专项训练03 平方根与立方根的综合问题（巩固培优）新八年级数学新教材北师大版

**基本信息** 以概念对比为基础，通过非负性应用、概念综合、规律探索构建从基础到拓展的解题体系，培养抽象能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |知识点对比|1表格|概念辨析（定义/性质/公式对比）|定义→性质→公式递进| |非负性应用|2题|非负性性质应用（双重非负性）|性质→基础应用| |概念综合|2题|定义性质综合运用（平方根立方根关联）|概念→综合计算| |规律探索|4题|数式规律归纳（小数点移动/符号规律）|应用→规律推理|

专项训练03 平方根与立方根的综合问题 【知识点1 算术平方根、平方根、立方根】 项目 算术平方根 平方根 立方根 定义 如果一个正数x的平方等于a（即 x2 = a），那么这个正数x叫做a的算术平方根。规定：0的算术平方根是0。 如果一个数x的平方等于a（即x2= a），那么这个数x叫做a的平方根（也称二次方根） 如果一个数x的立方等于 a（即x3 = a），那么这个数x叫做a的立方根（也称三次方根）。 表示方法 （读作“根号a”） （读作“正负根号a”） （读作“三次根号a”），其中a是被开方数，3是根指数。 被开方数范围 a≥0 a≥0 任意实数 性质 1. 非负性：≥0（双重非负：a≥0且≥0）。 2. 唯一性：一个非负数只有一个算术平方根。 1. 正数有两个平方根，它们互为相反数。 2. 0的平方根是0。 3. 负数没有平方根。 1. 每个实数都有且只有一个立方根。 2. 正数的立方根是正数。 3. 负数的立方根是负数。 4. 0的立方根是0。 重要公式 ()2=a(a≥0) = ()3=a；；（负号可以移到根号外）. 【题型1 利用算术平方根的非负性解题】 1．（25-26七年级上·北京·期末）若，则的值为 ． 【答案】2026 【分析】本题考查非负数的性质，即绝对值和算术平方根的非负性，准确的计算是解决本题的关键． 根据等式成立的条件，每个非负数部分都为零，据此求解即可． 【详解】解：∵且，且， ∴且． 解得，． ∴． 故答案为：2026． 2．（25-26八年级上·甘肃张掖·期末）若x，y为实数，且满足，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了绝对值的非负性，算术平方根的非负性，有理数的乘方运算． 利用绝对值和算术平方根的非负性，求出和的值，再代入表达式计算即可． 【详解】解：∵，，， ∴且， 由，得，解得：， 则可化为，即，解得：， ∴． 故答案为：． 【题型2 平方根与立方根的综合问题】 3．（25-26八年级上·吉林长春·期中）已知正数x的两个平方根分别是和，负数y的立方根与它本身相同． (1)求a，x，的值； (2)求的算术平方根． 【答案】(1) (2)6 【分析】本题考查平方根和算术平方根、立方根．熟练掌握一个正数的两个平方根互为相反数，是解题的关键． （1）根据平方根和立方根的定义进行求解即可； （2）先求出代数式的值，然后根据算术平方根的定义进行求解即可． 【详解】（1）解：依题意，得：， 解得：， ，， ， 即a，x的值分别为，25， 负数y的立方根与它本身相同， ． （2）解：当，时，， 的算术平方根为． 4．（25-26八年级上·宁夏银川·期中）已知的算术平方根是5，的立方根是． (1)求，的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了平方根、算术平方根、立方根，熟练掌握平方根、算术平方根和立方根的定义是解题的关键． （1）根据算术平方根和立方根的定义，得出，，计算得出答案即可； （2）将，的值代入求值，再求出平方根即可． 【详解】（1）解：由题意可得，，， 即，， 解得，， 故，的值为，． （2）将，的值代入，得 ， ， 的平方根为． 【题型3 与算术平方根有关的规律探索题】 5．（25-26七年级下·全国·课后作业）（1）观察发现： （） … 0.0001 0.01 1 100 10000 … … 0.01 1 100 … 表格中________，________； （2）归纳总结：被开方数的小数点每向右移动2位，相应的算术平方根的小数点就向________移动________位； （3）规律运用： ①已知，则________； ②已知，，则________． 【答案】（1）0.1  10   （2）右  1   （3）①22.4  ②25 【分析】本题主要考查算术平方根，找到规律是解题的关键． （1）根据算术平方根的定义即可求出答案； （2）找到规律即可得出答案； （3）根据（2）中的规律即可得出答案． 【详解】解：（1）由表格可知，，． （2）观察发现， 被开方数的小数点每向右移动2位，相应的算术平方根的小数点就向右移动1位． （3）①从5到500，小数点向右移动了2位，所以算术平方根的小数点向右移动1位，即． ②由及（2）中的规律可知， 则 ∴ 即． 6．（25-26七年级下·全国·课后作业）[核心素养]【实践与探究】 （1）计算： ， ， ， ， ； 【归纳与应用】 （2）观察（1）中的等式，发现其中的规律，并猜想与有怎样的关系，请用数学式子表示出来； （3）利用你得到的规律，计算： ①若，则 ； ② ． 【答案】（1）3，0.5，0，6，；（2）；（3）①；② 【分析】本题属于规律探究题，主要考查了算术平方根的定义、绝对值化简等知识，运用发现的规律是解决第（3）小问的关键． （1）根据算术平方根定义进行计算即可； （2）从（1）中可以得到规律：一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值； （3）①②利用（2）中总结的规律化简即可． 【详解】解：（1）计算：，，，，． （2）观察（1）中的等式，可以发现，． （3）①．   ， ， ． ②． ， ． 【题型4 与立方根有关的规律探索题】 7.观察下列规律回答问题： (1)_______，_______； (2)已知，若，用含x的代数式表示y，则_______； (3)根据规律写出与a的大小情况． 【答案】(1)0.01，100 (2) (3)当或时，；当或或时，；当或时， 【知识点】与立方根有关的规律探索、求一个数的立方根 【分析】此题考查了立方根的求解与规律归纳能力，关键是能准确理解并运用该知识进行正确地计算、归纳． （1）根据立方根的概念进行求解、归纳； （2）运用（1）题规律进行求解； （3）根据题目中求立方根的结果进行规律归纳． 【详解】（1）解：（1）；； 按上述规律，被开方数小数点向右（或左）移三位，则所得数的小数点向右（或左）移一位， 故答案为：0.01、100； （2）已知，若，用含的代数式表示，则， 故答案为：； （3），，，，， 与的大小情况为： 当或时，； 当或或时，； 当或时，． 8．（25-26八年级上·广东河源·月考）（1）【发现】 ； ； ； ； … 根据上述等式反映的规律，请你再写出一个这样的等式： ； （2）【归纳】 等式，，，，所反映的规律，可归纳为一个结论：对于任意两个有理数，，若，则 ；（写出与之间的关系式） （3）【应用】 根据（）中所归纳的结论，解决下列问题： 若，求； 若，且，求的值． 【答案】（）（答案不唯一）；（）；（）；． 【分析】本题考查了立方根的性质，互为相反数的性质，求一个数的算术平方根，求平方根等知识，解题的关键是明确题意，灵活运用所学知识解决问题． （）根据题目给出的规律解答即可； （）根据题目给出的规律解答即可； （）根据（）规律求出的值，然后代入即可求解； 根据（）规律求出的关系，再结合即可求出的值． 【详解】解：（）； ； ； ； ， ∴， 故答案为：（答案不唯一）； （）解：由； ； ； ； ， ∵， ∴， 故答案为：； （）由若，根据（）规律得，， 解得：， ∴； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 1．下列式子正确的是（      ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查平方根和立方根的概念，注意算术平方根是非负的，而立方根有唯一实数值. 【详解】解：A选项：，，故A选项正确； B选项：根据算术平方根的定义可得：，故B选项错误； C选项：根据算术平方根的定义可得：，故C选项错误； D选项：根据平方根的定义可得：，故D选项错误． 故选：A． 2．若实数x的平方根为，y的立方根为，则代数式的值为（   ） A． B．0 C．1 D．3 【答案】A 【分析】此题考查平方根、算术平方根、立方根．根据平方根和立方根的定义分别求出x和y的值，再代入计算即可． 【详解】解：∵实数x的平方根为，y的立方根为， ∴，， ∴， 故选：A． 3．，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了立方根，熟练掌握立方根的小数点移动规律是解题的关键． 根据被开方数小数点向右移动三位，其立方根的小数点就向右移动一位解答即可． 【详解】解：， ， 故答案为：． 4．已知的立方根是3，的算术平方根是4，c是的整数部分，则的平方根是 ． 【答案】 【分析】利用立方根的意义、算术平方根的意义、无理数的估算方法，求出、、的值，代入代数式求出值后，进一步求得平方根即可． 【详解】解：∵的立方根是的算术平方根是 4 ， ， ， c是的整数部分， ， ， ∴的平方根是． 故答案为：． 5．（1）已知是的算术平方根，是的立方根，求的立方根． （2）若的算术平方根是5，求的平方根． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查算术平方根、平方根和立方根的定义，非负数的性质，代数式求值．解题的关键是： （1）由算术平方根和立方根的定义可求出，，即得出，，，代入中求值，再求其立方根即可； （2）由被开方数为非负数即可求出，由算术平方根的定义可求出，代入中求值，再求其平方根即可． 【详解】解：（1）∵是的算术平方根，是的立方根， ∴，， ∴，， ∴，， ∴的立方根为； （2）根据题意得， ∴， ∴ ∵n的算术平方根是5， ∴， ∴的平方根为． 6．已知的立方根是2，的平方根是，c是的整数部分． (1)求a、b、c的值． (2)求的平方根． 【答案】(1)，，； (2)的平方根是． 【分析】本题考查了平方根、算术平方根、立方根的定义． （1）根据立方根，算术平方根的定义，无理数的估算分别求得的值； （2）由（1）可知，，，根据平方根的定义，即可求解． 【详解】（1）解：∵的立方根是2，的平方根是， ∴，， ∴，， ∵c是的整数部分， ∴； （2）解：由（1）可知，，， ∴， ∴的平方根是． 7．（1）观察发现：表格中___________，___________； （2）归纳总结：被开方数的小数点每向右移动2位，相应的算术平方根的小数点就向___________移动___________位； … 0.0001 0.01 1 100 10000 … … 0.01 x 1 y 100 … （3）规律运用： ①已知，则___________； ②已知，则___________． 【答案】（1）0.1；10（2）右；1（3）①22.4；②50 【分析】本题主要考查算术平方根，找到规律是解题的关键． （1）根据算术平方根的定义即可求出答案； （2）找到规律即可得出答案； （3）根据（2）中的规律即可得出答案． 【详解】解：（1）∵， ∴． ∵， ∴． 故答案为：0.1；10． （2）根据表格可得， 被开方数的小数点每向右移动2位，相应的算术平方根的小数点就向右移动1位． 故答案为：右；1． （3）①∵， ∴． ②∵，， ∴． 故答案为：22.4；50． 8．【观察】 ①； ②； ③； ④． 【发现】根据上述等式反映的规律，回答如下问题： （1）根据上述等式的规律，写出一个类似的等式：____________________； （2）由等式①，②，③，④所反映的规律，可归纳出一个这样的结论：对于任意两个不相等的有理数，，若______________，则，反之也成立； 【应用】根据（2）中的结论，解答问题：若与的值互为相反数，求的算术平方根． 【答案】[发现]（1），（2）；[应用] 【分析】本题考查的是立方根的含义与性质，算术平方根的含义； （1）仿照题干条件的特点可得一个类似的等式； （2）由归纳可得当时，则； （3）由与的值互为相反数，可得，再进一步求解可得答案. 【详解】解：（1）（答案不唯一） （2）归纳可得：当时，则； （3）由（2）知， ∵与的值互为相反数， ∴， 解得， ∴， ∴. 1．观察下列等式，请解答下列问题： ； ； ； …… (1)请用正整数表示第个等式：________； (2)根据以上规律，计算 【答案】(1) (2) 【分析】题目主要考查算术平方根及有理数规律性运算，根据题意找出相应规律是解题关键． （1）根据规律直接得出结果即可； （2）利用（1）中结论及有理数的混合运算进行计算即可 【详解】（1）解：根据规律可知，， 故答案为：； （2） ． 2．通过观察后再回答问题． 200 (1)从表格中探究a与数位的规律，并利用这个规律解决问题： 已知，，则______； (2)已知，，用含m的代数式表示n（请写出解答过程）． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了算术平方根的理解和规律的应用，熟练掌握算术平方根定义，是解题的关键． （1）从表格中可发现当的值扩大到原来的倍时，的值扩大到原来的倍，从到被开方数扩大到原来的倍，结果扩大到原来的倍，即可得到答案； （2）根据题意可得：，可得到，进而得到答案． 【详解】（1）解：从表格中可发现当的值扩大到原来的倍时，的值扩大到原来的倍， ∴从到被开方数扩大到原来的倍， ∵， ∴； 故答案为：； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∴． 3．我们知道的立方根是，可以表示为 反之 16 的平方根是，可以表示为 反之 根据立方根和平方根的含义，完成下面问题： (1)表示的含义是什么？ 表示的含义是什么？ (2)表示的含义是什么？ (3)若 求的值和的平方根． 【答案】(1)表示125的立方根，表示的立方根 (2)表示的算术平方根 (3)；的平方根为 【分析】本题主要考查了立方根、平方根、算术平方根及代数式的求值，熟练掌握相关概念进行求解是解决本题的关键． （1）根据立方根的概念解答即可； （2）根据算术平方根的概念解答即可； （3）先根据立方根，算术平方根的概念求出，然后代入和求解即可． 【详解】（1）表示125的立方根，表示的立方根． （2）表示的算术平方根． （3）因为， 所以， 所以， 所以，， 所以． 4．观察下表： 0．0001 1 100 10000 1 10 100 (1)由上表发现的结论：被开方数的小数点向左或向右每移动____位，它的_______________的小数点就相应的向左或向右移动____位； (2)根据你发现的规律填空：①已知． 则___________，___________； ②若，则___________； (3)拓展提升：被开方数的小数点向左或向右每移动____位，它的立方根的小数点就相应的向左或向右移动____位； ①已知，则___________； ②已知，则___________． 【答案】(1)2，算术平方根，1 (2)①；；② (3)3，1；①；② 【分析】本题考查算术平方根、立方根定义和性质，掌握其性质是解题的关键． （1）由于被开方数的小数点每移动两位，相应的算术平方根的小数点相应移动一位，由此即可解决问题； （2）①利用（1）中发现的规律进而分别得出各数据答案；②利用（1）中发现的规律进而分别得出各数据答案； （3）①被开方数每移动三位，立方根就相应移动一位．利用此规律即可求解；②被开方数每移动三位，立方根就相应移动一位．利用此规律即可求解． 【详解】（1）解：由上表发现的结论：被开方数的小数点向左或向右每移动2位，它的算术平方根的小数点就相应的向左或向右移动1位； 故答案为：2，算术平方根，1 （2）解：①∵． ∴，； 故答案为：； ②∵， ∴； 故答案为： （3）解：被开方数的小数点向左或向右每移动3位，它的立方根的小数点就相应的向左或向右移动1位； 故答案为：3；1 ①∵， ∴； 故答案为： ②∵， ∴． 故答案为： 5．学习《实数》之后，在数学活动课上，丁老师出示了一组有规律的算式．阅读观察下列算式，探求规律： … 【实践探究】 （1）按照此规律，①计算：________； ②第n个式子是_______（用含n的式子表示，n是大于等于1整数）； （2）计算：； 【迁移应用】 （3）若符合上述规律，请求出x的值． 【答案】（1）①；②；（2）；（3） 【分析】本题考查了算术平方根，数字的变化类，掌握相应的运算法则是关键． （1）根据题干所给式子进行计算，并得出规律即可得解； （2）根据题干所给式子得出规律计算即可； （3）利用（1）中得出的规律，计算即可得解． 【详解】解：（1）①第1个：， 第2个：， 第3个：， 第4个：， ②第n个：， 故答案为：；； （2）、 ； （3）符合上述规律， ， 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专项训练03平方根与立方根的综合问题 知识复盘卡 【知识点1算术平方根、平方根、立方根】 项目 算术平方根 平方根 立方根 定义 如果一个正数x的平方等于a 如果一个数x的平方等于a 如果一个数x的立方等于a (即x2=a),那么这个正 (即x2=a),那么这个数x (即x=a),那么这个数x 数x叫做a的算术平方根。规 叫做α的平方根（也称二次 叫做a的立方根（也称三次方 定：0的算术平方根是0。 方根) 根)。 表示方法 √a(读作“根号a”) ±Va(读作“正负根号 a(读作“三次根号a”), a”) 其中α是被开方数，3是根指 数。 被开方数范围 a20 20 任意实数 性质 1.非负性：√a≥0（双重非 1.正数有两个平方根，它们 1.每个实数都有且只有一个立 负：心0且Va≥0)。 互为相反数。 方根。 2.唯一性：一个非负数只有 2.0的平方根是0。 2.正数的立方根是正数。 一个算术平方根。 3.负数没有平方根。 3.负数的立方根是负数。 4.0的立方根是0。 重要公式 (a)2=a(a20) Va-lal= a,a≥0) Wa)-a:Ya-a: a,a<0 -a=-ā（负号可以移到根 号外). 培优拓展训练 ★巩固提升练 117 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【题型1利用算术平方根的非负性解题】 1.(25-26七年级上北京期末)若la+1+Vb-2027=0,则a+b的值为. 12025 ②5-26八年级上甘肃张掖期末)若x,y为实数，且满足k-3引+6-x+=0,见 的值是 y 【题型2，平方根与立方根的综合问题】 3.(25-26八年级上·吉林长春期中)已知正数x的两个平方根分别是2a-1和a+7,负数y的立方根与它 本身相同， (1)求a,x,y的值； (2)求x-1y的算术平方根， 4.(25-26八年级上宁夏银川期中)已知3x-5的算术平方根是5,1-2y的立方根是-3. (1)求x,y的值： (2)求√x+2y-2的平方根. 【题型3：与算术平方根有关的规律探索题】 5.(25-26七年级下全国课后作业)(1)观察发现： a(a>0 10 0.0001 0.01 1 10000 ) 0 Va 0.01 y 100 表格中x= y= (2)归纳总结：被开方数的小数点每向右移动2位，相应的算术平方根的小数点就向 移动 位； (3)规律运用： ①已知V5≈2.24，则V500≈ ②已知V2m≈7.07，V5000≈70.7，则m=」 6.(25-26七年级下全国课后作业)[核心素养]【实践与探究】 217 画学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 山计架：53。一可- 【归纳与应用】 (2)观察(1)中的等式，发现其中的规律，并猜想Va2与a有怎样的关系，请用数学式子表示出来； (3)利用你得到的规律，计算： ①若x<2,则Vx-2)=-: ②V(3.14-m}=_ 【题型4与立方根有关的规律探索题】 7观察下列规律回答问题： -0.001=0.1,-1=-1,-1000=-10,0.001=0.1,近=1,1000=10，… (1)/0.000001=, 10°=： (2)已知=1.587，若少=-0.1587，用含x的代数式表示y,则y=一一： (3)根据规律写出)a与a的大小情况， 8.(25-26八年级上广东河源月考)(1)【发现】 ①i+1=1+(-)=0: ②8+-8=2-2=0： ③1000+-1000=10-10=0： ON' 根据上述等式反映的规律，请你再写出一个这样的等式：一： (2)【归纳】 等式①，②，③，④，…所反映的规律，可归纳为一个结论：对于任意两个有理数，b,若 ā+5=0，则：（写出a与b之间的关系式） (3)【应用】 根据(2)中所归纳的结论，解决下列问题： 317 面学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ①若3-2x+x+6=0,求V4x: ②若4a2-10+6-3b=0,且V4-b=0,求a的值. ★能力培优练 1.下列式子正确的是() A.8=2 B.V-2)}=-2 C.√4=2 D.-√4=2 2.若实数x的平方根为√厅，y的立方根为-2，则代数式x+y的值为() A.-1 B.0 C.1 D.3 3.0.214≈0.5981,2.14≈12.89，则-2140≈ 4.已知5a+2的立方根是3,3a+b-1的算术平方根是4，c是V11的整数部分，则3a-b+c的平方根是_ 5.(1)已知m=a+4是a+4的算术平方根，n=-3b-1是3b-1的立方根，求m-2n的立方根. (2)若m=V1-a+√a-1+l,n的算术平方根是5，求3n+6m的平方根. 6.已知a-1的立方根是2,2b+1的平方根是±3，c是V3的整数部分. (1)求a、b、c的值. (2)求a+b+c的平方根。 7.(1)观察发现：表格中x= y= (2)归纳总结：被开方数的小数点每向右移动2位，相应的算术平方根的小数点就向 移动 位： a(a>0) 0.0001 0.01 100 10000 a 0.01 100 (3)规律运用： ①已知V5≈2.24，则V500≈ ②已知Vm≈7.07，V5000≈70.7，则m= 8.【观察】 417 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 0近+5-1+(-)=0： ②8+-8=2+(-2)=0： ③31000+-1000=10+(-10)=0： ®a4-- 【发现】根据上述等式反映的规律，回答如下问题： (1)根据上述等式的规律，写出一个类似的等式： (2)由等式①，②，③，④所反映的规律，可归纳出一个这样的结论：对于任意两个不相等的有理数a, b,若 ,则ā+5=0，反之也成立： 【应用】根据(2)中的结论，解答问题：若2x-5与1-x的值互为相反数，求2x+1的算术平方根. ★7创新拓展练 1.观察下列等式，请解答下列问题： 11 +2=1+ =1+ 1×2: 11 1 1+ 22+7 =1+ 2×39 11 x=1+3+年 1+ =1+ 3×4 (I)请用正整数n表示第n个等式： (2)根据以上规律，计算x+x2+x3+·+x224一2025 2.通过观察后再回答问题. a … 0.0004 0.04 4 400 40000 … √a 0.02 0.2 2 20 200 (I)从表格中探究a与√a数位的规律，并利用这个规律解决问题： 517 面学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 已知7≈2.65，V70≈8.37，则V700≈ (2②)已知√m=12.34,m=1.234,用含m的代数式表示n(请写出解答过程). 3.我们知道-64的立方根是-4，可以表示为-64=-4，反之（-4)°=-64,16的平方根是±4，可以表示 为±6=士4，反之(4)=16.根据立方根和平方根的含义，完成下面问题： ()25表示的含义是什么？7a+1表示的含义是什么？ (2)V8a+b-2表示的含义是什么？ (③考7a=8a+6-2=2求a+6的值和8+36+3的平方根。 4.观察下表： 0 0.01 1 100 10000 0001 0.01 0.1 10 100 ()由上表发现的结论：被开方数的小数点向左或向右每移动位，它的 的小数点就相 应的向左或向右移动一位； (2)根据你发现的规律填空：①已知V5.217≈2.284，v521.7≈22.84， 则V0.05217≈ -V52170≈ ②若Vx≈0.02284，则x≈ (3)拓展提升：被开方数的小数点向左或向右每移动位，它的立方根的小数点就相应的向左或向右移动 位 ①已知0.000456≈0.07697，则-456≈ ②已知5≈1.442,30≈3.107，则3000≈ 5.学习《实数》之后，在数学活动课上，丁老师出示了一组有规律的算式.阅读观察下列算式，探求规 律： 【实践探究】 (1)按照此规律，①计算： 81 6/7 面学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ②第n个式子是 (用含n的式子表示，n是大于等于1整数)； 357 31 (2)计算： 1-4×1-g1-16 …× 256 【迁移应用】 4049 (3)若1 =x符合上述规律，请求出x的值. 717