精品解析：江苏南京市雨花台中学2025-2026学年高一下学期6月期末学情调研数学试题

高一年级期末【数学】学情调研 一、单选题（每小题5分，共40分） 1. 已知，则复数（ ） A. B. C. D. 2. 如图所示，梯形是平面图形ABCD用斜二测画法得到的直观图，，，则平面图形ABCD的面积为（ ） A. 2 B. C. 3 D. 3. 在中，边上的中线为，点满足，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知两条直线m，n和平面，那么下列命题中的真命题是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 5. 设，若为实数，则的值为（ ） A. B. C. 2 D. 6. 已知向量，，那么向量与的位置关系是（ ） A. 平行 B. 垂直 C. 夹角是锐角 D. 夹角是钝角 7. 如图所示，为测量一条河流的宽度，选取了与河宽在同一垂直平面内的两个观测点，，利用无人机在点处测得河岸点的俯角为，河岸点的俯角为，无人机沿方向飞行千米到达点，测得河岸点的俯角为，则（ ） A. 千米 B. 千米 C. 千米 D. 千米 8. 某中学开展劳动实习，学习制作模具加工，现将一个圆台加工成一个球体．已知圆台的上、下底面的半径之和为6，母线长为8，且母线与底面所成的角为，则得到的球的表面积的最大值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（每小题6分，共18分） 9. 已知向量，，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 当时，在上的投影向量为 10. 已知一组数据，，，…，（），则下列说法正确的是（ ） A. 该组数据的极差为 B. 该组数据的70%分位数为 C. 剔除，后得到的新数据的平均数小于原数据的平均数 D. 剔除，后得到的新数据的方差小于原数据的方差 11. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则在上单调递增 B. 若，则的最小值为 C. 若在内无零点，则的取值范围为 D. 若在内单调递减，则的取值范围为 三、填空题（每小题5分，共15分） 12. 若是定义在上的奇函数，当时，，则___________． 13. 学校为了解学生身高(单位：cm)情况，采用按比例分层随机抽样的方法从3000名学生中抽取了一个容量为100的样本，其中男女生人数之比为，统计数据得到男生平均身高为176，方差为164，女生平均身高为161，方差为169，用样本估计总体，则该学校学生身高的方差为________ 14. 已知平面向量满足，则的最大值为__________. 四、解答题：（本大题共5小题，共77分） 15. 已知复数． （1）若z为纯虚数，求实数m的值； （2）若z为虚数，求实数m的取值范围． 16. 已知平面向量． （1）若，且，求的坐标； （2）若与的夹角为锐角，求实数的取值范围． 17. 在平行四边形中，，分别为的中点，点在线段上运动 （1）当为中点时，设，求的值； （2）若，求的取值范围. 18. 在四棱锥中，平面平面ABCD，，底面ABCD为菱形，，，E，F分别是SA，BC的中点． （1）求证：平面SCD； （2）求二面角的余弦值； （3）求点B到平面SCD的距离． 19. 如图，在四棱锥中，平面平面，平面平面，底面是平行四边形，且，，． （1）求证：平面； （2）当时，求直线与平面所成角的正弦值； （3）当时，求二面角的正弦值的取值范围． （注：本题用空间向量作答不给分） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一年级期末【数学】学情调研 一、单选题（每小题5分，共40分） 1. 已知，则复数（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用复数的乘方运算、除法运算计算得解. 【详解】依题意，. 故选：A 2. 如图所示，梯形是平面图形ABCD用斜二测画法得到的直观图，，，则平面图形ABCD的面积为（ ） A. 2 B. C. 3 D. 【答案】C 【解析】 【分析】由斜二测画法还原图形，根据梯形的面积计算，可得答案. 【详解】由斜二测画法还原图形可得下图： 则，，，，， 所以梯形的面积为. 故选：C. 3. 在中，边上的中线为，点满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由平面向量的线性运算即可. 【详解】 为的中点， ， . 故选：A. 4. 已知两条直线m，n和平面，那么下列命题中的真命题是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 【答案】C 【解析】 【分析】 根据空间中线线、线面位置关系，逐项判定，即可得出结果. 【详解】A选项，若，，则与平面的关系可以是相交，平行或在面内，故A错； B选项，若，，则与平面的关系可以是在面内，或平行，故B错； C选项，若，，根据线面垂直的性质，可得，故C正确； D选项，若，，则与的关系可以是相交，异面或平行，故D错. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：本题主要考查线面有关命题的判定，属于基础题型，解决此类问题的关键在于熟记空间中线面、线线位置关系，考查学生的空间想象能力. 5. 设，若为实数，则的值为（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出的共轭复数，再将分式复数分母实数化，利用实数的虚部为列方程求解参数. 【详解】首先根据共轭复数的定义，可得， ， 因为该复数为实数，故其虚部为，且恒成立， 因此，解得. 故选：B. 6. 已知向量，，那么向量与的位置关系是（ ） A. 平行 B. 垂直 C. 夹角是锐角 D. 夹角是钝角 【答案】D 【解析】 【分析】 首先根据题中所给的向量的坐标，结合向量数量积运算法则，求得其数量积为负数，从而得到其交集为钝角. 【详解】因为，， ， 所以向量与的位置关系是夹角为钝角， 故选：D. 【点睛】该题考查的是有挂向量的问题，涉及到的知识点有向量数量积的运算律，数量积坐标公式，根据数量积的符号判断其交集，属于简单题目. 7. 如图所示，为测量一条河流的宽度，选取了与河宽在同一垂直平面内的两个观测点，，利用无人机在点处测得河岸点的俯角为，河岸点的俯角为，无人机沿方向飞行千米到达点，测得河岸点的俯角为，则（ ） A. 千米 B. 千米 C. 千米 D. 千米 【答案】D 【解析】 【分析】由题目中条件分别在和中利用正弦定理解方程组可得. 【详解】根据题意可知， 在中，利用正弦定理可得，所以； 又易知， 在中，利用正弦定理可得，所以； 又，因此可得， 因此. 故选：D 8. 某中学开展劳动实习，学习制作模具加工，现将一个圆台加工成一个球体．已知圆台的上、下底面的半径之和为6，母线长为8，且母线与底面所成的角为，则得到的球的表面积的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先根据圆台的结构特征和边角关系求出圆台上下底面的半径，然后求出圆台的高，然后将等腰梯形补成等边三角形求出内切圆半径，即可求出球的表面积的最大值. 【详解】设圆台的上、下底面的半径分别为，，则， 易知圆台的轴截面是一个等腰梯形，又母线与底面所成的角为，则等腰梯形的底角为． 由于，即，解得，， 则圆台的高为，将梯形补成边长为10的等边三角形， 所以该等边三角形的内切圆的半径为， 又，所以圆台加工成一个球体的半径最大值为， 所以球的表面积最大值为． 故选：B． 二、多选题（每小题6分，共18分） 9. 已知向量，，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 当时，在上的投影向量为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据向量共线的坐标运算求解判断A；根据向量垂直的坐标运算求解判断B；根据数量积的坐标运算求解判断C；根据投影向量公式求解判断D. 【详解】由，得，解得，A正确； 由，得，解得，B错误； 由，得，解得，所以，C正确； 当时，，， 所以在上的投影向量为，D正确． 故选：ACD． 10. 已知一组数据，，，…，（），则下列说法正确的是（ ） A. 该组数据的极差为 B. 该组数据的70%分位数为 C. 剔除，后得到的新数据的平均数小于原数据的平均数 D. 剔除，后得到的新数据的方差小于原数据的方差 【答案】AD 【解析】 【分析】利用极差、百分位数、平均数和方差的定义分析计算即可. 【详解】该组数据的极差为，A正确； 因为，所以该组数据的70%分位数为，B错误； 原数据的平均数为，新数据的平均数为，无法确定与的大小，C错误； 剔除数据，后得到的新数据的波动变小，所以方差变小，Ｄ正确． 11. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则在上单调递增 B. 若，则的最小值为 C. 若在内无零点，则的取值范围为 D. 若在内单调递减，则的取值范围为 【答案】ABD 【解析】 【分析】由的范围求出的范围，进而判断函数单调性进而判断A；根据条件计算参数的最小值和范围判断B，C；根据已知的单调性求得参数的范围判断D. 【详解】对于A选项，函数，当时，，符合题意，故A正确； 对于B选项，由于，，所以， 即或，所以或， 又，所以的最小值为1，故B正确； 对于C选项，由已知得整理得， 无零点等价于 当时，，当时，，故的取值范围并非只有，故C错误； 对于D选项，由于在内单调递减， 由于函数在内单调递减，则满足 解得，当时，． 当时，，解得，而，解得，二者无交集； 当时，，与题设矛盾，故D正确． 故选：ABD. 三、填空题（每小题5分，共15分） 12. 若是定义在上的奇函数，当时，，则___________． 【答案】 【解析】 【详解】根据给定条件，利用奇函数性质求出函数值即可. 【分析】由定义在上的奇函数，得，又当时，， 则，所以. 故答案为： 13. 学校为了解学生身高(单位：cm)情况，采用按比例分层随机抽样的方法从3000名学生中抽取了一个容量为100的样本，其中男女生人数之比为，统计数据得到男生平均身高为176，方差为164，女生平均身高为161，方差为169，用样本估计总体，则该学校学生身高的方差为________ 【答案】220 【解析】 【分析】先根据分层抽样的比例求出样本中男、女的人数，再结合已知条件，代入分层抽样的平均数与方差公式计算求解. 【详解】根据题意，由于男女生人数之比为，则样本中男女生人数之比为， 其中，男生平均身高为176，方差为164，女生平均身高为161，方差为169， 则样本的平均数， 样本的方差， 用样本估计总体，则该学校学生身高的方差为220． 14. 已知平面向量满足，则的最大值为__________. 【答案】12 【解析】 【分析】根据向量加减法的几何意义作出图形，观察和以及两个向量夹角的变化，判断取最大值的位置. 【详解】设，则 由，则，B点在以A为圆心2为半径的圆周上，C点在以A为圆心1为半径的圆周上，如图所示， ，由图可知，当三点共线，在如图所示的位置， 有最大值4，有最大值3，此时取最大值1， 所以的最大值为12. 故答案为：12. 四、解答题：（本大题共5小题，共77分） 15. 已知复数． （1）若z为纯虚数，求实数m的值； （2）若z为虚数，求实数m的取值范围． 【答案】（1）或 （2）且 【解析】 【小问1详解】 当且，且时，复数为纯虚数， 由，得或， 由，且得且， 所以当或时，复数为纯虚数． 【小问2详解】 当且时，复数为虚数， 解得且，所以当且时，复数为虚数 16. 已知平面向量． （1）若，且，求的坐标； （2）若与的夹角为锐角，求实数的取值范围． 【答案】（1）或； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用向量线性运算的坐标表示，结合向量垂直及模的坐标求法求解即得. （2）利用向量夹角公式，列式求解即得. 【小问1详解】 由，得，由，设， 由，得，解得， 所以的坐标是或. 【小问2详解】 依题意，，由与的夹角为锐角，得，且与不共线， 因此，解得且， 所以实数的取值范围是. 17. 在平行四边形中，，分别为的中点，点在线段上运动 （1）当为中点时，设，求的值； （2）若，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据平面向量基本定理得到，求出，得到答案； （2）表达出，设，， 表达出，并求出，从而求出，结合，求出取值范围. 【小问1详解】 当为中点时，， 又分别为的中点，所以， 所以， 故，； 【小问2详解】 为的中点，故， 点在线段上运动，设，， 故，即 ， 因为，，所以， 则 ， 因为，所以. 18. 在四棱锥中，平面平面ABCD，，底面ABCD为菱形，，，E，F分别是SA，BC的中点． （1）求证：平面SCD； （2）求二面角的余弦值； （3）求点B到平面SCD的距离． 【答案】（1）取SD的中点M，连接ME，MC， 因为E，M分别为SA，SD的中点，则且， 又因为F为BC的中点，且四边形ABCD为菱形，则且， 可得且，可知四边形EFCM是平行四边形，则， 且平面SCD，平面SCD，所以平面SCD． （2） （3） 【解析】 【分析】（1）作辅助线，可证，结合线面平行的判定定理分析证明； （2）作辅助线，根据线面垂直分析可知为二面角的平面角，即可得结果； （3）由（2）可知：平面ABCD，利用等体积转化法求点到平面的距离. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 取AB的中点O，连接SO，CO，AC， 因为，则， 且平面平面ABCD，平面平面，平面SAB， 所以平面ABCD， 由题意可知：为等边三角形，则， 且，平面，可得平面， 由平面可得， 又因为，则，， 可知为二面角的平面角， 在中，则，，， 可得， 所以二面角的余弦值为． 【小问3详解】 由（2）可知：平面ABCD， 且，， 设点B到平面SCD的距离为h， 因为，则， 即，解得， 所以B到平面SCD的距离为． 19. 如图，在四棱锥中，平面平面，平面平面，底面是平行四边形，且，，． （1）求证：平面； （2）当时，求直线与平面所成角的正弦值； （3）当时，求二面角的正弦值的取值范围． （注：本题用空间向量作答不给分） 【答案】（1）因为平面平面，平面平面，且平面平面， 所以平面. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）运用面面垂直的性质定理； （2）找到直线与平面所成的角再找到角的相关几何关系； （3）找到二面角，再将二面角关系往已知条件方面进行变式 【小问1详解】 略 【小问2详解】 过点作于点，因为平面， 所以，又因，所以平面， 则为直线与平面所成的角. 面为平行四边形，，， 所以， 在中，，所以，而, 又因三点共线，所以，，， 因为平面，所以， 故， 因为，所以为直角三角形， 在中，. 【小问3详解】 过作于，过作于，连接， 则， 故，， 由小问（1）得，又，平面， 所以平面，平面，所以为直角三角形， 所以，且，， 平面，所以平面，故， 因此为二面角的平面角. 由题可得， 由等面积可得， 在中，， 则，令，则 在中， ， 令，，当时， 越大，分母就越小，故在上单调递增， 所以，， 故二面角的正弦值的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $