专题01 一元二次方程根与系数的关系（暑假预习讲义） 2026-2027学年人教版九年级数学上册

专题01 一元二次方程根与系数的关系 一、根与系数的关系 1.定理内容 对于一元二次方程，当判别式（方程有两个实数根）时，设两根为，则： 2.简化特例（二次项系数为1） 方程，两根： 3.使用两大硬性前提 ①（必须是一元二次方程）； ②（方程存在实数根，无实根时不能使用韦达定理）。 二、利用根与系数的关系构造方程 若两个实数m、n满足，则m、n是方程的两根； 已知两数m、n，以它们为根的一元二次方程（二次项系数为1）： 三、高频两根对称式变形（整体代入核心） 设 1.两根平方和： 2.倒数和： 3.两根差的平方： 4.两根差的绝对值（数轴距离）： 5. 四、不解方程判断根的正负分布（必考结论） 设 1.一正一负根：（此时恒成立，无需额外判别） 2.两个正实数根： 3.两个负实数根： 4.一根为0： 五、核心数学思想 1.整体代入思想：不单独求根，用S、P整体代换代数式； 2.降次思想：利用方程根的定义，将高次代数式降为一次、二次； 3.分类讨论思想：参数取值、等腰三角形边长、根的正负分类； 4.构造方程思想：两数满足相同二次方程时，直接把两数看作方程两根。 【基础巩固题型】 【题型1】直接套用根与系数的关系代数式值 解题方法技巧 1.先写出方程a、b、c，计算两根和、两根积； 2.将所求代数式用S、P变形（平方和、倒数和、乘积展开等）； 3.整体代入计算，注意分母不为0、符号易错点。 【例题1】.（25-26八年级下·浙江绍兴·阶段检测）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，．若，则k的值为_________． 【变式题1-1】.（2026·宁夏吴忠·三模）已知关于x的一元二次方程的两个实数根分别为，，且，则m的值_________． 【变式题1-2】.（2026·黑龙江绥化·模拟预测）设是方程的两个根，则的值为___________． 【变式题1-3】.（2026·山东德州·二模）若，是方程的两个实数根，则代数式的值为________． 【题型2】已知方程一根，求另一根与参数 解题方法技巧 方法1：代入已知根，解参数，再解方程求另一根； 方法2：韦达定理两根积快速求另一根，再用两根和求参数； 易错提醒：二次项系数不为0，有实根需验证。 【例题2】.（25-26九年级上·湖南长沙·期末）已知关于的一元二次方程有一个根是，则另外一个根是_____． 【变式题2-1】.（25-26九年级下·江苏泰州·阶段检测）已知方程的一个根是10，则它的另一个根是______． 【变式题2-2】.（25-26八年级下·安徽淮北·期中）已知关于的一元二次方程，其中为实数． (1)求证：该方程有两个不相等的实数根； (2)若该方程的一个根为，求另一个根； (3)若该方程的一个根大于，另一个根小于，求的取值范围． 【变式题2-3】.（24-25九年级上·江苏无锡·期中）在解一元二次方程时，小马同学粗心地将二次项的系数与一次项系数对换了，得到了一个新的方程．他正确地解出了这个新的方程，其中一个根是3，另一根等于原方程的一个根． (1)求这两个方程相同的根． (2)求原方程两根之和． 【题型3】不解方程，判定两根正负与符号特征 解题方法技巧 1.第一步：判断正负，区分同号/异号根； 2.第二步：同号时看，判断两根全正/全负； 3.异号无需判别式，同号必须额外验证。 【例题3】.（25-26九年级上·全国·课后作业）一元二次方程的根的情况是（   ） A．没有实数根 B．有一个正根，一个负根 C．有两个正根，且都小于3 D．有两个正根，且有一根大于3 【变式题3-1】.（2024·江苏南京·二模）关 于x 的方程（k为常数）的根的情况，下列结论中正确的是（　　） A．两个正根 B．两个负根 C．一个正根， 一个负根 D．无实数根 【变式题3-2】.（2026·河北唐山·模拟预测）一元二次方程两根异号，则a的取值范围是 （     ） A． B． C． D． 【变式题3-3】.（25-26九年级上·福建泉州·期末）已知，是两个不相等的实数，且满足，． (1)求式子的值； (2)若与两数异号，求实数k的取值范围． 【题型4】利用根与系数的关系构造一元二次方程 解题方法技巧 1.已知两数m、n，计算和、积； 2.标准构造式：； 3.拓展：指定二次项系数，方程写为。 【例题4】.（25-26九年级上·四川宜宾·期末）若实数m、n满足且，则的值是（   ） A．3 B． C．1 D． 【变式题4-1】.（25-26九年级上·福建漳州·期末）已知实数，，（），且满足，． (1)求证：的值为定值； (2)若，同号，求的取值范围． 【变式题4-2】.（25-26九年级上·福建南平·期末）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：方程必有两个不相等的实数根； (2)若实数m，n满足，，且，求的值． 【变式题4-3】.（25-26九年级上·福建漳州·期中） 阅读理解材料：已知实数m，n满足，，且．根据材料．求的值． 解：由题意，可得：m，n是方程的两个不相等的实数根， 根据一元二次方程根与系数的关系得：，， ∴． 解决以下问题： (1)若方程的两个实数根为，，则 ． (2)已知实数m，n满足，，且，求 的值． (3)已知实数p，q满足，，且，求的值． 【培优提升题型】 【题型5】结合方程根定义降次，求解高次代数式 解题方法技巧 1.若是方程根，则满足，实现二次降一次； 2.三次、四次等高次项反复降次，统一化为一次代数式； 3.结合韦达定理的整体合并化简。 【例题5】.（25-26九年级上·四川成都·期末）已知m是一元二次方程的一个根，则的值是 _________ ． 【变式题5-1】.（24-25九年级上·内蒙古包头·阶段检测）若m、n是一元二次方程的两个实数根，则的值是__________． 【变式题5-2】.（24-25九年级上·全国·期末）设，是方程的两个实数根，则的值为________． 【变式题5-3】.（2026·甘肃白银·二模）如果m是方程的一个根，那么代数式的值为______． 【题型6】根与系数的关系+判别式综合参数取值范围 解题方法技巧 1.三重限制条件联立求参数范围： ①二次项系数； ②方程有实根：； ③两根满足不等式（平方和、积与和大小、根分布限制）； 2.分别解不等式，取公共交集； 3.含整数限制时，在解集内筛选符合整数。 【例题6】.（2026·四川南充·一模）已知实数k使一元二次方程有两个实数根． (1)求实数k的取值范围． (2)若方程的两根是符号相同的整数，试求实数k的值． 【变式题6-1】.（2026·四川达州·一模）已知关于x的一元二次方程有两个实数根，． (1)求m的取值范围； (2)若，求m的值． 【变式题6-2】.（2026·江西九江·一模）若是关于的一元二次方程的两个实数根． (1)求出实数的取值范围； (2)若方程的两个实数根满足，求的值． 【变式题6-3】.（25-26九年级上·湖南湘西·阶段检测）关于x的方程有两个不相等的实数根． (1)求k的取值范围； (2)若，求k的值． 【压轴素养题型】 【题型7】根与系数的关系与几何图形综合 解题方法技巧 1.几何条件转化为两根关系： 等腰三角形：两边为方程两根，分“两腰为根/一边固定一腰为根”分类； 菱形：对角线为两根，面积=，边长用勾股； 直角三角形：直角边为两根，斜边平方=； 2.结合三角形三边关系、边长为正整数限制参数取值。 【例题7】.（2026九年级上·福建泉州·专题练习）已知关于的一元二次方程， (1)求证：该一元二次方程总有两个不相等的实数根； (2)若该方程的两个根是一个矩形的两边长，矩形对角线长为5，试求的值． 【变式题7-1】.（25-26九年级上·福建三明·期中）已知关于的方程． (1)试说明：无论取什么实数值，方程总有实数根； (2)若等腰的一边长为1，另两边，恰好是这个方程的两个实数根，求的周长 【变式题7-2】.（25-26八年级下·安徽·期中）已知关于的一元二次方程． (1)求证：方程有两个实数根； (2)若的两边、的长分别是此方程的两个实数根，第三边长为，当是等腰三角形时，求的值． 【变式题7-3】.（25-26九年级下·福建莆田·阶段检测）从“特殊”到“一般”是研究数学问题的一种常用策略．某综合实践小组以特殊四边形为背景，就“倍矩形（其周长为原矩形周长的倍，其面积亦为原矩形面积的倍）存在性问题”展开探究． 设原矩形长为，宽为，倍矩形长为，宽为． (1)【特例感知】已知原矩形，，其倍矩形长为_______，宽为______； (2)【类比探究】上述第（1）问中原矩形的倍矩形存在吗？说明理由； (3)【一般验证】求证：无论原矩形，取何正值，其倍矩形一定存在． 【题型8】新定义与根与系数的关系探究题（素养阅读题型） 解题方法技巧 1.精读材料，拆解题目自定义规则（和积方程、衍生点、交叉方程等）； 2.将新定义条件翻译为S、P的等式或不等式； 3.联立韦达定理与定义式求解参数，结合判别式、分类讨论； 命题特色：阅读探究、数学文化、逻辑推理素养考查。 【例题8】.（25-26九年级上·辽宁丹东·期末）如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根是另一个根的倍（n为正整数），则称这样的方程为“n倍根方程”，例如：方程的两个根分别是2和4，则这个方程就是“2倍根方程”：方程的两个根分别是1和3，则这个方程就是“3倍根方程”． (1)根据上述定义，是“__________倍根方程”；（填数字） (2)若关于的方程是“4倍根方程”，求t的值； 【变式题8-1】.（25-26九年级上·辽宁沈阳·阶段检测）定义：我们把关于的一元二次方程与称为一对“友好方程”．如的“友好方程”是． (1)写出一元二次方程的“友好方程”：_____． (2)已知一元二次方程的两根为，，则它的“友好方程”的两根为，_____；根据以上结论，猜想的两根，与其“友好方程”的两根之间存在的一种特殊关系为_____，证明你的结论． (3)已知关于的方程的两根是，．请利用（2）中的结论，写出关手的方程的两根为_____． 【变式题8-2】.（25-26九年级上·四川成都·期中）定义：已知，是关于x的一元二次方程的两个实数根，若，且，则称这个方程为“立格方程”．如：一元二次方程的两根为，，因为，，所以一元二次方程为“立格方程”． 请阅读以上材料，回答下列问题： (1)判断一元二次方程是否为“立格方程”，并说明理由； (2)若关于x的一元二次方程是“立格方程”．且两根，满足．求k的值； (3)若关于x的一元二次方程是“立格方程”，求m的取值范围． 【变式题8-3】.（25-26九年级上·河北保定·阶段检测）【定义】我们把关于x的一元二次方程与称为一对“友好方程” 【示例】如的“友好方程”是（1）写出一元二次方程的“友好方程”是______． 【探究】（2）已知一元二次方程的两根为，则它的“友好方程”的两个根为______． 【猜想】（3）当时，方程的两根与其“友好方程”的两根之间存在的一种特殊关系为______． 【证明】证明上面的猜想（4）∵方程的两根为， ；方程的两根为，①______；…请完成上述填空①，并补全证明过程．(备注：证明一组关系即可) 【应用】（5）已知关于x的方程的两根是， 请利用（2）中的结论，写出关于x的方程的两根为______． 一、单选题 1．若点与点关于y轴对称，则下面关于x的一元二次方程根的说法正确的是（     ） A．有两个相等的实数根 B．是原方程的一个根 C．两根之和为 D．两根之积为 2．已知、是一元二次方程的两根，则的值是（     ） A． B． C． D． 3．若的两直角边长a，b分别为一元二次方程的两个实数根，则的面积为（   ） A．5 B．3 C． D． 二、填空题 4．已知方程的两个根是和，则_________． 5．已知关于x的一元二次方程的两根和满足，则k的值为________． 6．对于非零的两个实数、，规定．若，则的值为____________． 三、解答题 7．设，为方程的两根，试求下列各式的值； (1) (2) (3) 8．已知关于的一元二次方程． (1)求证：无论取何值，原方程总有两个实数根； (2)若方程的一个根为2，求的值和方程的另一个根． 9．已知方程组有两组实数解、，且，，设． (1)求的取值范围； (2)用含的代数式表示； (3)是否存在这样的的值，使的值为？如果存在，求出这样的的值；若不存在，说明理由． 10．在平面直角坐标系中，对于抛物线，，是常数，图象上两个不同的点，，我们不妨约定： 如果满足，且，则称点与点是一对“失衡点”； 如果满足，则称点与点是一对“平衡点”； 若某函数图象上同时存在至少一对“失衡点”和至少一对“平衡点”，则称该函数为“完备函数”． (1)判断下列说法是否正确（正确的打“√”，错误的打“×”）： ①函数是“完备函数”；（   ） ②函数上存在无数对“失衡点”；（   ） ③若点与点是一对“平衡点”，则它们也是一对“失衡点”．（   ） (2)已知抛物线与一次函数相交于两点、，且、恰好是该抛物线上的一对“失衡点”．若，直线是否经过定点？若经过，求出定点的坐标；否则，请说明理由； (3)若抛物线是“完备函数”，点、是一对“平衡点”．抛物线的顶点为，它与轴交于、两点．当是等边三角形时，记的面积为，试求的最小值． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 一元二次方程根与系数的关系 一、根与系数的关系 1.定理内容 对于一元二次方程，当判别式（方程有两个实数根）时，设两根为，则： 2.简化特例（二次项系数为1） 方程，两根： 3.使用两大硬性前提 ①（必须是一元二次方程）； ②（方程存在实数根，无实根时不能使用韦达定理）。 二、利用根与系数的关系构造方程 若两个实数m、n满足，则m、n是方程的两根； 已知两数m、n，以它们为根的一元二次方程（二次项系数为1）： 三、高频两根对称式变形（整体代入核心） 设 1.两根平方和： 2.倒数和： 3.两根差的平方： 4.两根差的绝对值（数轴距离）： 5. 四、不解方程判断根的正负分布（必考结论） 设 1.一正一负根：（此时恒成立，无需额外判别） 2.两个正实数根： 3.两个负实数根： 4.一根为0： 五、核心数学思想 1.整体代入思想：不单独求根，用S、P整体代换代数式； 2.降次思想：利用方程根的定义，将高次代数式降为一次、二次； 3.分类讨论思想：参数取值、等腰三角形边长、根的正负分类； 4.构造方程思想：两数满足相同二次方程时，直接把两数看作方程两根。 【基础巩固题型】 【题型1】直接套用根与系数的关系代数式值 解题方法技巧 1.先写出方程a、b、c，计算两根和、两根积； 2.将所求代数式用S、P变形（平方和、倒数和、乘积展开等）； 3.整体代入计算，注意分母不为0、符号易错点。 【例题1】.（25-26八年级下·浙江绍兴·阶段检测）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，．若，则k的值为_________． 【答案】1 【分析】先根据方程有两个不相等的实数根得到k的取值范围，再利用根与系数的关系得到两根之和与两根之积，将变形为，即可列方程求解． 【详解】解：由根与系数的关系可得，， ， ， ， 解得， 关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ， 解得， 的值为1． 【变式题1-1】.（2026·宁夏吴忠·三模）已知关于x的一元二次方程的两个实数根分别为，，且，则m的值_________． 【答案】 【分析】先根据根与系数的关系得到两根之和，再联立已知等式求出两根，最后利用根与系数的关系计算的值． 【详解】解：对于一元二次方程，，，， 由根与系数的关系可得：， 联立方程组， 得， 解得， 将代入，得， 由根与系数的关系得， 因此． 【变式题1-2】.（2026·黑龙江绥化·模拟预测）设是方程的两个根，则的值为___________． 【答案】 【分析】利用一元二次方程根的定义得到，再根据根与系数的关系得到，最后利用整体代入的方法计算． 【详解】解：是方程的根， ，即， 是方程的两个根， ， ． 【变式题1-3】.（2026·山东德州·二模）若，是方程的两个实数根，则代数式的值为________． 【答案】11 【分析】先利用一元二次方程根的定义，将用含的一次式表示，再利用根与系数的关系得到的值，最后代入代数式化简求值． 【详解】解：是方程的实数根， ， ， ，是方程的两个实数根， ， ． 【题型2】已知方程一根，求另一根与参数 解题方法技巧 方法1：代入已知根，解参数，再解方程求另一根； 方法2：韦达定理两根积快速求另一根，再用两根和求参数； 易错提醒：二次项系数不为0，有实根需验证。 【例题2】.（25-26九年级上·湖南长沙·期末）已知关于的一元二次方程有一个根是，则另外一个根是_____． 【答案】2 【分析】此题考查了一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是熟记：一元二次方程的两个根为，，则，． 利用一元二次方程根与系数的关系，根据已知根求另一个根即可． 【详解】解：设的两个实数根为，，其中， ∴，即， 解得：， 故答案为：． 【变式题2-1】.（25-26九年级下·江苏泰州·阶段检测）已知方程的一个根是10，则它的另一个根是______． 【答案】2.5 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，设方程的另一个根是t，由根与系数的关系可得：，解方程即可得到答案． 【详解】解：设方程的另一个根是t， 由根与系数的关系可得：， 解得：， ∴方程的另一个根是2.5． 故答案为：2.5． 【变式题2-2】.（25-26八年级下·安徽淮北·期中）已知关于的一元二次方程，其中为实数． (1)求证：该方程有两个不相等的实数根； (2)若该方程的一个根为，求另一个根； (3)若该方程的一个根大于，另一个根小于，求的取值范围． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）由根的判别式计算即可证明； （2）将已知的方程根代入方程后可求得的值，再根据根与系数的关系得到的值，进而可得另一个根； （3）方程的两个实数根为，，由根与系数的关系得到，，再根据两个根的取值范围得到，然后解不等式即可． 【详解】（1）证明：一元二次方程化为一般形式为， ， 该方程有两个不相等的实数根； （2）解：将代入方程得，，解得， 此方程为， ， 另一根为； （3）解：设方程的两个实数根为，， ，， 方程的一个根大于，另一个根小于， ， ， ，解得． 【变式题2-3】.（24-25九年级上·江苏无锡·期中）在解一元二次方程时，小马同学粗心地将二次项的系数与一次项系数对换了，得到了一个新的方程．他正确地解出了这个新的方程，其中一个根是3，另一根等于原方程的一个根． (1)求这两个方程相同的根． (2)求原方程两根之和． 【答案】(1)1 (2) 【分析】本题考查一元二次方程的解，一元二次方程根与系数的关系： （1）令，结合，可得两方程相同的根； （2）结合（1）中结论，利用一元二次方程根与系数的关系求解． 【详解】（1）解：原方程为，小马解的方程为， 令， 化简得， ， ，， ， 即这两个方程相同的根是1． （2）解：由（1）可知新方程的两个根为3，1， ， ， 原方程为两根之和为． 【题型3】不解方程，判定两根正负与符号特征 解题方法技巧 1.第一步：判断正负，区分同号/异号根； 2.第二步：同号时看，判断两根全正/全负； 3.异号无需判别式，同号必须额外验证。 【例题3】.（25-26九年级上·全国·课后作业）一元二次方程的根的情况是（   ） A．没有实数根 B．有一个正根，一个负根 C．有两个正根，且都小于3 D．有两个正根，且有一根大于3 【答案】D 【详解】一元二次方程化简，得． ，， ， 即． ， 该方程有两个正根，且有一根大于3． 【变式题3-1】.（2024·江苏南京·二模）关 于x 的方程（k为常数）的根的情况，下列结论中正确的是（　　） A．两个正根 B．两个负根 C．一个正根， 一个负根 D．无实数根 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，以及一元二次方程根与系数的关系，利用一元二次方程根的判别式得到方程有两个不相等的实数根，再根据一元二次方程根与系数的关系，得到，进而得到方程两个不相等的实数根异号，即可解题． 【详解】解：， ， 即有， 方程有两个不相等的实数根， ， 方程两个不相等的实数根异号， 方程有一个正根， 一个负根， 故选：C． 【变式题3-2】.（2026·河北唐山·模拟预测）一元二次方程两根异号，则a的取值范围是 （     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据一元二次方程两根异号的性质，结合根与系数的关系和判别式列不等式组求解即可． 【详解】解：设方程的两根为， ∵两根异号， ∴，， ∴，解得：． ∴a的取值范围是． 【变式题3-3】.（25-26九年级上·福建泉州·期末）已知，是两个不相等的实数，且满足，． (1)求式子的值； (2)若与两数异号，求实数k的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意可知，可看成方程的两个根，利用根与系数的关系求出两根之和即可； （2）根据方程有两个不相等的实数根得到判别式，再结合，求出实数k的取值范围． 【详解】（1）解：由题意可知，，可看成方程的两个根， 由根与系数的关系得：； （2）解：方程有两个不相等的实数根， 判别式, 解得, 与两数异号, , 解得, 综上所述，的取值范围是． 【题型4】利用根与系数的关系构造一元二次方程 解题方法技巧 1.已知两数m、n，计算和、积； 2.标准构造式：； 3.拓展：指定二次项系数，方程写为。 【例题4】.（25-26九年级上·四川宜宾·期末）若实数m、n满足且，则的值是（   ） A．3 B． C．1 D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，掌握一元二次方程根与系数的关系是解题关键，若一元二次方程的两个根分别为和，则． 利用根与系数的关系进行求解即可． 【详解】解：∵实数m、n满足且， 即 ∴m和n是的两个根， ∴， 则， 故选：A． 【变式题4-1】.（25-26九年级上·福建漳州·期末）已知实数，，（），且满足，． (1)求证：的值为定值； (2)若，同号，求的取值范围． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查一元二次方程的运用，掌握一元二次方程的解，根的判别式，根与系数的关系是解题的关键； （1）根据题意可得，，为关于的方程的两个不相等的实数根，由根与系数的关系即可求解； （2）由（1）的一元二次方程根与系数的关系得，由，同号，解得：，再根据方程有两个不相等的实数根得到，解得，由此即可求解． 【详解】（1）证明：由，，（）， ∴，为关于的方程的两个不相等的实数根， 由根与系数的关系得，， ∴的值为定值； （2）解：由（1）知，为关于的方程的两个不相等的实数根， ∴， ∵，同号， ∴，解得：． 又∵， ∴， ∴， ∴的取值范围为． 【变式题4-2】.（25-26九年级上·福建南平·期末）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：方程必有两个不相等的实数根； (2)若实数m，n满足，，且，求的值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式及根与系数的关系． （1）利用一元二次方程根的判别式得出当时，方程有两个不相等的实数根，对于一元二次方程，其中，，，代入判别式得：，因为任何实数的平方都是非负数，所以，即，因此方程必有两个不相等的实数根； （2）需将m、与方程的根联系起来，再利用根与系数的关系进行求解． 【详解】（1）证明：对于一元二次方程，其判别式为， 在一元二次方程中，，，， ∴， ∵， ∴，即， ∴当时，方程必有两个不相等的实数根． （2）解：∵， ∴， 又∵， ∴，即， ∴m和都满足方程， 对于一元二次方程， 有， ∵m和是方程的两个根，且， ∴， ∴． 【变式题4-3】.（25-26九年级上·福建漳州·期中） 阅读理解材料：已知实数m，n满足，，且．根据材料．求的值． 解：由题意，可得：m，n是方程的两个不相等的实数根， 根据一元二次方程根与系数的关系得：，， ∴． 解决以下问题： (1)若方程的两个实数根为，，则 ． (2)已知实数m，n满足，，且，求 的值． (3)已知实数p，q满足，，且，求的值． 【答案】(1) (2) (3)1 【分析】本题考查了根与系数的关系，解题的关键是看懂材料，熟练掌握根与系数的关系． （1）根据根与系数得，，再将所求式子变形为，即可整体代入求值； （2）利用m、n满足的等式，可把m、n可看作方程的两个不相等的实数根，再利用根与系数的关系得到，，接着把利多项式乘多项式法则展开，然后利用整体代入的方法计算； （3）把整理后得到，整理后得到，则p、可看作方程的两个不相等的实数根，利用根与系数的关系得到，，然后将所求式子变形为，利用整体代入的方法计算． 【详解】（1）解：根据题意得：，， ∴， 故答案为：； （2）解： ，，且， 、可看作方程的两个不等的实数根，   ，， ； （3）解：，即， ， ∴方程两边除以得：， ，即，且， 、可看作方程的两个不等的实数根， ，， ． 【培优提升题型】 【题型5】结合方程根定义降次，求解高次代数式 解题方法技巧 1.若是方程根，则满足，实现二次降一次； 2.三次、四次等高次项反复降次，统一化为一次代数式； 3.结合韦达定理的整体合并化简。 【例题5】.（25-26九年级上·四川成都·期末）已知m是一元二次方程的一个根，则的值是 _________ ． 【答案】2024 【分析】本题考查了一元二次方程的解的定义和代数式求值，熟知方程解的定义、灵活应用整体思想是关键． 由m是方程的根，得，进而表示m³，并利用方程变形得到，代入求值． 【详解】解：因为m是一元二次方程的一个根，所以，即． 则． 因此，． 由， 两边除以，得， 即． 所以，原式 ． 故答案为：2024． 【变式题5-1】.（24-25九年级上·内蒙古包头·阶段检测）若m、n是一元二次方程的两个实数根，则的值是__________． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，一元二次方程根与系数的关系； 首先把m、n代入方程，可得，，再根据一元二次方程根与系数的关系，可得，求出，用整体代入法计算即可． 【详解】解：，是一元二次方程的两个实数根， ，，， ，， ， ∴ ， 故答案为：． 【变式题5-2】.（24-25九年级上·全国·期末）设，是方程的两个实数根，则的值为________． 【答案】2024 【分析】本题主要考查了根与系数的关系和方程的解等知识点，先利用一元二次方程解的定义得到，， 再根据根与系数的关系得到，然后利用整体代入的方法计算即可得解，熟练掌握若是一元二次方程 的两根，则， 是解决此题的关键． 【详解】解：是方程 的实数根， ， ，， 是方程的两个实数根， ， ， 故答案为：． 【变式题5-3】.（2026·甘肃白银·二模）如果m是方程的一个根，那么代数式的值为______． 【答案】36 【分析】利用m是方程的一个根，求得，将原式整理得到，再整体代入求解即可． 【详解】解：∵m是方程的一个根， ∴，即， ∴ ． 【题型6】根与系数的关系+判别式综合参数取值范围 解题方法技巧 1.三重限制条件联立求参数范围： ①二次项系数； ②方程有实根：； ③两根满足不等式（平方和、积与和大小、根分布限制）； 2.分别解不等式，取公共交集； 3.含整数限制时，在解集内筛选符合整数。 【例题6】.（2026·四川南充·一模）已知实数k使一元二次方程有两个实数根． (1)求实数k的取值范围． (2)若方程的两根是符号相同的整数，试求实数k的值． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据一元二次方程有实数根求解即可； （2）先由根与系数的关系得到，，求出的取值范围，再确定的可能取值情况，即可求解． 【详解】（1）解：∵一元二次方程有两个实数根． ∴ 解得； （2）解：设该方程的两根为， ∵方程的两根是符号相同的整数， ∴， ∴， ∴， 则或或， ∴或， ∴或． 【变式题6-1】.（2026·四川达州·一模）已知关于x的一元二次方程有两个实数根，． (1)求m的取值范围； (2)若，求m的值． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）利用判别式的意义得到，然后解不等式即可； （2）根据根与系数的关系得：，，由可求出，，进而可求出m的值． 【详解】（1）解：∵原方程有两个实数根， ∴， 整理得：， 解得：； （2）解：根据根与系数的关系得：，， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴． ∴． 【变式题6-2】.（2026·江西九江·一模）若是关于的一元二次方程的两个实数根． (1)求出实数的取值范围； (2)若方程的两个实数根满足，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式，即可求解； （2）利用一元二次方程根与系数的关系可得，再结合题意即可求解． 【详解】（1）解：由题意得， ， 解得； （2）解：由题意得，， ∵ ， 解得，符合题意． 【变式题6-3】.（25-26九年级上·湖南湘西·阶段检测）关于x的方程有两个不相等的实数根． (1)求k的取值范围； (2)若，求k的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据所给一元二次方程有两个不相等的实数根，得出关于k的不等式，据此可解决问题． （2）利用一元二次方程根与系数的关系即可解决问题． 【详解】（1）解：∵一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 整理，得， 解得． （2）解：是方程的两个根， 则，， ∵， ∴， 整理，得， 解得，（不满足，舍去）， 故． 【压轴素养题型】 【题型7】根与系数的关系与几何图形综合 解题方法技巧 1.几何条件转化为两根关系： 等腰三角形：两边为方程两根，分“两腰为根/一边固定一腰为根”分类； 菱形：对角线为两根，面积=，边长用勾股； 直角三角形：直角边为两根，斜边平方=； 2.结合三角形三边关系、边长为正整数限制参数取值。 【例题7】.（2026九年级上·福建泉州·专题练习）已知关于的一元二次方程， (1)求证：该一元二次方程总有两个不相等的实数根； (2)若该方程的两个根是一个矩形的两边长，矩形对角线长为5，试求的值． 【答案】(1)见解析 (2)3 【分析】（1）求出判别式的符号，即可得出结论； （2）根据勾股定理结合根与系数之间的关系，列出关于的方程，进行求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴该一元二次方程总有两个不相等的实数根； （2）解：∵该方程的两个根是一个矩形的两边长，矩形对角线长为5， ∴，， ∴， 整理，得， 解得或； ∵是一个矩形的两边长， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式题7-1】.（25-26九年级上·福建三明·期中）已知关于的方程． (1)试说明：无论取什么实数值，方程总有实数根； (2)若等腰的一边长为1，另两边，恰好是这个方程的两个实数根，求的周长 【答案】(1)理由见解析 (2)5 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式， 【详解】（1）解： ∵，，， ∴ ∴无论取什么实数，方程总有实数根. （2）解：∵等腰的一边长为1，另两边，恰好是这个方程的两个实数根， 当时，把代入方程得：， 解得：， 此时方程为， 解得，，即，， ∵， ∴，，时，不能构成三角形，不符合题意，舍去， 当时，则方程有两个相等的实数根， ∴，解得， 原方程为，解得，即， 周长， ∴的周长为5． 【变式题7-2】.（25-26八年级下·安徽·期中）已知关于的一元二次方程． (1)求证：方程有两个实数根； (2)若的两边、的长分别是此方程的两个实数根，第三边长为，当是等腰三角形时，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式可得，所以方程总有两个实数根； （2）因为等腰三角形有两边的长是方程的两个根，分为腰和为底边两种情况分别求出的值，当为底边时，可得：等腰三角形的三边分别为，，，不满足三边关系，所以的值只能为． 【详解】（1）证明：一元二次方程中，，，， ， 方程总有两个实数根； （2）解：解法一： ①若腰长为时， 则， 解得：， 方程为， 解得：，， 三角形三边长为，，， ， 满足三边关系，符合条件； ②若底边长为时， 可得：， 解得：， 此时三边为，，，不满足三边关系，舍去； ； 解法二：原方程因式分解得， ，， 是等腰三角形，，分两种情况： 若，即，三边为，，，不满足三边关系，舍去； 若，即，三边为，，，满足三边关系，符合条件； ． 【变式题7-3】.（25-26九年级下·福建莆田·阶段检测）从“特殊”到“一般”是研究数学问题的一种常用策略．某综合实践小组以特殊四边形为背景，就“倍矩形（其周长为原矩形周长的倍，其面积亦为原矩形面积的倍）存在性问题”展开探究． 设原矩形长为，宽为，倍矩形长为，宽为． (1)【特例感知】已知原矩形，，其倍矩形长为_______，宽为______； (2)【类比探究】上述第（1）问中原矩形的倍矩形存在吗？说明理由； (3)【一般验证】求证：无论原矩形，取何正值，其倍矩形一定存在． 【答案】(1)； (2)不存在；理由见解析 (3)见解析 【分析】（1）设其倍矩形长为，宽为，根据“倍矩形”定义列出方程组，然后解方程组即可； （2）设其倍矩形长为，宽为，根据“倍矩形”定义列出方程组，将二元方程组转化为一元二次方程，然后判断即可； （3）设其倍矩形长为，宽为，根据“倍矩形”定义列出方程组，然后解方程组，将二元方程组转化为一元二次方程，然后判断即可． 【详解】（1）解：设其倍矩形长为，宽为， 根据题意，得， 解得或（不符合题意，舍去）， 其倍矩形长为，宽为； （2）解：不存在，理由如下： 设其倍矩形长为，宽为， 根据题意，得， 整理得， ， 方程无解， 方程组无解， 不存在； （3）解：设其倍矩形长为，宽为， 根据题意，得， 整理得， ， 方程有解， 又，大于， ，， 方程的两个实数解均为正数， 无论原矩形，取何值，其倍矩形一定存在． 【题型8】新定义与根与系数的关系探究题（素养阅读题型） 解题方法技巧 1.精读材料，拆解题目自定义规则（和积方程、衍生点、交叉方程等）； 2.将新定义条件翻译为S、P的等式或不等式； 3.联立韦达定理与定义式求解参数，结合判别式、分类讨论； 命题特色：阅读探究、数学文化、逻辑推理素养考查。 【例题8】.（25-26九年级上·辽宁丹东·期末）如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根是另一个根的倍（n为正整数），则称这样的方程为“n倍根方程”，例如：方程的两个根分别是2和4，则这个方程就是“2倍根方程”：方程的两个根分别是1和3，则这个方程就是“3倍根方程”． (1)根据上述定义，是“__________倍根方程”；（填数字） (2)若关于的方程是“4倍根方程”，求t的值； 【答案】(1)3 (2)16 【分析】本题考查了一元二次方程的解，因式分解法解一元二次方程，一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是正确理解题意． （1）利用因式分解法解方程即可求解； （2）利用根与系数的关系设根并求解参数值． 【详解】（1）解： ， 或 解得，， ∵ ， ∴ 方程是“3倍根方程”； （2）解：设方程 的两个根为和， 由题意得， 根据根与系数的关系，有， ∴， 解得 ， ∴， 又∵， ∴， ∴ 的值为16． 【变式题8-1】.（25-26九年级上·辽宁沈阳·阶段检测）定义：我们把关于的一元二次方程与称为一对“友好方程”．如的“友好方程”是． (1)写出一元二次方程的“友好方程”：_____． (2)已知一元二次方程的两根为，，则它的“友好方程”的两根为，_____；根据以上结论，猜想的两根，与其“友好方程”的两根之间存在的一种特殊关系为_____，证明你的结论． (3)已知关于的方程的两根是，．请利用（2）中的结论，写出关手的方程的两根为_____． 【答案】(1) (2)，互为倒数，证明见解析 (3) 【分析】本题主要考查一元二次方程的解法、解的概念，熟练掌握“友好方程”的定义是解题的关键． （1）根据给出的定义进行求解即可； （2）根据根与系数的关系求出的解，根据求根公式证明两根的关系即可； （3）对方程式进行整理，根据整体思想和“友好方程”的两根的数量关系进行求解即可． 【详解】（1）解：的“友好方程”为， 故答案为：； （2）解：根据一元二次方程根与系数的关系得， ， ∴， 则， ∴； ，与互为倒数，证明如下： 当时，根据求根公式得， ，； ，； ， ； ∴原方程的两根与其“友好方程”的两根互为倒数； 故答案为：，互为倒数； （3）解： 根据“友好方程”的两根的数量关系得出的根为 ， ∴的两个根为， 整理得， 故答案为：． 【变式题8-2】.（25-26九年级上·四川成都·期中）定义：已知，是关于x的一元二次方程的两个实数根，若，且，则称这个方程为“立格方程”．如：一元二次方程的两根为，，因为，，所以一元二次方程为“立格方程”． 请阅读以上材料，回答下列问题： (1)判断一元二次方程是否为“立格方程”，并说明理由； (2)若关于x的一元二次方程是“立格方程”．且两根，满足．求k的值； (3)若关于x的一元二次方程是“立格方程”，求m的取值范围． 【答案】(1)是“立格方程” (2)k的值不存在 (3)m的取值范围为或 【分析】本题考查解一元二次方程，一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程根的判别式．读懂题意，理解“立格方程”的定义是解题关键． （1）解该一元二次方程，得出，，再根据“立格方程”的定义判断即可； （2）由一元二次方程根与系数的关系可得出，，代入整理可得，根据一元二次方程的判别式可得知该一元二次方程无解，即k的值不存在； （3）解该一元二次方程，得出，，或，，再根据此方程为“立格方程”，即得出此方程有两个不相等的实数根，结合一元二次方程根的判别式即可得出，且，可求出m的取值范围，最后分类讨论即可求解． 【详解】（1）解：是“立格方程”，理由如下： ， 则或， ，， ，， 是“立格方程”； （2） 即 ，， ， ， 即， 由于， 则无解， 故k的值不存在； （3） ， 或， ，，或，， 由于一元二次方程是“立格方程”， 此方程有两个不相等的实数根， ，即， 且， 分类讨论：①当，时， ， ， ， ， 当，时， ， ， ， ， 综上所述，m的取值范围为或． 【变式题8-3】.（25-26九年级上·河北保定·阶段检测）【定义】我们把关于x的一元二次方程与称为一对“友好方程” 【示例】如的“友好方程”是（1）写出一元二次方程的“友好方程”是______． 【探究】（2）已知一元二次方程的两根为，则它的“友好方程”的两个根为______． 【猜想】（3）当时，方程的两根与其“友好方程”的两根之间存在的一种特殊关系为______． 【证明】证明上面的猜想（4）∵方程的两根为， ；方程的两根为，①______；…请完成上述填空①，并补全证明过程．(备注：证明一组关系即可) 【应用】（5）已知关于x的方程的两根是， 请利用（2）中的结论，写出关于x的方程的两根为______． 【答案】（1）；（2），；（3）互为倒数，（4），过程见解析；（5）． 【分析】本题考查了新定义下一元二次方程根与系数的关系，求根公式的应用，因式分解法解一元二次方程，掌握相关知识是解题的关键． （1）根据“友好方程”的定义即可得出答案； （2）根据“友好方程”的定义得出方程的“友好方程”，求解即可； （3）根据求根公式得出方程的两根为，及其“友好方程”的两根为，，再求得，，即可得出答案； （4）同（3）的方法求解； （5）先根据“友好方程”的根的特点求出方程的两根是，将待求方程变为，把看成一个整体即可求解． 【详解】解：（1）依题意可得：一元二次方程的“友好方程”是， 故答案为：； （2）， ， 解得：，； （3）∵时， ∴方程的两根为，， 方程的两根为，， （4）∵ ， 同理： ， ∴方程的两根，与其“友好方程”的两根，之间存在的一种特殊关系为互为倒数， 故答案为：互为倒数，； （5）解：关于的方程的两根为． ∵方程的两根是， ∴其“友好方程”的两根为． ，即， 将看作整体，则或， ． 一、单选题 1．若点与点关于y轴对称，则下面关于x的一元二次方程根的说法正确的是（     ） A．有两个相等的实数根 B．是原方程的一个根 C．两根之和为 D．两根之积为 【答案】D 【分析】先根据关于y轴对称的点的坐标特征求出m的值，再代入一元二次方程，结合一元二次方程根的判别式和根与系数的关系判断各选项即可． 【详解】解：∵点与点关于轴对称，关于轴对称的点纵坐标相等，横坐标互为相反数 ∴ 将代入方程得 方程中，， ∵ ∴方程有两个不相等的实数根，A错误； 将代入方程，左边 ∴不是原方程的根，B错误； 对于一元二次方程，两根之和为 ∴两根之和为 ，C错误； 对于一元二次方程，两根之积为 ∴ 两根之积为 ，D正确． 2．已知、是一元二次方程的两根，则的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，可得，，将所求代数式展开后整体代入计算即可． 【详解】解：，是一元二次方程的两根，，，， ，， ． 3．若的两直角边长a，b分别为一元二次方程的两个实数根，则的面积为（   ） A．5 B．3 C． D． 【答案】D 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系可得，再根据直角三角形面积公式计算面积，即可得到答案． 【详解】解：∵的两直角边长a，b分别为一元二次方程的两个实数根， ∴， ∴ 的面积． 二、填空题 4．已知方程的两个根是和，则_________． 【答案】3 【分析】对于一元二次方程，若方程的两个实数根是，则，据此可得答案． 【详解】解：∵方程的两个根是和， ∴． 5．已知关于x的一元二次方程的两根和满足，则k的值为________． 【答案】6 【分析】首先根据二次根式有意义的条件和判别式非负确定的取值范围，再利用完全平方公式变形和根与系数的关系构造关于的方程，求解后根据取值范围舍去不合题意的解即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个实根， ∴， 解得， 根据根与系数的关系可得，， 由完全平方公式变形得， 代入已知等式得， 即， 整理得， 解得，（不满足，舍去）， ∴． 6．对于非零的两个实数、，规定．若，则的值为____________． 【答案】 或 【分析】根据新定义运算得到关于的分式方程，去分母转化为一元二次方程求解，检验后得到的值，进行解答，即可． 【详解】解：由题意得， 方程两边同乘最简公分母，得：， 整理得：， 因式分解得：， 解得，， 经检验，当和时，且，均为原方程的解． 三、解答题 7．设，为方程的两根，试求下列各式的值； (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先根据一元二次方程根与系数的关系，得到两根之和与两根之积的值，再将所求代数式通分后代值计算即可． （2）将所求代数式通分后代值计算即可． （3）先对所求式子平方，结合第二问结果计算后再开方得到最终结果． 【详解】（1）解：∵是方程的两根， ∴， ∴． （2）解： ． （3）解：∵， ， ∴ ， ． 8．已知关于的一元二次方程． (1)求证：无论取何值，原方程总有两个实数根； (2)若方程的一个根为2，求的值和方程的另一个根． 【答案】(1)见解析 (2)，方程的另一个根为1. 【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式进行证明即可； （2）把方程的一个根为代入关于x的一元二次方程求出m，然后利用根与系数的关系进行求解即可． 【详解】（1）证明：∵关于x的一元二次方程， ∴，，， ∴． ∵无论m为任意实数，， ∴原方程总有两个实数根． （2）解：∵是方程的一个根，代入方程得： ∴， 解得：． 设方程的另一个根为， ∵， ∴． ∴，方程的另一个根为1． 9．已知方程组有两组实数解、，且，，设． (1)求的取值范围； (2)用含的代数式表示； (3)是否存在这样的的值，使的值为？如果存在，求出这样的的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1)的取值范围为且； (2)； (3)存在这样的的值，． 【分析】（1）把②代入①消去y，得到关于x的一元二次方程，方程有两个实数解，且，，则，解不等式即可； （2）根据（1）中的方程，由根与系数关系变形即可； （3）将代入（2）中的等式，求出符合题意的m的值即可． 【详解】（1）解：，把②代入①，得， ∵方程有两个实数解，且，， ∴， 解得， ∵， ∴， ∴的取值范围为且； （2）解：由， 得，， ， ∴； （3）解：令，则， 整理得， 解得， ∵且， ∴． 10．在平面直角坐标系中，对于抛物线，，是常数，图象上两个不同的点，，我们不妨约定： 如果满足，且，则称点与点是一对“失衡点”； 如果满足，则称点与点是一对“平衡点”； 若某函数图象上同时存在至少一对“失衡点”和至少一对“平衡点”，则称该函数为“完备函数”． (1)判断下列说法是否正确（正确的打“√”，错误的打“×”）： ①函数是“完备函数”；（   ） ②函数上存在无数对“失衡点”；（   ） ③若点与点是一对“平衡点”，则它们也是一对“失衡点”．（   ） (2)已知抛物线与一次函数相交于两点、，且、恰好是该抛物线上的一对“失衡点”．若，直线是否经过定点？若经过，求出定点的坐标；否则，请说明理由； (3)若抛物线是“完备函数”，点、是一对“平衡点”．抛物线的顶点为，它与轴交于、两点．当是等边三角形时，记的面积为，试求的最小值． 【答案】(1)； ； (2)直线过定点 (3)最小值为 【分析】（1）根据“失衡点”和“平衡点”的定义进行判断； （2）设，，可得方程组：，整理得，由韦达定理得：，根据“失衡点”的定义可知：、中一个点坐标为，所以可知，可得直线过定点； （3）根据“失衡点”的定义，可知，根据、是抛物线上的一对“平衡点”，可得，所以当时，取得最小值为． 【详解】（1）解：①中，，无论取何值，都有， ， 不存在一对“失衡点”， 函数不是“完备函数”， 故①错误； ②函数中， 整理可得：， ， ， ， 整理得：， 当时，取任何值都有， 函数上存在无数对“失衡点”， 故②正确； ③若点与点是一对“平衡点”， 则有， 整理得：， 则有， 点与点一定不是一对“失衡点”， 故③错误； （2）解：设，， 根据题意可得：， 消整理得：， 由韦达定理得：， 又， ，， 、是抛物线上的一对“失衡点”， ， 解得：、中一个点坐标为， 将代入， 可得：， ， 直线过定点； （3）解：是等边三角形， 可得：， ， 函数是完备函数， ， 整理得：， 又， 解得：， 、是抛物线上的一对“平衡点”， 令， 整理得：， ， 又， ， ， ， 当时，取得最小值为． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $