精品解析：天津市蓟州区上仓中学2025-2026学年第二学期高一年级数学学科阶段性练习(二)

上仓中学2025——2026学年度第二学期高一年级 数学学科阶段性练习（二） 一、单选题（共10个小题，每个小题4分，共40分） 1. 已知向量，，若，则（ ） A. B. C. D. 2. 同时投掷两枚硬币一次，互斥而不对立的两个事件是（ ） A. “至少有1枚正面朝上”与“2枚都是反面朝上” B. “至少有1枚正面朝上”与“至少有1枚反面朝上” C. “恰有1枚正面朝上”与“2枚都是正面朝上” D. “至少有1枚反面朝上”与“2枚都是反面朝上” 3. 在某次测量中得到的A样本数据如下：22，23，25，26，31，30；若B样本数据恰好是A样本中每个数据都减去10后所得的数据，则A，B两样本的下列数字特征相同的是（ ） A. 方差 B. 平均数 C. 众数 D. 中位数 4. 已知是不重合的直线，，是不重合的平面，则下列结论中正确的是（ ） A. 若且，则 B. 若且，则 C. 若且，则 D. 若且，则 5. 桂林漓江主要景点有象鼻山、伏波山、叠彩山、芦笛岩、七星岩、九马画山，小张一家人随机从这6个景点中选取2个进行游玩，则小张一家人不去七星岩和叠彩山的概率为（ ）. A. B. C. D. 6. 在中，角所对的边分别为，若，则为（ ） A. 直角三角形 B. 等边三角形 C. 等腰三角形 D. 等腰直角三角形 7. 如图，正方体中，E，F分别是，DB的中点，则异面直线EF与所成角的正切值为（ ） A. B. C. D. 8. 下列命题中是真命题的是（ ） A. 一组数据，，，，，的平均数、众数、中位数相同； B. 有、、三种个体按的比例分层抽样调查，如果抽取的个体数为，则样本容量为； C. 若甲组数据的方差为，乙组数据为，，，，，则这两组数据中较稳定的是甲； D. 一组数，，，，，，，，，的分位数为． 9. 四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑.如图所示为鳖臑，平面ABC，，，分别在棱VB，VC上，且，.若，则三棱锥外接球的体积为（ ） A. B. C. D. 10. 已知非零向量与满足，且，，点是的边上的动点，则的最小值为（ ） A. －1 B. C. D. 二.填空题（共6小题，每小题4分，共24分） 11. 已知为虚数单位，则复数________. 12. 如图，是斜二测画法画出的水平放置的的直观图，是的中点，且轴，轴，，，则的面积是________． 13. 已知圆锥的底面半径为1，侧面展开图是圆心角为的扇形，则该圆锥的表面积为______． 14. 的内角，，所对边分别为，，，若，，，则的面积为______. 15. 如图，为测量某塔的高度，在地面上选择一个观测点C，在C处测得A处的无人机和塔顶M的仰角分别为30°，45°.无人机距地面的高度AB为45米，且在A处无人机测得点M的仰角为15°，点B，C，N在同一条直线上，则该塔的高度MN为________米. 16. 已知中，，，点是的中点.若为的中点，则为__________，若为上的动点，则的取值范围为____. 三.解答题（共5个小题，共56分） 17. 当实数满足什么条件时，复数分别满足下列条件？ （1）实数； （2）纯虚数； （3）复数对应点落在直线上. 18. 已知向量，满足，. （1）若单位向量与共线，求向量的坐标； （2）若与垂直，求m的值. 19. 在中，角所对的边分别为，已知. （1）求角的大小； （2）若. （i）求的值； （ii）求的值. 20. 如图， 是 的直径， ，点 是 上的动点， 平面 ，过点 作 ，过点 作 ，连接 . （1）求证： ； （2）求证：平面 平面 ； （3）当 为弧 的中点时，直线 与平面 所成角为 ，求四棱锥 的体积. 21. 2025年秋天将在天津举办上合组织峰会，为了加深师生对上合峰会的了解，天津某校举办了“上合组织峰会”知识竞赛，并将100名师生的竞赛成绩（满分100分，成绩取整数）分成六段后得到如下频率分布直方图.观察图形信息，回答下列问题： （1）求a的值，并估计本次竞赛成绩的平均分（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； （2）估计这组数据的第75百分位数； （3）用分层抽样的方法在分数落在内的师生中随机抽取一个容量为6的样本，将该样本看成一个总体，从中任取2人，求至多有1人的分数在内的概率. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 上仓中学2025——2026学年度第二学期高一年级 数学学科阶段性练习（二） 一、单选题（共10个小题，每个小题4分，共40分） 1. 已知向量，，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量共线定理，就可以求出x的值，然后用模长公式求模长. 【详解】因为，所以，即 所以，所以 所以， 故选：B. 2. 同时投掷两枚硬币一次，互斥而不对立的两个事件是（ ） A. “至少有1枚正面朝上”与“2枚都是反面朝上” B. “至少有1枚正面朝上”与“至少有1枚反面朝上” C. “恰有1枚正面朝上”与“2枚都是正面朝上” D. “至少有1枚反面朝上”与“2枚都是反面朝上” 【答案】C 【解析】 【分析】 根据对互斥事件、对立事件的概念直接判断即可. 【详解】在A中，“至少有1枚正面朝上”与“2枚都是反面朝上”不能同时发生，且“至少有1枚正面朝上”不发生时，“2枚都是反面朝上”一定发生，故A中的两个事件是对立事件； 在B中，当两枚硬币恰好1枚正面朝上，1枚反面朝上时，“至少有1枚正面朝上”与“至少有1枚反面朝上”能同时发生，故B中的两个事件不是互斥事件； 在C中，“恰有1枚正面朝上”与“2枚都是正面朝上”不能同时发生，且其中一个不发生时，另一个有可能发生也有可能不发生，故C中的两个事件是互斥而不对立事件； 在D中，当2枚硬币同时反面朝上时，“至少有1枚反面朝上”“2枚都是反面朝上”能同时发生，故D中的两个事件不是互斥事件. 故选：C. 【点睛】本题主要考查的是对互斥事件、对立事件的概念理解，要求学生熟练掌握对互斥事件、对立事件的概念并能简单应用，是基础题. 3. 在某次测量中得到的A样本数据如下：22，23，25，26，31，30；若B样本数据恰好是A样本中每个数据都减去10后所得的数据，则A，B两样本的下列数字特征相同的是（ ） A. 方差 B. 平均数 C. 众数 D. 中位数 【答案】A 【解析】 【分析】 由方差的定义，即可得到本题答案. 【详解】方差反映一组数据的波动大小，将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数后，方差恒不变. 故选A. 【点睛】本题主要考查方差定义的应用，属基础题. 4. 已知是不重合的直线，，是不重合的平面，则下列结论中正确的是（ ） A. 若且，则 B. 若且，则 C. 若且，则 D. 若且，则 【答案】D 【解析】 【分析】对于A：直接判断出m与n可能平行、相交，也可能异面，即可判断；对于B：直接判断出m与n可能平行，也可能异面；对于C：直接判断出与可能相交，也可能平行；对于D：利用线面垂直的判定定理直接判断. 【详解】对于A：若且，则m与n可能平行、相交，也可能异面，故A错误； 对于B：若且，则m与n可能平行，也可能异面，故B错误； 对于C：若且，则与可能相交，也可能平行，故C错误； 对于D：因为垂直于同一直线的两个平面互相平行，故D正确. 故选：D. 5. 桂林漓江主要景点有象鼻山、伏波山、叠彩山、芦笛岩、七星岩、九马画山，小张一家人随机从这6个景点中选取2个进行游玩，则小张一家人不去七星岩和叠彩山的概率为（ ）. A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】用列举法列出6个景点选取2个的所有情况，求出所有情况的种数，然后求出他们不去七星岩和叠彩山的情况的种数，根据古典概型的计算公式求解即可. 【详解】从这6个景点选取2个的所有情况为： (象鼻山，伏波山)，(象鼻山，叠彩山)，(象鼻山，芦笛岩)，(象鼻山，七星岩)， (象鼻山，九马画山)，(伏波山，叠彩山)，(伏波山，芦笛岩)，(伏波山，七星岩)， (伏波山，九马画山)，(叠彩山，芦笛岩)，(叠彩山，七星岩)，(叠彩山，九马画山)， (芦笛岩，七星岩)，(芦笛岩，九马画山)，(七星岩，九马画山)，共15种， 其中,他们不去七星岩和叠彩山的情况有6种，故所求概率为. 故选：D. 【点睛】本题考查古典概型，考查运算求解能力与应用意识. 6. 在中，角所对的边分别为，若，则为（ ） A. 直角三角形 B. 等边三角形 C. 等腰三角形 D. 等腰直角三角形 【答案】A 【解析】 【分析】利用余弦定理将已知等式统一成边的形式，化简可得答案. 【详解】因为， 所以由余弦定理得， 所以，所以， 所以为直角三角形. 故选：A. 7. 如图，正方体中，E，F分别是，DB的中点，则异面直线EF与所成角的正切值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据异面直线的夹角的求法和线面位置关系即可求解. 【详解】 如图所示，连接直线， 因为分别为直线和直线的中点， 所以为的中位线， 所以， 则异面直线EF与所成角的正切值即为直线与所成角的正切值， 因为, 所以平面, 平面, 所以, 所以为直角三角形， 所以. 故选：B. 8. 下列命题中是真命题的是（ ） A. 一组数据，，，，，的平均数、众数、中位数相同； B. 有、、三种个体按的比例分层抽样调查，如果抽取的个体数为，则样本容量为； C. 若甲组数据的方差为，乙组数据为，，，，，则这两组数据中较稳定的是甲； D. 一组数，，，，，，，，，的分位数为． 【答案】A 【解析】 【分析】由平均数、中位数、众数的求法判断A；由分层抽样的性质判断B；由方差的求法以及性质判断C；由百分位数的求法判断D. 【详解】对于A：平均数为，众数为3，中位数为，故A正确； 对于B：设样本容量为，则，解得，故B错误； 对于C：乙组数据平均数为，其方差为，则这两组数据中较稳定的是乙，故C错误； 对于D：因为，所以这组数据的分位数为，故D错误； 故选：A 9. 四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑.如图所示为鳖臑，平面ABC，，，分别在棱VB，VC上，且，.若，则三棱锥外接球的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据线面垂直的判定与性质，可得三棱锥的各个面的垂直关系，再由四点都在以  为直径的球面上确定外接球直径，再代入球的体积公式计算. 【详解】由平面，得，结合，， 得，故； 因为，， 所以，故； 因为，，， 故，即. 对三棱锥：已知，即； 由，得. 因此四点都在以  为直径的球面上， 即三棱锥 的外接球直径是. 由，可得外接球半径， 球的体积为： 10. 已知非零向量与满足，且，，点是的边上的动点，则的最小值为（ ） A. －1 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分析题目条件可得，取的中点，建立平面直角坐标系，利用坐标运算可得结果. 【详解】∵分别表示与方向的单位向量， ∴以这两个单位向量为邻边的平行四边形是菱形，故所在直线为的平分线所在直线， ∵，∴的平分线与垂直，故. 取的中点，连接，则， 由题意得，， ∴. 如图，以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系， 则，故. 设，则，∴， ∴，， ∴， 当时，取得最小值，最小值为. 故选：C. 二.填空题（共6小题，每小题4分，共24分） 11. 已知为虚数单位，则复数________. 【答案】 【解析】 【分析】应用复数除法化简即可得. 【详解】. 故答案为： 12. 如图，是斜二测画法画出的水平放置的的直观图，是的中点，且轴，轴，，，则的面积是________． 【答案】4 【解析】 【分析】根据斜二测画法确定原图形，求解即可. 【详解】由图象知：，， ，为的中点， 的面积. 故答案为：4. 13. 已知圆锥的底面半径为1，侧面展开图是圆心角为的扇形，则该圆锥的表面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】设圆锥的母线长为，则由题意可得，求出，从而可求出侧面积，进而可求得其表面积 【详解】设圆锥的母线长为， 圆锥的底面半径为1，其侧面展开图是一个圆心角为的扇形， 所以，解得， 所以圆锥的表面积为， 故答案为： 14. 的内角，，所对边分别为，，，若，，，则的面积为______. 【答案】## 【解析】 【分析】根据题意，由余弦定理求出c，结合三角形的面积公式计算即可求解. 【详解】在中，由余弦定理得， 即，解得. 所以. 故答案为：. 15. 如图，为测量某塔的高度，在地面上选择一个观测点C，在C处测得A处的无人机和塔顶M的仰角分别为30°，45°.无人机距地面的高度AB为45米，且在A处无人机测得点M的仰角为15°，点B，C，N在同一条直线上，则该塔的高度MN为________米. 【答案】90 【解析】 【分析】中，求出，中，由正弦定理求出，中，求出. 【详解】中，，，则， 由图可知，， 则， 中，由正弦定理，得， 中，（米）， 故答案为：90. 16. 已知中，，，点是的中点.若为的中点，则为__________，若为上的动点，则的取值范围为____. 【答案】 ①. 8 ②. 【解析】 【分析】建立如图所示的平面直角坐标系，结合数量积的坐标运算可求的值或范围. 【详解】 以为原点，所在的直线为轴建立如图所示的平面直角坐标系， 则，故， 当为中点时，， 此时，，故. 当为上的动点，设， 此时，， 故， 因为，故， 故的取值范围为. 故答案为：8，[-1,48] 三.解答题（共5个小题，共56分） 17. 当实数满足什么条件时，复数分别满足下列条件？ （1）实数； （2）纯虚数； （3）复数对应点落在直线上. 【答案】（1）或 （2） （3） 【解析】 【小问1详解】 是实数， 故，即或； 故当或时，是实数； 【小问2详解】 是纯虚数， 故， 解得：， 故当时，是纯虚数； 【小问3详解】 的对应点落在直线上， 故在直线上， 即， 解得：. 18. 已知向量，满足，. （1）若单位向量与共线，求向量的坐标； （2）若与垂直，求m的值. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）先设，再根据向量共线及模长公式列式计算求解； （2）先应用线性坐标运算，再结合垂直的数量积坐标运算计算求出参数. 【小问1详解】 设单位向量，则， 由已知单位向量与共线，可得， ，解得或， 所以向量的坐标为，. 【小问2详解】 ， ， ∵与垂直，∴， ， ，，解得. 19. 在中，角所对的边分别为，已知. （1）求角的大小； （2）若. （i）求的值； （ii）求的值. 【答案】（1） （2）（i）；（ii） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理，结合二倍角公式可求角. （2）（i）利用余弦定理列式，结合条件，可求的值. （ii）利用正弦定理求，结合二倍角公式和和角公式求值即可. 【小问1详解】 由正弦定理及二倍角公式可得， 又因为，所以，解得， 由，可得. 【小问2详解】 （i）将代入余弦定理，得， 解得. （ii）因为，故， 由正弦定理，解得， 由，故， 代入. 20. 如图， 是 的直径， ，点 是 上的动点， 平面 ，过点 作 ，过点 作 ，连接 . （1）求证： ； （2）求证：平面 平面 ； （3）当 为弧 的中点时，直线 与平面 所成角为 ，求四棱锥 的体积. 【答案】（1）证明见解析； （2）证明见解析； （3）. 【解析】 【分析】（1）由线线垂直证明线面垂直，再证线线垂直即可； （2）由线线垂直到线面垂直，再证明面面垂直； （3）图中有线面垂直，可以利用两个三棱锥的差，来计算所求的四棱锥的体积即可. 【小问1详解】 由于为圆的直径，所以， 因为平面，平面，所以， 又因为平面，所以平面， 又因为平面，所以; 【小问2详解】 由（1）得，，，且平面， 所以平面，又由于平面，那么， 又因为，，平面， 所以平面，又由于平面，那么平面平面； 【小问3详解】 由（2）可知：平面，而直线与平面所成角为， 那么，且， 所以且， 那么 在中，，得， 所以 那么， ，则. 21. 2025年秋天将在天津举办上合组织峰会，为了加深师生对上合峰会的了解，天津某校举办了“上合组织峰会”知识竞赛，并将100名师生的竞赛成绩（满分100分，成绩取整数）分成六段后得到如下频率分布直方图.观察图形信息，回答下列问题： （1）求a的值，并估计本次竞赛成绩的平均分（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； （2）估计这组数据的第75百分位数； （3）用分层抽样的方法在分数落在内的师生中随机抽取一个容量为6的样本，将该样本看成一个总体，从中任取2人，求至多有1人的分数在内的概率. 【答案】（1），71 （2）82分 （3） 【解析】 【分析】（1）利用直方图面积之和为1可计算得出a的值；将每组矩形底边的中点横坐标值乘以对应矩形的面积，将所得结果全加可得出本次考试的平均分； （2）先判断第75百分位数的位置，再根据左边的矩形面积之和为0.75，可求得本次考试成绩的第75百分位数； （3）分析可知，分数在的人数为2，分别记为a、b，分数在的人数为4，分别记为A、B、C、D，列举出所有的基本事件，并确定所求事件所包含的基本事件数，利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率. 【小问1详解】 根据频率分布直方图可知：，即； 估计本次竞赛成绩的平均分为 . 【小问2详解】 由图中前四组面积之和为：， 图中前五组面积之和为：， 故这组数据的第75百分位数在第五组数据中， 设这组数据的第75百分位数为m， 则有， 故，即估计这组数据的第75百分位数为82分； 【小问3详解】 用分层抽样的方法在分数在内的师生中抽取一个容量为6的样本， 其中分数在的人数为2，分别记为a、b，分数在的人数为4，分别记为A，B，C，D 从6人中任取2人，所有的基本事件有：ab、aA、aB、aC、aD、bA、bB、bC、bD、AB、AC、AD、BC、BD、CD，共15种， 其中，事件“从6人中任取2人，至多有1人的分数在内”所包含的基本事件有：ab、aA、aB、aC、aD、bA、bB、bC、bD，共9种， 故所求概率为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $