专题02一元二次方程根与系数关系及应用(知识梳理+题型精析+强化巩固专练)2026-2027学年苏科版九年级数学上册

专题02一元二次方程根与系数关系及应用 1.熟记韦达定理（根与系数关系），能准确写出一般式ax2+bx+c=0(a≠0)两根之和、两根之积的表达式，明确定理使用前提(Δ≥0)。 2.掌握已知一元二次方程，不解方程求两根和、两根积，以及两根平方和、两根倒数和等代数式的值。 3.会利用两根的值反求一元二次方程；已知方程一根，借助韦达定理快速求出另一根与参数。 4.能结合判别式、韦达定理解决含参数的取值范围问题，兼顾根存在与题目限制条件。 5.梳理一元二次方程实际问题常见模型：增长率、面积、利润、数字、动点几何问题，找准每类问题等量关系。 6.掌握列一元二次方程解应用题完整步骤：审、设、列、解、验、答，重点检验根是否符合实际意义，舍去不合理解。 7.根据图形边长、面积变化建立方程，处理图形裁剪、平移、动点类几何应用题型。 8.区分增长率模型两种形式，熟练套用基数、增长次数、增长后总量的关系式。 9.整理韦达定理漏判判别式、应用题不检验负根 / 不合理解等典型错题，课堂针对性突破难点。 预习必备 知识梳理 1.韦达定理基础内容 2.两根代数式恒等变形 3.韦达定理基础题解题思路 4.特殊根的对应条件 5.韦达定理高频易错 6.应用解题步骤 7.常见应用模型及核心公式 8.应用高频易错 常考题型 精讲精练 1.一元二次方程根与系数的关系 2.传播问题 3.增长率问题 4.与图形有关的问题 5.数字问题 6.营销问题 7.动态几何问题 8.工程问题 9.行程问题 10.图表信息题 11.握手.循环赛问题 12.其他实际应用 强化题型 解答题7题 知识点01:韦达定理基础内容 1.设一元二次方程标准形式程 ax2+bx+c=0（a0） ，方程两个实数根为 x1、x2，使用定理前提：判别式 Δ=b2−4ac≥0， 方程有实数根才能使用根与系数关系。 2.核心公式： 两根之和：x1+x2−​ 两根之积：x1x2 3.简化形式：当二次项系数 a=1，方程为 x2+px+q=0，则 x1+x2=-p，x1x2=q。 知识点02:两根代数式恒等变形（不解方程求值专用） 待求代数式 变形公式 知识点03:韦达定理四大基础题型解题思路 1.已知完整一元二次方程，求两根和、积及变形代数式 步骤：整理为一般式→确定a、b、c→计算Δ判断有实根→代入韦达公式→整体代换变形求值。 2.已知方程其中一根，求另一根与参数 利用 x1+x2=- 快速算出另一根，再将已知根代入方程求解参数，无需完整解方程。 3.已知两个数值，构造以其为根的一元二次方程 基础方程：x2-(x1+x2)x+x1x2=0，可同乘非零整数化为整数系数方程。 4.含参数一元二次方程，结合判别式求参数取值范围 限制条件分层： ① a≠0，保证方程是一元二次方程； ② Δ≥0，保证存在实数根； ③ 附加约束条件：两根正负、两根互为相反数 / 倒数等，结合韦达列不等式组。 知识点04:特殊根的对应条件 1.两根互为相反数：x1+x2=0，即 b=0，同时满足 Δ≥0； 2.两根互为倒数：x1x2=1，即 c=a，同时满足 Δ≥0； 4.两根一正一负：x1x2<0，此条件下Δ >0恒成立，无需额外计算判别式。 知识点05:韦达定理高频易错汇总表 易错类型 错误示例 正确操作 失分原因 和式遗漏负号 2x2-3x-1=0 直接写x1+x2= x1+x2=，牢记公式-，b带符号代入 忽略两根和自带负号 不判断判别式直接用韦达 方程Δ<0，依旧计算两根和积 做题第一步计算Δ，无实根则定理不可用 定理仅适用于有实数根的方程 忽略二次项系数不为 0 含参方程不限制a≠0 一元二次方程必须满足a≠0 a=0时方程降为一次方程，不存在两个根 一正一负根重复算Δ x1x2<0额外计算判别式 乘积小于 0，Δ必然大于 0，无需验算 正负相乘为负，判别式自动为正 知识点06:列一元二次方程解应用题标准六步解题规范 审（梳理题意，提取等量关系）→设（合理设未知数，标注单位）→列（根据等量关系列一元二次方程）→解（选用合适方法解方程）→验（双重检验）→答（完整带单位书写结论） 双重检验要求： 1.数值代入方程，验证等式成立； 2.结合实际场景检验，长度、人数、增长率、单价等不能为负数，不符合现实的解直接舍去。 知识点07:常见应用题模型及核心公式 题型类别 核心公式 / 等量关系 典型特征 增长率 / 下降率问题 增长：a(1+x)n=b；下降：a(1−x)n=b（a初始量，x变化率，n变化次数，b最终量） 产量、利润、销售额等持续增减，已知初始与最终状态 传播问题 m(1+x)n=N（m初始传播源，x每轮传播数，n轮次，N总数量） 病毒、消息、分支生长等多轮扩散，总量逐步累积 利润（销售）问题 总利润 = （售价 - 成本）× 销售量； 销售额 = 售价 × 销售量 售价与销量反向联动，求特定利润或最优销售方案 几何（形积）问题 利用矩形、三角形等规则图形面积公式；不规则图形可通过分割 / 组合转化 场地修路、动点形成图形、图形面积计算，含边长限制 数字问题 多位数表示：三位数=100×百位数字+10×十位数字 +个位数字；连续整数/偶数/奇数：相邻两数差 1/2 已知数字间关系，求具体数字 握手 / 赠礼问题 握手总数：；互赠礼物总数：n(n−1)（n为人数） 无重复计数场景，数量与个体数成二次关系 利息问题 利息=本金×利率×期数； 本息和=本金×(1 + 利率 × 期数)（无利息税） 银行存款、理财收益计算，涉及本金、利率、期数 知识点08:一元二次方程应用题易错汇总 易错类型 典型错误 正确规范 增长率次数写错 两年增长写成a(1+x)=A 两年对应平方a(1+x)2=A 矩形小路重复减宽 长、宽同时直接减小路宽度 平移空白区域，仅各减去一次小路宽 保留不符合实际的解 算出负数长度、负增长率不舍去 长度、人数、单价必须为正数，直接舍弃负根 利润销量关系颠倒 涨价后认为销量上升 涨价销量减少，降价销量增加 握手题型遗漏 x人握手总次数写x(x-1) 两人仅计一次，整体乘 题型1.一元二次方程根与系数的关系 【典例】关于的方程的两根为1和5，则________． 【答案】 【分析】利用根与系数的关系求出和的值，再代入计算即可． 【详解】解：∵关于的方程的两根为1和5， ∴，， 解得，， ∴． 【跟踪专练1】若、是一元二次方程的两个根，则的值是（   ） A． B．6 C． D． 【答案】B 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得到，由此代入计算即可． 【详解】解：若、是一元二次方程的两个根， ∴， ∴， 故选：B ． 【跟踪专练2】已知是一元二次方程的两个实数根，则的值为_____． 【答案】6 【分析】利用一元二次方程根的定义将转化为含的代数式，代入所求式子化简后，结合根与系数的关系计算结果． 【详解】解：∵是一元二次方程的两个实数根， ∴，， 即， 则 ． 【跟踪专练3】已知方程的两根，．那么是（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先利用根与系数的关系求出和的值，再利用完全平方公式进行变形求解即可． 【详解】解：∵方程的两根为，， ∴，， ∴． 题型2.传播问题 【典例】某人患有甲型流感，经过两轮传染后共有36个人患流感．设每轮传染中平均一个人传染个人，则根据题意可列方程_____． 【答案】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，根据有一个人患流感，经过两轮传染后共有36个人患流感，列出一元二次方程即可． 【详解】解：由题意得：， 故答案为：． 【跟踪专练1】某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出与支干数目相同的小分支，主干、支干和小分支的总数是，求每个支干长出多少小分支．设每个支干长出x个小分支，那么根据题意可以列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，准确地理解题意找到等量关系是解题的关键．根据主干、支干、小分支的数量关系，结合总数为列方程即可． 【详解】解：∵主干的数量为1个，每个支干长出个小分支， ∴支干的数量为个，小分支的数量为个， 又∵主干、支干和小分支的总数是121， ∴可列方程为， 故选：A． 【跟踪专练2】某种电脑病毒传播非常快，如果有一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染. (1)每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？ (2)若病毒得不到有效控制，经过3轮感染后被感染的电脑会不会超过700台？ 【答案】(1) (2)会超过 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，熟练掌握病毒传播问题的数量关系是解题的关键． （1）设每轮感染中平均一台电脑感染台电脑，第一轮感染后有台被感染，第二轮感染是在第一轮的基础上，每台又感染台，所以两轮后被感染的电脑数为，据此列方程求解． （2）根据（1）的结果，计算三轮感染后的电脑数，再与700比较． 【详解】（1）解：设每轮感染中平均一台电脑会感染台电脑． ， ， ，（舍）， 答：每轮感染中平均一台电脑会感染台电脑． （2）解：， ∴经过3轮感染后被感染的电脑会超过700台， 答：经过3轮感染后被感染的电脑会超过700台． 题型3.增长率问题 【典例】习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气”．我市为响应全民阅读活动，利用节假日面向社会开放图书馆．据统计，第一个月进馆1150人次，进馆人次逐月增加，第三个月进馆1800人次，若进馆人次的月平均增长率为，则可列方程为___________． 【答案】 【详解】解：∵第一个月进馆人次，月平均增长率为， ∴第二个月进馆人次为， ∴第三个月进馆人次为， ∴可列方程为． 【跟踪专练1】随着我国数字化阅读方式的接触率和人群持续增多，数字阅读凭借独有的便利性成为了更快获得优质内容的重要途径．某市2022年数字阅读市场规模为万元，2024年数字阅读市场规模为万元．设年平均增长率为，则下面所列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据增长率的计算规律，找到初始量，终止量和增长年数，列出方程即可判断正确选项． 【详解】解：∵2022年数字阅读市场规模为400万元， ∴经过1年增长后2023年的市场规模为万元， 经过2年增长后2024年的市场规模为万元， 又∵2024年数字阅读市场规模为576万元， ∴可得方程． 【跟踪专练2】吉水县公安局提醒市民，骑车必须严格遵守“一盔一带”的规定，某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售500个，6月份销售720个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同． (1)求该品牌头盔销售量的月增长率； (2)若此种头盔每个进价为40元，商家经过调查统计，当每个头盔售价为50元时，月销售量为500个，在此基础上售价每涨价1元，则月销售量将减少10个．为使月销售利润达到8000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元？ 【答案】(1)该品牌头盔销售量的月增长率为 (2)该品牌头盔的实际售价应定为元 【分析】（1）设月增长率为，根据4月和6月的销量，利用平均增长率的数量关系列一元二次方程求解，舍去不合题意的负根即可得到结果； （2）设实际售价为元，根据“总利润=单个利润×月销售量”列一元二次方程，结合尽可能让顾客得到实惠的要求，舍去不符合题意的解，即可得到结果． 【详解】（1）解：设该品牌头盔销售量的月增长率为， 依题意得， 解得，（不合题意，舍去）， 答：该品牌头盔销售量的月增长率为； （2）解：设该品牌头盔的实际售价为元， 依题意得， 整理得， 解得，， 因为要尽可能让顾客得到实惠， 所以舍去， 所以， 答：该品牌头盔的实际售价应定为元． 题型4.与图形有关的问题 【典例】如图，某停车场为了解决充电难的问题，现将长为20米，宽为10米的矩形停车场进行改造．将矩形停车场的边和边分别减少相等的长度，减少的这部分区域用于修建充电桩，剩余停车场的面积为119平方米，求边和边减少的长度是______米． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设边和边减少的长度为x米，则剩余停车场是一个长为米，宽为米的长方形，据此根据长方形的面积公式建立方程求解即可． 【详解】解：设边和边减少的长度是x米． 由题意得，， 整理得 解得，（不符合题意，舍去） ∴边和边减少的长度是3米． 故答案为：3． 【跟踪专练1】小明拟用总长为8米的篱笆，在两边都足够长的直角围墙的一角，帮妈妈围出一块15平方米的矩形菜地，如图所示．设矩形的一边长为x米，根据题意可列方程（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：若设矩形的一边长为x米，则该边的邻边长为米， 根据题意得：． 【跟踪专练2】如图，一个农户用长的篱笆围成一排一面靠墙（墙长15米）、大小相等且彼此相连的三个矩形鸡舍． (1)要使三个鸡舍的总面积为，求每个鸡舍的长和宽． (2)能使三个鸡舍的总面积为吗？，如果能，求每个鸡舍的长和宽．如果不能请说明理由． 【答案】(1)每个鸡舍的长为，宽为 (2)不能，理由见解析 【分析】（1）设鸡舍垂直于墙的边长为，则与墙平行的篱笆的长为，根据题意列出方程即可求解； （2）设鸡舍垂直于墙的边长为，则与墙平行的篱笆的长为，根据题意列出方程，判断方程根的情况即可求解． 【详解】（1）解：设鸡舍垂直于墙的边长为，则与墙平行的篱笆的长为， 由题意得，， 解得， 当时，，符合题意， ∴每个鸡舍的长． 答：每个鸡舍的长为，宽为． （2）解：不能，理由如下： 设鸡舍垂直于墙的边长为，则与墙平行的篱笆的长为， 由题意得，，整理得， ∵，，， ∴， ∴无实数根， ∴三个鸡舍的总面积不能为． 题型5.数字问题 【典例】一个两位数的个位数字与十位数字之和是9，且个位数字与十位数字的积是20，设这个两位数的个位数字为，则根据题意可列方程为_____． 【答案】（或） 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是找到等量关系． 先利用个位数字与十位数字的和为9，用含的代数式表示出十位数字，再根据两者乘积为20的等量关系列出方程． 【详解】解：设这个两位数的个位数字为，则十位数字为． 根据“个位数字与十位数字的积是20”，可列方程为， 将其整理为一元二次方程的一般形式为． 故答案为：（或）． 【跟踪专练1】小明问这样一个问题：“有没有这样一个数？先计算这个数的平方，再减去这个数，最后加上1，其运算结果和这个数相同．”在深度思考后，给出的正确答案是（    ） A．1 B． C． D．1或 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，可通过设未知数，根据题目描述的运算关系列出一元二次方程，再利用因式分解法求解方程得到答案． 【详解】解：设这个数为 ∵根据题意，该数的平方减去该数加1的结果等于这个数， ∴列方程得：， 移项整理得：， 因式分解得：， 解得：， ∴符合条件的数是1， 故选：A． 【跟踪专练2】如图是2025年7月份的日历表，用虚线方框按如图所示的方法任意圈出四个数，若圈出的四个数中，最大数与最小数的乘积为180，求最大数与最小数． 【答案】最小数为10，最大数为18 【分析】本题考查了用一元二次方程的实际应用，理解题意，根据等量关系列出方程是解题的关键. 设最小数为，则最大数为，根据虚线方框中最大数与最小数的乘积为180，列出一元二次方程并求解即可． 【详解】解：设最小数为，则最大数为 根据题意， 可列方程， 解方程，得，不合题意，（舍去） 所以． 答：最小数为10，最大数为18． 题型6.营销问题 【典例】商场某种商品平均每天可销售件，每件盈利元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，每件商品每降价元，商场平均每天可多售出件，设每件商品降价元，商场日盈利可达到元，则可列方程为_____． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设每件商品降价元，则每件盈利为元，每天销售量为件，根据日盈利为元，列出方程即可． 【详解】解：依题意，日盈利为每件盈利与销售量的乘积，即， 故答案为：． 【跟踪专练1】为铭记历史，凝聚民族精神，某商场购进一批2025年九三阅兵纪念画册，每本的成本是50元，根据市场预测，该纪念画册销售单价为100元时，每天的销量是50本，且当销售单价每降低1元时，每天就可多售出5本．设销售单价定为x元，商店每天纪念画册的销售利润为4000元，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设销售单价定为x元，根据题意列出一元二次方程，即可求解． 【详解】解：设销售单价定为x元，根据题意得， ； 故选：D． 【跟踪专练2】石狮泰禾某童装专卖店在销售中发现，一款童装每件进价为80元，销售价为120元时，每天可售出20件，为了迎接“十一”国庆节，商店决定采取适当的降价措施，以扩大销售量，增加利润，经市场调查发现，如果每件童装降价1元，那么平均可多售出2件． (1)设每件童装降价x元时，每天可销售______件，每件盈利______元；（用x的代数式表示） (2)每件童装降价多少元时，平均每天赢利1200元； (3)要想平均每天盈利2000元，可能吗？请说明理由． 【答案】(1) ， (2) 每件童装降价10元或20元时，平均每天赢利1200元 (3) 不可能 【分析】（1）根据销售量=原销售量+降价增加的销售量，单件利润=原单件利润-降价金额，列出代数式； （2）根据总利润=单件利润×销售量列一元二次方程求解； （3）同样根据总利润关系列方程，利用一元二次方程根的判别式判断方程是否有实数解，即可得出结论． 【详解】（1） 解： 已知每件降价1元，多售出2件，降价元时，多售出件 原每天售出20件， 因此每天销售量为件 ，原单件利润为元， 降价元后，单件盈利为元． （2）根据总利润等于单件盈利乘销售量， 列方程得 整理得 因式分解得 解得 因此每件童装降价10元或20元时，平均每天赢利1200元． （3） 假设平均每天赢利2000元， 列方程得 整理得 判别式得 因此该方程没有实数根，不存在满足条件的降价 所以平均每天赢利2000元不可能． 题型7.动态几何问题 【典例】如图，在中，，的长为，的长为，点从点开始，沿边向点以的速度移动，点从点开始，沿边向点以的速度移动，如果、分别从、同时出发，______秒后的面积等于． 【答案】2或4 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用，解题的关键是理解题意；设t秒后的面积等于，由题意得：，则有，然后可得方程，进而求解即可． 【详解】解：设t秒后的面积等于，由题意得：，则有， ∴， 解得：， ∴当点P运动2或4秒后，的面积等于． 故答案为:2或4． 【跟踪专练1】如图所示，中，，，，点P从A点开始沿向B点以的速度移动，点Q从B点开始沿边向C点以的速度移动．如果P、Q分别从A、B同时出发，那么多少秒后，线段将分成面积1：2的两部分（     ） A．2 B．4 C．2或4 D．2或6 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，理解题意，找出等量关系正确列方程是解题的关键． 设运动时间为秒，根据题意可得，，再根据三角形面积公式分两种情况求解即可． 【详解】解：设运动时间为秒，则，， ∵，， ∴， ∵线段将分成面积1：2的两部分， ∴或， ∴或， 解得，， ∴线段将分成面积1：2的两部分，运动时间为2或4秒． 故选：C． 【跟踪专练2】已知在中，，，点从点开始沿边向点以的速度移动，点从开始沿边向点以的速度移动，若一动点运动到终点，则另一个也随之停止． (1)如果、分别从、两点同时出发，那么几秒后，的面积等于？ (2)在（1）中，的面积能否等于？说明理由． 【答案】(1)1秒后的面积等于 (2)不能等于 【分析】（1）设经过x秒钟，的面积等于，根据题意表示出和的长，然后列方程求解； （2）根据（1）的方法列出方程，通过根的判别式即可判定能否达到． 【详解】（1）解：设经过x秒以后面积为， 依题意，，， 则， 整理得：， 解得：，（舍去）， 答：1秒后的面积等于； （2）解：的面积不能等于，理由如下∶ 设经过t秒以后面积为， 则， 整理得：， ， ∴此方程无解， ∴的面积不能等于． 题型8.工程问题 【典例】某快递公司分拣中心有两台自动分拣机（型号甲、型号乙），专门处理小件快递的分拣工作，机器效率稳定且符合行业实际标准：甲分拣机每小时能分拣400件快递，乙分拣机每小时能分拣500件快递． (1)电商大促期间，快件量激增，两台分拣机轮流工作共用了11小时，要确保分拣的快递总数不少于5000件才能避免快件积压，保障配送时效，则乙分拣机至少需要工作多少小时？ (2)日常运营中，原计划两台分拣机每天均工作8小时．为提升分拣效率，中心对机器进行了系统升级和算法优化：实际工作中，甲分拣机每小时比原计划多分拣100a件（），且每天比原计划少工作2a小时；乙分拣机每小时比原计划多分拣100件，每天比原计划少工作a小时．调整后，两台机器一天恰好分拣快递6000件，求a的值． 【答案】(1)乙分拣机至少工作小时 (2)的值为 【分析】本题考查一元一次不等式和一元二次方程的实际应用，掌握一元二次方程的实际应用是解题的关键． （1）设乙分拣机工作小时，则甲分拣机工作小时，根据题意，列出不等式，求解即可； （2）根据题意，列出方程，求解即可． 【详解】（1）解：设乙分拣机工作小时，则甲分拣机工作小时， 根据题意列不等式， 解得 答：乙分拣机至少工作小时； （2）根据题意，甲分拣机实际效率为件/小时，实际工作时间为小时；乙分拣机实际效率为件/小时，实际工作时间为小时， 根据题意列方程，， 解得（不符合题意，故舍去）， 答：的值为． 【跟踪专练1】由于疫情反弹，某地区开展了连续全员核酸检测，9月7日，医院派出13名医护人员到一个大型小区设置了、两个采样点进行核酸采样，当天共采样9220份，已知点平均每人采样720份，点平均每人采样700份． (1)求、两点各有多少名医护人员？ (2)9月8日，医院继续派出这13名医护人员前往这个小区进行核酸采样，这天，社区组织者将附近数个商户也纳入这个小区采样范围，同时重新规划，决定从点抽调部分医护人员到点经调查发现，点每减少1名医护人员，人均采样量增加10份，点人均采样量不变，最后当天共采样9360份，求从点抽调了多少名医护人员到点？ 【答案】(1)A检测队有6人，B检测队有7人 (2)从B检测队中抽调了2人到A检测队 【分析】（1）设A点有x名医护人员，B点有y名医护人员，根据“A、B两个采样点共13名医护人员，且当天共采样9220份”，即可得出关于x，y的且当天共采样9220份，即可得出关于x， y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设从B点抽调了m名医护人员到A点，则B点平均每人采样份,根据重新规划后当天共采样9360份，即可得出关于m的一元_二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【详解】（1）解：设A检测队有人，B检测队有人， 依题意得：，分解得： 答：A检测队有6人，B检测队有7人； （2）解：设从B检测队中抽调了人到A检测队，则B检测队人均采样人， 依题意得：， 解得：，解得：，， 由于从B对抽调部分人到A检测队，则故， 答：从B检测队中抽调了2人到A检测队． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程． 【跟踪专练2】“万里无云镜九州，最团圆夜是中秋．”临近中秋节，某月饼厂接到一笔盒月饼的订单，现决定由甲、乙两组共同完成，已知两组同时开工，甲组加工天，乙组加工8天就能完成这笔订单，且甲组3天加工的月饼数量比乙组2天加工的月饼数量多盒． (1)求甲、乙两组平均每天各能加工多少盒月饼； (2)甲、乙两组同时开工2天后，这笔订单临时又增加了盒月饼，甲组从第3天起提高了工作效率，而乙组的工作效率不变，并提前完成了这笔订单．经调研发现，若甲组平均每天每多加工盒月饼，则甲、乙两组就各自都提前1天完成任务，已知甲、乙两组加工的天数均为整数，则甲组提高工作效率后，甲、乙两组都提前多少天完成了这笔订单？ 【答案】(1)甲组平均每天能加工盒月饼，乙组平均每天能加工盒月饼 (2)甲组提高工作效率后，甲、乙两组都提前2天完成了这笔订单 【分析】本题考查列方程（组）解应用题，找到等量关系列出方程（组）是解决问题的关键． （1）设甲组平均每天能加工x盒月饼，乙组平均每天能加工y盒月饼，根据题意找到两个等量关系列方程再求解即可； （2）设甲组提高工作效率后，甲、乙两组都提前a天完成了这笔订单，根据题意列出方程求解并保留符合题意的整数解即可． 【详解】（1）解：设甲组平均每天能加工x盒月饼，乙组平均每天能加工y盒月饼， 根据题意，得， 解得， 答：甲组平均每天能加工盒月饼，乙组平均每天能加工盒月饼； （2）解：设甲组提高工作效率后，甲、乙两组都提前a天完成了这笔订单，根据题意，得 ， 整理得， 解得，（不符合题意，舍去）， 答：甲组提高工作效率后，甲、乙两组都提前2天完成了这笔订单． 题型9.行程问题 【典例】在京珠高速公路上行驶着一辆时速为108千米的汽车，突然发现前面有情况，紧急刹车后又滑行30米才停车．刹车后汽车滑行10米时用了（　　）秒． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求滑行10米时用时，即有了距离求时间，则必须知道速度．这里的速度是从刹车到停止期间的平均速度，因此必须求出从刹车到停止用了多长时间以及每秒减速多少．这二者解决后，便可解答． 【详解】解：时速108千米30米/秒， 设紧急刹车后又滑行30米需要时间为秒，由平均速度时间路程得： ，解得秒， 平均每秒减速米/秒； 设刹车后汽车滑行10米时用了秒， 依题意列方程：，即，解方程得，（舍去）， 秒， 故选：D． 【点睛】本题是匀减速运动的问题，速度应为平均速度，基本等量关系：平均速度时间路程．注意速度单位的转化和题目的问题相符． 【跟踪专练1】《九章算术》中有一题：“今有二人同所立．甲行率七，乙行率三．乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会．问甲行几何．”大意是说：已知甲、乙两人同时从同一地点出发，甲的速度为7，乙的速度为3．乙一直往东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇．那么相遇时甲走了多远（    ） A．步 B．步 C．步 D．步 【答案】C 【分析】题目主要考查一元二次方程的应用，勾股定理的运用，根据题意作出如下图所示，设经秒二人在处相遇，可得：，，，然后利用勾股定理列出方程求解，然后即可得出甲走的步数． 【详解】设经x秒二人在B处相遇，这时乙共行走：， 甲共行走：， ， ， 又， ， ， 解得：（舍去）或， ， ， 即甲走了步， 故选：C． 【跟踪专练2】一个小球以的速度开始向前滚动，并且均匀减速，后小球停止滚动． (1)小球的滚动速度平均每秒减少多少？ (2)小球滚动用了多少秒（结果保留根号）？ （提示：匀变速直线运动中，每个时间段内的平均速度（初速度与末速度的算术平均数）与路程，时间的关系为．） 【答案】(1)小球的滚动速度平均每秒减少； (2)小球滚动到用了秒． 【分析】本题考查了一元二次方程的应用． （1）从滚动到停下平均每秒速度减少值为：速度变化÷小球运动速度变化的时间； （2）利用等量关系：速度×时间＝路程，时间为，根据题意列出方程：求解即可． 【详解】（1）解：从滚动到停下平均每秒速度减少值为：速度变化÷小球运动速度变化的时间， 即， 故小球的滚动速度平均每秒减少； （2）解：设小球滚动到用了， 即， 解得（舍），． 答：小球滚动到用了秒． 题型10.图表信息题 【典例】如图是今年某月的日历表，小欧用一个平行四边形，框出6个数字，其中最小数与最大数的积是264，求小欧框出的最小数． 【答案】12 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据日历中的数字规律，确定最大数与最小数是解题的关键．设最小数为x，根据题意，得到最大数为，列出方程为，解方程即可． 【详解】设最小数为x，则最大数为， ， ， 解得（舍去）， 所以小欧框出的最小数是12． 【跟踪专练1】某风景区的旅游信息如下表： 旅游人数 收费标准 不超过30人 人均收费800元 超过30人 每增加1人，人均收费降低10元，但人均收费不低于550元． (1)一个25人的老年团去该风景区旅游共需支付_____元； (2)某公司组织一批员工到该风景区旅游，支付旅行费用29250元．请求出参加这次旅游的人数． 【答案】(1)20000 (2)45人 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用（分段收费问题），解题的关键是根据人数范围确定收费标准，列方程并检验解的合理性． （1）判断25人在“不超过30人”的收费范围，用“人数人均收费”计算费用； （2）先判断人数超过30人，根据“人数×（原人均收费降低的费用）总费用”列方程，求解后检验人均收费是否符合“不低于550元”的条件，确定最终人数． 【详解】（1）解：由题意得（元） 应该支付20000元． 故答案为：20000 （2）设参加这次旅游的人数是人， （元），， ． 根据题意得：． 解得：，， 当时，人均旅游费用为，符合题意， 当时，人均旅游费用为，不符合题意，舍去． 答：参加这次旅游的有45人． 【跟踪专练2】疫情期间，“大白”成了身穿防护服的人员的代称．开学以来，我校很多老师在繁重的课务之余承担起了核酸检测的任务，化身可敬可爱的“大白”．据多日检测结果调查发现一个熟能生巧的现象，当每位大白检测人数是人时，每位同学人均检测时间是秒，而检测人数每提高人，人均就少耗时秒（若每位大白的检测人数不超过人，设人均少耗时秒）． (1)补全下列表格： 检测人数（人） 人均检测时间（秒） (2)某位大白一节课（）刚好同时完成了检测任务，那么他今日检测总人数为多少人？ 【答案】(1)40，，29，26 (2)他今日检测总人数为人 【分析】（1）设检测人数为y，人均检测时间为t（秒），由题意可得出y、t与x之间的函数关系式，即可补全表格； （2）根据人均检测时间×检测人数＝总检测时间，可得关于x的一元二次方程，解之即可得出结论． 【详解】（1）解：设检测人数为，人均检测时间为秒， 由题意得：、， 补全表格如下： 检测人数人 人均检测时间秒 （2）解：由题意得，， 解得，， 当时，检测总人数为人， 每位大白的检测人数不超过人， 不符合题意，舍去， 当时，检测总人数为人， 答：他今日检测总人数为人． 【点睛】本题考查一次函数的应用，一元二次方程的应用，根据条件建立函数关系是解决本题的关键． 题型11.握手.循环赛问题 【典例】随着天府机场的开通，一架架飞机掠过资阳的天空，每两个飞机场之间都开辟一条航线，某航空公司一共开辟了21条航线，则这个航空公司飞往的飞机场有_____个． 【答案】7 【分析】本题属于一元二次方程的实际应用问题，可通过设未知数，根据每两个机场间航线的计数规则建立方程求解，核心是避免航线的重复计算． 【详解】解：设这个航空公司飞往的飞机场有个， 根据题意列方程：， 解得：，， 因为飞机场的数量为正整数，所以不符合实际意义，舍去． 【跟踪专练1】某学校组织一次篮球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排9天，每天安排4场比赛，设比赛组织者应邀请个队参赛，则可列方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】解题关键是掌握单循环比赛的场次计算方法，找出等量关系列方程． 【详解】解：∵赛程计划安排9天，每天安排4场比赛， ∴总比赛场次为(场)， 设邀请个队参赛，每个队要与其余个队各赛1场， 又∵每两个队之间只比赛1场，原计算会重复计数，因此实际总比赛场次为， ∴可列方程为． 【跟踪专练2】九年级乒乓球赛制采用单循环形式（每两人之间进行一场比赛）． (1)若参赛者有6人，按赛制共进行了几场比赛？ (2)以下是小文和小博对比赛总场数的统计，判断小博的说法是否正确，并说明理由． (3)若八年级也举行单循环赛制的乒乓球比赛，且比赛场次控制在90~100之间，则应该安排___________名参赛者． 【答案】(1)15场 (2)说法正确，理由见解析 (3)14 【分析】本题考查一元二次方程的应用，理解题意是解答的关键． （1）由题意，得6个队伍需比赛的局数为，即可求解； （2）设有x个队伍报名参赛，根据题意列方程，然后解方程，根据方程根的情况可得结论； （3）设有人参赛，则比赛的总场数为，然后取当，，，计算的值，结合题意即可得出答案． 【详解】（1）解： 故按赛制共进行了15场比赛； （2）解：小博的说法正确． 理由：设有人参赛， 由题意得， 整理得， 解得 的取值不为整数，即方程的解不符合实际， 小博的说法正确； （3）解：设有人参赛，则比赛的总场数为， 当时，； 当时，； 当时，； 又比赛场次控制在90~100之间， ∴应该安排14名参赛者， 故答案为：14． 题型12.其他实际应用 【典例】某校学术报告厅共有616个座位，若每行的座位数都相同，且每行的座位数比总行数少6，则每行座位数为________． 【答案】22 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设每行座位数为，则总行数为，利用总座位数每行座位数总行数，即可列出关于的一元二次方程，求解即可． 【详解】解：设每行座位数为，则总行数为， 根据题意得：， 解得：（舍去）． 故答案为：22． 【跟踪专练1】有一种细胞分裂，1个细胞通过一次分裂后共有个细胞．某一个细胞按前面方式经过两次分裂后，细胞总数变为225个，那么根据题目条件求，可以列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，审清题意、弄清量之间的关系是解题的关键． 细胞分裂每次使细胞数量变为原来的x倍，经过两次分裂后细胞总数为，据此列方程即可． 【详解】解：∵ 初始1个细胞，一次分裂后细胞数为x， ∴ 二次分裂后细胞数为． 又∵ 二次分裂后共得225个细胞， ∴． 故选A． 【跟踪专练2】交警部门提醒市民：“出门头盔戴，放心平安归”，某电动车用品批发店准备在2月和3月分两次购入甲、乙两款头盔．2月购入了第一批，购入甲款头盔的数量是购入乙款头盔数量的2倍还多50，甲、乙两种头盔的购入单价分别为40元和60元，共用去资金23000元． (1)求第一批购入甲、乙两款头盔的数量； (2)3月恰逢开学季，随着家长接送孩子，头盔需求量增加．甲款头盔单价有所上涨（涨价金额为正数，涨幅不超过）．批发店决定，若甲款头盔的单价每上涨1元，则购入数量就比第一批甲款头盔的数量减少2个．因乙款头盔单价与第一批相同，所以乙款头盔的购入数量在第一批乙款头盔数量的基础上增加，最终花费的总资金比第一批增加了3100元，求甲款头盔的单价上涨了多少元？ 【答案】(1)第一批购入甲款头盔350个，购入乙款头盔150个 (2)甲款头盔的单价上涨了5元 【分析】（1）设第一批购入乙款头盔的数量为x个，则第一批购入甲款头盔的数量为个.，根据费用和为元建立一元一次方程求解； （2）设甲款头盔的单价上涨了元，根据题意建立一元二次方程求解即可． 【详解】（1）解：设第一批购入乙款头盔的数量为x个，则第一批购入甲款头盔的数量为个.， 由题意得， 解得， 则甲款头盔的数量为， 答：第一批购入甲款头盔350个，购入乙款头盔150个； （2）解：设甲款头盔的单价上涨了元， 由题意得，， 整理得，， 解得或， 由题意得，， ∴舍去， 答：甲款头盔的单价上涨了5元． 解答题 1．已知关于x的一元二次方程 (1)求证：方程总有两个实数根； (2)若该方程的两个实数根x₁，x₂满足 求k的值． 【答案】(1)见解析 (2)3 【分析】（1）判断一元二次方程根的情况，突破口是计算根的判别式，因为一元二次方程，当时总有两个实数根，所以先写出该方程对应的，再计算并证明其非负． （2）突破口是利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），因为已知方程的两根，所以先写出和的表达式，再将等式展开，代入和的表达式得到关于的方程，解方程即可． 【详解】（1）证明：在方程 中，,,, 则 ． ∵ ∴ ． ∴不论为何值，方程总有两个实数根． （2）解：在方程 中，,,, ∴ ． ∵ ∴, 解得． ∴的值为3． 2．化学是一门以实验为基础的学科，九班化学课代表小聪在老师的培训下，学会了高锰酸钾制取氧气的实验室制法，回到班上后开始教同学做实验，第一节课手把手教会了名同学，若第二节课小聪因家中有事请假了，班上其余会做该实验的每名同学又手把手教会了名同学，这样全班名同学恰好都会做这个实验了，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，熟练掌握以上知识是解题的关键．设一个人每节课手把手教会了名同学，根据第二节课后全班人恰好都会做这个实验了，可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【详解】解：设一个人每节课手把手教会了名同学， 根据题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）． 答：的值是． 3．运城临猗苹果是山西省名优特产，其果色鲜艳，果肉脆甜，汁水丰富，富含人体所必需的各类营养成分，年获国家农产品地理标志登记保护，年入选国家特色农产品优势区，深受老百姓的喜爱．年临猗某果园苹果年产吨，年实现了年产吨的目标． (1)求该果园年至年苹果年产量的年平均增长率． (2)某果库以元的成本采购了苹果吨，目前可以以元/吨的价格售出．如果储藏起来，每星期会损失吨，且每星期需要支付各种费用元，但同时每星期每吨的价格会上涨元，那么储藏多少个星期后，出售这批苹果可获利元？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用，解决本题的关键是根据题意找出等量关系，列出方程求解． 设果园年至年苹果年产量的年平均增长率为，可列方程，解方程即可求出平均增长率； 设储藏个星期后，出售这批苹果可获利元，根据利润总售价总成本，列出方程求解即可． 【详解】（1）解：设果园年至年苹果年产量的年平均增长率为， 根据题意可得：， 解得：，(不符合题意，舍去)， ， 答：果园年至年苹果年产量的年平均增长率为； （2）解：设储藏星期后出售这批苹果可获利元， 根据题意可得：， 整理得：， 解得：，， 答：储藏个星期后出售这批苹果可获利元． 4．如图，在平面直角坐标系中，四边形是平行四边形，为坐标原点，点的坐标是，线段交轴于点，点的坐标是，线段．动点从点出发，沿射线的方向以每秒个单位的速度运动，同时动点从点出发，以每秒1个单位的速度向终点运动，当点运动到点时，点随之停止运动，运动时间为秒． (1)用的代数式表示：________，________； (2)若以，，，为顶点的四边形是平行四边形时，求的值； (3)当恰好是等腰三角形时，求的值． 【答案】(1)； (2)的值为或 (3)的值为或 【分析】（1）由平行四边形的性质结合题意可求出，，可得出的长度表达式，随后进行分类讨论：当在点右侧时、当与点重合时和当在点左侧时，分别求出的长即可； （2）分类讨论：①当在点右侧时和②当在点左侧时，根据平行四边形的性质即可分别得出关于的等式，解出即可； （3）先将点、、分别用坐标表示，即可得出、、的代数式，再进行分类讨论：①当时、②当时，③当时，列出关于的方程，对方程进行求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵四边形是平行四边形，， ∴， ∴，， 故时，点、停止运动， ， 当点在点右侧时： 此时，， 当点与点重合时： 此时，， 当点在点左侧时： 此时，， 综上，故；． （2）解：∵， 若以，，，为顶点的四边形是平行四边形， 需满足， 当时，得， 解得； 当时，得， 解得； 综上，的值为或． （3）解：∵，， ∴， 同理点，点， ∴，，，且， 当时，即， 化简得， ∵， ∴方程无解，该情况不成立； 当时，即， 解得； 当时，即， 化简得， 解得或（此时点与点重合，不符合题意，舍去）； 综上，的值为或． 【点睛】本题包含坐标与图形，平行四边形的性质，等腰三角形的定义，勾股定理等知识点，合理利用数形结合的思想是解题关键． 5．整体思想在解决数学问题中有重要作用． 例如: (1)为将表示成分数的形式，可设，得，将拆分为，解出，即得的分数形式为，求出； (2)现有一个无限连分数，它的每一个分母都与原数完全一样，求出此数的值． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题考查一元一次方程和一元二次方程的应用，根据题目的整体思想运用的方法通过设未知数建立方程是解题的关键． （1）根据题意，通过设未知数，建立一元一次方程，解方程即可得解； （2）利用整体思想，将连分数设为变量，整理可得一元二次方程，最后用配方法解方程，结合即可得解． 【详解】（1）解：设， 则， ， 移项得，， 解得，， （2）解：设， 每一个分母都与原数完全一样， ， 整理，得， 移项，得， 配方，得， 即． 由此可得， ，， ， 的值为． 6．某公司研制出一种新产品，每件产品成本元，销售单价定为元．为了鼓励商家购买该产品，公司决定若一次购买该产品不超过件，每件按元销售；若一次购买该产品超过件，每多购买一件，所购全部产品销售单价降低元，但销售单价均不低于元． (1)设一次购买该产品的数量为件（为正整数），销售单价为元，请写出与的函数关系式； (2)公司在商家一次购买该产品时，能否恰好获利元？若能，求出此时该产品的销售单价；若不能，说明理由． 【答案】(1)且为正整数 (2)公司能恰好获利元，此时该产品的销售单价为元 【分析】（）分，和三种情形分别解答即可； （）依据题意，结合（）分三种情况列出方程解答即可求解； 本题考查了一元二次方程的应用，一次函数的应用，理解题意是解题的关键． 【详解】（1）解：当时，购买数量不超过件，按原价销售， ； ∵销售单价最低为元， 令， 解得， ∴当购买数量超过件且不超过件时，单价随购买数量增加而降低， 当时，每多买件，单价降低元， ， 即； 当时，单价已降至最低元，不再继续降价， ； 综上，与的函数关系式为且为正整数； （2）解：当时，销售单价，单件利润， 当时， 解得，不在的范围内，故此情况不成立； 当时，销售单价，单件利润为， 当时， 解得， ，符合题意， ∴此时销售单价元； 当时，销售单价，单件利润， 当时， 解得， ∵购买数量必须为正整数， ∴此情况不成立； 综上，公司能恰好获利元，此时该产品的销售单价为元． 7．如图，在长方形中，，，点从点出发沿边以的速度移动，同时点从点出发沿边以的速度移动，当点运动到点时，，两点都停止运动，设运动的时间为． (1)_____cm，________cm（用含的代数式表示） (2)当为何值时，的长度等于？ (3)若点沿射线方向从A点出发以的速度移动，点 Q沿射线方向从 C 点出发以的速度移动，同时出发，是否存在t，使得三角形 的面积等于；若存在，请求出t；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2) (3)或 【分析】（1）根据点从点开始沿边向终点以的速度移动，可以求得； （2）用含的代数式分别表示和的值，运用勾股定理求得为据此求出值； （3）分、、三种情况进行讨论，结合三角形面积公式列方程求解即可． 【详解】（1）解：根据题意可知：，， ∵， ∴； （2）解：由题意得：， 解得：（舍去），； 当时，的长度等于； （3）解：存在， 根据题意可知，，， ①当时，， ， 整理得：，解得或（舍去）； ②当时，， ， 整理得：， ，方程无解； ③当时，， ， 整理得：，解得（舍去）或； 综上，当或时，三角形的面积等于． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02一元二次方程根与系数关系及应用 1.熟记韦达定理（根与系数关系），能准确写出一般式ax2+bx+c=0(a≠0)两根之和、两根之积的表达式，明确定理使用前提(Δ≥0)。 2.掌握已知一元二次方程，不解方程求两根和、两根积，以及两根平方和、两根倒数和等代数式的值。 3.会利用两根的值反求一元二次方程；已知方程一根，借助韦达定理快速求出另一根与参数。 4.能结合判别式、韦达定理解决含参数的取值范围问题，兼顾根存在与题目限制条件。 5.梳理一元二次方程实际问题常见模型：增长率、面积、利润、数字、动点几何问题，找准每类问题等量关系。 6.掌握列一元二次方程解应用题完整步骤：审、设、列、解、验、答，重点检验根是否符合实际意义，舍去不合理解。 7.根据图形边长、面积变化建立方程，处理图形裁剪、平移、动点类几何应用题型。 8.区分增长率模型两种形式，熟练套用基数、增长次数、增长后总量的关系式。 9.整理韦达定理漏判判别式、应用题不检验负根 / 不合理解等典型错题，课堂针对性突破难点。 预习必备 知识梳理 1.韦达定理基础内容 2.两根代数式恒等变形 3.韦达定理基础题解题思路 4.特殊根的对应条件 5.韦达定理高频易错 6.应用解题步骤 7.常见应用模型及核心公式 8.应用高频易错 常考题型 精讲精练 1.一元二次方程根与系数的关系 2.传播问题 3.增长率问题 4.与图形有关的问题 5.数字问题 6.营销问题 7.动态几何问题 8.工程问题 9.行程问题 10.图表信息题 11.握手.循环赛问题 12.其他实际应用 强化题型 解答题7题 知识点01:韦达定理基础内容 1.设一元二次方程标准形式程 ax2+bx+c=0（a0） ，方程两个实数根为 x1、x2，使用定理前提：判别式 Δ=b2−4ac≥0， 方程有实数根才能使用根与系数关系。 2.核心公式： 两根之和：x1+x2−​ 两根之积：x1x2 3.简化形式：当二次项系数 a=1，方程为 x2+px+q=0，则 x1+x2=-p，x1x2=q。 知识点02:两根代数式恒等变形（不解方程求值专用） 待求代数式 变形公式 知识点03:韦达定理四大基础题型解题思路 1.已知完整一元二次方程，求两根和、积及变形代数式 步骤：整理为一般式→确定a、b、c→计算Δ判断有实根→代入韦达公式→整体代换变形求值。 2.已知方程其中一根，求另一根与参数 利用 x1+x2=- 快速算出另一根，再将已知根代入方程求解参数，无需完整解方程。 3.已知两个数值，构造以其为根的一元二次方程 基础方程：x2-(x1+x2)x+x1x2=0，可同乘非零整数化为整数系数方程。 4.含参数一元二次方程，结合判别式求参数取值范围 限制条件分层： ① a≠0，保证方程是一元二次方程； ② Δ≥0，保证存在实数根； ③ 附加约束条件：两根正负、两根互为相反数 / 倒数等，结合韦达列不等式组。 知识点04:特殊根的对应条件 1.两根互为相反数：x1+x2=0，即 b=0，同时满足 Δ≥0； 2.两根互为倒数：x1x2=1，即 c=a，同时满足 Δ≥0； 4.两根一正一负：x1x2<0，此条件下Δ >0恒成立，无需额外计算判别式。 知识点05:韦达定理高频易错汇总表 易错类型 错误示例 正确操作 失分原因 和式遗漏负号 2x2-3x-1=0 直接写x1+x2= x1+x2=，牢记公式-，b带符号代入 忽略两根和自带负号 不判断判别式直接用韦达 方程Δ<0，依旧计算两根和积 做题第一步计算Δ，无实根则定理不可用 定理仅适用于有实数根的方程 忽略二次项系数不为 0 含参方程不限制a≠0 一元二次方程必须满足a≠0 a=0时方程降为一次方程，不存在两个根 一正一负根重复算Δ x1x2<0额外计算判别式 乘积小于 0，Δ必然大于 0，无需验算 正负相乘为负，判别式自动为正 知识点06:列一元二次方程解应用题标准六步解题规范 审（梳理题意，提取等量关系）→设（合理设未知数，标注单位）→列（根据等量关系列一元二次方程）→解（选用合适方法解方程）→验（双重检验）→答（完整带单位书写结论） 双重检验要求： 1.数值代入方程，验证等式成立； 2.结合实际场景检验，长度、人数、增长率、单价等不能为负数，不符合现实的解直接舍去。 知识点07:常见应用题模型及核心公式 题型类别 核心公式 / 等量关系 典型特征 增长率 / 下降率问题 增长：a(1+x)n=b；下降：a(1−x)n=b（a初始量，x变化率，n变化次数，b最终量） 产量、利润、销售额等持续增减，已知初始与最终状态 传播问题 m(1+x)n=N（m初始传播源，x每轮传播数，n轮次，N总数量） 病毒、消息、分支生长等多轮扩散，总量逐步累积 利润（销售）问题 总利润 = （售价 - 成本）× 销售量； 销售额 = 售价 × 销售量 售价与销量反向联动，求特定利润或最优销售方案 几何（形积）问题 利用矩形、三角形等规则图形面积公式；不规则图形可通过分割 / 组合转化 场地修路、动点形成图形、图形面积计算，含边长限制 数字问题 多位数表示：三位数=100×百位数字+10×十位数字 +个位数字；连续整数/偶数/奇数：相邻两数差 1/2 已知数字间关系，求具体数字 握手 / 赠礼问题 握手总数：；互赠礼物总数：n(n−1)（n为人数） 无重复计数场景，数量与个体数成二次关系 利息问题 利息=本金×利率×期数； 本息和=本金×(1 + 利率 × 期数)（无利息税） 银行存款、理财收益计算，涉及本金、利率、期数 知识点08:一元二次方程应用题易错汇总 易错类型 典型错误 正确规范 增长率次数写错 两年增长写成a(1+x)=A 两年对应平方a(1+x)2=A 矩形小路重复减宽 长、宽同时直接减小路宽度 平移空白区域，仅各减去一次小路宽 保留不符合实际的解 算出负数长度、负增长率不舍去 长度、人数、单价必须为正数，直接舍弃负根 利润销量关系颠倒 涨价后认为销量上升 涨价销量减少，降价销量增加 握手题型遗漏 x人握手总次数写x(x-1) 两人仅计一次，整体乘 题型1.一元二次方程根与系数的关系 【典例】关于的方程的两根为1和5，则________． 【跟踪专练1】若、是一元二次方程的两个根，则的值是（   ） A． B．6 C． D． 【跟踪专练2】已知是一元二次方程的两个实数根，则的值为_____． 【跟踪专练3】已知方程的两根，．那么是（       ） A． B． C． D． 题型2.传播问题 【典例】某人患有甲型流感，经过两轮传染后共有36个人患流感．设每轮传染中平均一个人传染个人，则根据题意可列方程_____． 【跟踪专练1】某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出与支干数目相同的小分支，主干、支干和小分支的总数是，求每个支干长出多少小分支．设每个支干长出x个小分支，那么根据题意可以列方程为（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】某种电脑病毒传播非常快，如果有一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染. (1)每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？ (2)若病毒得不到有效控制，经过3轮感染后被感染的电脑会不会超过700台？ 题型3.增长率问题 【典例】习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气”．我市为响应全民阅读活动，利用节假日面向社会开放图书馆．据统计，第一个月进馆1150人次，进馆人次逐月增加，第三个月进馆1800人次，若进馆人次的月平均增长率为，则可列方程为___________． 【跟踪专练1】随着我国数字化阅读方式的接触率和人群持续增多，数字阅读凭借独有的便利性成为了更快获得优质内容的重要途径．某市2022年数字阅读市场规模为万元，2024年数字阅读市场规模为万元．设年平均增长率为，则下面所列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】吉水县公安局提醒市民，骑车必须严格遵守“一盔一带”的规定，某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售500个，6月份销售720个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同． (1)求该品牌头盔销售量的月增长率； (2)若此种头盔每个进价为40元，商家经过调查统计，当每个头盔售价为50元时，月销售量为500个，在此基础上售价每涨价1元，则月销售量将减少10个．为使月销售利润达到8000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元？ 题型4.与图形有关的问题 【典例】如图，某停车场为了解决充电难的问题，现将长为20米，宽为10米的矩形停车场进行改造．将矩形停车场的边和边分别减少相等的长度，减少的这部分区域用于修建充电桩，剩余停车场的面积为119平方米，求边和边减少的长度是______米． 【跟踪专练1】小明拟用总长为8米的篱笆，在两边都足够长的直角围墙的一角，帮妈妈围出一块15平方米的矩形菜地，如图所示．设矩形的一边长为x米，根据题意可列方程（　　） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，一个农户用长的篱笆围成一排一面靠墙（墙长15米）、大小相等且彼此相连的三个矩形鸡舍． (1)要使三个鸡舍的总面积为，求每个鸡舍的长和宽． (2)能使三个鸡舍的总面积为吗？，如果能，求每个鸡舍的长和宽．如果不能请说明理由． 题型5.数字问题 【典例】一个两位数的个位数字与十位数字之和是9，且个位数字与十位数字的积是20，设这个两位数的个位数字为，则根据题意可列方程为_____． 【跟踪专练1】小明问这样一个问题：“有没有这样一个数？先计算这个数的平方，再减去这个数，最后加上1，其运算结果和这个数相同．”在深度思考后，给出的正确答案是（    ） A．1 B． C． D．1或 【跟踪专练2】如图是2025年7月份的日历表，用虚线方框按如图所示的方法任意圈出四个数，若圈出的四个数中，最大数与最小数的乘积为180，求最大数与最小数． 题型6.营销问题 【典例】商场某种商品平均每天可销售件，每件盈利元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，每件商品每降价元，商场平均每天可多售出件，设每件商品降价元，商场日盈利可达到元，则可列方程为_____． 【跟踪专练1】为铭记历史，凝聚民族精神，某商场购进一批2025年九三阅兵纪念画册，每本的成本是50元，根据市场预测，该纪念画册销售单价为100元时，每天的销量是50本，且当销售单价每降低1元时，每天就可多售出5本．设销售单价定为x元，商店每天纪念画册的销售利润为4000元，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】石狮泰禾某童装专卖店在销售中发现，一款童装每件进价为80元，销售价为120元时，每天可售出20件，为了迎接“十一”国庆节，商店决定采取适当的降价措施，以扩大销售量，增加利润，经市场调查发现，如果每件童装降价1元，那么平均可多售出2件． (1)设每件童装降价x元时，每天可销售______件，每件盈利______元；（用x的代数式表示） (2)每件童装降价多少元时，平均每天赢利1200元； (3)要想平均每天盈利2000元，可能吗？请说明理由． 题型7.动态几何问题 【典例】如图，在中，，的长为，的长为，点从点开始，沿边向点以的速度移动，点从点开始，沿边向点以的速度移动，如果、分别从、同时出发，______秒后的面积等于． 【跟踪专练1】如图所示，中，，，，点P从A点开始沿向B点以的速度移动，点Q从B点开始沿边向C点以的速度移动．如果P、Q分别从A、B同时出发，那么多少秒后，线段将分成面积1：2的两部分（     ） A．2 B．4 C．2或4 D．2或6 【跟踪专练2】已知在中，，，点从点开始沿边向点以的速度移动，点从开始沿边向点以的速度移动，若一动点运动到终点，则另一个也随之停止． (1)如果、分别从、两点同时出发，那么几秒后，的面积等于？ (2)在（1）中，的面积能否等于？说明理由． 题型8.工程问题 【典例】某快递公司分拣中心有两台自动分拣机（型号甲、型号乙），专门处理小件快递的分拣工作，机器效率稳定且符合行业实际标准：甲分拣机每小时能分拣400件快递，乙分拣机每小时能分拣500件快递． (1)电商大促期间，快件量激增，两台分拣机轮流工作共用了11小时，要确保分拣的快递总数不少于5000件才能避免快件积压，保障配送时效，则乙分拣机至少需要工作多少小时？ (2)日常运营中，原计划两台分拣机每天均工作8小时．为提升分拣效率，中心对机器进行了系统升级和算法优化：实际工作中，甲分拣机每小时比原计划多分拣100a件（），且每天比原计划少工作2a小时；乙分拣机每小时比原计划多分拣100件，每天比原计划少工作a小时．调整后，两台机器一天恰好分拣快递6000件，求a的值． 【跟踪专练1】由于疫情反弹，某地区开展了连续全员核酸检测，9月7日，医院派出13名医护人员到一个大型小区设置了、两个采样点进行核酸采样，当天共采样9220份，已知点平均每人采样720份，点平均每人采样700份． (1)求、两点各有多少名医护人员？ (2)9月8日，医院继续派出这13名医护人员前往这个小区进行核酸采样，这天，社区组织者将附近数个商户也纳入这个小区采样范围，同时重新规划，决定从点抽调部分医护人员到点经调查发现，点每减少1名医护人员，人均采样量增加10份，点人均采样量不变，最后当天共采样9360份，求从点抽调了多少名医护人员到点？ 【跟踪专练2】“万里无云镜九州，最团圆夜是中秋．”临近中秋节，某月饼厂接到一笔盒月饼的订单，现决定由甲、乙两组共同完成，已知两组同时开工，甲组加工天，乙组加工8天就能完成这笔订单，且甲组3天加工的月饼数量比乙组2天加工的月饼数量多盒． (1)求甲、乙两组平均每天各能加工多少盒月饼； (2)甲、乙两组同时开工2天后，这笔订单临时又增加了盒月饼，甲组从第3天起提高了工作效率，而乙组的工作效率不变，并提前完成了这笔订单．经调研发现，若甲组平均每天每多加工盒月饼，则甲、乙两组就各自都提前1天完成任务，已知甲、乙两组加工的天数均为整数，则甲组提高工作效率后，甲、乙两组都提前多少天完成了这笔订单？ 题型9.行程问题 【典例】在京珠高速公路上行驶着一辆时速为108千米的汽车，突然发现前面有情况，紧急刹车后又滑行30米才停车．刹车后汽车滑行10米时用了（　　）秒． A． B． C． D． 【跟踪专练1】《九章算术》中有一题：“今有二人同所立．甲行率七，乙行率三．乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会．问甲行几何．”大意是说：已知甲、乙两人同时从同一地点出发，甲的速度为7，乙的速度为3．乙一直往东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇．那么相遇时甲走了多远（    ） A．步 B．步 C．步 D．步 【跟踪专练2】一个小球以的速度开始向前滚动，并且均匀减速，后小球停止滚动． (1)小球的滚动速度平均每秒减少多少？ (2)小球滚动用了多少秒（结果保留根号）？ （提示：匀变速直线运动中，每个时间段内的平均速度（初速度与末速度的算术平均数）与路程，时间的关系为．） 题型10.图表信息题 【典例】如图是今年某月的日历表，小欧用一个平行四边形，框出6个数字，其中最小数与最大数的积是264，求小欧框出的最小数． 【跟踪专练1】某风景区的旅游信息如下表： 旅游人数 收费标准 不超过30人 人均收费800元 超过30人 每增加1人，人均收费降低10元，但人均收费不低于550元． (1)一个25人的老年团去该风景区旅游共需支付_____元； (2)某公司组织一批员工到该风景区旅游，支付旅行费用29250元．请求出参加这次旅游的人数． 【跟踪专练2】疫情期间，“大白”成了身穿防护服的人员的代称．开学以来，我校很多老师在繁重的课务之余承担起了核酸检测的任务，化身可敬可爱的“大白”．据多日检测结果调查发现一个熟能生巧的现象，当每位大白检测人数是人时，每位同学人均检测时间是秒，而检测人数每提高人，人均就少耗时秒（若每位大白的检测人数不超过人，设人均少耗时秒）． (1)补全下列表格： 检测人数（人） 人均检测时间（秒） (2)某位大白一节课（）刚好同时完成了检测任务，那么他今日检测总人数为多少人？ 检测人数人 人均检测时间秒 题型11.握手.循环赛问题 【典例】随着天府机场的开通，一架架飞机掠过资阳的天空，每两个飞机场之间都开辟一条航线，某航空公司一共开辟了21条航线，则这个航空公司飞往的飞机场有_____个． 【跟踪专练1】某学校组织一次篮球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排9天，每天安排4场比赛，设比赛组织者应邀请个队参赛，则可列方程为（     ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】九年级乒乓球赛制采用单循环形式（每两人之间进行一场比赛）． (1)若参赛者有6人，按赛制共进行了几场比赛？ (2)以下是小文和小博对比赛总场数的统计，判断小博的说法是否正确，并说明理由． (3)若八年级也举行单循环赛制的乒乓球比赛，且比赛场次控制在90~100之间，则应该安排___________名参赛者． 题型12.其他实际应用 【典例】某校学术报告厅共有616个座位，若每行的座位数都相同，且每行的座位数比总行数少6，则每行座位数为________． 【跟踪专练1】有一种细胞分裂，1个细胞通过一次分裂后共有个细胞．某一个细胞按前面方式经过两次分裂后，细胞总数变为225个，那么根据题目条件求，可以列方程为（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】交警部门提醒市民：“出门头盔戴，放心平安归”，某电动车用品批发店准备在2月和3月分两次购入甲、乙两款头盔．2月购入了第一批，购入甲款头盔的数量是购入乙款头盔数量的2倍还多50，甲、乙两种头盔的购入单价分别为40元和60元，共用去资金23000元． (1)求第一批购入甲、乙两款头盔的数量； (2)3月恰逢开学季，随着家长接送孩子，头盔需求量增加．甲款头盔单价有所上涨（涨价金额为正数，涨幅不超过）．批发店决定，若甲款头盔的单价每上涨1元，则购入数量就比第一批甲款头盔的数量减少2个．因乙款头盔单价与第一批相同，所以乙款头盔的购入数量在第一批乙款头盔数量的基础上增加，最终花费的总资金比第一批增加了3100元，求甲款头盔的单价上涨了多少元？ 解答题 1．已知关于x的一元二次方程 (1)求证：方程总有两个实数根； (2)若该方程的两个实数根x₁，x₂满足 求k的值． 2．化学是一门以实验为基础的学科，九班化学课代表小聪在老师的培训下，学会了高锰酸钾制取氧气的实验室制法，回到班上后开始教同学做实验，第一节课手把手教会了名同学，若第二节课小聪因家中有事请假了，班上其余会做该实验的每名同学又手把手教会了名同学，这样全班名同学恰好都会做这个实验了，求的值． 3．运城临猗苹果是山西省名优特产，其果色鲜艳，果肉脆甜，汁水丰富，富含人体所必需的各类营养成分，年获国家农产品地理标志登记保护，年入选国家特色农产品优势区，深受老百姓的喜爱．年临猗某果园苹果年产吨，年实现了年产吨的目标． (1)求该果园年至年苹果年产量的年平均增长率． (2)某果库以元的成本采购了苹果吨，目前可以以元/吨的价格售出．如果储藏起来，每星期会损失吨，且每星期需要支付各种费用元，但同时每星期每吨的价格会上涨元，那么储藏多少个星期后，出售这批苹果可获利元？ 4．如图，在平面直角坐标系中，四边形是平行四边形，为坐标原点，点的坐标是，线段交轴于点，点的坐标是，线段．动点从点出发，沿射线的方向以每秒个单位的速度运动，同时动点从点出发，以每秒1个单位的速度向终点运动，当点运动到点时，点随之停止运动，运动时间为秒． (1)用的代数式表示：________，________； (2)若以，，，为顶点的四边形是平行四边形时，求的值； (3)当恰好是等腰三角形时，求的值． 5．整体思想在解决数学问题中有重要作用． 例如: (1)为将表示成分数的形式，可设，得，将拆分为，解出，即得的分数形式为，求出； (2)现有一个无限连分数，它的每一个分母都与原数完全一样，求出此数的值． 6．某公司研制出一种新产品，每件产品成本元，销售单价定为元．为了鼓励商家购买该产品，公司决定若一次购买该产品不超过件，每件按元销售；若一次购买该产品超过件，每多购买一件，所购全部产品销售单价降低元，但销售单价均不低于元． (1)设一次购买该产品的数量为件（为正整数），销售单价为元，请写出与的函数关系式； (2)公司在商家一次购买该产品时，能否恰好获利元？若能，求出此时该产品的销售单价；若不能，说明理由． 7．如图，在长方形中，，，点从点出发沿边以的速度移动，同时点从点出发沿边以的速度移动，当点运动到点时，，两点都停止运动，设运动的时间为． (1)_____cm，________cm（用含的代数式表示） (2)当为何值时，的长度等于？ (3)若点沿射线方向从A点出发以的速度移动，点 Q沿射线方向从 C 点出发以的速度移动，同时出发，是否存在t，使得三角形 的面积等于；若存在，请求出t；若不存在，请说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $