专题01 平行四边形中折叠、旋转、线段最值问题的六种模型（高效培优专项训练）数学新教材北师大版八年级下册

### 基本信息 聚焦平行四边形中折叠、旋转及线段最值问题，通过六类题型系统整合图形变换性质与几何计算证明，培养几何直观与推理能力。 ### 专项设计 |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |折叠求角度|3-6题（含中考真题）|结合折叠轴对称性质，考查角度转化|基于平行四边形对角/邻角关系，通过折叠全等推导角度| |折叠求线段长|3-4题|涉及折叠后线段等量关系，结合勾股定理|利用平行四边形对边相等，通过折叠构建直角三角形计算| |折叠求面积|3-4题|需分析折叠后图形重叠区域，运用面积公式|依托平行四边形面积性质，结合折叠后图形全等求阴影面积| |折叠证明|3-4题|证明线段/角相等或四边形判定|通过折叠轴对称性质，结合平行四边形判定定理推理| |旋转问题|3-4题|考查旋转不变性及角度/线段关系|利用平行四边形旋转后对应边/角相等，推导位置关系| |线段最值|3-5题|结合动点构造平行四边形，求线段最小值|运用平行四边形对角线性质，转化为点到直线距离最值|

函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 专题01平行四边形中折叠、旋转、线段最值问题的六种模型 题型归纳 目录 题型一：平行四边形中折叠求角度问题 .1 题型二：平行四边形中折叠求线段长… .6 题型三：平行四边形中折叠求面积.… .11 题型四：平行四边形中折叠证明问题… .18 题型五：平行四边形中旋转问题… .24 题型六：平行四边形中求线段最值问题 29 题型专练 题型一：平行四边形中折叠求角度问题 1.(24-25八年级下，湖南邵阳·期末)如图，将口ABCD沿对角线AC折叠，使点B落在点B处，若 ∠1=∠2=38°，则∠B= B B 2.(2024浙江·模拟预测)在平行四边形ABCD中，点E,F在BC边上，把aABE沿直线AE折叠， CDF沿直线DF折叠，使点B,C落在对角线AC上的点G处，若∠AGD=1I0°，则∠B的度数为 3.(24-25八年级下·全国·暑假作业)在平行四边形ABCD中，点E,F在BC边上，把aABE沿直线AE折 叠，△CDF沿直线DF折叠，使点B,C落在对角线AC上的点G处，若LAGD=110°，则∠B的度数为 1/8 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 D E 4.(2025山东潍坊·中考真题)如图，在口ABCD中，点E在边BC上，将△ABE沿AE折叠，点B的对应点 B恰好落在边DC上；将△ADB沿AB'折叠，点D的对应点D恰好落在AE上.若LC=Q,则∠CB'E= (用含a的式子表示) D B 5.(24-25七年级下·浙江杭州·月考)如图，将四边形纸片ABCD沿过点A的直线折叠，使得点B落在CD上 的点Q处.折痕为AP;再将△PCQ,△ADQ分别沿PQ,AQ折叠，此时点C,D落在AP上的同一点R 处.∠P0=一°；若四边形4PCD是平行四边形，则5 R的值为 O 6.(2425八年级下·湖北襄阳·期末)如图，将一张平行四边形纸片ABCD折叠，折痕为BD,折叠后，点A 的对应点为点E,DE交BC于点F.若AB=2,AD=4,∠A=120°，则EF的长为 题型二：平行四边形中折叠求线段长 7.(25-26八年级下，浙江杭州·期中)在▣ABCD中，∠ADC=75°，E为CD的中点，F为BC上的点，将 △ECF沿着EF折叠，点C恰好落在AC上点G处，且CG=EG.若CD=2,则AC的长为 8.(25-26八年级下·浙江温州期中)如图，在口ABCD中，∠ABC=60°，AB=6,BC=10,点E是边BC 上一点，将△ABE沿AE折叠后，点B的对应点为点F,点F恰好落在边DE上，则BE的长为· 2/8 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 D B 9.(24-25九年级上河南郑州月考)如图，在平行四边形ABCD中，AD=2,AB=√2，LABC=45°，点 E是线段BC上一个动点，将△ABE沿AE折叠到△AB'E位置、再将△AB'E沿行AB'折叠到△AB'E'位置，当 E落在平行四边形ABCD边上时，则BE的长度为 B.C B 10.(25-26八年级下·辽宁鞍山月考)同学们以“平行四边形纸片的折叠”为主题开展数学活动.在平行四边 形纸片ABCD中，已知AB=I0,AD=4V10,口ABCD的面积为120.点E为BC边上任意一点，将△ABE 沿AE折叠，点B的对应点为B,改变E点的位置，将△ABE沿AE折叠，连接B'C,当BCB'为直角三角 形时，则B'C的长是 D 题型三：平行四边形中折叠求面积 11.(24-25八年级下·山西吕梁·期中)如图，将一张▣ABCD纸片沿着AE折叠，点B的对应点F恰好落在 AD上，连接EF,若∠C=120°，CD=2,则图中阴影部分△AEF)的面积是. 12.(2025·吉林长春，三模)如图，在平行四边形纸片ABCD中，AB=3cm,将纸片沿对角线BD对折，折 叠后的边BF与CD交于点E，,此时△BCE恰为等边三角形，则图中重叠部分图形的面积为 13.(2025·浙江湖州·二模)如图，点O是口ABCD对角线AC的中点，沿过点O的直线MN将口ABCD折叠， 3/8 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 NE 5 使点A,B分别落在，B处，NB'交CD于点E,AB交AD于点F,若点E是CD的中点，且 NC-3' 则△AMO与四边形MOCD的面积比为 14.(2026江苏无锡一模)问题情景：数学活动课上，老师出示了一个问题：如图①，在口ABCD中， BE⊥AD,垂足为E,F为CD的中点，连接EF,BF,试猜想EF与BF的数量关系，并加以证明： G 图① 图② 图③ (1)独立思考：请解答老师提出的问题； (②)实践探究：梦之队小组受此问题的启发，将口ABCD沿着BF(F为CD的中点)所在直线折叠，如图②， 点C的对应点为C,连接DC并延长交AB于点G,请判断AG与BG的数量关系，并加以证明； (3)问题解决：智慧小组突发奇想，将口ABCD沿过点B的直线折叠，如图③，点A的对应点A,使 4'B1CD于点H,连接A'M,交CD于点N,若此。ABCD的面积为20，边长4B=5,BC85, 3 求图中 阴影部分（四边形BHNM)的面积. 题型四：平行四边形中折叠证明问题 15.(2025八年级下·全国.专题练习)如图，将平行四边形ABCD纸片沿EF折叠，使点C与点A重合，点 D落在点G处， G D B E (I)求证：AE=AF: (2)求证：△ABE≌△AGF. 16.(24-25八年级下·全国暑假作业)如图，在平行四边形ABCD中，AB=AC,点E、F分别在AD、 4/8 画学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 BC上，沿EF折叠平行四边形，使点A、C互相重合，点B落在点G的位置. A E B G (I)连接GF,CE,求证：△CED≌△CFG; (2)若∠BCD=130°，求∠AEF的度数. 17.(24-25八年级上·山东威海期末)综合实践课上，老师让同学们开展了。ABCD的折纸活动，E是BC边 上的一动点，F是AD边上的一动点，将口ABCD沿直线EF折叠，使点C落在AB边上的点M处，点D的 对应点为点N,连接CM. D M B B E 图1 图2 (I)【观察发现】如图1，若∠D=60°，ME⊥AB,BE=2,则EC= ,∠NFA= (②)【操作探究】如图2，当点N落在BA的延长线上时，求证：四边形EMNF为平行四边形 18.(25-26八年级下·浙江金华·月考)如图1，在口ABCD中，O是对角线AC的中点，过点O的直线EF分 别与AD,BC交于点E,F,将四边形ABFE沿EF折叠得到四边形MNFE,点M在AD上方，MN交线段 AD于点T,交线段CD于点H,FN交线段CD于点G,连接OH, M G B 图1 图2 (I)求证：EM=FC; (2)求证： EMT≌FCG,OH⊥EF; (3)如图2，若MN⊥CD,∠ABC=60°，BF=4+2V3,FC=2,求GN、OH的长. 题型五：平行四边形中旋转问题 5/8 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 19.(24-25八年级上山东烟台期末)如图，将平行四边形ABCD绕点A旋转，当点D的对应点D落在AB 边上时，点C的对应点C恰好与点B,C在同一直线上，若∠DAB=72。,则此时∠BCD'的度数为() D 0 A.72 B.54° C.36° D.28 20.(2025八年级下.全国.专题练习)如图所示，将口ABCD绕点A按逆时针方向旋转30°，得到口AB'CD'（点 B与点B、点C与点C、点D与点D分别对应).若点B恰好落在BC上，则LC= 21.(24-25八年级下·广东河源·期末)如图1，四边形ABCD的对角线AC,BD相交于点O.直线1经过点 O并绕点O旋转，分别与AD,BC交于点E,F.其中∠BAC=∠DCA,OA=OC. D P. 图1 图2 (I)求证：四边形ABCD是平行四边形： (2)求证：Sg边形4EFm=S西边形DEFc; (③)如图2，若▣ABCD是老林家的一块平行四边形田地，P为水井，现要把这块田地平均分给两个儿子，为 了用水方便，要求分给两个儿子的田地都与水井P相邻.请你帮老林家设计一下，画出图形，并说明理由. 22.(24-25八年级下·辽宁沈阳·期末)综合与实践 【问题情境】 如图1，在口ABCD中，对角线AC与BD交于点O,∠BAC=90°，∠ABC=60°，AB=2,点E为AB的中 点，连接EO并延长，交CD于点F, (1)判断线段OE与OF的数量关系，并说明理由； (2)在图1的基础上，若点G是BC的中点，连接G0并延长，交AD于点H,顺次连接E,G,F,H,得 到图2，则四边形EGFH的形状是·并说明理由； 【图形变式】 (3)在图2中，隐去线段EF与GH,将四边形EGFH绕点O顺时针方向旋转，如图3，当点G,H首次 分别落在边AD,BC上时，请直接写出线段AG的长 6/8 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 A G H 图1 图2 图3 题型六：平行四边形中求线段最值问题 23.(25-26八年级下江苏徐州期中)如图，在口ABCD中，∠B=60°，AB=3,BC=2,点E为边AB上的 一个动点，以EC、ED为邻边构造CEDF,连接EF,则EF的最小值为· D C 24.(25-26九年级上四川巴中.期末)如图，在▣ABCD中，∠B=120°，CD=4.点H,G分别是边AB, BC上的动点，连接DH,HG,点E,F分别是DH,HG的中点，连接EF,则EF的最小值为 A D G 25.(2025山东东营.一模)如图，在平行四边形ABCD中，∠C=120°，AB=2,点P是BC边上的动点， 连接AP,DP,E是AD的中点，F是PD的中点，则EF的最小值是 F B 26.(24-25八年级下·浙江宁波期中)如图，在RIABC中，∠BAC=90°，∠B=60°，AB=23,点P为 BC上任意一点，连接PA,以PC为邻边作PAQC,连接PO,则PQ的最小值为 7/8 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 27.(24-25八年级下·新疆期中)如图1，在平面直角坐标系中，点A(6,0),C(3,4.平移0A至CB(点0 与点C对应，点A与点B对应)，连接OC、AB M (图1) (图2) (1)点B的坐标为 ； (2)点D,E分别是OA,AB边上的动点，连接DC,DE,M,N分别为DC,DE的中点，连接MN.当 D,E分别在OA,AB上运动时，MN是否存在最小值？若存在，求出MN的最小值；若不存在，请说明 理由； (3)如图2，三角形COF是等腰直角三角形，P为线段OF上一点，以CP为直角边作等腰直角三角形CPQ, 其中∠PCQ=90°，试猜想PO,PF2,PQ三者之间有怎样的数量关系，并证明你的猜想. 8/8 专题01 平行四边形中折叠、旋转、线段最值问题的六种模型 目录 题型一：平行四边形中折叠求角度问题 1 题型二：平行四边形中折叠求线段长 6 题型三：平行四边形中折叠求面积 11 题型四：平行四边形中折叠证明问题 18 题型五：平行四边形中旋转问题 24 题型六：平行四边形中求线段最值问题 29 题型一：平行四边形中折叠求角度问题 1．（24-25八年级下·湖南邵阳·期末）如图，将沿对角线AC折叠，使点B落在点处，若，则______． 【答案】/123度 【分析】本题主要考查的是平行四边形的性质和折叠的性质，平行线的性质以及三角形内角和定理，掌握平行四边形的性质和折叠的性质是解题的关键． 根据平行四边形的对边平行可知，利用平行线的性质还可求出；结合折叠的性质求出的度数，再在中利用三角形的内角和定理求出的度数． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴． 根据折叠的性质可知， ∵， ∴． ∵在中，，， ∴． 故答案为：． 2．（2024·浙江·模拟预测）在平行四边形中，点，在边上，把沿直线折叠，沿直线折叠，使点，落在对角线上的点处，若，则的度数为______． 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的性质及折叠的性质，熟悉掌握折叠图形边相等的性质是解题的关键． 利用平行四边形的性质和折叠的性质得到，，，再利用等腰三角形的性质和平行线的性质进行角的等量代换求解即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形，且沿直线折叠，沿直线折叠， ∴，，， ∴，， ∴， ∴， 故答案为： 3．（24-25八年级下·全国·暑假作业）在平行四边形中，点，在边上，把沿直线AE折叠，沿直线折叠，使点，落在对角线上的点处，若，则的度数为 ___ ． 【答案】/75度 【分析】本题考查了翻折变换，平行四边形的性质，平行线的性质，掌握翻折的性质是解题的关键． 利用平行四边形的性质和折叠的性质得到线段之间的关系，再利用等腰三角形的性质和平行线的性质，得出角之间的数量关系，求解即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∵沿直线折叠，沿直线折叠，点，落在对角线上的点处， ∴，， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 4．（2025·山东潍坊·中考真题）如图，在中，点在边上，将沿折叠，点的对应点恰好落在边上；将沿折叠，点的对应点恰好落在上．若，则______．（用含的式子表示） 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，折叠的性质，平行线的性质，由四边形是平行四边形，得，，由折叠性质可知， ，，，故有，根据平行线的性质得，，最后通过角度和差即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， 由折叠性质可知，，，， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 5．（24-25七年级下·浙江杭州·月考）如图，将四边形纸片沿过点A的直线折叠，使得点B落在上的点Q处．折痕为；再将，分别沿，折叠，此时点C，D落在上的同一点R处．_____；若四边形是平行四边形，则的值为_______． 【答案】 30 【分析】本题考查了平行四边形的性质，翻折变换的性质，根据折叠的性质证得，根据平行线的性质即可求；根据折叠的性质和平行四边形的性质即可求的值． 【详解】解：由折叠的性质可得：，，，，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 由折叠的性质可得：，， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：30；． 6．（24-25八年级下·湖北襄阳·期末）如图，将一张平行四边形纸片折叠，折痕为，折叠后，点的对应点为点，交于点．若，，，则的长为___________． 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，折叠的性质，勾股定理，等角对等边，含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握各知识点是解答本题的关键． 作，交的延长线于点H，求出得，由勾股定理求出，由折叠的性质得，，，得出，设，根据求出，进而可求出的长． 【详解】如图，作，交的延长线于点H， ∵四边形是平行四边形， ∴，，，， ∴，， ∴， ∴， ∴． 由折叠的性质得，，， ∴，， ∴． 设， ∴， ∴． ∵， ∴， 解得， ∴． 故答案为：． 题型二：平行四边形中折叠求线段长 7．（25-26八年级下·浙江杭州·期中）在中，，为的中点，为上的点，将沿着折叠，点恰好落在上点处，且．若，则的长为_________． 【答案】/ 【分析】连接，由折叠的性质可得，，结合，可判定是等边三角形．由于为的中点，因此是直角三角形，使用勾股定理计算出．结合，可证明是等腰直角三角形，则，进而求出． 【详解】解：如图，连接， 由折叠的性质可知，， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵为的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 在直角中，， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴． 8．（25-26八年级下·浙江温州·期中）如图，在中，，，，点E是边上一点，将沿折叠后，点B的对应点为点F，点F恰好落在边上．则的长为______． 【答案】 【分析】过点作，交的延长线于点，由平行四边形的性质可得，，，，则，，由折叠的性质可得，从而可得，进而得出，再结合勾股定理计算即可得出结果． 【详解】解：如图，过点作，交的延长线于点， ， ∵四边形为平行四边形， ∴，，，， ∴，， 由折叠的性质可得：， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 9．（24-25九年级上·河南郑州·月考）如图，在平行四边形中，，，，点E是线段上一个动点，将沿折叠到位置、再将沿行折叠到位置，当落在平行四边形边上时，则的长度为__________． 【答案】或 【分析】如图，当落在上时，由对折可得：，，，，，记垂足为，再进一步可得答案；如图， 当，，此时重合，，，可得落在上，从而可得答案． 【详解】解：∵平行四边形， ∴，，， 如图，当落在上时， ∵由对折可得：，，，， ∴，记垂足为， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， 如图， 当，，， 此时重合，，， ∴落在上， ∴， 综上：或． 故答案为：或 10．（25-26八年级下·辽宁鞍山·月考）同学们以“平行四边形纸片的折叠”为主题开展数学活动．在平行四边形纸片中，已知，，的面积为120．点E为边上任意一点，将沿折叠，点B的对应点为．改变E点的位置，将沿折叠，连接，当为直角三角形时，则的长是______． 【答案】或或 【分析】分和两种情况，分别作出相应图形，进行讨论求解即可． 【详解】解：①当时，延长交于点， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵折叠， ∴， 在中，， ∴； 如图，当重合时，记，的交点为， ∵当时，， ∴，而， ∴， ∴当重合时，， 由折叠可得：； ②当时，如图，设与交于点，作， ∴， ∴， ∴， ∵折叠， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上：的长是或或． 题型三：平行四边形中折叠求面积 11．（24-25八年级下·山西吕梁·期中）如图，将一张纸片沿着折叠，点B的对应点F恰好落在上，连接，若，，则图中阴影部分的面积是______． 【答案】 【分析】由平行四边形的性质可得，，，再由折叠性质可得，，即有，从而可证明△是等边三角形，过作于点，然后由勾股定理和面积公式即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：由题意可得：，，， ， ， 由折叠可知，， ，， 是等边三角形， ， 过作于点， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理，等边三角形的判定与性质，折叠的性质，正确进行计算是解题关键． 12．（2025·吉林长春·三模）如图，在平行四边形纸片中，，将纸片沿对角线对折，折叠后的边与交于点，此时恰为等边三角形，则图中重叠部分图形的面积为________． 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的性质和几何图形的翻折问题，解答本题的关键重叠部分是等腰三角形． 根据翻折的性质及已知的角度，可得为等边三角形，再由四边形为平行四边形，且，从而知道三点在同一条直线上，再由是对称轴，所以垂直且平分， ，求边上的高，从而得到面积． 【详解】解：∵恰为等边三角形， ∴ ∴为等边三角形， 由四边形为平行四边形，且， ∴， 所以， ∴三点在同一条直线上， ∵是对折线， ∴垂直且平分， ∴， 过点作， 则有， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 13．（2025·浙江湖州·二模）如图，点O是对角线的中点，沿过点O的直线将折叠，使点A，B分别落在，处，交于点E，交于点F，若点E是的中点，且，则与四边形的面积比为________． 【答案】 【分析】 连接，先根据三角形的中位线性质得到， ，证明，得到，，由折叠的性质得，易证，推出，求出，设中边上的高为，进而可求解． 【详解】解析：连接， 四边形是平行四边形， ， 点E是的中点，点O是对角线的中点， ，， ， ∴， 点O是对角线的中点， ∴， ∵， ， ， ， ， ∵， ∴， 由折叠的性质得， ∴， ∴， ∴， ， ， 设中边上的高为， ∴， ∴， ∴， 与四边形的面积比为． 故答案为：． 14．（2026·江苏无锡·一模）问题情景：数学活动课上，老师出示了一个问题：如图，在中，，垂足为E，F为CD的中点，连接EF，BF，试猜想EF与BF的数量关系，并加以证明； (1)独立思考：请解答老师提出的问题； (2)实践探究：梦之队小组受此问题的启发，将沿着BF（F为CD的中点）所在直线折叠，如图②，点C的对应点为C'，连接DC'并延长交AB于点G，请判断AG与BG的数量关系，并加以证明； (3)问题解决：智慧小组突发奇想，将沿过点B的直线折叠，如图③，点A的对应点A′，使于点H，连接，交CD于点N，若此的面积为20，边长AB=5，BC=，求图中阴影部分（四边形BHNM）的面积． 【答案】(1)，见解析； (2)，证明见解析； (3)图中阴影部分的面积为． 【分析】本题考查平行四边形的性质和判定，矩形的判定和性质，线段的垂直平分线的性质，翻折变换，平行线分线段成比例定理，解直角三角形．解题核心是利用平行四边形对边平行且相等的特性，结合折叠的“全等性”转化线段与角度关系，再通过勾股定理、三角函数等工具计算线段长度与面积． （1） 要确定 与 的数量关系，可通过构造辅助线，结合平行四边形对边平行且相等、直角三角形斜边中线性质来推导； （2） 判断 与 的数量关系，需利用折叠性质（对应边、角相等），结合平行四边形对边平行且相等，证明相关四边形为平行四边形或三角形为等腰三角形； （3） 求阴影部分面积，先由平行四边形面积公式求高，再通过勾股定理、三角函数、折叠性质确定各线段长度，进而计算三角形面积差得到阴影面积． 【详解】（1）（1）解：． 证明：如图中，过点作交于， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴ ， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）（2）解：． 证明：如图中，连接， ∵是由翻折得到， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）（3）如图中，过点作于，过点作于． ∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， 设则 ∵， ∴ ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ． 题型四：平行四边形中折叠证明问题 15．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，将平行四边形纸片沿折叠，使点C与点A重合，点D落在点G处， (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据折叠的性质可得，根据平行线的性质可得，根据等量关系可得，根据等角对等边即可求解； （2）根据平行四边形的性质，可得，，根据折叠的性质，可得，，所以，，由等量代换得，得，，，得到，可证． 【详解】（1）证明：由折叠的性质可得， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， 又根据题意得：，， ∴，， ∴， 又∵，，， ∴， 在与中， ， ∴． 16．（24-25八年级下·全国·暑假作业）如图，在平行四边形中，，点、分别在、上，沿折叠平行四边形，使点、互相重合，点落在点的位置． (1)连接，，求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定等知识， （1）根据平行四边形的性质和折叠的性质证明，，，即可得到结果； （2）根据题意可得，得到，再根据点与点重合，得到，结合三角形内角和定理即可得到结果； 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，，， 由折叠的性质可得，，，， ∴，，， ∵，， ∴， ∴； （2）∵，四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵为折痕，点与点重合， ∴， ∴， ∴． 17．（24-25八年级上·山东威海·期末）综合实践课上，老师让同学们开展了的折纸活动，是边上的一动点，是边上的一动点，将沿直线折叠，使点落在边上的点处，点的对应点为点，连接．    (1)【观察发现】如图1，若，，，则___________，___________． (2)【操作探究】如图2，当点落在的延长线上时，求证：四边形为平行四边形． 【答案】(1)， (2)见解析 【分析】（1）根据平行四边形的性质和直角三角形的性质结合勾股定理求得，由折叠知，由折叠的性质可得，再由平行四边形的性质求得，据此即可求解． （2）根据折叠的性质先证，再证即可证明四边形为平行四边形． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， 由折叠知， 由折叠知， ∵， ∴， ∴， 由折叠知， ∴， 故答案为：，； （2）证明：由折叠知，，． ， ， ， ， ， ∵， ∴，， ， ， ， ，点在延长线上， ， ， ． ， ， 四边形是平行四边形． 18．（25-26八年级下·浙江金华·月考）如图1，在中，O是对角线的中点，过点O的直线分别与，交于点E，F，将四边形沿折叠得到四边形，点M在上方，交线段于点T，交线段于点H，交线段于点G，连接． (1)求证：； (2)求证：； (3)如图2，若，求、的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)4； 【分析】（1）根据平行四边形的性质，证明，得到．根据折叠性质，得到．等量代换即可得证． （2）根据平行四边形的性质，折叠的性质，证明，，继而证明，延长交的延长线于点K，延长交的延长线于点L，证明，得到，，根据等腰三角形的三线合一性质即可证明． （3）过点H作交的延长线于点Q，过点O作于点R，连接，过点C作于点K，得到，根据折叠的性质，勾股定理等证明是等腰直角三角形，再利用勾股定理解答即可． 【详解】（1）证明：， ∴，， ∴．， 在和中， ∵， ∴， ∴． ∵四边形沿折叠得到四边形， ∴． ∴． （2）证明：∵四边形沿折叠得到四边形， ∴，，，， ， ∴，， ∴，，， ∴，， ∴ ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 延长交的延长线于点K，延长交的延长线于点L， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∴，， ∴，， ∴． （3）解：过点H作交的延长线于点Q，过点O作于点R，连接， ，， ， ， ， ， ， ， ， 过点C作于点K， ，， ， ， 根据折叠的性质，得， ； ，， ， ， ，， ， ， 是等腰直角三角形， ，， ， ， ， 根据（2）证明，得， ， ， ． 题型五：平行四边形中旋转问题 19．（24-25八年级上·山东烟台·期末）如图，将平行四边形绕点旋转，当点D的对应点落在边上时，点C的对应点恰好与点B，C在同一直线上，若，则此时的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】利用平行四边形的性质求解、根据旋转的性质求解 【分析】本题考查的是平行四边形的性质，旋转的性质，三角形的内角和定理的应用，先求解，，再证明，再结合三角形的内角和定理可得答案． 【详解】解：∵平行四边形绕点旋转得到， ∴，， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴，， ∵点、B、C在一条直线上， ∴， ∴． 故选：C 20．（2025八年级下·全国·专题练习）如图所示，将绕点A按逆时针方向旋转，得到（点与点、点与点、点与点分别对应）．若点恰好落在上，则 ． 【答案】 【知识点】利用平行四边形的性质求解、根据旋转的性质求解、三角形内角和定理的应用、等边对等角 【分析】由旋转的性质可知，，再根据等腰三角形点性质及三角形内角和定理，得到，然后根据平行四边形和平行线的性质，即可求出的度数． 【详解】解：由旋转的性质可知，，， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 21．（24-25八年级下·广东河源·期末）如图1，四边形的对角线，相交于点．直线经过点并绕点旋转，分别与，交于点，．其中，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)求证：； (3)如图2，若是老林家的一块平行四边形田地，为水井，现要把这块田地平均分给两个儿子，为了用水方便，要求分给两个儿子的田地都与水井相邻．请你帮老林家设计一下，画出图形，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，解题关键是根据平行四边形是中心对称图形的特点，得出过点O的直线平分四边形的面积． （1）证明，即得，再根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，即可证得结论； （2）先证明，得到，再根据，即可证明结论； （3）由（1）（2）可知，对角线的交点与水井点P的连线所在直线即是满足要求的面积平分线． 【详解】（1）在和中， ， ， ， ， 四边形是平行四边形； （2）四边形是平行四边形， ， ， ，， ， ， ， ， 即； （3）设计图形如图： 理由：平行四边形是中心对称图形，对称中心是两条对角线的交点，只要满足两块地面积相等，且都与水井相邻就可以．由（1）（2）可知，对角线的交点与水井点P的连线所在直线即是满足要求的面积平分线． 22．（24-25八年级下·辽宁沈阳·期末）综合与实践 【问题情境】 如图1，在中，对角线与交于点O，，，，点E为的中点，连接并延长，交于点， （1）判断线段与的数量关系，并说明理由； （2）在图1的基础上，若点G是的中点，连接并延长，交于点H，顺次连接E，G，F，H，得到图2，则四边形的形状是______．并说明理由； 【图形变式】 （3）在图2中，隐去线段与，将四边形绕点O顺时针方向旋转，如图3，当点G，H首次分别落在边上时，请直接写出线段的长． 【答案】（1），见解析；（2） 平行四边形，见解析；（3） 【分析】本题是四边形的综合题，考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，三角形的面积的计算，正确地添加辅助线是解题的关键． （1）根据平行四边形的性质得到，，根据全等三角形的性质得到； （2）根据平行四边形的性质得到，，根据全等三角形的性质得到，由知，根据平行四边形的判定定理得到四边形的形状是平行四边形； （3）如图，连接，过点O作于点，则，根据勾股定理得到，根据平行四边形的性质得到，在中，，，根据勾股定理得到，根据三角形中位线定理得到，如图3，在中，，于是得到． 【详解】（1）， 证明：在中，，， ，， ， ； （2）四边形的形状是平行四边形， 理由：在中，，， ，， ， ， 由知， 四边形的形状是平行四边形， 故答案为：平行四边形； （3）如图，连接，过点O作于点，则， 在中，，，， ， ， ， 在中，，， ， 在中，，， ， ， 在图2中，点O，G分别是的中点， 是的中位线． ， 如图3，在中，， ， ． 题型六：平行四边形中求线段最值问题 23．（25-26八年级下·江苏徐州·期中）如图，在中，，，，点为边上的一个动点，以、为邻边构造，连接，则的最小值为______． 【答案】 【分析】设与交于点，过点作于点，由直角三角形的性质可得，由勾股定理可得，由平行四边形的性质可得，当时，取得最小值，最小值为，即可得出结果． 【详解】解：如图，设与交于点，过点作于点， ， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴， 当时，取得最小值，最小值为， ∴的最小值为． 24．（25-26九年级上·四川巴中·期末）如图，在中，．点H，G分别是边，上的动点，连接，，点E，F分别是，的中点，连接，则的最小值为__________． 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，三角形中位线定理，含角的直角三角形，勾股定理； 连接，根据三角形中位线定理可得，可得时，和取最小值，然后求出的最小值即可解决问题． 【详解】解：如图，连接， ∵点E，F分别是，的中点， ∴， ∴当取最小值时，可取得最小值， ∴当时，和取最小值， ∵在中，， ∴， ∴当时，， 此时， ∴， ∴， 即的最小值是， 故答案为：． 25．（2025·山东东营·一模）如图，在平行四边形中，，，点是边上的动点，连接，，是的中点，是的中点，则的最小值是 ． 【答案】 【知识点】利用平行四边形的性质求解、与三角形中位线有关的求解问题、含30度角的直角三角形、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了平行四边形的性质，三角形中位线定理，直角三角形的性质，由三角形中位线定理可得，当时，有最小值，即有最小值，由直角三角形的性质可求解． 【详解】解：如图，过点A作于N， ∵四边形是平行四边形，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵E、F分别为、的中点， ∴， ∴当时，有最小值，即有最小值， ∴当点P与点N重合时，的最小值为， ∴的最小值为． 故答案为：． 26．（24-25八年级下·浙江宁波·期中）如图，在中，，，，点为上任意一点，连接，以为邻边作，连接，则的最小值为 ． 【答案】 【知识点】利用平行四边形的性质求解、含30度角的直角三角形、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了勾股定理，平行四边形的性质，含直角三角形的定义，合理作出辅助线是解题的关键． 根据平行四边形的性质分析出当最短时也最短，过作的垂线，即的最小值为，利用勾股定理运算求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴当最短时也最短， ∴过作的垂线，如图所示： ∴的最小值为， ∵， ∴， ∴； 故答案为：． 27．（24-25八年级下·新疆·期中）如图1，在平面直角坐标系中，点，．平移至（点与点对应，点与点对应），连接． (1)点的坐标为______； (2)点，分别是，边上的动点，连接，，，分别为，的中点，连接．当，分别在，上运动时，是否存在最小值？若存在，求出的最小值；若不存在，请说明理由； (3)如图，三角形是等腰直角三角形，为线段上一点，以为直角边作等腰直角三角形，其中，试猜想，，三者之间有怎样的数量关系，并证明你的猜想． 【答案】(1)； (2)存在最小值，的最小值为； (3)，理由见解析． 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、已知点平移前后的坐标，判断平移方式、用勾股定理解三角形、与三角形中位线有关的求解问题 【分析】（）根据点平移到点的方式与点平移到点的方式相同，只需要求出点平移到点的方式即可求出点的坐标； （）连接，由中位线定理可得，，当取得最小值时，即时，的值最小，然后通过勾股定理和等面积法即可求解； （）连接，由三角形是等腰直角三角形和三角形是等腰直角三角形得，证明，然后通过全等三角形的性质和勾股定理即可求证． 【详解】（1）解：∵点与点对应，点与点对应，点， ∴向右平移个单位，再向上平移个单位得， ∴向右平移个单位，再向上平移个单位得， 故答案为：； （2）解：存在最小值，的最小值为，理由： 连接，过作轴于点，如图， ∵，分别为，的中点， ∴为的中位线， ∴，， ∴取得最小值时，即时，的值最小， 由（）知：， ∴当时，， ∴， ∴， ∴的最小值为； （3）解：，，三者之间有怎样的数量关系为：，理由： 连接，如图， ∵三角形是等腰直角三角形， ∴，， ∵三角形是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $