专题3第九章图形的变换易错必刷题型专项训练 2025-2026学年苏科版七年级下册数学期末复习专项

**基本信息** 聚焦图形变换四大变换，以题型为载体构建从性质应用到实际操作的知识逻辑链，强化几何直观与空间观念 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |平移|3题型（性质求解/实际问题/作图）|结合面积计算与路径规划，含综合探究题|从平移性质（对应线段/距离）到实际应用（道路面积转化）再到网格作图，层层递进| |轴对称|4题型（特征/反射/折叠/作图）|涵盖光线反射跨学科题与多步折叠动态问题|以轴对称性质为核心，延伸至折叠角计算、最短路径（反射）及网格作图，体现性质应用的多样性| |旋转|4题型（中心/角/规律/性质/作图）|包含旋转动态规律（如正方体翻滚）与三角板旋转综合题|从旋转要素（中心/角/对应点）到性质应用（角度计算），再到规律性问题（周期变化），形成完整认知链| |中心对称|1题型（性质求解）|结合四边形对称与图形变换综合|作为旋转特殊形式，强化对称点连线性质及与其他变换的联系|

专题3 第九章 图形的变换易错必刷题型专项训练 题型1 利用平移的性质求解 题型7 画轴对称图形 题型2 利用平移解决实际问题 题型8 旋转中心、旋转角、对应点 题型3 平移作图 题型9 旋转中的规律性问题 题型4根据轴对称图形的特征求解 题型10 根据旋转的性质求解 题型5 轴对称中的光线反射问题 题型11 画旋转图形 题型6 折叠问题 题型12 根据中心对称的性质求解 题型1 利用平移的性质求解 1．如图，将沿的方向平移到的位置，，，，平移距离为4，则阴影部分的面积为（     ） A．35 B．56 C．42 D．64 【答案】C 【分析】先判断出阴影部分面积等于梯形的面积，再根据平移的性质可得，然后求出，根据平移的距离求出，然后利用梯形的面积公式列式计算即可得解． 【详解】解：沿着点到点的方向平移到的位置， ∴， ∴， 阴影部分面积等于梯形的面积， 由平移的性质得：， ， 阴影部分的面积． 2．如图，在中，，将沿射线向右平移得到，则的长为__________． 【答案】7 【分析】根据平移的性质得出，，根据线段的和差关系即可求出的长． 【详解】解：∵，将沿射线向右平移得到， ∴， ∴． 3．如图，将三角形沿方向平移得到三角形． (1)若，求的度数． (2)若是的三等分点，求平移的距离． (3)若四边形的面积为26，请直接写出四边形的面积． 【答案】(1) (2)6 (3)26 【分析】（1）根据平移的性质，即可得出结果； （2）根据平移的性质，得到的长即为平移距离，进行求解即可； （3）根据平移的性质，推出四边形的面积等于四边形的面积即可. 【详解】（1）解：∵平移，， ∴； （2）解：∵是的三等分点， ∴， ∵平移， ∴平移的距离为； （3）解：∵平移， ∴， ∴， ∴， 即四边形的面积等于四边形的面积， ∵四边形的面积为26， ∴四边形的面积为26. 4．综合与探究 问题情境： 数学活动课上，老师提出如下问题：如图1，将含的三角尺如图方式摆放，，，，过点作，是线段上一定点，过点作交于点． (1)知识初探： 勤奋小组求出了的度数，请你直接写出______： (2)深入探究： 智慧小组将线段沿射线的方向平移，得到线段（点的对应点为，点的对应点为），连接，并提出以下两个问题．请你帮忙解决，并写出解答过程． ①如图2，当点在线段上时，若，求的度数； ②如图3，当点在线段上时，若，求的度数． (3)拓展延伸： 创新小组提出问题：在上述平移过程中，当时，请直接写出的度数为_______． 【答案】(1)60 (2)①；② (3)或 【分析】（1）利用平行线的性质（两直线平行，同旁内角互补），结合已知的的度数，直接求出的度数． （2）① 过点作，由得，利用平行线的性质将转化为，再通过与的差求解． ② 同理过点作，利用平行线的性质，通过与的差，得到的度数，即为的度数． （3）分两种情况（点在线段上、点在线段上），根据的关系列方程求解，得到的度数． 【详解】（1）解：， ． ， ， ； （2）解：①过点作， 则， ，， ， 线段是由线段平移得到， ， ， ； ②过点作， 则， ，， ， 线段是由线段平移得到， ， ， ； （3）解：如图2， 当时， 由（2）①知， 即， ∴ ， ； 如图3， 当时， 由（2）②知， 即， ∴， ． 题型2 利用平移解决实际问题 5．如图所示为一块长方形场地的示意图，长为，宽为，A、B两处入口的路宽都为，两条小路汇合处的路宽为，其余部分为草坪，则草坪的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先表示出新的矩形的长为：米，宽为米，再列式求解即可． 【详解】解：由图可知：矩形中去掉小路后，草坪正好可以拼成一个新的矩形，且它的长为：米，宽为米． 所以草坪的面积应该是长宽（平方米）． 6．某校为了美化校园，在长方形场地上修筑两条互相垂直且任何地方水平宽度一致的道路，即（如图所示），余下部分作草坪，根据图中数据，则草坪面积为________ 【答案】 【分析】根据题意知：道路的宽为，由平移的性质知草坪的长为，宽为，最后由长方形的面积公式可得答案． 【详解】解：∵， ∴草坪面积为． 7．如图，某公园一块长方形空地的设计方案．公园计划在长为米，宽为米的空地上修建横、纵各两条宽为a米的走道供行人散步，其余区域修建为绿化草地． (1)借助图形的平移可以实现“等面积图形”的转化，简化计算的过程．请在空白图中画出平移的示意图，并标清楚边长的数据． (2)求绿化草地的面积（用含a，b的式子表示）． 【答案】(1)见解析 (2)绿化草地的面积为平方米． 【分析】（1）利用平移的性质作图即可； （2）由（1）知绿化草地的部分可以拼成一个长方形，分别表示出绿化草地的长和宽，即可得绿化草地部分的面积． 【详解】（1）解：示意图如下： （2）解：由（1）知绿化草地的部分可以拼成一个长方形，长为米，宽为（米）， 绿化草地的面积为平方米， 答：绿化草地的面积为平方米． 8．综合与实践：【活动主题】弯曲的小路面积 图形操作：（图1，图2中的长方形的长均为10米，宽均为5米） 在图1中，将线段AB向上平移1米到线段，得到封闭图形（阴影部分）； 在图2中，将折线ABC（其中点B叫作折线ABC的一个“折点”）向上平移1米到折线，得到封闭图形（阴影部分）． (1)问题解决：设图1，图2中除去阴影部分后剩下部分的面积分别为，，则______平方米，并比较大小：______（填“＞”“＝”或“＜”）； (2)动手操作：如图3，类似地，请你画一条有两个“折点”的折线，同样向上平移1个单位长度，从而得到一个封闭图形，并画出阴影部分； (3)联想探索人教7下P30拓广探索： 如图4，在一块长方形草地上，有一条弯曲的柏油小路（小路的宽度是1米），长方形的长为a米，宽为b米，则空白部分表示的草地的面积是______平方米（用含a，b的式子表示）； (4)实际运用：学校有一块长方形地块，如图5，在长方形地块内修筑同样宽的两条“相交”的道路（道路与长方形的边平行或垂直），余下部分作为草地，要求草地面积不小于450平方米，现设计道路宽为4米，请你通过计算说明这个道路宽设计是否达到要求？ 【答案】(1)， (2)见解析 (3) (4)这个道路宽设计不达到要求 【分析】（1）依据平移变换可知，图1，图2中除去阴影部分后剩下部分可以拼成一个长为10米，宽为4米，进而得出其面积即可； （2）依照例题画出图形即可； （3）依据平移变换可知，图中除去阴影部分后剩下部分可以拼成一个长为a个单位，宽为个单位的长方形，进而得出其面积； （4）依据平移变换可知，图中除去阴影部分后剩下部分可以拼成一个长为28米，宽为16米的长方形，进而得出其面积即可判断． 【详解】（1）解：设图1，图2中除去阴影部分后剩下部分的面积分别为， 则平方米，平方米； ∴． 故答案为：40，=． （2）解：如图： ； （3）解：由题意：长方形的长为，宽为，小路的宽度是1米， ∴空白部分表示的草地的面积是平方米， 故答案为：； （4）解：由题意，长方形的长为32米，宽为20米，道路宽为4米， ∴空白部分表示的草地的面积是平方米． ， ∴这个道路宽设计不达到要求． 题型3 平移作图 9．如图，在由边长为个单位长度的小正方形组成的网格中，三角形的顶点均在格点（网格线的交点）上． (1)将三角形先向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度得到三角形，画出三角形， (2)线段与线段之间的关系是（     ） A．平行    B．相等    C．平行且相等 【答案】(1) (2) 【分析】（1）按平移规则，将三角形三个顶点分别向右平移格、向上平移格，得到对应顶点，顺次连接三点即可； （2）依据平移性质求解． 【详解】（1）略； （2）解：依据平移性质，平移前后对应线段平行且相等． 10．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点，，，，，，，，均在格点上，与相交于点，与相交于点． （1）请用无刻度的直尺，过点画一条与平行的线段（点在格点上），不写画法； （2）请用无刻度的直尺，在线段上作一点，使，要求所画“辅助线”均在所给网格内（包括边界）且不超过5条，并简要说明点的位置是如何找到的（不要求证明）_________________________________________________． 【答案】（1）如图，即为所求． （2）如图，点即为所求． 过点作，与的交点即为点． 【分析】（1）根据点先向右平移4格，再向下平移1格到点，将点按同样的方式平移到点，连接即可； （2）由点是点向右平移4格得到的，则将，向右平移4格到，，设与相交于点，连接，则，与的交点即为点． 【详解】略 11．如图1是由25个边长为1个单位的小正方形组成的网格，三角形的端点都在小正方形的顶点，请按要求画图并解决问题： (1)将三角形向上平移1个单位，向右平移2个单位，画出三角形； (2)连接、，则与之间的数量关系为________；与之间的位置关系为________； (3)如图2，将三角形沿方向平移若干距离得到三角形．若三角形和五边形的周长分别是与，则三角形平移的距离为________． 【答案】(1) (2)， (3)2 【分析】（1）分别作出三个顶点平移后的对应点，再首尾顺次连接即可得； （2）根据平移的性质：经过平移,对应线段,对应角分别相等;对应点所连的线段平行且相等即可作答； （3）根据平移的性质作答即可． 【详解】（1）略 （2）解：如图， ∵三角形向上平移个单位，向右平移个单位，得三角形， ∴，； （3）解∶∵将三角形沿方向平移若干距离得到三角形， ∴平移距离为的长，且，， ， ∵三角形和五边形的周长分别是与， ∴，， ∴， ∴平移距离为的长． 12．如图，将三角形平移，使点与点重合，点、的对应点分别是点、．此时点的坐标是． (1)请画出平移后的三角形，则点的坐标为________； (2)若点是三角形内的一点，则平移后对应点的坐标为________； (3)三角形的面积是多少？ 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查平面直角坐标系中点的平移以及面积的计算，熟练掌握平面直角坐标系中点的平移是解题的关键． （1）由题意可知将点向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到点，根据此特点再将点，向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到点，，然后依次连接可得，最后根据点的位置得出答案； （2）由（1）可得，平移规律，即可得到点的坐标； （3）用三角形外围矩形面积减去周围个直角三角形面积，即可． 【详解】（1）解：即为所求； 点． （2）解：由（1）可得，平移的规律为：向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度； ∴． （3）解：． 题型4根据轴对称图形的特征求解 13．如图，已知和关于直线对称． (1)结合图形指出对称点； (2)若连接，直线与线段有什么关系？ (3)若延长与，它们的交点与直线有怎样的关系？其他对应线段（或其延长线）的交点呢？你发现了什么规律． 【答案】(1)点的对称点是，点的对称点是，点的对称点是 (2)直线垂直平分线段 (3)对应线段（或其延长线）的交点在对称轴上 【分析】（1）根据所给对称关系，写出对称点即可； （2）根据轴对称的性质即可解决问题； （3）根据题意进行画图，发现规律即可解决问题． 【详解】（1）解：由题知， 点的对称点是，点的对称点是，点的对称点是； （2）解：连接， 则直线垂直平分线段； （3）解：若延长与， 它们的交点在直线上，其他对应线段（或其延长线）的交点也在直线上， 规律：对应线段（或其延长线）的交点在对称轴上． 14．如图，在正方形网格中有一个，且每个小正方形的长为1（其中点A，B，C均在格点上）． (1)作出关于直线l的轴对称图形； (2)在l上确定点P的位置，使得值最小，在图中体现点P的确定方法． 【答案】(1)解：如图所示： (2)解：点P如图所示： 【分析】（1）根据轴对称图形的性质作图即可； （2）根据对称可知，若使值最小，则值最小，只有当点C，点P，点三点共线时，值最小，即值最小，连接与l的交点即为点P． 【详解】（1）略 （2）略 15．综合与实践：校园文化节中，设计小组要制作一个轴对称的活动徽标． (1)【操作思考】 徽标边框是，其中，点是线段的中点，点是线段上任意一点，如图， ①请仅用无刻度的直尺画图：连接，线段与相交于点，再连接并延长，与线段 相交于点． ②点与点是否关于线段成轴对称: ．（选填“是”或“不是”） (2)【模仿实践】 如图2，徽标边框是正方形 （四条边相等，四个角均为直角），点在边上，请仅用无刻度的直尺，利用“正方形的对称性”，在边上找一点，使得 ． (3)【拓展应用】 如图3，在正方形网格中，线段是徽标的对称轴的一部分．请仅用无刻度的直尺，利用格点小正方形的顶点的垂直关系及轴对称的有关知识，画出点 关于线段 的对称点．(保留作图痕迹，关键点加黑加粗) 【答案】(1)①②是 (2) (3) 【分析】（1）①连接交于点，连接并延长交于点；②根据等腰三角形的性质可得关于成轴对称； （2）根据正方形的对称性，所在的直线是正方形的对称轴，连接交于点，连接交于点，连接并延长交于点，则； （3）构造等腰三角形，以所在的直线为对称轴，根据（1）的方法画图，即可求解． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 16．（1）如图（1），已知和线段，求作一点，使，并且点到的两边距离相等（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，写出结论）： （2）如图（2）， （a）分别作出点关于、的对称点、，连接，分别交、于点、， （b）若，则的周长为___________．    【答案】（1）见解析 （2）（a）见解析 （b） 【分析】本题主要考查了尺规作图、角平分线的性质、线段垂直平分线的性质． (1)作的平分线，作线段的垂直平分线，射线与直线交于点，点即为所求作的点； (2)(a)分别作出点关于、的对称点、，连接，分别交、于点、； (b)因为点关于、的对称点、，，，所以可得：的周长． 【详解】(1)解：如下图所示， 作的平分线， 则射线上的点到的两边距离相等， 作线段的垂直平分线， 则直线上的点到、的距离相等， 射线与直线交于点， 点即为所求作的点；    (2)(a)解：如下图所示： 分别作出点关于、的对称点、， 连接，分别交、于点、；      (b)解：点关于、的对称点、， ，， 的周长， ， 的周长． 故答案为：． 题型5 轴对称中的光线反射问题 17．如图，光线从点处出发，沿方向射到点处的平面镜上，平面镜平行于轴，反射角等于入射角（），反射后照射到平面镜上，平面镜平行于轴，经过平面镜再次反射后，反射光线与轴交于点（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据反射原理，正方形的性质，等腰直角三角形的性质解答即可； 【详解】解：如图，设平面镜所在直线与y轴交于点C，光线从点处出发，沿方向射到点处的平面镜上，平面镜平行于轴， 则， 故， 因为， 故， 故， 根据正方形的性质，得是小正方形的对角线， 所以， 所以是小正方形的对角线， 故， 故, 故反射光线与轴交于点； 18．【跨学科·物理】如图，凸透镜的主光轴与平静的水面重合，点光源S发出一束光，光线在水面E处发生反射后的反射光线以及其经凸透镜后的光线如图所示（注：入射光线与水平面的夹角等于反射光线与水平面的夹角，图中的光线经凸透镜折射后与水平面平行），若，则的度数为______． 【答案】 【分析】利用光的反射规律和平行线的性质求解即可． 【详解】解：如图， 根据光的反射规律可得， ∵， ∴． 19．如图1是光的反射示意图，点A处有一个光源，入射光线经过镜面l反射后，恰好经过点B，点O叫入射点，已知反射角等于入射角，法线． (1)若，则________． (2)如图2，在空心圆柱口放置一面平面镜，与水平线的夹角，入射光线经平面镜反射后反射光线为（点A，B，C，D，E，F，M在同一竖直平面内），若要使反射光线恰好垂直于圆柱底面射出，则入射光线与水平线的夹角的度数为________． (3)如图3，点A处有一个光源，入射光线经过镜面l反射后，恰好经过点B，请用无刻度直尺和圆规作出入射点O，并画出光线（不写作法，保留作图痕迹，用铅笔加黑加粗） (4)某台球桌为如图4所示的长方形，，小球从A沿角击出，恰好经过5次碰撞后到达B处．则________． 【答案】(1)38 (2)42 (3)见解析 (4)5 【分析】（1）由已知条件可得出，，进而可得． （2）由题意可得，由平角的定义求出，再由计算即可得解． （3）以作垂直平分线的方法结合（1）作图即可． （4）先根据题意画出图形，根据图形得出5次碰撞后是2个半以为边长的正方形，进而可求出的值． 【详解】（1）解：根据题意可知：， ∵， 则， ∴， （2）解：由题意可得：， ∴， ∴． （3）解：以点A为圆心，适当半径为弧，交l与点C于点D，分别以点C，点D为圆心，以大于为半径画弧交点G，连接交l于点E，再以点E为圆心，为半径画弧交于点，连接交l于点O，点O即为所求． （4）解：如下图： 小球从长方形的点A沿射出，到的点E，． 从E点沿与成射出，到边的F点，， 从F点沿与成射出，到边的G点，， 从G沿与成射出，到边的H点， 从H点沿与成射出，到边的M点， 从M点沿与成射出，到B点， 由（1）中的结论以及轴对称的性质可知： ，，． 根据图可知5次碰撞后是2个半以为边长的正方形， ∵， ∴． 20．光的反射是生活中常见的现象，图①是光的反射示意图（反射角等于入射角且法线与平面镜垂直，垂足为入射点）． (1)如图①，若入射光线与平面镜的夹角为，则反射角的度数是____________； (2)如图②，已知：入射光线，反射光线．求作：法线（用直尺和圆规作图，保留作图痕迹）； (3)如图③，已知：A为入射光线上一点，B为反射光线上一点．求作：入射点O（用直尺和圆规作图，保留作图痕迹）． 【答案】(1)60 (2) 见解析 (3)见解析 【分析】（1）根据法线与平面镜垂直求出入射角的度数即可得到答案； （2）根据入射角等于反射角可知，法线即为入射光线与反射光线组成的角的角平分线，据此作的角平分线即可； （3）过点A作平面镜所在直线的垂线，垂足为D，以D为圆心，的长为半径画弧交直线于点C，连接交平面镜所在直线于点O，则点O即为所求． 【详解】（1）解：∵入射光线与平面镜的夹角为， ∵法线与平面镜垂直， ∴入射角的度数为， ∴反射角的度数是； （2）解：如图所示，射线即为所求； （3）解：如图所示，点即为所求． 题型6 折叠问题 21．如图，把一张两边分别平行的纸片沿着折叠，交于点，如果，那么的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意得到，由于折叠得到，即可求出，即可得到答案． 【详解】解：如图 纸片两边分别平行， ， 沿着折叠， ， ， ． 22．如图1是一条长方形纸带，，是上的一个动点．将纸带沿着折叠，如图2，的对应点分别是与交于点． （1）若，则______；（用含的代数式表示） （2）再沿折叠，如图3，的对应点分别是，若，则的度数为______． 【答案】 /度 【分析】（1）由题意可知，，，由平行线的性质得出． （2）由折叠可知，结合已知条件可得出，根据角度的和差关系可得出，由平行线的性质得出，由折叠的性质可得出，再由平行线的性质即可得出． 【详解】解：（1）由题意可知，，， ∴； （2）由折叠可知， 又， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴由折叠可知， 又∵， ∴． 23．如图，一张长方形纸片，先将纸片沿折叠，再将折叠后的纸片沿折叠，使得与重合． （1）与是否平行_______；（填“是”或“否”） （2）若，则的度数为__________．（用含的代数式表示） 【答案】 是 【分析】（1）根据折叠性质，找出相等的角度，再根据平行线的判定，平面内垂直于同一条直线的两直线平行，即可得出结论． （2）根据折叠性质，找到相等的角，利用平行线转化角，得出与的角度关系，在中，根据三角形内角和，得到与之间的关系，根据对顶角相等，求出的角度． 【详解】解：（1）沿折叠， ， ． 又沿折叠， ，且与重合， ． 长方形中， ，， ． （2）长方形中，， ，， 根据折叠性质，，，， ， ， ， ． 24．综合探究 (1)如图①，将长方形纸片沿和折叠，点，的对应点分别为点，，点，的对应点均为点． ①若，求的度数． ②若，则 °．（用含的代数式表示） (2)如图②，为长方形边上一点，射线从位置出发，绕点按逆时针方向以每秒的速度旋转；同时射线从位置出发，绕点按顺时针方向以每秒的速度旋转，当射线与射线重合时，两条射线同时停止运动．将长方形纸片沿和折叠，点，的对应点分别为点，．设运动的时间为秒，在旋转过程中，当时，求的值． 【答案】(1)①；② (2)20或36 【分析】（1）①由平行线的性质及折叠的性质即可求解； ②与①同理得，由①知，利用已知条件及三角形内角和即可求解； （2）由题意得，由折叠的性质及图形可表示出，分两种情况，建立方程即可求解． 【详解】（1）解：①∵长方形纸片， ∴， ∴，， 设， 则，， 由折叠知， ∵，， ∴； ②∵四边形折叠得到四边形， 与①同理得， 由①知， ∵， ∴； （2）解：由题意得， 由折叠知， 则， ∴， ， ∵， ∴， 解得． 当重合后，如图， ∵，， ∴， ∴， ∵， 即此时重合， ∴， 即， 解得； 综上，t的值为20或36． 题型7 画轴对称图形 25．如图，在方格纸上画有2条线段、．如果再画出一条线段，使图中的3条线段组成一个轴对称图形，那么符合题意的线段共有（     ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【答案】D 【分析】分别以线段为对称轴，线段为对称轴，线段的垂直平分线为对称轴，线段的垂直平分线为对称轴，画线段可得轴对称图形． 【详解】解；如图，符合题意的线段有，共4条． 26．如图为的正方形网格，每个小正方形的边长均为1．可以画出与成轴对称、每个顶点都在格点上，且位置不同的三角形有________个． 【答案】5 【分析】本题主要考查了轴对称图形的定义，在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形是轴对称图形是解题的关键． 根据轴对称图形画出满足题意的三角形，再统计即可解答． 【详解】解：根据轴对称图形的定义可以画出与成轴对称的三角形如下： 即可以画5个． 故答案为：5． 27．如图1，在正六边形中，连接． (1)在图1中，作出关于直线的轴对称图形（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； (2)在第（1）题的条件下，若，请求出四边形的周长． 【答案】(1)解：如图，即为所求． (2) 【分析】（1）以点为圆心为半径作弧，再以点为圆心为半径作弧，两弧交于点，连接，，则即为所求； （2）利用四边形的周长公式即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：∵在正六边形中，， 由对称，知，， ， ∴四边形的周长为． 28．如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A，B，C，D均为格点（网格线的交点），请按下列要求作图，并标出相应的字母． (1)在图中，画出线段关于直线对称的线段，点A对应的点为，点B对应的点为．连接，线段和直线的位置关系为________； (2)在图中，将线段向左平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到线段，点A对应的点为，点B对应的点为，画出线段，连接、，线段和线段的数量关系和位置关系分别为________． 【答案】(1)直线垂直平分线段 (2) 【分析】（1）根据轴对称图形的性质即可得出结果； （2）根据图形的平移作图，然后由平移的性质即可求解； 【详解】（1）解：如图，线段即为所求的线段． 直线垂直平分线段； （2）解：如图，线段即为所求的线段．． 题型8 旋转中心、旋转角、对应点 29．如图，在的正方形网格中，由旋转得到，其旋转中心是（     ） A．点P B．点Q C．点M D．点N 【答案】A 【分析】根据旋转的性质可知：旋转中心在对应点连线的垂直平分线上，通过观察网格确定垂直平分线的交点即可得出答案． 【详解】解：连接，，由图可知，点A与点在同一条竖直网格线上， 且点M为线段的中点， ∴线段的垂直平分线是经过点P、M的水平直线，即旋转中心在直线上． 又∵在网格中，点P到点B的距离为2个单位长度，点P到点的距离为2个单位长度， ∴， ∴点P在线段的垂直平分线上． ∴旋转中心是点P． 30．如图，绕点逆时针旋转得到，下列结论正确的是（     ） A．与是对应点 B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵绕点逆时针旋转得到， ∴点A与点D是对应点，点C与点F是对应点，故A选项错误； 与，与是对应线段，则，，故B选项错误； 与是旋转角，，则，即，故C选项正确； 无法判断，的位置关系，故D选项错误． 31．如图，三角形①，②关于直线对称，三角形②，③关于直线对称，通过研究发现三角形③可以看作是由三角形①绕某一个点按顺时针方向旋转一次即可得到．若两条对称轴之间的夹角记为（为锐角），旋转角记为，则与之间的数量关系是__________． 【答案】 【分析】根据轴对称的性质，连续两次轴对称变换，若对称轴相交，则等效于绕交点旋转，旋转角等于两对称轴夹角的2倍． 据此进行解答即可． 【详解】解：如图， 设直线与相交于点，在三角形①上任取一点，设点关于直线的对称点为点，点关于直线的对称点为点，根据轴对称的性质得到，，， ∴， ∴点绕点O旋转得到点， ∵三角形②位于直线和直线之间， ∴， ∴旋转角 ∵旋转角记为， ∴． 32．如图，在正三角形网格中，若以D，E，F，M，N中的一点为中心，将按某个方向旋转一定的角度，得到，则该旋转的旋转中心是点________． 【答案】 【分析】分别作出的垂直平分线，即可确定旋转中心． 【详解】如图，连接，分别作出的垂直平分线，交点为， 故该旋转的旋转中心是点． 题型9 旋转中的规律性问题 33．正方体骰子的初始位置如图①所示，将骰子进行如下操作：如图②，将骰子先向右翻滚，再按逆时针方向旋转，这个操作过程视为完成一次变换．按上述规则连续完成次变换后，骰子朝上面的点数是（   ） A．1 B．3 C．5 D．6 【答案】C 【分析】本题主要考查图形规律，理解题意是解决本题的关键． 按题意画出图，找到规律判断即可． 【详解】解：根据题意画图如下： 根据上图可知：第一次变换后，朝上的点数为5， 第二次变换后，朝上的点数为6， 第三次变换后，朝上的点数为3， 由此可知，连续3次变换是一个循环． ∴， ∴按上述规则连续完成2026次变换后，骰子朝上面的点数是5， 故选：C． 34．如图，图形的五条边相等，位置如图所示，点A，E分别与数轴上的对应，将该图形沿着数轴顺时针转动了一次，点B对应的数是0，若将该图形从原始位置顺时计转动了2023次后，关于点D说法正确的是 （    ） A．点D对应的数是2022 B．点D对应的数是2023 C．点D不在数轴上 D．点D对应的数是 【答案】A 【分析】本题主要查了图形类规律题．根据题意得到转动3次时点D在数轴上，且以后每转动5次，点D在数轴上，再由，可得从原始位置顺时计转动了2023次后，点D在数轴上，即可求解． 【详解】解：根据题意得：转动3次时点D在数轴上，且以后每转动5次，点D在数轴上， ∵， ∴从原始位置顺时计转动了2023次后，点D在数轴上， ∵点A在数轴上的对应的数为， ∴点D对应的数是． 则A选项符合题意． 故选：A． 35．如图，在Rt中，，且在直线上，将绕点A顺时针旋转到位置①，可得点，将位置①的三角形绕点顺时针旋转到位置②，可得点，将位置②的三角形绕点顺时针旋转到位置③，可得点，按此规律继续旋转，得到点为止，则的长度为__________． 【答案】8105 【分析】观察不难发现，每旋转3次为一个循环组依次循环，用2026除以3求出循环组数，然后列式计算即可得解． 【详解】解：∵在中，，，，， ∴将绕点顺时针旋转到位置①时，， 将位置①的三角形绕点顺时针旋转到位置②时，， 将位置②的三角形绕点顺时针旋转到位置③时，， ……， 以此类推可知，每旋转3次为一个循环组，每一个循环长度增加12， ∵， ∴ ． 36．平移、旋转和轴对称是图形运动的基本形式．图1、图2中的三角形①～⑤的顶点都在边长为1个单位长度的正方形网格点上． (1)如图1，三角形②可以看成由三角形①经过一次 得到；三角形③可以看成由三角形①经过一次 得到（填“平移”“旋转”或“轴对称”）． (2)如图2，三角形⑤可以看成由三角形④经过怎样的图形运动得到？下列结论： A. 1次轴对称   B. 1次旋转    C． 1次平移和1次旋转  D. 1次旋转和1次轴对称 其中，所有正确结论是 ． 【答案】(1)旋转，轴对称 (2)BC 【分析】本题考查几何变换的类型，轴对称图形，解题的关键是掌握轴对称变换，平移变换，旋转变换的性质． （1）根据轴对称变换，旋转变换的性质判断即可； （2）三角形⑤可以看成由三角形④绕点O顺时针旋转得到或先向右平移一个单位，再绕点A顺时针旋转得到． 【详解】（1）解：如图1，三角形②可以看成由三角形①经过一次旋转得到；三角形③可以看成由三角形①经过一次轴对称得到． 故答案为：旋转，轴对称； （2）三角形⑤可以看成由三角形④经过绕点O顺时针旋转得到或先向右平移一个单位，再绕点A顺时针旋转得到． 故答案为：BC． 题型10 根据旋转的性质求解 37．如图，将绕点A逆时针旋转得到，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先根据旋转的性质得到，然后利用角的和差求解即可． 【详解】解：由旋转得， ∵ ∴． 38．如图，将一副三角板（）按如图方式摆放，使点A，O，D三点共线，点O，B，C三点共线．若以的速度绕点O顺时针旋转半周，同时以的速度绕点O逆时针旋转，且当停止运动时，也随之停止运动，设运动时间为，则当_____时，直线与直线互相垂直． 【答案】或 【分析】根据中，，中，，在t秒时，转过，转过，两个三角形共转过，分两种情况作答即可． 【详解】解：在中，，在中，， ∵以的速度绕点O顺时针旋转半周，同时以的速度绕点O逆时针旋转， ∴在t秒时，转过，转过， ∴两个三角形共转过， 当直线与直线互相垂直时，设垂足为点M，交于点E， 则， ∴， ∴， ∴， 解得； 当直线再次与直线互相垂直时，设垂足为点G，在射线上取点P， 则， ∴ ， ∴转过， ∴， 解得； 综上，t的值为或． 39．如图，将两块含的三角尺的直角顶点叠放在一起，，． (1)若，则______；若，则______； (2)猜想与的大小有何数量关系；并说明理由； (3)若一开始将三角形与三角形完全重合（与重合），保持三角形不动，将三角形绕点以每秒的速度逆时针旋转一周，旋转时间为秒，在旋转的过程中，为何值时． 【答案】(1)，； (2)解：，理由如下： ， ， ， 即． (3)为12或48时． 【分析】本题考查了旋转以及平行线的性质： （1）是两个角之和减去重合部分的角度； （2）利用来求解即可； （3）分情况讨论，利用平行线的性质得到旋转角，再计算旋转时间． 【详解】（1）解：若， 则， 若， 则． （2）略 （3）如图①， 当时， ， 即旋转角为， ． 如图②， 当时， ， 旋转角度为， ． 综上所述，为12或48时，． 40．【阅读材料】图案设计时常巧妙地运用翻折、旋转等图形变换．如图1是一种艺术地砖，从中可得到如图2所示的“平行六边形”，它是由6个形状、大小都相同的等腰直角三角形构成的． (1)【理解概念】如图2，将沿翻折得到 ；将绕点顺时针旋转得到 ；将 先沿翻折再沿翻折得到． (2)【数学应用】使用无刻度的直尺和圆规作图，不写作法，保留作图痕迹． ①如图3，中，，将先沿直线l翻折，然后绕点C顺时针旋转，得到，作出； ②如图4，与是两个大小、形状完全相同的三角形，其中，，，可看作由经两次翻折变换得到，请作出两次翻折的对称轴． (3)【拓展迁移】翻折、旋转等图形变换还能迁移线段和角，有助于问题的解决．如图5，中，，D是斜边上一点，四边形是长方形，若，，，，下列条件：①已知，；②已知，；③已知，；④已知，．其中能求长方形面积的是 （填写所有正确的序号）． 【答案】(1)，， (2)①如图所示，即为所求图形， ②如图所示， (3)①③ 【分析】（1）根据折叠的性质，数形结合分析即可； （2）①延长，以点C为圆心，以为半径画弧交延长线于点K，连接，得到沿直线l翻折的图形，以点C为圆心，分别以为半径画弧交延长线于点，连接即可； ②将沿翻折得到，分别以点A，B为圆心，以大于长为半径画弧交于点G，H，连接，再将沿翻折得到； （3）如图所示，如图所示，过点作，过点作，交于点，延长交于点Q，R，则，再根据长方形面积的计算方法，结合图形求解即可． 【详解】（1）解：将沿翻折得到，将绕点顺时针旋转得到， 如图所示，将沿翻折得到，将再沿翻折得到； （2）解：①略； ②∵， ∴连接，即为等腰直角三角形， ∴将沿翻折得到， 作线段的垂直平分线，再将沿翻折得到； （3）解：如图所示，过点作，过点作，交于点，延长交于点Q，R， ∵，四边形是长方形， ∴，， ∴， 同理得到，， ∴四边形是长方形，是对角线， ∴，， ∴，，， ∴， ∴已知，，即已知能求长方形面积，故①正确； 已知，，即已知， ∵， ∴已知，则是四边形的面积， ∴不能求长方形面积，故②错误； 已知，，即已知，能求长方形面积，故③正确； 已知，，即已知， ∵， ∴已知，则是四边形的面积， ∴不能求长方形面积，故④错误． 题型11 画旋转图形 41．如图，点O为正方形的中心，点E、F分别为边、的中点，若经过一次变换后会得到，下列变换方式中能实现的是（     ）    A．沿直线翻折 B．沿直线翻折 C．向右平移2个单位 D．绕点O逆时针旋转 【答案】D 【分析】根据旋转变换，翻折变换，平移变换的性质即可求解． 【详解】解：由题可知, ∴点与，点与,点与,一一对应， 沿直线翻折，得：   ， 则该选项错误； B.沿直线翻折    则该选项错误； C. 向右平移2个单位， ∵平移不改变方向， 则该选项错误； D. 绕点O逆时针旋转    则该选项正确． 42．如图，在平面直角坐标系中，，将绕原点顺时针旋转得到（分别是A，B的对应点）．若点位于内（不含边界），点为点绕原点顺时针旋转的对应点，则点的纵坐标的取值范围是______． 【答案】 【分析】本题考查了旋转作图，旋转的性质．熟练掌握旋转的性质是解题的关键． 由旋转的性质可确定点旋转后对应点在线段上，且不与点重合，然后作答即可． 【详解】解：∵点位于内， ∴， 旋转后对应点在线段上，且不与点，重合，如图， ∴， 故答案为：． 43．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，的三个顶点均在小方格的格点上． (1)画出向下平移4个单位长度后的； (2)画出关于点成中心对称的图形； (3)画出绕点顺时针旋转后的． 【答案】(1)如图，即为所求； (2)如图，即为所求； (3)如图，即为所求； 【分析】（1）将三个顶点向下平移4个单位长度得到其对应点，再首尾顺次连接即可； （2）作出A、B、C关于点对称的对应点，然后顺次连接即可； （3）将点A，B，C绕点O顺时针旋转得到点，，，再首尾顺次连接得出图形． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 44．如图，在网格中，小正方形的边长均为1个单位，点，，，都在格点上，直线经过点． (1)仅用无刻度的直尺在网格中作图．①画，使与关于直线对称； ②画，使绕点顺时针旋转得到； (2)发现：经过一次________（填写“平移”、“旋转”或“轴对称”）可以与重合． 【答案】(1)①如图所示，即为所求； ②如图所示，即为所求； (2)轴对称 【分析】（1）①根据轴对称图形的作法画图即可；②根据图形的旋转作图即可； （2）结合图形，利用轴对称即可得出结果． 【详解】（1）①略；②略 （2）根据图像得：经过一次轴对称可以与重合． 题型12 根据中心对称的性质求解 45．已知以及外的一点O，分别作A，B，C关于O的对称点，，，得到．如图，则下列结论不成立的是（    ） A．点A与点是对称点 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查中心对称的定义和性质，掌握中心对称的定义“把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心”，是求解本题的关键．利用中心对称的定义和性质求解即可． 【详解】解：A、∵与关于点O成中心对称， ∴点A与是一组对称点，故该选项正确，不符合题意； B、由中心对称的性质可知：对应点到对称中心的距离相等， ，故该选项正确，不符合题意； C、，是对顶角， ∴，故该选项正确，不符合题意； D、∵与不是对应角， ∴不成立，故该选项错误，符合题意； 故选：D． 46．如图，四边形与四边形关于点成中心对称，，则的度数为_____，的长度为_____． 【答案】 92° 3 【分析】本题考查了中心对称的性质：对应线段相等，对应角相等；根据中心对称的性质即可求解． 【详解】解：四边形与四边形关于点O成中心对称， ， 故答案为：，3． 47．如图，和关于点O成中心对称． (1)找出它们的对称中心O； (2)若，，，求的周长． 【答案】(1)见解析 (2)的周长为21 【分析】（1）连接、，其交点就是对称中心； （2）根据和关于点成中心对称，得出，，，再由三角形周长公式计算即可． 【详解】（1）解：如图所示，点即为所求． （2）∵和关于点O成中心对称， ∴，，， ∴的周长． 答：的周长为21． 48．已知长方形，，，边长为（）的正方形的顶点与点重合，边、分别与、重合（如图所示）．将正方形沿着射线方向平移，设平移距离为． (1)当点恰好落在线段上时，直线、分别与长方形的边交于点、、（如图所示）．下列编号①-④中，两个图形能关于某点成中心对称的是___________，面积相等的是__________；（在横线上填入相应的编号） ①三角形与三角形；②三角形与三角形； ③三角形与三角形；④长方形与长方形． (2)在（1）的条件下，当时，求的值； (3)在平移过程中，当正方形的顶点落在线段上时，求的值． 【答案】(1)①②③；①②③④ (2) (3)或 【分析】（1）根据“中心对称图形”的定义，对选项依次判断；再利用“中心对称图形面积相等”以及“大图形面积相等，减去同样面积的部分，剩下的面积也相等”的逻辑，判断各组图形的面积是否相等； （2）由平移距离，用表示出长方形和的边长，结合（1）的“面积相等”关系列方程，求解得； （3）分“在上”“在上”两种情况进行讨论，根据面积相等列方程，用表示，再计算． 【详解】（1）解：长方形是中心对称图形，且对称中心在长方形的对角线上， ①三角形与三角形；②三角形与三角形；③三角形与三角形，都可以组成长方形， ∴①②③两个图形能关于某点成中心对称， ∴①②③中的两个三角形的面积相等； ①三角形与三角形；②三角形与三角形的面积相等， ∴四边形和四边形的面积相等， 又③三角形与三角形的面积相等， 则四边形和四边形的面积分别减去三角形与三角形的面积之后的图形面积相等， 即④长方形与长方形的面积相等， 答：①②③；①②③④． （2）解：依题意，，，， 由（1）可得长方形与长方形的面积相等， ， 解得：． 答：． （3）解：如图，当在上时， 依题意，，，，， ，，， 同理可得长方形与长方形的面积相等， ， 解得：， ； 当在上时，如图， ，，， 由（1）可得长方形与长方形的面积相等， ， 解得：， ． 综上所述，的值为或． 答：或． 【点睛】本题考查中心对称图形的判定，图形面积的等量关系，平移的性质，一元一次方程的应用，根据面积相等关系列方程求解未知量是解题关键． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题3 第九章 图形的变换易错必刷题型专项训练 题型1 利用平移的性质求解 题型7 画轴对称图形 题型2 利用平移解决实际问题 题型8 旋转中心、旋转角、对应点 题型3 平移作图 题型9 旋转中的规律性问题 题型4根据轴对称图形的特征求解 题型10 根据旋转的性质求解 题型5 轴对称中的光线反射问题 题型11 画旋转图形 题型6 折叠问题 题型12 根据中心对称的性质求解 题型1 利用平移的性质求解 1．如图，将沿的方向平移到的位置，，，，平移距离为4，则阴影部分的面积为（     ） A．35 B．56 C．42 D．64 2．如图，在中，，将沿射线向右平移得到，则的长为__________． 3．如图，将三角形沿方向平移得到三角形． (1)若，求的度数． (2)若是的三等分点，求平移的距离． (3)若四边形的面积为26，请直接写出四边形的面积． 4．综合与探究 问题情境： 数学活动课上，老师提出如下问题：如图1，将含的三角尺如图方式摆放，，，，过点作，是线段上一定点，过点作交于点． (1)知识初探： 勤奋小组求出了的度数，请你直接写出______： (2)深入探究： 智慧小组将线段沿射线的方向平移，得到线段（点的对应点为，点的对应点为），连接，并提出以下两个问题．请你帮忙解决，并写出解答过程． ①如图2，当点在线段上时，若，求的度数； ②如图3，当点在线段上时，若，求的度数． (3)拓展延伸： 创新小组提出问题：在上述平移过程中，当时，请直接写出的度数为_______． 题型2 利用平移解决实际问题 5．如图所示为一块长方形场地的示意图，长为，宽为，A、B两处入口的路宽都为，两条小路汇合处的路宽为，其余部分为草坪，则草坪的面积为（     ） A． B． C． D． 6．某校为了美化校园，在长方形场地上修筑两条互相垂直且任何地方水平宽度一致的道路，即（如图所示），余下部分作草坪，根据图中数据，则草坪面积为________ 7．如图，某公园一块长方形空地的设计方案．公园计划在长为米，宽为米的空地上修建横、纵各两条宽为a米的走道供行人散步，其余区域修建为绿化草地． (1)借助图形的平移可以实现“等面积图形”的转化，简化计算的过程．请在空白图中画出平移的示意图，并标清楚边长的数据． (2)求绿化草地的面积（用含a，b的式子表示）． 8．综合与实践：【活动主题】弯曲的小路面积 图形操作：（图1，图2中的长方形的长均为10米，宽均为5米） 在图1中，将线段AB向上平移1米到线段，得到封闭图形（阴影部分）； 在图2中，将折线ABC（其中点B叫作折线ABC的一个“折点”）向上平移1米到折线，得到封闭图形（阴影部分）． (1)问题解决：设图1，图2中除去阴影部分后剩下部分的面积分别为，，则______平方米，并比较大小：______（填“＞”“＝”或“＜”）； (2)动手操作：如图3，类似地，请你画一条有两个“折点”的折线，同样向上平移1个单位长度，从而得到一个封闭图形，并画出阴影部分； (3)联想探索人教7下P30拓广探索： 如图4，在一块长方形草地上，有一条弯曲的柏油小路（小路的宽度是1米），长方形的长为a米，宽为b米，则空白部分表示的草地的面积是______平方米（用含a，b的式子表示）； (4)实际运用：学校有一块长方形地块，如图5，在长方形地块内修筑同样宽的两条“相交”的道路（道路与长方形的边平行或垂直），余下部分作为草地，要求草地面积不小于450平方米，现设计道路宽为4米，请你通过计算说明这个道路宽设计是否达到要求？ 题型3 平移作图 9．如图，在由边长为个单位长度的小正方形组成的网格中，三角形的顶点均在格点（网格线的交点）上． (1)将三角形先向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度得到三角形，画出三角形， (2)线段与线段之间的关系是（     ） A．平行    B．相等    C．平行且相等 10．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点，，，，，，，，均在格点上，与相交于点，与相交于点． （1）请用无刻度的直尺，过点画一条与平行的线段（点在格点上），不写画法； （2）请用无刻度的直尺，在线段上作一点，使，要求所画“辅助线”均在所给网格内（包括边界）且不超过5条，并简要说明点的位置是如何找到的（不要求证明）_________________________________________________． 11．如图1是由25个边长为1个单位的小正方形组成的网格，三角形的端点都在小正方形的顶点，请按要求画图并解决问题： (1)将三角形向上平移1个单位，向右平移2个单位，画出三角形； (2)连接、，则与之间的数量关系为________；与之间的位置关系为________； (3)如图2，将三角形沿方向平移若干距离得到三角形．若三角形和五边形的周长分别是与，则三角形平移的距离为________． 12．如图，将三角形平移，使点与点重合，点、的对应点分别是点、．此时点的坐标是． (1)请画出平移后的三角形，则点的坐标为________； (2)若点是三角形内的一点，则平移后对应点的坐标为________； (3)三角形的面积是多少？ 题型4根据轴对称图形的特征求解 13．如图，已知和关于直线对称． (1)结合图形指出对称点； (2)若连接，直线与线段有什么关系？ (3)若延长与，它们的交点与直线有怎样的关系？其他对应线段（或其延长线）的交点呢？你发现了什么规律． 14．如图，在正方形网格中有一个，且每个小正方形的长为1（其中点A，B，C均在格点上）． (1)作出关于直线l的轴对称图形； (2)在l上确定点P的位置，使得值最小，在图中体现点P的确定方法． 15．综合与实践：校园文化节中，设计小组要制作一个轴对称的活动徽标． (1)【操作思考】 徽标边框是，其中，点是线段的中点，点是线段上任意一点，如图， ①请仅用无刻度的直尺画图：连接，线段与相交于点，再连接并延长，与线段 相交于点． ②点与点是否关于线段成轴对称: ．（选填“是”或“不是”） (2)【模仿实践】 如图2，徽标边框是正方形 （四条边相等，四个角均为直角），点在边上，请仅用无刻度的直尺，利用“正方形的对称性”，在边上找一点，使得 ． (3)【拓展应用】 如图3，在正方形网格中，线段是徽标的对称轴的一部分．请仅用无刻度的直尺，利用格点小正方形的顶点的垂直关系及轴对称的有关知识，画出点 关于线段 的对称点．(保留作图痕迹，关键点加黑加粗) 16．（1）如图（1），已知和线段，求作一点，使，并且点到的两边距离相等（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，写出结论）： （2）如图（2）， （a）分别作出点关于、的对称点、，连接，分别交、于点、， （b）若，则的周长为___________．    题型5 轴对称中的光线反射问题 17．如图，光线从点处出发，沿方向射到点处的平面镜上，平面镜平行于轴，反射角等于入射角（），反射后照射到平面镜上，平面镜平行于轴，经过平面镜再次反射后，反射光线与轴交于点（     ） A． B． C． D． 18．【跨学科·物理】如图，凸透镜的主光轴与平静的水面重合，点光源S发出一束光，光线在水面E处发生反射后的反射光线以及其经凸透镜后的光线如图所示（注：入射光线与水平面的夹角等于反射光线与水平面的夹角，图中的光线经凸透镜折射后与水平面平行），若，则的度数为______． 19．如图1是光的反射示意图，点A处有一个光源，入射光线经过镜面l反射后，恰好经过点B，点O叫入射点，已知反射角等于入射角，法线． (1)若，则________． (2)如图2，在空心圆柱口放置一面平面镜，与水平线的夹角，入射光线经平面镜反射后反射光线为（点A，B，C，D，E，F，M在同一竖直平面内），若要使反射光线恰好垂直于圆柱底面射出，则入射光线与水平线的夹角的度数为________． (3)如图3，点A处有一个光源，入射光线经过镜面l反射后，恰好经过点B，请用无刻度直尺和圆规作出入射点O，并画出光线（不写作法，保留作图痕迹，用铅笔加黑加粗） (4)某台球桌为如图4所示的长方形，，小球从A沿角击出，恰好经过5次碰撞后到达B处．则________． 20．光的反射是生活中常见的现象，图①是光的反射示意图（反射角等于入射角且法线与平面镜垂直，垂足为入射点）． (1)如图①，若入射光线与平面镜的夹角为，则反射角的度数是____________； (2)如图②，已知：入射光线，反射光线．求作：法线（用直尺和圆规作图，保留作图痕迹）； (3)如图③，已知：A为入射光线上一点，B为反射光线上一点．求作：入射点O（用直尺和圆规作图，保留作图痕迹）． 题型6 折叠问题 21．如图，把一张两边分别平行的纸片沿着折叠，交于点，如果，那么的度数是（     ） A． B． C． D． 22．如图1是一条长方形纸带，，是上的一个动点．将纸带沿着折叠，如图2，的对应点分别是与交于点． （1）若，则______；（用含的代数式表示） （2）再沿折叠，如图3，的对应点分别是，若，则的度数为______． 23．如图，一张长方形纸片，先将纸片沿折叠，再将折叠后的纸片沿折叠，使得与重合． （1）与是否平行_______；（填“是”或“否”） （2）若，则的度数为__________．（用含的代数式表示） 24．综合探究 (1)如图①，将长方形纸片沿和折叠，点，的对应点分别为点，，点，的对应点均为点． ①若，求的度数． ②若，则 °．（用含的代数式表示） (2)如图②，为长方形边上一点，射线从位置出发，绕点按逆时针方向以每秒的速度旋转；同时射线从位置出发，绕点按顺时针方向以每秒的速度旋转，当射线与射线重合时，两条射线同时停止运动．将长方形纸片沿和折叠，点，的对应点分别为点，．设运动的时间为秒，在旋转过程中，当时，求的值． 题型7 画轴对称图形 25．如图，在方格纸上画有2条线段、．如果再画出一条线段，使图中的3条线段组成一个轴对称图形，那么符合题意的线段共有（     ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 26．如图为的正方形网格，每个小正方形的边长均为1．可以画出与成轴对称、每个顶点都在格点上，且位置不同的三角形有________个． 27．如图1，在正六边形中，连接． (1)在图1中，作出关于直线的轴对称图形（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； (2)在第（1）题的条件下，若，请求出四边形的周长． 28．如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A，B，C，D均为格点（网格线的交点），请按下列要求作图，并标出相应的字母． (1)在图中，画出线段关于直线对称的线段，点A对应的点为，点B对应的点为．连接，线段和直线的位置关系为________； (2)在图中，将线段向左平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到线段，点A对应的点为，点B对应的点为，画出线段，连接、，线段和线段的数量关系和位置关系分别为________． 题型8 旋转中心、旋转角、对应点 29．如图，在的正方形网格中，由旋转得到，其旋转中心是（     ） A．点P B．点Q C．点M D．点N 30．如图，绕点逆时针旋转得到，下列结论正确的是（     ） A．与是对应点 B． C． D． 31．如图，三角形①，②关于直线对称，三角形②，③关于直线对称，通过研究发现三角形③可以看作是由三角形①绕某一个点按顺时针方向旋转一次即可得到．若两条对称轴之间的夹角记为（为锐角），旋转角记为，则与之间的数量关系是__________． 32．如图，在正三角形网格中，若以D，E，F，M，N中的一点为中心，将按某个方向旋转一定的角度，得到，则该旋转的旋转中心是点________． 题型9 旋转中的规律性问题 33．正方体骰子的初始位置如图①所示，将骰子进行如下操作：如图②，将骰子先向右翻滚，再按逆时针方向旋转，这个操作过程视为完成一次变换．按上述规则连续完成次变换后，骰子朝上面的点数是（   ） A．1 B．3 C．5 D．6 34．如图，图形的五条边相等，位置如图所示，点A，E分别与数轴上的对应，将该图形沿着数轴顺时针转动了一次，点B对应的数是0，若将该图形从原始位置顺时计转动了2023次后，关于点D说法正确的是 （    ） A．点D对应的数是2022 B．点D对应的数是2023 C．点D不在数轴上 D．点D对应的数是 35．如图，在Rt中，，且在直线上，将绕点A顺时针旋转到位置①，可得点，将位置①的三角形绕点顺时针旋转到位置②，可得点，将位置②的三角形绕点顺时针旋转到位置③，可得点，按此规律继续旋转，得到点为止，则的长度为__________． 36．平移、旋转和轴对称是图形运动的基本形式．图1、图2中的三角形①～⑤的顶点都在边长为1个单位长度的正方形网格点上． (1)如图1，三角形②可以看成由三角形①经过一次 得到；三角形③可以看成由三角形①经过一次 得到（填“平移”“旋转”或“轴对称”）． (2)如图2，三角形⑤可以看成由三角形④经过怎样的图形运动得到？下列结论： A. 1次轴对称   B. 1次旋转    C． 1次平移和1次旋转  D. 1次旋转和1次轴对称 其中，所有正确结论是 ． 题型10 根据旋转的性质求解 37．如图，将绕点A逆时针旋转得到，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 38．如图，将一副三角板（）按如图方式摆放，使点A，O，D三点共线，点O，B，C三点共线．若以的速度绕点O顺时针旋转半周，同时以的速度绕点O逆时针旋转，且当停止运动时，也随之停止运动，设运动时间为，则当_____时，直线与直线互相垂直． 39．如图，将两块含的三角尺的直角顶点叠放在一起，，． (1)若，则______；若，则______； (2)猜想与的大小有何数量关系；并说明理由； (3)若一开始将三角形与三角形完全重合（与重合），保持三角形不动，将三角形绕点以每秒的速度逆时针旋转一周，旋转时间为秒，在旋转的过程中，为何值时． 40．【阅读材料】图案设计时常巧妙地运用翻折、旋转等图形变换．如图1是一种艺术地砖，从中可得到如图2所示的“平行六边形”，它是由6个形状、大小都相同的等腰直角三角形构成的． (1)【理解概念】如图2，将沿翻折得到 ；将绕点顺时针旋转得到 ；将 先沿翻折再沿翻折得到． (2)【数学应用】使用无刻度的直尺和圆规作图，不写作法，保留作图痕迹． ①如图3，中，，将先沿直线l翻折，然后绕点C顺时针旋转，得到，作出； ②如图4，与是两个大小、形状完全相同的三角形，其中，，，可看作由经两次翻折变换得到，请作出两次翻折的对称轴． (3)【拓展迁移】翻折、旋转等图形变换还能迁移线段和角，有助于问题的解决．如图5，中，，D是斜边上一点，四边形是长方形，若，，，，下列条件：①已知，；②已知，；③已知，；④已知，．其中能求长方形面积的是 （填写所有正确的序号）． 题型11 画旋转图形 41．如图，点O为正方形的中心，点E、F分别为边、的中点，若经过一次变换后会得到，下列变换方式中能实现的是（     ）    A．沿直线翻折 B．沿直线翻折 C．向右平移2个单位 D．绕点O逆时针旋转 42．如图，在平面直角坐标系中，，将绕原点顺时针旋转得到（分别是A，B的对应点）．若点位于内（不含边界），点为点绕原点顺时针旋转的对应点，则点的纵坐标的取值范围是______． 43．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，的三个顶点均在小方格的格点上． (1)画出向下平移4个单位长度后的； (2)画出关于点成中心对称的图形； (3)画出绕点顺时针旋转后的． 44．如图，在网格中，小正方形的边长均为1个单位，点，，，都在格点上，直线经过点． (1)仅用无刻度的直尺在网格中作图．①画，使与关于直线对称； ②画，使绕点顺时针旋转得到； (2)发现：经过一次________（填写“平移”、“旋转”或“轴对称”）可以与重合． 题型12 根据中心对称的性质求解 45．已知以及外的一点O，分别作A，B，C关于O的对称点，，，得到．如图，则下列结论不成立的是（    ） A．点A与点是对称点 B． C． D． 46．如图，四边形与四边形关于点成中心对称，，则的度数为_____，的长度为_____． 47．如图，和关于点O成中心对称． (1)找出它们的对称中心O； (2)若，，，求的周长． 48．已知长方形，，，边长为（）的正方形的顶点与点重合，边、分别与、重合（如图所示）．将正方形沿着射线方向平移，设平移距离为． (1)当点恰好落在线段上时，直线、分别与长方形的边交于点、、（如图所示）．下列编号①-④中，两个图形能关于某点成中心对称的是___________，面积相等的是__________；（在横线上填入相应的编号） ①三角形与三角形；②三角形与三角形； ③三角形与三角形；④长方形与长方形． (2)在（1）的条件下，当时，求的值； (3)在平移过程中，当正方形的顶点落在线段上时，求的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $