精品解析：江苏省扬州市2025-2026学年八年级下学期6月期末数学试题

八年级数学 （试卷满分：150分 考试时间：120分钟） 一、选择题（本题共8个小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选择项前的字母代号填涂在答题卡相应的位置上） 1. 习近平总书记强调，发展新能源汽车是我国从汽车大国迈向汽车强国的必由之路．下列国产新能源汽车图标是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形可得答案． 【详解】解：选项A、C、D均不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形； 选项B能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形； 故选：B． 2. 下列从左到右的变形是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据因式分解的定义，即把一个多项式化为几个整式乘积的形式，逐一判断各选项即可得到答案 【详解】解：对选项C，右边中不是整式，不符合要求，C错误； 对选项B，左边是单项式，不是多项式，不符合要求，B错误； 对选项A，左边是多项式，右边是两个整式的乘积，符合因式分解的定义，A正确； 对选项D，该变形是将整式乘积化为多项式，属于整式乘法，不是因式分解，D错误 3. 下列调查中，适合采用普查的是（ ） A. 调查某品牌打印机的使用寿命 B. 调查某书稿中的科学性错误 C. 调查中国公民垃圾分类的意识 D. 调查夏季冷饮市场上冰淇淋的质量 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了抽样调查和全面调查的区别．由普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似． 【详解】解：A、调查某品牌打印机的使用寿命，应采用抽样调查，本选项不符合题意； B、查某书稿中的科学性错误，事关重大，应采用普查，本选项符合题意； C、调查中国公民垃圾分类的意识，应采用抽样调查，本选项不符合题意； D、调查夏季冷饮市场上冰淇淋的质量，应采用抽样调查，本选项不符合题意； 故选：B． 4. 下列计算中，正确的是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据同类二次根式的合并、二次根式的性质、二次根式的乘法逐项分析判断即可. 【详解】A. 与不是同类二次根式，不能合并，故不正确； B. ，故不正确； C. ，故正确； D.3与 不是同类二次根式，不能合并，故不正确； 故选C. 【点睛】本题考查了二次根式的运算，熟练掌握类二次根式的合并、二次根式的性质、二次根式的乘法法则是解答本题的关键. 5. 将分式中的m、n都扩大为原来的3倍，则分式的值(　　) A. 不变 B. 扩大3倍 C. 扩大6倍 D. 扩大9倍 【答案】A 【解析】 【详解】m、n都扩大为原来的3倍得到 ，∴分式的值不变. 故选A. 6. 下图是小颖同学从“对角线”的角度整理了平行四边形、矩形、菱形、正方形之间关系的思维导图，图中“▲”处应填写的内容是（ ） A. 对角线互相平分 B. 对角线相等 C. 对角线垂直且相等 D. 对角线互相垂直 【答案】C 【解析】 【分析】根据正方形的判定定理：对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形，结合思维导图中平行四边形到矩形、菱形的判定条件进行综合分析即可 【详解】解：由思维导图可知： 平行四边形矩形， 平行四边形菱形， ∵ 正方形既是矩形又是菱形， ∴ 平行四边形直接判定为正方形，需要同时满足“对角线相等”和“对角线互相垂直”， 即图中“▲”处应填写“对角线互相垂直且相等”． 7. 四边形中，若，则这个四边形是（ ） A. 一般梯形 B. 等腰梯形 C. 直角梯形 D. 平行四边形 【答案】C 【解析】 【分析】先根据四边形内角和定理求出四个内角的度数，再利用同旁内角互补判断对边的平行关系，进而确定四边形的形状． 【详解】解：， ，，，， ， ， ， 不平行于， 四边形是梯形， ， 四边形是直角梯形． 8. 已知，，，…，设（为正整数），则值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据数字间的规律探索列式计算即可获得答案． 【详解】解：由题意，可得 ， ， ， …… ， ∴ ． 二、填空题（本题共10个小题，每小题3分，共30分．不需写出解答过程，请把正确答案直接填写在答题卡相应位置上） 9. 若代数式有意义，则实数x的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件，被开方数为非负数，列出一元一次不等式求解即可； 【详解】解：∵代数式有意义， ∴被开方数满足 ； 移项得 ； 系数化为得 ； 10. 一组数据共有50个，分成四组后其中前三组的频率分别是0.25、0.15、0.3，则第四组数据的个数为______． 【答案】15 【解析】 【分析】先根据各小组的频率和是1，求得第四组的频率；再根据频率=频数÷数据总数，进行计算即可得出第四组数据的个数． 【详解】解：∵一组数据共有50个，分成四组后其中前三组的频率分别是0.25、0.15、0.3， ∴第四组的频率为：1-0.25-0.15-0.3=0.3， ∴第四组数据的个数为：50×0.3=15． 故答案为15． 【点睛】本题考查频率与频数，用到的知识点：频率=频数：数据总数，各小组的频率和是1． 11. 学了概率的相关知识后，某综合实践小组利用计算机模拟抛掷一枚图钉的试验，研究落地后针尖朝上的概率，记录的试验数据如表： 累计抛掷次数 针尖朝上频率 随着试验次数的增大，估计“针尖朝上”的概率为_______（精确到）． 【答案】 【解析】 【分析】根据用频率估计概率，当试验次数逐渐增大时，频率会稳定在某个常数附近，该常数可作为概率的估计值，观察频率的稳定趋势后按要求精确度取值即可． 【详解】解：由表格中的数据可得，随着累计抛掷次数增大，针尖朝上的频率逐渐在附近波动， ∴估计“针尖朝上”的概率为． 12. 若，，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】先通分，进行计算，再利用整体代入法进行计算即可. 【详解】解：∵，， ∴. 13. 若分式的值为0，则的值为________． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查的是分式为零的条件．根据若分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0进行解答即可． 【详解】解：由分式的值为零的条件得且， 由，得， 由，得， ， 故答案为：3． 14. 某漆器厂接到制作480件漆器的订单，为了尽快完成任务，该厂实际每天制作的件数比原来每天多，结果提前10天完成任务．设原来每天制作x件，则可列方程是_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据工作时间等于工作总量除以工作效率，分别表示出原来和实际完成任务的时间，再根据提前10天完成建立等量关系即可 【详解】解：由题意可得，原来每天制作件，原来完成件订单需要的时间为， 实际每天制作件数比原来多，因此实际每天制作件数为， 实际完成订单需要的时间为，结果提前天完成， 即原来用时比实际用时多天， 因此可列方程： 15. 如图，在菱形中，对角线，相交于点，测得，，过点作于点，则的长是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据菱形的性质可得，，，，利用勾股定理求得的长，进而得到的长，最后根据菱形的面积公式即可求解． 【详解】解：∵四边形是菱形，， ∴，，，， 在中，由勾股定理得：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 16. 将边长为2的正方形和短边长为1的矩形按如图所示的方式摆放，则重合部分的面积是_______． 【答案】 【解析】 【分析】连接正方形对角线，由边长为2得，点到对角线的距离．根据矩形的性质和判定得，则．再进行计算即可得，最后即可计算重合的面积． 【详解】解：如图，连接，交于点G，交于点H， 四边形是正方形， ，，， ∴， ∴， ∴ 解得， ∵四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴四边形为矩形， ∴， ∵，且， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 17. 若关于x的分式方程的解为负数，则m的取值范围是______． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的解，以及解一元一次不等式，分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程的解为负数确定出m的范围即可． 【详解】解： 原方程去分母，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得： ∵关于x的分式方程的解为负数， ∴且． ∴且． 故答案为：且． 18. 在矩形中，，．将矩形沿折叠，使得点落在边的处，点落在点处，点是的中点，连接交于点，连接，则的最小值是_______． 【答案】 【解析】 【分析】先根据三角形中位线性质得，进而得，再由轴对称的性质，对应线段相等得，得，通过找对称点构造直角三角形计算最小值，进而计算的最小值即可． 【详解】解：连接， 由折叠得，垂直平分，点为的中点， 在中，点为的中点，点是的中点， ， ， 由折叠得，点与点关于对称，点与点关于对称， 由轴对称的性质得，， ， 如图，作点关于直线的对称点，连接，则 ∴， ∴最小为线段的长， 在中，，， ， 的最小值为：． 三、解答题（本题共10个小题，共96分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据二次根式的乘除法法则计算二次根式，再合并二次根式，由此即可求解； （2）根据平方差公式，完全平方公式展开，在合并二次根式，即可求解． 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 解： ． 【点睛】本题主要考查二次根式的混合运算及乘法公式的应用，理解和掌握二次根式的加减乘除法法则及乘法公式是解题的关键． 20. 因式分解： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解：原式； 【小问2详解】 解：原式. 21. 解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2）无解 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根． （1）去分母转化为整式方程求解并检验； （2）去分母转化为整式方程求解并检验． 【小问1详解】 解： ， 解得：， 经检验：是原方程的解， ∴原方程的解为； 【小问2详解】 解： 解得： 经检验：是增根， ∴原方程无解． 22. 请你先化简：，然后从中选一个合适的整数作为x的值代入求值． 【答案】 ，当时，原式. 【解析】 【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再选取合适的x的值（使分式的分母和除式不为0）代入进行计算即可（答案不唯一）． 【详解】 = = =， 当时，原式. 23. 青少年体质指数（）是评估青少年营养状况、胖瘦与健康的一种衡量指标．体质指数（）计算公式：，其中G表示体重（），h表示身高（m），《国家学生体质健康标准》将学生体质指数（）分成四个等级：A（偏瘦），B（标准），C（超重），D（肥胖）． 为了解学校学生体质指数分布情况，数学综合实践小组开展了一次调查，并做了如下工作：①整理数据并绘制统计图；②在全校范围内随机抽取50名学生，进行问卷调查；③分析数据并得出结论；④设计关于体重和身高的问卷． （1）将上述统计工作进行排序： ； （2）调查小组根据收集的数据，绘制了如图的两幅不完整的统计图．根据以上信息，解决下列问题： ①补全条形统计图； ②求扇形统计图中C所对应的圆心角度数； ③学校准备制定健身减肥计划（超重和肥胖都需要参加），若该校总人数500人，估计需要健身减肥的有多少人？ 【答案】（1）④②①③ （2）①补全条形统计图如下： ②； ③220人． 【解析】 【分析】（1）根据数据的收集与整理的具体步骤解答即可； （2）①根据扇形统计图中B等级所占的百分比和总人数可求得B等级的人数，然后用总人数减去其它等级人数即可求得C等级的人数，据此补充条形统计图即可； ②利用360度乘以C等级所占的百分比求解即可； ③用该校总人数乘以C等级和D等级所占百分比求解即可． 【小问1详解】 解：为了解学校学生体质指数分布情况，应该先设计关于体重和身高的问卷，然后在全校范围内随机抽取50名学生，进行问卷调查，再整理数据并绘制统计图，最后结合统计图分析数据并得出结论； 则正确排序为④②①③； 【小问2详解】 解：①B等级的人数： （人）， C等级的人数：（人）． ②， 答；扇形统计图中C所对应的圆心角度数为． ③（人）， 答：估计需要健身减肥的有220人． 24. 如图，在四边形中，AB//DC，，对角线，交于点，平分，过点作交的延长线于点，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求的长． 【答案】 （1）证明：∵AB//CD， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， 又∵∥， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴是菱形． （2）OE=2． 【解析】 【分析】（1）根据一组对边相等的平行四边形是菱形进行判定即可． （2）根据菱形的性质和勾股定理求出，根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半即可求解． 【详解】（1）略； （2）解：∵四边形是菱形，对角线、交于点， ∴，，， ∴， 在Rt△AOB中，， ∴， ∵， ∴， 在Rt△AEC中，，为中点， ∴． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质和判定，菱形的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理等，熟练掌握菱形的判定方法以及直角三角形斜边的中线等于斜边的一半是解题的关键． 25. 某市高铁站将原来的检票系统换成了智能通道闸机系统，如图1所示是一个智能通道闸机，它的双翼成轴对称，当旅客通过时智能闸机时会自动识别旅客身份，识别成功后，双翼会收回到两侧闸机箱内，这时旅客即可通过．图②是双翼展开时的截面图，扇形和是闸机的圆弧翼，和均垂直于地面，双翼边缘的端点与点在同一水平线上，且它们之间的距离为，双翼的边缘，且与闸机箱的夹角． （1）当双翼收起时，可以通过闸机的最大宽度为 ； （2）经实践调查，一个智能闸机的平均检票速度是一个人工检票口平均检票速度的倍，人的团队通过一个智能闸机口比通过一个人工检票口可节约分钟，求一个智能闸机平均每分钟检票通过的人数． 【答案】（1） （2）人 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形的应用，分式方程的应用； （1）连接，并向两方延长，分别交于，根据题意得到，再根据直角三角形的性质得到，，代入计算即可； （2）设一个人工检票口平均每分钟检票通过的人数为人，根据题意列方程即可得到结论． 【小问1详解】 解：连接，并向两方延长，分别交于， 由点在同一条水平线上，均垂直于地面可知，， 所以的长度就是与之间的距离， 在中，，， ∴， 同理可得， ∴， ∴当双翼收起时，可以通过闸机的最大宽度； 【小问2详解】 设一个人工检票口平均每分钟检票通过的人数为人， 根据题意得，， 解得：， 经检验，是原方程的根， 当时，， 答：一个智能闸机平均每分钟检票通过的人数约为人． 26. 如图，是的中线，D是线段上一点（不与点A重合）．交于点F，，连接． （1）如图1，当点D与M重合时，求证：； （2）如图2，当点D不与M重合时，判断四边形的形状，并说明理由． 【答案】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵是的中线，且D与M重合， ∴， ∴， ∴； （2）解：四边形是平行四边形，理由如下： 如图2，过点M作交于G， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵，， ∴， ∴同（1）可证得， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形． 【解析】 【分析】（1）根据两直线平行同位角相等以及中线的性质，可利用证得，即可得到结论； （2）过点M作交于G，则四边形是平行四边形，得到，同（1）可证得，进而得到，即可根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证得结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 27. 【提出问题】在之前的学习中，我们知道了：三角形的中线平分三角形的面积、三角形的三条中线交于一点……，但命题“三角形的三条中线交于一点”并未证明．某数学兴趣小组就此展开数学探究． 【分析问题】该数学兴趣小组，先将文字命题转化为下面的几何语言“已知：如图1，、是的中线，、交于点O，连接并延长交于点F．求证：是的中线．” 同学甲：如图2，延长到点G，使得，连接、，通过证明四边形是平行四边形，即得； 同学乙：也可以利用面积法证明，先证出“的面积等于的面积”，再证“”； 教师：九年级学习相似后，我们还可以用相似的方法证明．除此之外，还有其他证法，期待同学们继续探究： 【解决问题】 （1）根据同学甲的分析，补全证明过程； （2）根据同学乙的分析，写出证明过程； 【结论应用】 （3）如图3，在中，E为的中点，只用无刻度的直尺作的中点F（不写作法，保留作图痕迹）． 【答案】（1）证明：如图2，延长到点，使得，连接、， 、是的中线， 是的中点，是的中点， 在中， 是的中点，是的中点（由作图可知）， 是的中位线， ， 点在上，即，，三点共线， ， 同理，在中，是中位线，可得，即， 在四边形中， 且， 四边形是平行四边形， 其对角线和互相平分， 是和的交点， 是的中点，即， 是的中线， （2）证明：是的中线， 是的中点， （等底同高）， 同理，， ， 同理可证， ， ， ， 是的中线 （3） 【解析】 【分析】（1）延长中线至点，使得，从而构造出两个三角形的中位线（和）。利用中位线定理证明且，进而判定四边形为平行四边形，最后，根据平行四边形对角线互相平分的性质，即可证明是的中点； （2）利用“等底同高的三角形面积相等”这一性质，首先证明与的面积都等于的面积，从而得出与面积相等，接着，将这两个三角形的面积分别看作以和为底、高相同的两个三角形（和）的面积之和，通过等量代换证明与面积相等，最终得出； （3）在平行四边形中，对角线交点是中边的中点，因此是的一条中线，又因为是的中点，所以是的另一条中线，两条中线和的交点即为的重心，连接并延长，该线必为的第三条中线，它与的交点即为所求的BC中点． 【小问1详解】 略． 【小问2详解】 略． 【小问3详解】 解：连接、交于点， 连接交于点， 连接且延长交于点 点即为所求作的的中点． 28. 科学表明，健康饮水的适宜温度是（含和）．如图是某品牌饮水机的相关信息： （1）若在温水出口接水6秒、开水出口接水2秒，则开水和温水混合后的温度为 ； （2）若用甲杯在温水出口接水秒、开水出口接水秒，用乙杯在温水出口接水秒、开水出口接水秒（）．用含和的代数式分别表示甲杯、乙杯中水的温度，并比较两杯水的温度的大小，说明理由； （3）若接水总时间为15秒，使得水温在健康饮水的适宜温度内，则在开水出口接水时间（秒）的范围 ． 【答案】（1） （2）解：甲水杯水的温度高，理由如下： 甲水杯温度：∵温水出口接水秒、开水出口接水秒， ∴温水体积为，开水体积为， ； 乙水杯温度：∵温水出口接水秒、开水出口接水秒， ∴温水体积为，开水体积为， ； ∵ ， ∵， ∴， ∴，即， 甲水杯水的温度高； （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意，算出温水体积，开水体积，再代入混合温度的计算公式即可求解； （2）根据题中公式，可求得，，再利用作差法比较大小即可； （3）由开水出口接水时间为秒，可知温水接水时间为秒，开水体积为，温水体积为，根据健康饮水的适宜温度是（含和），可得到不等式组，化简计算得到，再结合，即可求解． 【小问1详解】 解：∵温水体积，开水体积， ∴混合温度为； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：∵开水出口接水时间为秒，则温水接水时间为秒，开水体积为，温水体积为， 又∵健康饮水的适宜温度是（含和）， ∴， 化简得， 解得， ∵，即， 综上可知，的取值范围是． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级数学 （试卷满分：150分 考试时间：120分钟） 一、选择题（本题共8个小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选择项前的字母代号填涂在答题卡相应的位置上） 1. 习近平总书记强调，发展新能源汽车是我国从汽车大国迈向汽车强国的必由之路．下列国产新能源汽车图标是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 2. 下列从左到右的变形是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列调查中，适合采用普查的是（ ） A. 调查某品牌打印机的使用寿命 B. 调查某书稿中的科学性错误 C. 调查中国公民垃圾分类的意识 D. 调查夏季冷饮市场上冰淇淋的质量 4. 下列计算中，正确的是( ) A. B. C. D. 5. 将分式中的m、n都扩大为原来的3倍，则分式的值(　　) A. 不变 B. 扩大3倍 C. 扩大6倍 D. 扩大9倍 6. 下图是小颖同学从“对角线”的角度整理了平行四边形、矩形、菱形、正方形之间关系的思维导图，图中“▲”处应填写的内容是（ ） A. 对角线互相平分 B. 对角线相等 C. 对角线垂直且相等 D. 对角线互相垂直 7. 四边形中，若，则这个四边形是（ ） A. 一般梯形 B. 等腰梯形 C. 直角梯形 D. 平行四边形 8. 已知，，，…，设（为正整数），则值是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本题共10个小题，每小题3分，共30分．不需写出解答过程，请把正确答案直接填写在答题卡相应位置上） 9. 若代数式有意义，则实数x的取值范围是______． 10. 一组数据共有50个，分成四组后其中前三组的频率分别是0.25、0.15、0.3，则第四组数据的个数为______． 11. 学了概率的相关知识后，某综合实践小组利用计算机模拟抛掷一枚图钉的试验，研究落地后针尖朝上的概率，记录的试验数据如表： 累计抛掷次数 针尖朝上频率 随着试验次数的增大，估计“针尖朝上”的概率为_______（精确到）． 12. 若，，则_______． 13. 若分式的值为0，则的值为________． 14. 某漆器厂接到制作480件漆器的订单，为了尽快完成任务，该厂实际每天制作的件数比原来每天多，结果提前10天完成任务．设原来每天制作x件，则可列方程是_______． 15. 如图，在菱形中，对角线，相交于点，测得，，过点作于点，则的长是______． 16. 将边长为2的正方形和短边长为1的矩形按如图所示的方式摆放，则重合部分的面积是_______． 17. 若关于x的分式方程的解为负数，则m的取值范围是______． 18. 在矩形中，，．将矩形沿折叠，使得点落在边的处，点落在点处，点是的中点，连接交于点，连接，则的最小值是_______． 三、解答题（本题共10个小题，共96分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 计算： （1）； （2）． 20. 因式分解： （1）； （2）． 21. 解下列方程： （1）； （2）． 22. 请你先化简：，然后从中选一个合适的整数作为x的值代入求值． 23. 青少年体质指数（）是评估青少年营养状况、胖瘦与健康的一种衡量指标．体质指数（）计算公式：，其中G表示体重（），h表示身高（m），《国家学生体质健康标准》将学生体质指数（）分成四个等级：A（偏瘦），B（标准），C（超重），D（肥胖）． 为了解学校学生体质指数分布情况，数学综合实践小组开展了一次调查，并做了如下工作：①整理数据并绘制统计图；②在全校范围内随机抽取50名学生，进行问卷调查；③分析数据并得出结论；④设计关于体重和身高的问卷． （1）将上述统计工作进行排序： ； （2）调查小组根据收集的数据，绘制了如图的两幅不完整的统计图．根据以上信息，解决下列问题： ①补全条形统计图； ②求扇形统计图中C所对应的圆心角度数； ③学校准备制定健身减肥计划（超重和肥胖都需要参加），若该校总人数500人，估计需要健身减肥的有多少人？ 24. 如图，在四边形中，AB//DC，，对角线，交于点，平分，过点作交的延长线于点，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求的长． 25. 某市高铁站将原来的检票系统换成了智能通道闸机系统，如图1所示是一个智能通道闸机，它的双翼成轴对称，当旅客通过时智能闸机时会自动识别旅客身份，识别成功后，双翼会收回到两侧闸机箱内，这时旅客即可通过．图②是双翼展开时的截面图，扇形和是闸机的圆弧翼，和均垂直于地面，双翼边缘的端点与点在同一水平线上，且它们之间的距离为，双翼的边缘，且与闸机箱的夹角． （1）当双翼收起时，可以通过闸机的最大宽度为 ； （2）经实践调查，一个智能闸机的平均检票速度是一个人工检票口平均检票速度的倍，人的团队通过一个智能闸机口比通过一个人工检票口可节约分钟，求一个智能闸机平均每分钟检票通过的人数． 26. 如图，是的中线，D是线段上一点（不与点A重合）．交于点F，，连接． （1）如图1，当点D与M重合时，求证：； （2）如图2，当点D不与M重合时，判断四边形的形状，并说明理由． 27. 【提出问题】在之前的学习中，我们知道了：三角形的中线平分三角形的面积、三角形的三条中线交于一点……，但命题“三角形的三条中线交于一点”并未证明．某数学兴趣小组就此展开数学探究． 【分析问题】该数学兴趣小组，先将文字命题转化为下面的几何语言“已知：如图1，、是的中线，、交于点O，连接并延长交于点F．求证：是的中线．” 同学甲：如图2，延长到点G，使得，连接、，通过证明四边形是平行四边形，即得； 同学乙：也可以利用面积法证明，先证出“的面积等于的面积”，再证“”； 教师：九年级学习相似后，我们还可以用相似的方法证明．除此之外，还有其他证法，期待同学们继续探究： 【解决问题】 （1）根据同学甲的分析，补全证明过程； （2）根据同学乙的分析，写出证明过程； 【结论应用】 （3）如图3，在中，E为的中点，只用无刻度的直尺作的中点F（不写作法，保留作图痕迹）． 28. 科学表明，健康饮水的适宜温度是（含和）．如图是某品牌饮水机的相关信息： （1）若在温水出口接水6秒、开水出口接水2秒，则开水和温水混合后的温度为 ； （2）若用甲杯在温水出口接水秒、开水出口接水秒，用乙杯在温水出口接水秒、开水出口接水秒（）．用含和的代数式分别表示甲杯、乙杯中水的温度，并比较两杯水的温度的大小，说明理由； （3）若接水总时间为15秒，使得水温在健康饮水的适宜温度内，则在开水出口接水时间（秒）的范围 ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $