据两种购买方案的总金额关系，列二元一次方程组求解单价； （2）根据总费用和数量关系整理得到关于的关系式，结合的取值范围和整数性质得到的可能值． 【详解】（1）解：设医用口罩单价为元，消毒液单价为元． 根据题意可得：， 化简方程组得：， 得：， 解得， 将代入，得， 解得． 答：医用口罩单价为1元，消毒液单价为20元； （2）解：设购买消毒液瓶，为非负整数． 由题意得，购买医用口罩个，总费用为元， 因此：， 整理得：， 变形得， ∵为非负整数， ∴是的倍数， ∵是的倍数， ∴是的倍数． 又∵和互质， ∴是的倍数． ∵，且为正整数， ∴符合条件的为和， ∴可能的值为或． 52．某大型超市购物结算有两种方式： 方式一：直接按照商品标价进行结算； 方式二：支付年费办理会员卡，一年内购物，部分商品按照标价打八折进行结算． (1)小海去该超市购买了6盒牛奶和2盒“网红蛋糕”，按照标价共支付了310元；乐乐持有该超市的会员卡，他购买了同款的4盒牛奶和3盒蛋糕均可打八折，共支付272元．问：每盒牛奶和蛋糕的标价分别是多少元？ (2)该超市有两种会员卡，一种是普通会员，年费元；另一种是高级会员，年费元．无论选择哪种会员，所有购物均可享受相同折扣．除此之外，高级会员还可额外获得年实际消费金额2%的返现，该返现可直接当作现金进行抵扣．小普同学家持有普通会员卡，去年在该超市的实际消费约为元，今年的购物预算将在去年实际消费的基础上增长，因此小普同学的家长今年打算把普通会员升级为高级会员，请通过计算判断这个决定是否划算． 【答案】(1)每盒牛奶标价25元，每盒蛋糕标价80元． (2)升级为高级会员不划算． 【分析】（1）设每盒牛奶标价元，每盒蛋糕标价元，根据两种购买方式列出二元一次方程组，解方程组即可求出答案； （2）分别求出办理普通会员的实际花费和办理高级会员的实际花费，比较后即可得到结论． 【详解】（1）解：设每盒牛奶标价元，每盒蛋糕标价元，由题意可得， 解得， 答：每盒牛奶标价25元，每盒蛋糕标价80元． （2）解：今年的购物预算为（元）， 办理普通会员的实际花费为（元）， 办理高级会员的实际花费为（元） ∵， ∴办理普通会员更划算，小普同学的家长今年打算把普通会员升级为高级会员，这个决定不划算． 题型14 几何问题（实际应用） 53．如图4，用8块相同的小长方形地砖恰好铺满一块长方形地面，则这个长方形地面的周长是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设小长方形的长为，宽为，根据图形中的长度关系列出方程组求出和，进而求出大长方形的长和宽，最后计算周长． 【详解】解：设小长方形的长为，宽为 由图可知，大长方形的宽为，且由一个小长方形的长和一个小长方形的宽组成 观察图形中间部分，一个小长方形的长等于三个小长方形的宽之和 联立， 解得 大长方形的长为 大长方形的周长为． 54．在学习完平移之后，小明、小聪、小方想利用平移设计出美丽的图案，他们用一张大正方形纸片和四张相同的小正方形纸片，分别设计了图①、图②、图③三种图案，已知图③中四个小正方形的重叠部分是三个相同的正方形，则图③两块阴影部分的周长之和是__________________cm． 【答案】 【分析】设大正方形和小正方形的边长分别是和，根据图①和图②的长度关系列二元一次方程组求出和的值，设四个小正方形的重叠部分形成小正方形的边长为，根据图③中大正方形边长与小正方形排列的关系列一元一次方程求出的值，最后利用平移的性质计算两块阴影部分的周长之和 ． 【详解】解：设大正方形边长，小正方形边长， 依题意得， 解得， 设重叠的小正方形边长， 依题意得， 解得， 两块阴影部分的周长和 ． 55．学生的椅子设计如图1，主要由椅背、椅座及铁架组成，如图2所示是椅背与椅座的尺寸示意图．因学校需要，某工厂配合制作该款椅子．椅子的铁架直接购买，现只需在市场上购进某型号板材加工制作该款学生椅的椅背与椅座，再与铁架进行组装． (1)如图3，已知该工厂购进一批板材长为，宽为（裁切时不计损耗），请你在不造成板材浪费的情况下（板材全部利用），设计出两种裁剪方案，并画出裁剪方案的设计示意图． 方案1：裁剪________块椅座，________块椅背； 方案2：裁剪________块椅座，________块椅背． (2)若该工厂用这两种方案裁剪板材140块，刚好配套做成若干个椅子，没有任何材料剩余，请问该怎么分配板材？ 【答案】(1)1，6，； 4，2， (2)有40块板材按方案1裁剪，有100块板材按方案2裁剪 【分析】（1）根据题意可得可以裁剪1块椅座，6块椅背或裁剪4块椅座，2块椅背，即可解答； （2）设有m块板材按方案1裁剪，有n块板材按方案2裁剪，根据题意，列出方程组，即可求解； 【详解】（1）略 （2）解：设有m块板材按方案1裁剪，有n块板材按方案2裁剪，根据题意得： ， 解得：， 答：有40块板材按方案1裁剪，有100块板材按方案2裁剪． 56．用如图1的长方形和正方形铁片（长方形的宽与正方形的边长相等）作侧面和底面，做成如图2的竖式和横式的两种无盖的长方体容器．    (1)根据题意可列出以下表格： 1个竖式无盖容器 1个横式无盖容器 长方形铁片的数量 4张 张 正方形铁片的数量 张 2张 则________，________； (2)现有长方形铁片240张，正方形铁片110张，如果两种铁片刚好全部用完，那么可加工成竖式和横式长方体容器各有几个？ (3)已知此竖式容器的售价为50元/个，横式容器的售价为60元/个．若五金店老板计划支付1000元用于采购一批竖式容器和横式容器（两种容器都要），则有哪几种方案可供选择？ 【答案】(1)， (2)可加工成竖式长方形容器30个，横式长方体容器40个 (3)方案1：采购14个竖式容器，5个横式容器；方案2：采购8个竖式容器，10个横式容器；方案3：采购2个竖式容器，15个横式容器 【分析】（1）观察两种无盖容器的结构，分别数出制作1个容器所需的长方形、正方形铁片数量，直接得出、的值； （2）设竖式、横式容器的数量为未知数，根据长方形和正方形铁片的总数量列二元一次方程组，解方程组得到结果； （3）设两种容器的采购数量为未知数，根据总费用列二元一次方程，结合正整数的条件求出所有符合的解，得到采购方案． 【详解】（1）解：，； 1个横式无盖容器：个正方形侧面个长方形面（前后+底面），故； 1个竖式无盖容器：个正方形底面个长方形侧面，故； （2）解：设可加工成竖式长方形容器个，横式长方体容器个． 可以列出方程组，     解得．     答：可加工成竖式长方形容器30个，横式长方体容器40个． （3）解：设采购个竖式容器，个横式容器， 根据题意得：，     解得， 又因为，均为正整数， 所以或或， 故共有3种方案可供选择： 方案1：采购14个竖式容器，5个横式容器； 方案2：采购8个竖式容器，10个横式容器； 方案3：采购2个竖式容器，15个横式容器． 题型15 图表信息问题（实际应用） 57．如图，根据图中提供的信息，可知一个杯子的价格是（    ） A．36元 B．32元 C．4元 D．8元 【答案】D 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程组求解．设一盒杯子x元，一个暖瓶y元，根据图示可得：一个杯子+一个暖瓶元，3个杯子个暖瓶元，列方程组求解． 【详解】设一盒杯子x元，一个暖瓶y元， 由题意得， ， 解得： ， ∴一个杯子为8元． 故选：D． 58．某学校知识竞赛共18轮，每轮胜一场积分、负一场积分均不变（无平局情况），如表记录了A、B、C、D4名参赛者前5轮积分情况．若18轮结束后，参赛者胜场数是负场数的偶数倍，则参赛者B总积分是___________． 参赛者 胜场数 负场数 积分 A 4 1 19 B 3 2 13 C 3 2 13 D 2 3 7 【答案】54或78/78或54 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，正确建立方程组是解题关键． 由A和D的积分数据建立方程组，求解胜一场和负一场的积分；再根据B的总场数为18和胜场数是负场数的偶数倍的条件，列出方程求可能负场数，结合前5轮B已有2负，排除负场数为18的情况，得到负场数为2或6，计算积分分别为78或54． 【详解】解：设胜一场得分，负一场得分． 由A（4胜1负积分19）得： 由D（2胜3负积分7）得： 解方程组：， 得， 故胜一场得5分，负一场得分． 设B在18轮后胜场数为，负场数为，则，且（为正偶数）． 代入得，． 为18的正因数，且为偶数，为奇数． 18的正因数有1、2、3、6、9、18． 时，不是偶数； 时，是偶数； 时，不是偶数； 时，是偶数； 时，不是偶数； 时，不是正偶数，故无效． 因此或． B总积分． 若，则； 若，则． 故答案为：54或78． 59．为积极响应绿色低碳号召，扎实推进生态文明建设，博罗县某学校组织学生到郊外开展义务植树实践活动，并准备了A，B两种食品作为午餐．这两种食品每包质量均为，其营养成分表如下： 若每份午餐需要恰好摄入热量和蛋白质，应选用A，B两种食品各多少包？ 【答案】应选用A种食品3包，B种食品2包 【详解】解：设应选用A种食品x包，B种食品y包， 根据题意得：， 解得：， 答：应选用A种食品3包，B种食品2包． 60．项目式学习 项目主题：确定最省钱的租车方案 项目背景：为传承中华传统文化，激发学生的爱国情怀，某中学计划在四月六号组织本校优秀学生代表前往猎民村扫墓． 数据收集： ①计划参加活动的优秀学生代表及教师共600人 ②某租车公司有，两种型号的客车可供选择，型客车每辆有25个座位，型客车每辆有55个座位． ③下表是该公司租车记录单上的部分信息： 租用型客车数量/辆 租用型客车数量/辆 租车总费用 3 2 3800 1 3 3600 问题解决： (1)根据该公司租车记录单上的信息，租用一辆型或型客车的租金分别是多少元？ (2)学校本次研学准备租用该租车公司，两种型号的客车若干辆，若每辆客车恰好都坐满且两种型号的客车都要租，请你求出所有满足条件的租车方案． (3)在（2）的条件下，请你说明应选择哪种方案，才能使租车费用最少？ 【答案】(1)每辆型客车的租金是600元，每辆型客车的租金是1000元 (2)共有2种租车方案， 方案1：租用13辆型客车，5辆型客车； 方案2：租用2辆型客车，10辆型客车； (3)租用2辆型客车，10辆型客车，费用最少 【分析】（1）设每辆型客车的租金是元，每辆型客车的租金是元，根据公司租车记录单上的部分信息，可列出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设租用辆型客车，辆型客车，根据租用的客车恰好可以乘载人，可列出关于，的二元一次方程，结合，均为正整数，即可得出各租车方案； （3）求出各租车方案所需总费用，再比较大小，即可得出结论． 【详解】（1）解：设每辆型客车的租金是元，每辆型客车的租金是元， 根据题意得：， 解得：， 每辆型客车的租金是600元，每辆型客车的租金是1000元； （2）解：设租用辆型客车，辆型客车， 根据题意得：， ， 又均为正整数， 当时，则； 当时，则； 或， 共有2种租车方案， 方案1：租用13辆型客车，5辆型客车； 方案2：租用2辆型号客车，10辆型客车； （3）解：租用2辆型客车，10辆型客车，理由如下： 当租用13辆型客车，5辆型客车时， 此时租车费用为（元）， 当租用2辆型客车，10辆型客车时， 此时租车费用为（元）， ， 应选择方案2：租用2辆型客车，10辆型客车，费用最少． 题型16 古代问题（实际应用） 61．《九章算术》是我国古代经典著作，书中有一个问题：“今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重适等；交易其一，金轻十三两．问金、银一枚各重几何？”意思是甲袋中装有黄金9枚（每枚黄金重量相同），乙袋中装有白银11枚（每枚白银重量相同），两袋称重后相等，两袋相互交换1枚后，甲袋比乙袋轻了13两（袋子重量忽略不计）．问黄金、白银每枚各重多少两？设每枚黄金重两，每枚白银重两，则可列方程组为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，根据题意找出两个等量关系，即可列出对应方程组，找准等量关系是解题关键. 【详解】解：∵ 原来9枚黄金总重量与11枚白银总重量相等，每枚黄金重两，每枚白银重两， ∴ ； ∵ 交换1枚后，甲袋重量为，乙袋重量为，甲袋比乙袋轻13两，即乙袋重量比甲袋重量多13两， ∴ ； 因此可得方程组. 62．《九章算术》是中国古代算经之首，其中“方程”章中有“甲乙持钱”问题：“今有甲乙二人持钱不知其数，甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而亦钱五十，问甲乙持钱各几何．”大意是：甲、乙二人带的钱不知道数目，若甲得到乙所带钱的二分之一就有五十钱，若乙得到甲所带钱的三分之二也有五十钱，问甲、乙各带了多少钱．设甲带的钱数为x，乙带的钱数为y，可以列出二元一次方程组_______． 【答案】 【分析】设甲带的钱数为x，乙带的钱数为y，根据若甲得到乙所带钱的二分之一就有五十钱，若乙得到甲所带钱的三分之二也有五十钱，列出二元一次方程组即可． 【详解】解：设甲带的钱数为x，乙带的钱数为y， 根据题意：． 63．《营造法式》是北宋官方颁布的建筑设计与施工规范，其创立的“材份制”规定所有建筑构件的尺寸均以“份”为基本单位，不同材等对应的份的实际长度（单位：寸）不同，具体如表： 材等 一等 二等 三等 四等 五等 六等 份实际长度（寸） 书中记载：栌斗的长度为份，高度为份；华栱的长度为份，高度为份；散斗的长度为份，高度为份．图为斗拱结构示意图，标注了栌斗、散斗、华栱等构件在整体斗拱结构中的具体位置与形态． 某考古队在一处建筑群遗址中，发现了两座采用不同材等建造的建筑遗存，出土了栌斗、华栱、散斗三种构件的完整标本．经精密测量，采用第一种材等制作的栌斗实际长度与采用第二种材等制作的华栱实际高度之和为寸；采用第一种材等制作的散斗实际高度与采用第二种材等制作的散斗实际高度之比为．判断该建筑群所用的两种材等分别对应几等材，并说明理由．    【答案】两种材等分别为三等材、六等材 【分析】设第一种材等1份的实际长度为x寸，第二种材等1份的实际长度为寸，根据“采用第一种材等制作的栌斗实际长度与采用第二种材等制作的华栱实际高度之和为寸；采用第一种材等制作的散斗实际高度与采用第二种材等制作的散斗实际高度之比为”列方程组求解即可． 【详解】解：设第一种材等1份的实际长度为x寸，第二种材等1份的实际长度为寸， 第一种材等栌斗实际长度 + 第二种材等华栱实际高度寸，栌斗长32份，华栱高21份，因此得； 第一种材等散斗实际高度：第二种材等散斗实际高度，散斗高都是10份，因此得， ∴， 解得 对照表格可知：1份实际长度0.5寸对应三等材，0.4寸对应六等材， 因此两种材等分别为三等材、六等材． 64．问题的解决策略：逐步确定 【问题】中秋佳节灯笼俏，灯笼齐挂亮堂堂，三三数时能数尽，五五数时剩两盏，七七数时刚刚好．求最少有多少盏灯笼？ 【理解问题】灯笼的数量为正整数且需要符合以下3个条件： ①三三数时能数尽，则所求灯笼的数量能被3整除； ②五五数时剩两盏，则所求灯笼的数量除以______，余数是______； ③七七数时刚刚好，则所求灯笼的数量能被7整除． 【拟定计划】设灯笼的数量为x（x为正整数），需满足的3个条件可表述为： ①（k为正整数）； ②（m为非负整数）； ③______（用含n的代数式表示，n为正整数）． 由①和③可得x能被21整除，即（p为正整数）．根据以上分析，得到，因此，且m为非负整数，所以“”一定能被5整除． 【实施计划】（1）补全以上三个空格，并求最少有多少盏灯笼？ （2）学校举办“班级文化展示周”，八（1）班计划用彩色小旗装饰教室外墙．小旗有两种悬挂方式： ①若按“7面红旗、5面黄旗”为一个循环组依次悬挂，最后剩余2面红旗和部分黄旗； ②若按“1面红旗、6面黄旗”为一个循环组依次悬挂，最后剩余部分红旗和0面黄旗． 已知红旗和黄旗总数为100面．请问八（1）班至少准备了多少面红旗？ 【答案】（1）5，2，；42；（2） 【分析】本题主要考查了用代数式表示，求代数式的值． （1）根据题意填写各空，再根据一定能被5整除，可得的个位数是2和7，然后讨论得出答案； （2）设存在非负整数，根据悬挂方式①，可得红旗有面，黄旗数量大于面；根据悬挂方式②，可得黄旗有面，红旗数量大于面；则，再对从小到大讨论分析即可． 【详解】解：（1）五五数时剩下两盏，则所求的灯笼的数量除以5，余数是2； 设灯笼的数量为x，（x为正整数），需要满足的3个条件可表述为： ①（k为正整数）；②（m为非负整数）；③（n为正整数）， 由①和③可得x能被21整除，即（p为正整数），可得（m为非负整数）， ∴一定能被5整除， ∴的个位数是2和7， 当时，不符合题意； 当时，能被5整除，此时， 则最少有42盏灯笼； 故答案为：5，2，；42； （2）设存在非负整数，根据悬挂方式①，可得红旗有面，黄旗数量大于面； 根据悬挂方式②，可得黄旗有面，红旗数量大于面； ，即， ， 当时，不是整数，不符合题意； 当时，是整数，且， ，符合题意； 故八（1）班至少准备了面红旗． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题4 第十章 二元一次方程组易错必刷题型专项训练 题型1 二元一次方程组的概念辨析 题型9 行程问题（实际应用） 题型2 二元一次方程组中的参数 题型10 工程问题（实际应用） 题型3 消元法解二元一次方程组 题型11 数字问题（实际应用） 题型4 二元一次方程组的特殊解法 题型12 分配问题（实际应用） 题型5 错解复原问题 题型13 销售利润问题（实际应用） 题型6 相同解问题 题型14 几何问题（实际应用） 题型7 三元一次方程组 题型15 图表信息问题（实际应用） 题型8 方案问题（实际应用） 题型16 古代问题（实际应用） 题型1 二元一次方程组的概念辨析 1．若是关于的二元一次方程，则（     ） A． B． C． D． 2．下列方程组中，属于二元一次方程组的是（     ） A． B． C． D． 3．已知下列方程组： ①；②； ③；④ 其中，________是二元一次方程组．（填序号） 4．已知方程组是关于的二元一次方程组，则的值为______． 题型2 二元一次方程组中的参数 5．若关于x，y的二元一次方程组的解为，则代数式的值是（     ） A．3 B． C．5 D． 6．若方程组的解满足，则k的值是（     ） A．2 B． C．4 D． 7．已知关于x，y的方程组，且，则k的值为________． 8．若是关于的二元一次方程组，则___________． 题型3 消元法解二元一次方程组 9．解方程组： (1)； (2)； 10．解下列方程组： (1) (2) 11．解方程组： (1)； (2)． 12．以下是某同学解方程组 的部分运算过程． 解：由①，得③…第一步 把③代入②，得…第二步 去括号，得…第三步 解得．…第四步 (1)这种解二元一次方程组的方法叫作（     ） A．代入消元法      B．加减消元法 (2)上面的运算过程从第 步开始出现了错误． (3)请写出解该方程组的正确过程． 题型4 二元一次方程组的特殊解法 13．已知方程组的解是，那么方程组的解是（     ） A． B． C． D． 14．阅读材料：对问题“已知x、y是方程组的解，求一次式的值”，除了直接解该方程组得出答案外，也可以通过“待定系数法”直接求出的值，过程如下： ，得． 等式左边对比待求一次式的系数，便可构造以a、b为未知数的方程组． 解这个方程组，求出a、b的值后，进而可求出的值． (1)根据阅读材料，完成后续解答过程； (2)如果关于x、y的方程组有解，求m的值． 15．“换元法”是一种数学的基本方法，一般用来简化运算，初中数学中常用的换元法有整体换元、部分换元、韦达换元、平均值换元、增量型换元等，正确运用换元法的前提是要对题目的特征有比较清晰合理的认识． 例1：关于x的一元一次方程的解为，求关于y的一元一次方程的解． 解：将看作一个整体， ∵两方程形式完全相同， ∴根据方程的解的定义得，即． 例2：二元一次方程组的解是，求方程组的解． 解：将方程组整理得， ∵两方程形式完全相同，方程组的解是， ∴根据方程的解的定义得，即解得：； 根据以上信息，解决下列问题： (1)已知关于x的一元一次方程的解为，求关于y的一元一次方程的解； (2)已知关于x、y的二元一次方程组的解为，求关于x、y的方程组的解. 16．问题情境：小明同学在学习二元一次方程组时遇到了这样一个问题： 解方程组． 观察发现： (1)如果用代入消元法或加减消元法求解，运算量比较大，容易出错．如果把方程组中的看成一个整体，把看成一个整体，通过换元，可以解决问题． 设，，则原方程组可化为______，解关于m，n的方程组，得所以，解方程组，得______． 探索猜想： (2)运用上述方法解方程组：； 拓展延伸： (3)已知关于x，y的二元一次方程组的解为，则关于x，y的方程组的解是______． 题型5 错解复原问题 17．两位同学在解方程组时，甲同学由正确地解出，乙同学因把写错了解得，则的值为（   ） A．3 B．0 C．1 D．7 18．甲和乙两人同解方程组，甲因抄错了b，解得；乙因抄错了a，解得．则的值等于______． 19．小明，小聪两人同解方程组时，小明看错了方程①中的a，解得，小聪看错了方程②中的b，解得，求的值． 20．甲、乙两人同解方程组时，甲看错了方程①中的，解得，乙看错了方程②中的，解得． (1)求正确的的值； (2)求原方程组的正确解． 题型6 相同解问题 21．已知方程组 与同解，则的值为（     ） A． B． C． D． 22．已知关于，的二元一次方程组的解是．若，满足，则的值为________． 23．已知关于x，y的两个二元一次方程组和的解相同，求的值． 24．已知关于x、y的二元一次方程组与方程组有相同的解． (1)求出a、b的值； (2)求的值． 题型7 三元一次方程组 25．已知方程组，则的值是（    ） A． B．9 C． D．6 26．已知，则______． 27．解方程组：． 28．阅读下列材料： 小明同学在学习二元一次方程组时遇到了这样一个问题： 解方程组小明发现，如果用代入消元法或加减消元法求解，运算量比较大，容易出错．如果把方程组中的看成一个整体，通过换元，可以解决问题．以下是他的解题过程： 令，原方程组化为，解得， 把代入，得，解得， ∴原方程组的解为． 学以致用： (1)解方程组： (2)有甲、乙、丙三种商品，如果购买甲3件、乙2件、丙1件共需315元，购买甲1件、乙2件、丙3件共需285元，求购买甲、乙、丙三种商品各1件共需多少钱． 题型8 方案问题（实际应用） 29．某校组织学生假期到北京开展研学活动，现已预定的宾馆有二人间、三人间、四人间三种客房供其团队租住．研学团队的20人准备同时租住这三种客房共7间，若每一个房间都住满，则租房方案有（     ） A．4种 B．3种 C．2种 D．1种 30．杭州市临安区某社区活动中心准备了手绘团扇与非遗书签赠送给参与活动的市民，已知赠送6把手绘团扇和4枚非遗书签，一共需要花费200元；赠送10把手绘团扇和8枚非遗书签，一共需要花费340元．商店推出两种优惠方案，只能选择其中一种方案参与：方案一：搭配套餐优惠，购买3把团扇+3枚书签的套装，套装按原价打八折，剩余单品按原价购买； 方案二：满减优惠，购买所有商品按原价计算总价，满300减50，满600减120，请你通过计算，购买20把手绘团扇和20枚非遗书签的成本总和最少为______元． 31．如皋市某中学组织七年级师生前往国家级景区水绘园开展“寻访园林文化”研学活动．学校计划租用座和座两种新能源客车，要求每辆车均坐满． (1)若两种客车共租用辆，且恰好一次载完全部师生人，求这两种客车各租用了多少辆？ (2)研学途中，师生们参观如派盆景展览．工作人员计划在一个面积为平方分米的矩形展台上完全摆满两种规格的盆景底座：大号底座每个占地平方分米，小号底座每个占地平方分米．要求两种底座都必须使用，且展台无空隙、无重叠． ①请写出所有满足条件的摆放方案（需列明大号、小号底座各多少个）； ②若大号底座每个制作成本为元，小号底座每个制作成本为元，为节约成本，应选择哪种方案？最低成本是多少元？ 32．在我校英语节活动中为表彰先进，现计划购买，，三种类型的奖品（每种类型至少件）作为鼓励，要求类型奖品件数是类型奖品件数的倍，三种类型奖品的单价如下表： 类型 单价（元/件） 设购进件类型奖品，件类型奖品． (1)根据信息填表： 数量（件） 费用（元） ________ ________ (2)根据信息解答问题： ①若购买三种类型的奖品总数为件，共花费元，则三种类型的奖品分别购进多少件？ ②为节省开支，若购买三种类型的奖品共花费元，且类型的奖品件数超过总奖品件数的一半，则三种类型的奖品总数为多少件？ 题型9 行程问题（实际应用） 33．随着新能源汽车技术的飞速发展，越来越多新能源汽车是由后轮驱动的，所以后轮胎的磨损程度比前轮胎严重．设每个新轮胎报废时的总磨损量为，如某轮胎可行驶公里，则每公里的磨损量为，现有某品牌的轮胎安装在前轮时行驶达到万公里时报废，安装在后轮时行驶达到万公里时报废．如果该汽车行驶若干公里后，将前后轮胎进行对换，那么这两对轮胎最多可以行驶（   ） A．万公里 B．万公里 C．万公里 D．万公里 34．甲、乙两车分别从相距的A、B两地同时出发．如果匀速同向而行，那么甲车后追上乙车；如果匀速相向而行，那么两车在后相遇．设甲车速度为，乙车速度为．根据题意，可列方程组________． 35．某快递公司为应对“618”购物节，根据网站预售情况，提前安排了分拣员，如果3名熟练分拣员和1名新手分拣员一天能分拣130件包裹；1名熟练分拣员和2名新手分拣员一天能分拣80件包裹． (1)每名熟练分拣员和新手分拣员每天分别可以分拣多少件包裹？ (2)如果该公司为了按时完成配送任务，快递车按原速度行驶，刚好能在6小时内送完所有包裹；若将速度提高10千米/小时，行驶4小时后，还剩70千米的路程未完成配送．求快递车的总配送路程是多少千米？ 36．爸爸骑摩托车带着小靖在公路上匀速行驶，小靖每隔一段时间看到的里程表上的数如下所示： 时刻 里程表 上的数 是一个两位数，它的两个数字之和是6 是一个两位数，它的十位与个位数字与8:00所看到的正好互换了 是一个三位数，它比8:00时看到的两位数中间多了个0 设8:00时里程表上的这个两位数十位数字为，个位数字为，回答下列问题： (1)用含的代数式表示：时看到里程表上的数_____，时看到里程表上的数_____，时看到里程表上的数____； (2)列方程组并求出时里程表上的数． 题型10 工程问题（实际应用） 37．抢修一段全长420m的供暖管线，甲、乙两个工程队同时施工，2.5天全部修完，修完时，甲工程队比乙工程队多修了70m．设甲、乙两个工程队的工作效率分别为x米/天和y米/天，可列方程组为（    ） A． B． C． D． 38．甲乙两个工程队分别负责两项工作量相同的工程．晴天，甲完成工程要天，乙完成工程要天；雨天，甲和乙的工作效率分别是晴天时的和．实际情况是两队同时开工、同时完工，在施工期间，下雨天的天数与晴天的天数之比是_____．下雨天的天数是_____． 39．为打造“塞上湖城”生态名片，银川市对典农河的一段河道进行清淤美化．现有一段长为180米的河道整治任务由甲、乙两个工程队先后接力完成．甲工程队每天整治8米，乙工程队每天整治12米，共用时20天．求整治任务完成后，甲、乙两个工程队分别整治河道的长度． (1)小明、小华两位同学提出的解题思路如下： 小明同学：设整治任务完成后，甲工程队整治河道x米，乙工程队整治河道y米． 根据题意，得 小华同学：设整治任务完成后，m表示___________，n表示___________． 根据题意，得 请你补全小明、小华两位同学的解题思路； (2)求甲、乙两工程队分别整治河道多少米？请从（1）中任选一个方程组求解．（写出完整的解答过程） 40．山西的老旧城区改造，在国家“城市更新行动”的指导下，已从单纯的“旧房翻新”升级为涵盖老旧小区、街区、城中村的综合整治与功能提升．为了提高居民生活质量，推动城市可持续性发展，某地对部分老旧城区进行改造，在改造工程中，有一条米的道路需要改扩建，现有甲、乙两个工程队分别施工修路，甲队每天修建米，乙队每天修建米，两队施工总时间是天，则甲、乙两个工程队分别修建了多少天？ (1)小红同学根据题意，列出了二元一次方程组那么这个方程组中未知数表示的是___________，未知数表示的是_________； (2)小丽同学设甲工程队修建了天，乙工程队修建了天．请你按照小丽的思路解答上面的问题． 题型11 数字问题（实际应用） 41．如图，约定：上方相邻两数之和等于这两数下方箭头共同指向的数．当时，，的值分别为（     ） A．3，2 B．1，4 C．2，3 D．7，5 42．我们规定：一个四位数，若满足，则称这个数为“福禄数”．例如：四位数，因为，所以是“福禄数”．按照这个规定，最小的“福禄数”是________；一个“福禄数”，将其千位数字与个位数字调换位置，百位数字与十位数字调换位置，得到一个新的数，记，．若与均是整数，则满足条件的的值是________． 43．在正方形网格中有9个数，若各行、各列及对角线上的三个数之和都相等，则称此图为“九宫图”． (1)图（甲）就是一个九宫图的一部分，请你求出，的值； （甲） (2)已知图（乙）和图（丙）都是不完整的九宫图． （乙） （丙） 填空：________，________，________；________，________，________． 44．【阅读资料】对任意的正奇数，都有两个连续的正整数和（），使得．由规律可得如下数表： ，，间的关系 3 4 5 5 12 13 7 24 25 9 40 41 … … … … 【特殊值验证】 (1)当时，请你求出和的值，并验证所得，，是否满足小温的猜想． 【一般化证明】 (2)小温对猜想的条件和结论分析如下，请你帮助小温完成证明过程． 已知：正奇数和两个连续的正整数和（）满足． 求证：． 证明：…… 题型12 分配问题（实际应用） 45．我国清代康熙年间编撰的数学典籍《御制数理精蕴》中，记载了诸多“盈朒问题”（即有余、不足类应用题），其解题思路与现代方程思想一脉相承．结合内蒙古草原牧区生活实际，可衍生如下问题：牧民合伙分配一批驮银，若每人分8锭，还剩余5锭；若每人分10锭，则缺少7锭．若设参与分配的牧民有人，驮银有锭，可列方程组为（ ） A． B． C． D． 46．一个39人的旅游团到一家酒店住宿，酒店的客房只剩下3间一人间和若干间三人间，住宿价格是一人间每晚100元，三人间每晚150元．（说明：男士只能与男士同住，女士只能与女士同住．三人间客房可以不住满，但每间每晚仍需支付150元．） （1）若该旅游团一晚的住宿房费为2050元，则他们租住了_____ 间一人间； （2）若该旅游团租住了所有剩余的一人间，且共有25名男士，则租住一晚的住宿房费最少为_____ 元． 47．“寒夜客来茶当酒，竹炉汤沸火初红．”茶作为中国传统文化的重要部分，茶具选择影响品茶体验．某茶具厂共有30名工人，每名工人一天能做30个茶杯或10个茶壶，如果6个茶杯和1个茶壶为一套． (1)该工厂应如何安排工人生产，才能使每天生产的茶杯和茶壶刚好配套？ (2)该工厂承接一批茶具订单，若由1人制作这批茶具需要400小时完成．现计划由一部分人先做10小时，然后增加5人与他们一起合作20小时，恰好完成这批订单，假设这些人的工作效率相同，具体应先安排多少人制作茶具？ 48．为深入推进城市老旧小区适老化改造民生工程，切实解决老旧居民楼“上下楼难”的痛点问题，某市全面落实旧楼加装电梯惠民政策，让老旧小区重拾宜居新活力．老张居住的老旧单元楼中，三至七楼共户人家（每层户，一楼、二楼住户不参与）均自愿申请加装电梯．据测算，除政府专项补贴外，这户需共同自筹资金万元，并依据“楼层越高，受益越多，付费越高”的原则，经单元住户共同商议，确定自筹资金分摊规则：每户分摊费用随楼层递增，每升高一层，每户增加万元，且七楼每户的分摊费用是三楼每户的倍． (1)老张家居住在三楼，他这户应自筹资金多少万元？ (2)若四楼其中户因故退出加装电梯，该户原本需承担的费用需由剩余户共同分摊．请设计合理的分摊方案，并说明理由． 题型13 销售利润问题（实际应用） 49．某班需采购本和尺子作为奖品，尺子3套、本2个，共需34元；尺子2套、本3个，共需36元，通过设适当的未知量可列出方程组若用可得，下列关于“”的意义解释正确的是（    ） A．每套尺子比每个本贵2元 B．每套尺子比每个本便宜2元 C．尺子比本多买了2个 D．尺子比本少买了2个 50．某商场购进种头盔个，种头盔个，共花费元．已知一个种头盔比一个种头盔贵元，那么种头盔的单价是______元，种头盔的单价是______元． 51．夏季是传染病高发期，为做好防疫工作，某社区医院准备用3000元购买医用口罩和消毒液．若买医用口罩1000个，消毒液120瓶，则还差400元；若买医用口罩1200个，消毒液80瓶，则剩余200元． (1)求医用口罩和消毒液的单价（用二元一次方程组解问题）； (2)由于病毒检测需要，医院除购买医用口罩和消毒液外，还需购买单价为8元的口罩m个，若需购买医用口罩和口罩共1500个，且，剩余的钱全部用来购买消毒液，恰好用完这3000元，则m可能的值为__________． 52．某大型超市购物结算有两种方式： 方式一：直接按照商品标价进行结算； 方式二：支付年费办理会员卡，一年内购物，部分商品按照标价打八折进行结算． (1)小海去该超市购买了6盒牛奶和2盒“网红蛋糕”，按照标价共支付了310元；乐乐持有该超市的会员卡，他购买了同款的4盒牛奶和3盒蛋糕均可打八折，共支付272元．问：每盒牛奶和蛋糕的标价分别是多少元？ (2)该超市有两种会员卡，一种是普通会员，年费元；另一种是高级会员，年费元．无论选择哪种会员，所有购物均可享受相同折扣．除此之外，高级会员还可额外获得年实际消费金额2%的返现，该返现可直接当作现金进行抵扣．小普同学家持有普通会员卡，去年在该超市的实际消费约为元，今年的购物预算将在去年实际消费的基础上增长，因此小普同学的家长今年打算把普通会员升级为高级会员，请通过计算判断这个决定是否划算． 题型14 几何问题（实际应用） 53．如图4，用8块相同的小长方形地砖恰好铺满一块长方形地面，则这个长方形地面的周长是（     ） A． B． C． D． 54．在学习完平移之后，小明、小聪、小方想利用平移设计出美丽的图案，他们用一张大正方形纸片和四张相同的小正方形纸片，分别设计了图①、图②、图③三种图案，已知图③中四个小正方形的重叠部分是三个相同的正方形，则图③两块阴影部分的周长之和是__________________cm． 55．学生的椅子设计如图1，主要由椅背、椅座及铁架组成，如图2所示是椅背与椅座的尺寸示意图．因学校需要，某工厂配合制作该款椅子．椅子的铁架直接购买，现只需在市场上购进某型号板材加工制作该款学生椅的椅背与椅座，再与铁架进行组装． (1)如图3，已知该工厂购进一批板材长为，宽为（裁切时不计损耗），请你在不造成板材浪费的情况下（板材全部利用），设计出两种裁剪方案，并画出裁剪方案的设计示意图． 方案1：裁剪________块椅座，________块椅背； 方案2：裁剪________块椅座，________块椅背． (2)若该工厂用这两种方案裁剪板材140块，刚好配套做成若干个椅子，没有任何材料剩余，请问该怎么分配板材？ 56．用如图1的长方形和正方形铁片（长方形的宽与正方形的边长相等）作侧面和底面，做成如图2的竖式和横式的两种无盖的长方体容器．    (1)根据题意可列出以下表格： 1个竖式无盖容器 1个横式无盖容器 长方形铁片的数量 4张 张 正方形铁片的数量 张 2张 则________，________； (2)现有长方形铁片240张，正方形铁片110张，如果两种铁片刚好全部用完，那么可加工成竖式和横式长方体容器各有几个？ (3)已知此竖式容器的售价为50元/个，横式容器的售价为60元/个．若五金店老板计划支付1000元用于采购一批竖式容器和横式容器（两种容器都要），则有哪几种方案可供选择？ 题型15 图表信息问题（实际应用） 57．如图，根据图中提供的信息，可知一个杯子的价格是（    ） A．36元 B．32元 C．4元 D．8元 58．某学校知识竞赛共18轮，每轮胜一场积分、负一场积分均不变（无平局情况），如表记录了A、B、C、D4名参赛者前5轮积分情况．若18轮结束后，参赛者胜场数是负场数的偶数倍，则参赛者B总积分是___________． 参赛者 胜场数 负场数 积分 A 4 1 19 B 3 2 13 C 3 2 13 D 2 3 7 59．为积极响应绿色低碳号召，扎实推进生态文明建设，博罗县某学校组织学生到郊外开展义务植树实践活动，并准备了A，B两种食品作为午餐．这两种食品每包质量均为，其营养成分表如下： 若每份午餐需要恰好摄入热量和蛋白质，应选用A，B两种食品各多少包？ 60．项目式学习 项目主题：确定最省钱的租车方案 项目背景：为传承中华传统文化，激发学生的爱国情怀，某中学计划在四月六号组织本校优秀学生代表前往猎民村扫墓． 数据收集： ①计划参加活动的优秀学生代表及教师共600人 ②某租车公司有，两种型号的客车可供选择，型客车每辆有25个座位，型客车每辆有55个座位． ③下表是该公司租车记录单上的部分信息： 租用型客车数量/辆 租用型客车数量/辆 租车总费用 3 2 3800 1 3 3600 问题解决： (1)根据该公司租车记录单上的信息，租用一辆型或型客车的租金分别是多少元？ (2)学校本次研学准备租用该租车公司，两种型号的客车若干辆，若每辆客车恰好都坐满且两种型号的客车都要租，请你求出所有满足条件的租车方案． (3)在（2）的条件下，请你说明应选择哪种方案，才能使租车费用最少？ 题型16 古代问题（实际应用） 61．《九章算术》是我国古代经典著作，书中有一个问题：“今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重适等；交易其一，金轻十三两．问金、银一枚各重几何？”意思是甲袋中装有黄金9枚（每枚黄金重量相同），乙袋中装有白银11枚（每枚白银重量相同），两袋称重后相等，两袋相互交换1枚后，甲袋比乙袋轻了13两（袋子重量忽略不计）．问黄金、白银每枚各重多少两？设每枚黄金重两，每枚白银重两，则可列方程组为（     ） A． B． C． D． 62．《九章算术》是中国古代算经之首，其中“方程”章中有“甲乙持钱”问题：“今有甲乙二人持钱不知其数，甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而亦钱五十，问甲乙持钱各几何．”大意是：甲、乙二人带的钱不知道数目，若甲得到乙所带钱的二分之一就有五十钱，若乙得到甲所带钱的三分之二也有五十钱，问甲、乙各带了多少钱．设甲带的钱数为x，乙带的钱数为y，可以列出二元一次方程组_______． 63．《营造法式》是北宋官方颁布的建筑设计与施工规范，其创立的“材份制”规定所有建筑构件的尺寸均以“份”为基本单位，不同材等对应的份的实际长度（单位：寸）不同，具体如表： 材等 一等 二等 三等 四等 五等 六等 份实际长度（寸） 书中记载：栌斗的长度为份，高度为份；华栱的长度为份，高度为份；散斗的长度为份，高度为份．图为斗拱结构示意图，标注了栌斗、散斗、华栱等构件在整体斗拱结构中的具体位置与形态． 某考古队在一处建筑群遗址中，发现了两座采用不同材等建造的建筑遗存，出土了栌斗、华栱、散斗三种构件的完整标本．经精密测量，采用第一种材等制作的栌斗实际长度与采用第二种材等制作的华栱实际高度之和为寸；采用第一种材等制作的散斗实际高度与采用第二种材等制作的散斗实际高度之比为．判断该建筑群所用的两种材等分别对应几等材，并说明理由．    64．问题的解决策略：逐步确定 【问题】中秋佳节灯笼俏，灯笼齐挂亮堂堂，三三数时能数尽，五五数时剩两盏，七七数时刚刚好．求最少有多少盏灯笼？ 【理解问题】灯笼的数量为正整数且需要符合以下3个条件： ①三三数时能数尽，则所求灯笼的数量能被3整除； ②五五数时剩两盏，则所求灯笼的数量除以______，余数是______； ③七七数时刚刚好，则所求灯笼的数量能被7整除． 【拟定计划】设灯笼的数量为x（x为正整数），需满足的3个条件可表述为： ①（k为正整数）； ②（m为非负整数）； ③______（用含n的代数式表示，n为正整数）． 由①和③可得x能被21整除，即（p为正整数）．根据以上分析，得到，因此，且m为非负整数，所以“”一定能被5整除． 【实施计划】（1）补全以上三个空格，并求最少有多少盏灯笼？ （2）学校举办“班级文化展示周”，八（1）班计划用彩色小旗装饰教室外墙．小旗有两种悬挂方式： ①若按“7面红旗、5面黄旗”为一个循环组依次悬挂，最后剩余2面红旗和部分黄旗； ②若按“1面红旗、6面黄旗”为一个循环组依次悬挂，最后剩余部分红旗和0面黄旗． 已知红旗和黄旗总数为100面．请问八（1）班至少准备了多少面红旗？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $