精品解析：2026年江苏省连云港外国语学校中考二模数学试卷

2025-2026学年度第二学期九年级学业质量检测 数学（共40分） （试卷满分：150分 考试时间：120分钟） 一、选择题（每题3分，共24分） 1. 下面的图形是用数学家名字命名的，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. 杨辉三角 B. 笛卡尔心形线 C. 科克曲线 D.    斐波那契螺旋线 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，掌握轴对称图形和中心对称图形的判定方法是解题的关键． 根据把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，据此逐项判断，即可求解． 【详解】解：根据轴对称图形和中心对称图形的定义，可知， A、原图是轴对称图形，不是中心对称图形，故选项A不合题意， B、原图是轴对称图形，不是中心对称图形，故选项B不合题意， C、原图既是轴对称图形又是中心对称图形，故选项C符合题意， D、原图不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故选项D不合题意． 故选：C． 2. 世界上最小的开花结果的植物是澳大利亚的出水浮萍，这种植物的果实像一个微小的无花果，质量只有．将数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了负整数指数科学记数法， “对于一个绝对值小于1的数，科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为负整数．”正确确定a和n的值是解答本题的关键，由题意可知本题中，，即可得到答案． 【详解】解：． 故选：B． 3. 下列运算正确的是（   ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂的除法运算，合并同类项，同底数幂相乘，幂的乘方运算等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． 根据同底数幂的除法运算，合并同类项，同底数幂相乘，幂的乘方运算的法则，需根据各运算法则逐一判断选项的正误． 【详解】解：，故A选项正确． ，故B选项错误． ，故C选项错误． ，故D选项错误． 故选：A． 4. 若二次根式有意义，则x的取值可能是（ ） A. －3 B. 0 C. 2 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件，即可求解． 【详解】解：根据题意得：， 解得：， 所以x的取值可能是4． 故选：D 【点睛】本题主要考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键． 5. 解一元二次方程时，通常将其转化为两个一元一次方程，已知其中一个方程为，则另一个方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据正数的平方根互为相反数的性质，即可推出另一个一元一次方程． 【详解】解：原方程为，对等式两边开平方可得，或， 故另一个方程为． 6. 已知点，都在反比例函数的图象上，则下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. 当时， D. 当时， 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的图象与性质，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．根据反比例函数的性质，分情况讨论的取值范围，比较和的大小关系即可． 【详解】解：对于反比例函数的图象上，在各个象限内，随的增大而增大，且第二象限的函数值大于第四象限的函数值， ∵， 当时，即时， 则， 当时，即时， 则， 当时，即时， 则， 综上，只有选项D正确， 故选：D． 7. 甲无人机从地面起飞，乙无人机从距离地面20m高的楼顶起飞，两架无人机同时匀速上升10s．甲、乙两架无人机所在的位置距离地面的高度y（单位：m）与无人机上升的时间x（单位：s）之间的关系如图所示．下列说法正确的是（ ） A. 5s时，两架无人机都上升了40m B. 10s时，两架无人机的高度差为20m C. 乙无人机上升的速度为8m/s D. 10s时，甲无人机距离地面的高度是60m 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意结合图象运用待定系数法分别求出甲、乙两架无人机距离地面的高度y（米）和上升的时间x（分）之间的关系式，进而对各个选项作出判断即可． 【详解】解：设甲的函数关系式为，把(5，40)代入得：，解得， ∴， 设乙的函数关系式为，把(0，20) ，(5，40)代入得： ，解得， ∴， A、5s时，甲无人机上升了40m，乙无人机上升了20m，不符合题意； B、10s时，甲无人机离地面80m， 乙无人机离地面60m，相差20m，符合题意； C、乙无人机上升的速度为m/s，不符合题意； D、10s时，甲无人机距离地面的高度是80m． 故选：B． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，涉及的知识有：待定系数法求一次函数解析式，一次函数的性质，读懂图形中的数据是解本题的关键． 8. 如图，在中，，，的垂直平分线分别交，于点，，点在上，且，连结，则下列说法中①；②；③；④．其中正确的有（ ） A. ①② B. ②③ C. ①②③ D. ①②④ 【答案】C 【解析】 【分析】根据垂直平分线的性质即可判断①正确，根据等腰三角形的性质及三角形外角的性质即可计算得出，即②正确，通过证明，得到对应线段成比例，进行等量代换后得到点是线段的黄金分割点，继而得到，即③正确，根据，得出，即可判断④错误． 【详解】解：∵垂直平分， ∴，故①正确； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，故②正确； ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点是线段的黄金分割点且， ∴， ∴，故③正确； ∵且， ∴，故④错误． 故选：． 二、填空题（每题3分，共24分） 9. 2026的相反数是___________． 【答案】 【解析】 【详解】解：2026的相反数是． 10. 分解因式：3a2﹣12=___． 【答案】3（a+2）（a﹣2） 【解析】 【分析】要将一个多项式分解因式的一般步骤是首先看各项有没有公因式，若有公因式，则把它提取出来，之后再观察是否是完全平方式或平方差式，若是就考虑用公式法继续分解因式． 【详解】3a2﹣12 =3（a2﹣4） =3（a+2）（a﹣2）． 11. 如图，点分别在的边上，且，点在线段的延长线上．若，，则_________． 【答案】##90度 【解析】 【分析】首先根据平行线的性质得到，然后根据三角形外角的性质求解即可． 【详解】∵，， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 【点睛】此题考查了平行线的性质和三角形外角的性质，解题的关键是熟练掌握以上知识点． 12. 超市货架上有一批大小不一的鸡蛋，某顾客从中选购了部分大小均匀的鸡蛋，设货架上原有鸡蛋的质量（单位：g）方差为，该顾客选购的鸡蛋的质量方差为，则_____（填＞、=、＜）． 【答案】＞ 【解析】 【分析】根据方差的意义，方差表示数据波动的大小，原有鸡蛋大小不一，波动更大，选购的鸡蛋大小均匀，波动更小，即可比较两者方差的大小． 【详解】解：由题意可知，货架上原有鸡蛋大小不一，数据波动程度更大，顾客选购的鸡蛋大小均匀，数据波动程度更小，根据方差的意义，波动越大方差越大，波动越小方差越小，因此． 13. 将直线向下平移个单位长度，若平移后的直线不经过第一象限，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】先根据一次函数图象平移的规则得到平移后直线的解析式，再根据一次函数图象的性质，确定直线不经过第一象限的条件为直线与y轴交点的纵坐标小于等于0，解不等式即可得到a的取值范围． 【详解】解：因为直线向下平移个单位长度， 所以平移后直线的解析式为． 平移后直线的比例系数，直线从左上方向右下方倾斜， 若平移后的直线不经过第一象限，则直线与y轴交点的纵坐标小于等于． 当时，， ， 解得． 14. 如图，在正五边形内，以为边作等边，再以点A为圆心，长为半径画弧．若，则图中阴影部分的面积是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查正多边形的内角问题，等边三角形的性质，求扇形的面积，熟练掌握相关公式是解题的关键．先求出正五边形的一个内角的度数，根据等边三角形的性质，结合角的和差关系，求出的度数，再根据扇形的面积公式进行计算即可． 【详解】解：∵正五边形， ∴， ∵为等边三角形，， ∴， ∴，， ∴阴影部分的面积即为扇形的面积：； 故答案为：． 15. 如图，A，B是双曲线上的两点，过点A作轴，垂足为点C，交于点D，若的面积为，D为的中点，则k的值为__________． 【答案】4 【解析】 【分析】先设出点的坐标，进而表示出点，的坐标，利用三角形的面积建立方程求出，即可得出结论． 【详解】解：设点， ， 为的中点， ， 轴， ， 的面积为， ， ， ， 16. 如图，在平面直角坐标系中，将正方形绕点O逆时针旋转，旋转角为，交直线于点E，BC交y轴于点F．对角线AC交y轴于点M，交直线于点N，连接，将与的面积分别记为与，设，，则关于n的函数表达式为 _____________． 【答案】 【解析】 【分析】连接，过点作于，延长交于点，利用旋转相似模型证明，，得出，，再证明得到，，证明四边形是矩形，得到，，表示出，，从而得到，由等腰直角三角形的性质可得，从而即可得出答案． 【详解】解：如图，连接， 四边形是正方形， ，， 对角线交轴于点，交直线于点， ， ， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 过点作于，延长交于点， ， 四边形是正方形， ， ， ， ， ， 又∵， ， 在和中， ， ， ，， 四边形是正方形，， ， 四边形是矩形， ，， 与的面积分别记为与， ，， ， 四边形是正方形， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， 关于的函数表达式． 三、解答题（共102分） 17. 计算：． 【答案】， ， ． 【解析】 【分析】本题主要考查零指数幂、绝对值、负整数指数幂、特殊角的三角函数值的计算，任何非零数的零次幂等于1，负整数指数幂公式，根据规则逐一计算即可． 【详解】略． 18. 解方程：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了解分式方程，解题的关键是掌握解分式方程的步骤． 利用解分式方程的步骤进行求解即可． 【详解】解： ， ． 经检验，是原方程的解． 19. 解不等式组： 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集即可． 【详解】解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴原不等式组的解集为． 20. 某校德育处开展专项安全教育活动前，在全校范围内随机抽取了40名学生进行安全知识测试，测试结果如表1所示（每题1分，共10道题），专项安全教育活动后，再次在全校范围内随机抽取40名学生进行测试，根据测试数据制作了如图1、图2所示的统计图（尚不完整）．设定8分及以上为合格，分析两次测试结果得到表2． 分数/分 2 5 6 7 8 9 人数/人 4 6 8 8 12 2 表1 平均数/分 众数/分 中位数/分 合格率 第一次 6.4 a 7 第二次 b 8 9 c 表2 请根据图表中的信息，解答下列问题： （1）将图2中的统计图补充完整； （2）填空： ， ， ； （3）若全校学生以1200人计算，估计专项安全教育活动后达到合格水平的学生人数． 【答案】（1）补全统计图如下： （2）8，8.55， （3）估计专项安全教育活动后达到合格水平的学生人数大约为1050人 【解析】 【分析】（1）用样本容量40乘可得8分人数，进而得出7分人数，补全条形图； （2）分别根据众数、加权平均数以及合格率的定义可得a、b、c的值； （3）利用样本估计总体思想求解可得． 【小问1详解】 解：8分人数为：（人），故7分人数为：（人）， 补全统计图略； 【小问2详解】 解：由题意可知，众数， 平均数； 合格率； 【小问3详解】 解：（人）， 答：估计专项安全教育活动后达到合格水平的学生人数大约为1050人． 21. 为弘扬中华传统文化，某校举办了学生“国学经典大赛”；比赛项目为：：唐诗；：宋词；：论语；：三字经，比赛形式分“单人组”和“双人组”． （1）小丽参加“单人组”，她从中随机抽取一个比赛项目，恰好抽中“三字经”的概率是_____． （2）小红和小明组成一个小组参加“双人组”比赛，比赛规则是：同一小组的两名队员的比赛项目不能相同，且每人只能随机抽取一次，则小红和小明都没有抽到“论语”的概率是多少？请用画树状图或列表的方法进行说明． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． （1）直接利用概率公式求解即可． （2）画树状图得出所有等可能的结果数和小红和小明都没有抽到“论语”的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【小问1详解】 ∵共有4个比赛项目， ∴恰好抽中“三字经”的概率是． 故答案为：． 【小问2详解】 画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中小红和小明都没有抽到“论语”的结果有6种， ∴小红和小明都没有抽到“论语”的概率为． 22. 某仓库放置若干个A型部件和B型部件．已知1个A型部件和2个B型部件的总质量为吨，2个A型部件和3个B型部件的质量刚好相等． （1）求1个A型部件和1个B型部件的质量各是多少？ （2）来自工业和信息化部公布的数据，2023年我国汽车出口首次跃居全球第一．现有一种我国自产的卡车，最大额定载重质量为15吨，要用一辆这种卡车运输16个两种部件去往某地，由于其它方面都满足运输要求，只需考虑所载部件的总质量不能超过汽车的最大额定载重量．求这辆卡车最少要运输多少个B型部件？ 【答案】（1）1个A型部件的质量吨，1个B型部件的质量是吨； （2）这辆卡车最少要运输11个B型部件． 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一不等式的应用，读懂题意，找出数量关系是解题关键． （1）设1个A型部件的质量吨，1个B型部件的质量是吨，根据题意列二元一次方程求解即可； （2）设这辆卡车要运输个B型部件，则运输个A型部件，根据题意列不等式求解，取最小正整数解即可． 【小问1详解】 解：设1个A型部件的质量吨，1个B型部件的质量是吨， 由题意得：，解得：， 答：1个A型部件的质量吨，1个B型部件的质量是吨； 【小问2详解】 解：设这辆卡车要运输个B型部件，则运输个A型部件， 由题意得：， 解得：， 为正整数， 这辆卡车最少要运输11个B型部件． 23. 如图，在中，点D是边的中点，且，点O在边上，经过点C且与边相切于点E． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的面积． 【答案】（1）见解析 （2）30 【解析】 【分析】本题考查切线的判定和性质，解直角三角形，熟练掌握相关知识点是解题的关键： （1）等边对等角，结合三角形的内角和定理，求出，即可得证； （2）解直角三角形得到，如图所示，连接，根据切线的性质得到，设，则，由此列式得到，进而得到的长，再用三角形的面积公式进行计算即可． 【小问1详解】 解：∵点D是边的中点，且， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴， ∵点O在边上， ∴为的半径， ∴是的切线； 【小问2详解】 解：由（1）可知，， ∴在中，，， ∴， ∴， 如图所示，连接， ∵经过点且与边相切于点， ∴， ∴， 设，则， ∴， 解得，， ∴， ∵点是边的中点， ∴， ∴． 24. 如图，矩形中，． （1）求作正方形，使得点E，G分别落在边上，点F，H落在上；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）若，求（1）中所作的正方形的边长． 【答案】（1） 如图，四边形就是所求作的正方形． （2） 【解析】 【分析】（1）作的中垂线交于点，交于点，以为直径画圆，交于点，即可得到正方形； （2）勾股定理求出的长，进而求出的长，证明，求出的长，再根据正方形的性质，结合勾股定理求出的长即可． 【小问1详解】 解：由作图可知，，， ∵矩形， ∴， ∴，， ∴， ∴， 由作图可知，， ∴四边形为矩形， ∵， ∴四边形为正方形； 【小问2详解】 由（1）知：，， 四边形是矩形， ， 在中，， ， ． ， ． 又， ， ，即， ． 在中，， ， ∴正方形EFGH的边长为． 【点睛】本题考查尺规作图、矩形的性质、线段垂直平分线的性质、正方形的判定与性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质等知识点，考查推理能力、运算能力、几何直观与空间观念，考查化归与转化思想、函数与方程思想等，熟练掌握相关知识点，是解题的关键． 25. 今年马年春晚上机器人表演《武》（如图1），完成马步、空翻、队列变换等高难度动作，体现了科技与文化的深度融合．如图2，是该款机器人侧面示意图，已知上半身，小腿与大腿长均为，机器人上半身垂直地面． （1）若忽视机器人手臂，，，求的度数； （2）如图3，为该机器人某次训练动作示意图，手臂伸直后长为，，若此时D、A、C三点正好在同一直线上，，求点到地面的距离． （参考数据：，，，，结果精确到） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）延长交于点P，延长交于点Q，根据垂线的定义和三角形外角的性质求出的度数，再由三角形外角的性质即可求出的度数； （2）过点E作于点G，连接，过点B作于点H，解可得，则；求出，得到，再求出的长即可得到答案． 【小问1详解】 解：如图所示，延长交于点P，延长交于点Q， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； 【小问2详解】 解：如图所示，过点E作于点G，连接，过点B作于点H， 在中，， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴点E到的距离约为 答：点到地面的距离约为． 26. 已知关于的函数（是实数）． （1）当时，直接写出对称轴及与轴的交点坐标； （2）若对于任意实数，总有，求实数的取值范围； （3）设函数的图象与轴交点为，，若，求实数的取值范围． 【答案】（1）对称轴，交点坐标 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）将代入函数的表达式，转化为顶点式即可得出对称轴为直线，当时，解得，即可得到与轴的交点坐标. （2）根据二次函数的图象和性质，得出满足题意的条件为，且，解得实数的取值范围． （3）根据二次函数的图象和性质，得出函数满足时的函数的值与异号，求得时的函数的值，列关于的不等式并解不等式即可得出答案． 【小问1详解】 解：当时，则， ， 抛物线的对称轴为直线， 当时，， 抛物线与轴的交点为； 【小问2详解】 解：若对于任意实数，总有， 当时，，不满足题意， 当时，函数为二次函数， 抛物线开口向上，与轴没有交点， ，且， ， 整理得， 解得， 实数的取值范围是； 【小问3详解】 解：函数的图象与轴交点为，且， 当时，，不满足题意， 当时，函数为二次函数，且时的函数的值与异号， 时，， ，或， 解得． 27. 综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动． （1）操作判断 操作一：对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平； 操作二：在上选一点P，沿折叠，使点A落在矩形内部点M处，把纸片展平，连接．根据以上操作，当点M在上时，则______． （2）迁移探究 小华将矩形纸片换成正方形纸片，继续探究，过程如下：将正方形纸片按照（1）中的方式操作，并延长交于点Q，连接． ①如图，当点在上时，______ ． ②改变点P在上的位置（点P不与点A，D重合），如图，判断与的数量关系，并说明理由． （3）拓展应用 在（2）的探究中，已知正方形纸片的边长为， ①当时，求出的长． ②当 时，的面积最小． 【答案】（1）60 （2）；，理由如下： 四边形是正方形， ，， 由折叠可得：，， ，， 在和中， ， ， ； （3）①的长为或；② 【解析】 【分析】（1）连接，利用折叠的性质，线段的垂直平分线的性质和等边三角形的判定定理与性质定理解答即可； （2）①利用折叠的性质和全等三角形的判定与性质解答即可； ②利用折叠的性质和全等三角形的判定与性质解答即可； （3）①利用分类讨论的思想方法分两种情况讨论解答：当点Q在点F的上方时，利用（2）中的结论设，则，则，利用勾股定理列方程解答即可；当点Q在点F的下方时，利用类比的方法解答即可； ②设，则，利用勾股定理得到，设，则，利用完全平方公式得到，则，解不等式即可得出结论． 【小问1详解】 解：连接，如图， 由题意得：为的垂直平分线， ∴， ∵在上选一点P，沿折叠，使点A落在矩形内部点M处， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴． 【小问2详解】 解：①∵四边形为正方形， ∴， 由折叠的性质可知：， ∴， 在和中， ， ， ∴， 由（1）知：， ∴， ∴． ②略 【小问3详解】 解：①当点Q在点F的上方时，如图， ∵正方形纸片的边长为， ∴， ∵， ∴， 由（2）可知：， ∴， 设，则， ∴， 在中，由勾股定理可得：， ∴， ∴； 当点Q在点F的下方时，如图， ∵正方形纸片的边长为， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∴， 在中，由勾股定理可得：， ∴， ∴； 综上，的长为或； ②由题意得：， ∴的面积为， ∴当取得最小值时，的面积最小． 设，则， ∴， 在中，由勾股定理可得：， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的最小值为． ∴当时，的面积最小． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第二学期九年级学业质量检测 数学（共40分） （试卷满分：150分 考试时间：120分钟） 一、选择题（每题3分，共24分） 1. 下面的图形是用数学家名字命名的，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. 杨辉三角 B. 笛卡尔心形线 C. 科克曲线 D.    斐波那契螺旋线 2. 世界上最小的开花结果的植物是澳大利亚的出水浮萍，这种植物的果实像一个微小的无花果，质量只有．将数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 下列运算正确的是（   ）． A. B. C. D. 4. 若二次根式有意义，则x的取值可能是（ ） A. －3 B. 0 C. 2 D. 4 5. 解一元二次方程时，通常将其转化为两个一元一次方程，已知其中一个方程为，则另一个方程为（ ） A. B. C. D. 6. 已知点，都在反比例函数的图象上，则下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. 当时， D. 当时， 7. 甲无人机从地面起飞，乙无人机从距离地面20m高的楼顶起飞，两架无人机同时匀速上升10s．甲、乙两架无人机所在的位置距离地面的高度y（单位：m）与无人机上升的时间x（单位：s）之间的关系如图所示．下列说法正确的是（ ） A. 5s时，两架无人机都上升了40m B. 10s时，两架无人机的高度差为20m C. 乙无人机上升的速度为8m/s D. 10s时，甲无人机距离地面的高度是60m 8. 如图，在中，，，的垂直平分线分别交，于点，，点在上，且，连结，则下列说法中①；②；③；④．其中正确的有（ ） A. ①② B. ②③ C. ①②③ D. ①②④ 二、填空题（每题3分，共24分） 9. 2026的相反数是___________． 10. 分解因式：3a2﹣12=___． 11. 如图，点分别在的边上，且，点在线段的延长线上．若，，则_________． 12. 超市货架上有一批大小不一的鸡蛋，某顾客从中选购了部分大小均匀的鸡蛋，设货架上原有鸡蛋的质量（单位：g）方差为，该顾客选购的鸡蛋的质量方差为，则_____（填＞、=、＜）． 13. 将直线向下平移个单位长度，若平移后的直线不经过第一象限，则的取值范围是______． 14. 如图，在正五边形内，以为边作等边，再以点A为圆心，长为半径画弧．若，则图中阴影部分的面积是________． 15. 如图，A，B是双曲线上的两点，过点A作轴，垂足为点C，交于点D，若的面积为，D为的中点，则k的值为__________． 16. 如图，在平面直角坐标系中，将正方形绕点O逆时针旋转，旋转角为，交直线于点E，BC交y轴于点F．对角线AC交y轴于点M，交直线于点N，连接，将与的面积分别记为与，设，，则关于n的函数表达式为 _____________． 三、解答题（共102分） 17. 计算：． 18. 解方程：． 19. 解不等式组： 20. 某校德育处开展专项安全教育活动前，在全校范围内随机抽取了40名学生进行安全知识测试，测试结果如表1所示（每题1分，共10道题），专项安全教育活动后，再次在全校范围内随机抽取40名学生进行测试，根据测试数据制作了如图1、图2所示的统计图（尚不完整）．设定8分及以上为合格，分析两次测试结果得到表2． 分数/分 2 5 6 7 8 9 人数/人 4 6 8 8 12 2 表1 平均数/分 众数/分 中位数/分 合格率 第一次 6.4 a 7 第二次 b 8 9 c 表2 请根据图表中的信息，解答下列问题： （1）将图2中的统计图补充完整； （2）填空： ， ， ； （3）若全校学生以1200人计算，估计专项安全教育活动后达到合格水平的学生人数． 21. 为弘扬中华传统文化，某校举办了学生“国学经典大赛”；比赛项目为：：唐诗；：宋词；：论语；：三字经，比赛形式分“单人组”和“双人组”． （1）小丽参加“单人组”，她从中随机抽取一个比赛项目，恰好抽中“三字经”的概率是_____． （2）小红和小明组成一个小组参加“双人组”比赛，比赛规则是：同一小组的两名队员的比赛项目不能相同，且每人只能随机抽取一次，则小红和小明都没有抽到“论语”的概率是多少？请用画树状图或列表的方法进行说明． 22. 某仓库放置若干个A型部件和B型部件．已知1个A型部件和2个B型部件的总质量为吨，2个A型部件和3个B型部件的质量刚好相等． （1）求1个A型部件和1个B型部件的质量各是多少？ （2）来自工业和信息化部公布的数据，2023年我国汽车出口首次跃居全球第一．现有一种我国自产的卡车，最大额定载重质量为15吨，要用一辆这种卡车运输16个两种部件去往某地，由于其它方面都满足运输要求，只需考虑所载部件的总质量不能超过汽车的最大额定载重量．求这辆卡车最少要运输多少个B型部件？ 23. 如图，在中，点D是边的中点，且，点O在边上，经过点C且与边相切于点E． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的面积． 24. 如图，矩形中，． （1）求作正方形，使得点E，G分别落在边上，点F，H落在上；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）若，求（1）中所作的正方形的边长． 25. 今年马年春晚上机器人表演《武》（如图1），完成马步、空翻、队列变换等高难度动作，体现了科技与文化的深度融合．如图2，是该款机器人侧面示意图，已知上半身，小腿与大腿长均为，机器人上半身垂直地面． （1）若忽视机器人手臂，，，求的度数； （2）如图3，为该机器人某次训练动作示意图，手臂伸直后长为，，若此时D、A、C三点正好在同一直线上，，求点到地面的距离． （参考数据：，，，，结果精确到） 26. 已知关于的函数（是实数）． （1）当时，直接写出对称轴及与轴的交点坐标； （2）若对于任意实数，总有，求实数的取值范围； （3）设函数的图象与轴交点为，，若，求实数的取值范围． 27. 综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动． （1）操作判断 操作一：对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平； 操作二：在上选一点P，沿折叠，使点A落在矩形内部点M处，把纸片展平，连接．根据以上操作，当点M在上时，则______． （2）迁移探究 小华将矩形纸片换成正方形纸片，继续探究，过程如下：将正方形纸片按照（1）中的方式操作，并延长交于点Q，连接． ①如图，当点在上时，______ ． ②改变点P在上的位置（点P不与点A，D重合），如图，判断与的数量关系，并说明理由． （3）拓展应用 在（2）的探究中，已知正方形纸片的边长为， ①当时，求出的长． ②当 时，的面积最小． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $