湖北省荆州市松滋市2025-2026学年下学期高二年级期末自编练习卷5

**基本信息** 立足高二选择性必修内容，以新冠疫情检验方案、AI数字人等现实情境为载体，通过分层设问考查数学建模、逻辑推理等核心素养，适配期末综合测评需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单项选择题|8题/40分|中位数、二项式定理、双曲线渐近线等|基础概念辨析，如第3题结合双曲线上点求渐近线| |多项选择题|3题/15分|等差数列前n项和、正方体线面关系等|第11题以AI数字人情境考查全概率公式与二项分布| |填空题|3题/15分|二项式系数和、数列递推求和等|第14题探究抛物线四点与坐标轴交点关系| |解答题|5题/30分|数列求和、概率统计、立体几何等|第16题设计新冠混合检验方案考查数学建模，第19题导数题结合零点存在性定理考查逻辑推理|

2025-2026学年下学期高二年级期末自编练习卷5 考试范围：选择性必修一，选择性必修二，选择性必修三 一、单项选择题 1．样本数据的中位数为（     ） A．5 B．6 C．8 D．9 2.已知的展开式中的的系数是280，则（     ） A．2 B．-2 C．1 D．-1 3. 已知双曲线：（，）过点和，则双曲线C的渐近线方程是（     ） A． B． C． D． 4．已知，，则（     ） A．68 B．56 C． D． 5．已知向量，，，平面的法向量，若，则的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 6．已知函数的最大值为1，则（     ） A． B．1 C． D．2 7. 已知双曲线（，）的左焦点为，是右顶点，是双曲线上一点，满足，，则双曲线离心率为（     ） A．4 B． C． D． 8. 已知正实数a，b满足，则ab的值为（   ） A． B． C． D． 二、多项选择题 9. 设是等差数列的前n项和，若，，则（    ） A． B．中最小值为 C．当取得最大值时， D．使成立的最大整数n为14 10．已知正方体，，分别是面，面的中心.则下列结论正确的是（   ）. A． B．平面 C．与是异面直线 D．平面将正方体分成前后两部分的体积比为2：1 11.某科技公司推出了一项全民互动体验项目，该项目利用AI技术为用户生成个性化数字人形象.已知每位用户生成的数字人形象相互独立，且遵循以下生成规则：①风格类型分为国风、科技风、萌趣风三类，每种类型生成的概率分别为 ②动作特效分为抱拳、奔跑、比心三类，动作特效的生成概率与风格类型相关，其规律如下，若生成的风格类型为国风，则生成的动作特效为抱拳、奔跑、比心的概率分别为 ；若生成的风格类型为科技风，则生成的动作特效为抱拳、奔跑、比心的概率均为 ；若生成的风格类型为萌趣风，则生成的动作特效为抱拳、奔跑、比心的概率分别为 ③隐藏款判定，若生成的数字人形象的风格类型与动作特效满足国风配抱拳或科技风配奔跑或萌趣风配比心，则该数字人形象为隐藏款，否则为普通款.下列说法正确的是（    ） A．随机抽取 1位用户，则事件“数字人形象风格类型为科技风”与事件“数字人形象动作特效为奔跑”相互独立 B．随机抽取1位用户，则该用户的数字人形象为隐藏款的概率是 C．随机抽取9位用户，记生成的数字人形象为隐藏款的人数为随机变量，则最大 D．随机抽取 2位用户，记生成的数字人形象为隐藏款的人数为随机变量，另外随机抽取3位用户，记生成的数字人形象为普通款且动作特效为奔跑的人数为随机变量η，则 三、填空题 12．已知，则___________． 13．（2026·陕西西安·模拟预测）已知数列满足，且．设表示的前项和，则________． 14.在平面内，为坐标原点，抛物线上有、、、四个点，、、、的纵坐标分别为、、、，直线与直线交轴于点，直线交轴于点，直线交轴于点，以下说法正确的有______． ①若与抛物线焦点重合，则； ②； ③； ④； ⑤ 四、解答题 15.（本小题13分） 已知等差数列前项和为，且. （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前20项和. 16. （本小题15分） 新冠疫情在西方国家大流行，国际卫生组织对某国家进行新型冠状病毒感染率抽样调查．在某地抽取n人，每人一份血样，共份，为快速有效地检验出感染过新型冠状病毒者，下面给出两种方案： 方案甲：逐份检验，需要检验n次； 方案乙：混合检验，把受检验者的血样分组，假设某组有份，分别从k份血样中取出一部分血液混合在一起检验，若检验结果为阴性，则说明这k个人全部为阴性，因而这k个人的血样只要检验这一次就够了；若检验结果为阳性，为了明确这k个人中究竟哪些人感染过新型冠状病毒，就要对这k个人的血样再逐份检验，因此这k个人的总检验次数就为． 假设在接受检验的人中，每个人血样检验结果是阳性还是阴性是相互独立的，且每个人血样的检验结果是阳性的概率为． （1）若，，用甲方案进行检验，求5人中恰有2人感染过新型冠状病毒的概率 （2）记为用方案乙对k个人的血样总共需要检验的次数． ①当，时，求； ②从统计学的角度分析，p在什么范围内取值，用方案乙能减少总检验次数？（参考数据：） 17. （本小题15分） 如图，在四棱锥中，底面是菱形，是的中点. （1）证明：平面； ( P A B C D F )（2）若直线平面,，且与平面所成的角正弦值为，求锐二面角的余弦值. 18.（本小题17分） 在平面直角坐标系中，椭圆的离心率，直线 与轴相交于点，与椭圆相交于点； （1）求椭圆的方程， （2）在轴上是否存在点，使得若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由. 19．(本小题17分)已知函数. （1）当时，求的单调区间； （2）为自然对数的底数，若时，恒成立，证明： 参考答案 一、单项选择题 1．【答案】B 【分析】结合中位数定义可得. 【详解】将已知数据从小到大排序为，则中位数为. 2.【答案】A 【详解】二项式的展开式的通项为，其中. 令，解得，则项的系数为. ∵ ，，且已知的系数为， ∴ ，即，解得. 3.【答案】B 【分析】把点和代入双曲线方程求出，再求出渐近线方程即可. 【详解】把点和，代入双曲线方程可得 ，所以双曲线方程为， 故该双曲线渐近线方程为. 4．【答案】C 【分析】根据前n项和的含义，依次令，逐步计算即可得到结果. 【详解】由，得，即； ，即；因为，所以； ，即，所以； ，即，所以. 5．【答案】A 【分析】求出平面的法向量，结合向量垂直的坐标表示求解即可. 【详解】设， 则，即，令，则，所以. 因为，所以，即，整理得，解得. 6．【答案】B 【详解】法1：（1）当时，由，解得， 故函数定义域为. ①当时，， 当，则，故不存在最大值，不合题意； ②当时，此时，， 故最大值不为，不合题意； ③当时，， 当，则，故不存在最大值，不合题意； （2）当时，则，则函数定义域为. 且由最大值为可知，， 即对任意恒成立，且等号能取到. 设，则， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 故，当且仅当时，， 由对任意恒成立，可知， 又当时，恒有，取不到等号，所以有， 故选：B. 法2：， 由选项知，则定义域为， 故最大值必在极值点处取到，不妨设此极值点为， 由， 则由，可得①， 且，即②，联立①②解得. 验证：当时，，则， 设，则， 当时，，则在上单调递增； 当时，，则在上单调递减； ，且， 且当，；当，； 作出函数的大致图象， 当时，，在上单调递增； 当时，，在上单调递减； 则，满足题意，故. 法3：由选项知，则定义域为， 由，解得. 同法2验证可得，故满足题意，由选项唯一可得.. 法4：由选项知，则定义域为， 由，解得. 验证：当时，由不等式可得， 故，当且仅当时等号成立， 故满足题意，由选项唯一可得. 7. 【答案】D 【分析】解法一：过点作垂直轴，垂足为，根据几何关系用表示出点坐标，代入双曲线方程构造齐次式，然后可得离心率. 解法二：设右焦点为，连接，根据双曲线的定义和性质可得，，结合余弦定理运算求解. 【详解】解法一：如图，过点作垂直于轴，垂足为， 因为，所以，所以， 又，所以， 根据双曲线对称性，不妨设点在第二象限，则， 将点坐标代入双曲线方程得：， 整理得， 将代入上式，整理得， 两边同时除以，整理得，解得. 解法二：如图，设右焦点为，连接， 由题意可知：，， 在三角形中，， 在三角形中，， 即， 整理可得，可得，所以. 8. 【答案】D 【分析】由得到，构造函数，求导确定单调性即可求解. 【详解】对两边取自然对数，得， 即，设，，则， 所以在上单调递增，所以方程的解只有一个， 又因为，所以，所以． 二、多项选择题 9. 【答案】ABD 【分析】根据题意，利用等差数列的求和公式和等差数列的性质，求得，且，，结合选项，逐项分析判断，即可求解. 【详解】A，由，可得， 因为，可得，所以，正确； B，由A分析且，所以且，正确； C，在等差数列中，由且， 当时，得；当时，得， 所以取得最大值时，，错误； D，由，且， 所以使得成立的最大整数为，正确. 10．【答案】AD 【分析】根据等腰三角形证明线线垂直判断A，根据正方形中与不垂直判断B，由直线平行判断C，利用多面体的体积，得到平面将正方体分成两部分的体积比为判断D. 【详解】因为是等边三角形，为中点，所以，又正方体中，所以，选项A正确； 在正方体中，过作分别交，于，，连接，， 则，所以平面即平面，由于与不垂直，选项B错误； 在正方体中，连接与， 则，又在上，所以，所以与共面，选项C错误； 显然与是相交直线，设其交点为，设直线交于，交于， 连结交于，则面是平面截正方体所得的截面， 由，分别为正方形，的中心，得，连接， 多面体的体积， 而正方体的体积， 因此平面将正方体分成前后两部分的体积比为，选项D正确. 11.【答案】ABD 【分析】记“生成的数字人形象风格类型为国风、科技风、萌趣风”分别为事件，记“生成的数字人形象动作特效为抱拳、奔跑、比心”分别为事件，根据全概率公式和二项分布知识计算即可. 【详解】对于A，记“生成的数字人形象风格类型为国风、科技风、萌趣风”分别为事件， 记“生成的数字人形象动作特效为抱拳、奔跑、比心”分别为事件， 则由题意得 又，所以， 所以事件“数字人形象风格类型为科技风”与事件“数字人形象动作特效为奔跑”相互独立，所以A正确； 对于B，记“数字人形象是隐藏款”为事件，则所以随机抽取1位用户，该用户的数字人形象为隐藏款的概率是，所以B正确； 对于C，由选项B及二项分布的知识知，设最大， 则，即. 解得，又，所以，所以最大，所以C错误； 对于D，记“生成的数字人形象为普通款且动作特效为奔跑”为事件， 则，则. 又，所以， 故，所以D正确. 三、填空题 12．【答案】 【分析】根据题意，分别令和，得到运算结果，两式相加，进而得到答案. 【详解】由， 令，则 ①； 令，则， 即 ②． ，得． 13．【答案】（或） 【分析】根据题设，结合等比数列的定义，通项公式及求和公式分别求得和的和，即可求解． 【详解】由题可知，，，， 消去得，， 所以是以为公比，首项为的等比数列， 所以， 所以； 当时，，， 消去得，，则得 所以是以为公比，首项为的等比数列， 所以， 所以， 所以 ． 14.【答案】②④ 【分析】首先探求抛物线弦与轴交点坐标与弦端点纵坐标积的关系，再利用关系式逐项分析，①②易得，③④⑤将长度与面积都转化为纵坐标表示，化简求解可得. 【详解】由题意、、、为抛物线上四个点可知，两两不等. 设抛物线上任意两点，其中. 当时，直线的斜率， 则直线方程为， 令，则直线与轴的交点横坐标 特别地，当时，，此时直线垂直于轴，也成立， 因此，直线与轴的交点横坐标（）. ①由题意直线交轴于点，若与抛物线焦点重合，则其横坐标为， 故由式可得，即，故①错误； ②由题意直线与直线交轴于点，则由式可得点横坐标，可得，故②正确； ③由题意直线交轴于点，直线交轴于点，则由式可得 ， 则，故，故③错误； ④由式可得， 当点或为原点时，则点也重合于原点，此时； 当点与均不为原点时，即，且， 则结合②结论可知，， 则有，故④正确； ⑤由，可知，则， ， 如图，当时，不成立，故⑤错误；故答案为：②④ 四、解答题 15.【详解】（1）当时， 当时，适用上式 所以 （2） 当时， 同理可得： 所以数列前20项和 16. 【详解】（1）对5个人的血样进行检验，且每个人的血样是相互独立的，设事件A为“5个人的血样中恰有2个人的检验结果为阳性”， 则 （2）①当，时，5个人的血样分别取样再混合检验，结果为阴性的概率为，总共需要检验的次数为1次；结果为阳性的概率为，总共需要检验的次数为6次；所以的分布列为： 1 6 P 所以 ． ②当采用混合检验的方案时， 根据题意，要使混合检验的总次数减少，则必须满足， 即，化简得， 所以当P满足，用混合检验方案能减少检验次数． 17. 【详解】（1）证明：连接交于 易证为中点，又是的中点 所以平面………4分 （2） 取PC中点为Q，以为坐标原点，为x轴，OC为y轴，OQ为z轴建立空间直角坐标系，设OB=m， 则 设平面的法向量为 由有 由与平面所成的角正弦值为 平面ACD的法向量为 则锐二面角的余弦值为 18.【详解】（1）， ， 所以椭圆的方程为 （2）设 i) 当直线与轴不重合时，设的方程为 代入 得：，则 , 当，即时，无论取何值，的值恒为2， 得点， Ii) 当直线与轴重合时，有或， 均有=2， 由i和ii得，在轴上是存在两点，使得 19．【详解】（1）当时，， 在上单调递增， 又 当时，，单调递减； 当时，，单调递增. 所以当时，的递减区间为，递增区间为. （2）在上单调递增， ，，， 由零点存在性定理知，存在唯一的， 使，即，得. 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以当时，取得极小值 即的最小值, 又恒成立，，得， ， 设， 求导 ，令，得 当时，，单调递减； 当时，，单调递增. 当时，极小值 ， 即. 试卷第8页，总9页 学科网（北京）股份有限公司 $