精品解析：天津市蓟州区上仓中学2025-2026学年第二学期高一年级数学学科阶段性练习（一）

上仓中学2025——2026学年度第二学期高一年级 数学学科阶段性练习（一） 考试时长：100分钟 总分：120分 一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分） 1. 化简：（ ） A. B. C. D. 2. 下列各组向量中，能作为基底的是（ ） A. ＝（0,0），＝（1,1） B. ＝（1,2），＝（－2,1） C. ＝（－3,4），＝（,－） D. ＝（2,6），＝（－1,－3） 3. 某观察站与两灯塔，的距离分别为和，测得灯塔在观察站的北偏东，灯塔在观察站的正西方向，则两灯塔，间的距离为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在中，设，则（ ） A. B. C. D. 5. 在中，，，，则的值及外接圆的半径分别为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 6. 已知向量，向量满足，，则（　　） A. B. C. D. 7. 已知的外接圆圆心为，且，，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 8. 若复数，其中为虚数单位，则下列结论错误的是（ ） A. 在复平面内对应的点在第四象限 B. C. 的共轭复数为 D. 为纯虚数 9. 在中，角所对的边分别是，若角满足，且，则的形状为（ ） A. 直角三角形 B. 等腰非等边三角形 C. 等边三角形 D. 钝角三角形 10. 菱形的边长为，，点在边上（包含端点），则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分） 11. 复数的共轭复数＝______ 12. 在中内角所对的边分别为，且，，，则_____． 13. 已知向量，（），若，则______ 14. 在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知，，，则的面积为________． 15. 已知复平面上平行四边形ABCD的顶点A、B、C的坐标分别为、、，则向量所对应的复数是______． 16. 在平行四边形中，，是的中点，，若设，则可用，表示为__________；若的面积为，则的最小值为________． 三、解答题（共4小题，共50分） 17. 已知向量，满足，，且与的夹角为. （1）分别求与的值； （2）若，求的值. 18. 已知中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． （1）求角A的大小； （2）若，，求c的值． 19. 已知向量，． （1）求的值； （2）求及向量在向量上的投影向量的坐标； （3）若，且、、三点共线，求的值． 20. 已知的内角的对边分别为，向量，且． （1）求； （2）若，求面积的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 上仓中学2025——2026学年度第二学期高一年级 数学学科阶段性练习（一） 考试时长：100分钟 总分：120分 一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分） 1. 化简：（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 利用向量加减法运算性质即可得出． 【详解】解： ． 故选：． 2. 下列各组向量中，能作为基底的是（ ） A. ＝（0,0），＝（1,1） B. ＝（1,2），＝（－2,1） C. ＝（－3,4），＝（,－） D. ＝（2,6），＝（－1,－3） 【答案】B 【解析】 【分析】根据基底的定义判断选项. 【详解】A，零向量与任意向量共线，故不能作为基底； C中，，D中，，向量与共线，不能作为基底； B中与不共线，所以可作为一组基底. 故选：B 3. 某观察站与两灯塔，的距离分别为和，测得灯塔在观察站的北偏东，灯塔在观察站的正西方向，则两灯塔，间的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由题意，△ABC中，AC=300米，BC=500米，∠ACB=120° 利用余弦定理可得：AB2=3002+5002﹣2×300×500×cos120° ∴AB=700米 故选：C 4. 如图，在中，设，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】结合图形由向量的线性运算可得. 【详解】因为， 所以，， 又因为， 所以， 所以， 故选：C. 5. 在中，，，，则的值及外接圆的半径分别为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】由三角形的正弦定理可得，设△ABC的外接圆的半径为R，可得，代入数据计算可得所求值． 【详解】在△ABC中，a=2，A=45°，B=30°， 可得=， 设△ABC的外接圆的半径为R， 可得，即有R=． 故选：B． 6. 已知向量，向量满足，，则（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设出，根据题意利用向量的坐标运算列式运算求解. 【详解】设，则， 由，得， 又，得，即， 联立，解得. . 故选：C. 7. 已知的外接圆圆心为，且，，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由，得是中点，从而得出，，作于，即为向量在向量上的投影向量，设，求出，后可得结论． 【详解】因为，所以是中点，则是圆直径，， 又，所以是等边三角形，， 设， 则，作于，则，所以， 即为向量在向量上的投影向量，． 故选：A． 8. 若复数，其中为虚数单位，则下列结论错误的是（ ） A. 在复平面内对应的点在第四象限 B. C. 的共轭复数为 D. 为纯虚数 【答案】C 【解析】 【分析】先对复数进行除法运算，再结合复数的几何意义、模长、共轭复数、乘方运算逐一判断各选项可得. 【详解】首先利用复数除法运算法则化简： , 对选项A：复数在复平面内对应点为，点位于第四象限，A结论正确； 对选项B：复数模长公式得，所以B结论正确； 对选项C：由共轭复数定义得：复数z的共轭复数为，所以C结论错误； 对选项D：计算得为纯虚数，D结论正确. 9. 在中，角所对的边分别是，若角满足，且，则的形状为（ ） A. 直角三角形 B. 等腰非等边三角形 C. 等边三角形 D. 钝角三角形 【答案】C 【解析】 【分析】由已知可得，由正弦定理可得，根据余弦定理可求，即可判断三角形的形状． 【详解】由题意可知，，则， 因为，所以由正弦定理得， 则由余弦定理得，则， 所以，所以， 故为等边三角形． 故选：C． 10. 菱形的边长为，，点在边上（包含端点），则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设，以为原点，、所在直线为、轴建立直角坐标系，，其中，利用平面向量数量积的坐标运算可得出关于的二次函数关系式，利用二次函数的基本性质可求得的最小值. 【详解】如图：设，因为四边形为菱形，则， 以为原点，、所在直线为、轴建立直角坐标系， 易得，、、， 设，，其中， 则，所以，， ，，， 则， 所以，当时，取最小值． 故选：C. 二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分） 11. 复数的共轭复数＝______ 【答案】 【解析】 【详解】因为， 所以. 12. 在中内角所对的边分别为，且，，，则_____． 【答案】或 【解析】 【分析】根据已知条件和正弦定理可得角，从而得到的值． 【详解】在中由正弦定理可知，所以， 解得，因为为的内角， 所以或， 所以或， 故答案为：或． 13. 已知向量，（），若，则______ 【答案】 【解析】 【分析】利用平面向量共线的坐标表示列方程求解可得. 【详解】由向量，（），且， 由向量共线的条件得 ，解得. 14. 在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知，，，则的面积为________． 【答案】 【解析】 【分析】首先根据余弦定理求出的值，然后根据三角形面积公式求出的面积. 【详解】由余弦定理，， ． ，， ． 故答案为：. 15. 已知复平面上平行四边形ABCD的顶点A、B、C的坐标分别为、、，则向量所对应的复数是______． 【答案】## 【解析】 【分析】由为平行四边形，可得，即可求出，进而可得出答案. 【详解】∵四边形为平行四边形， A、B、C， ∴． 而，， ∴， ∴向量所对应的复数为. 16. 在平行四边形中，，是的中点，，若设，则可用，表示为__________；若的面积为，则的最小值为________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据题意，利用平面向量的线性运算法则，以及向量数量积的运算公式以及模的运算公式，结合基本不等式，即可求解. 【详解】如图所示，根据向量的运算法则， 可得， 设，因为的面积为，可得，即， 又由 ，当且仅当时，等号成立， 所以的最小值为. 故答案为：；. 三、解答题（共4小题，共50分） 17. 已知向量，满足，，且与的夹角为. （1）分别求与的值； （2）若，求的值. 【答案】（1）1， （2） 【解析】 【分析】（1）根据向量数量积定义和向量模的公式求解即可. （2）根据向量垂直，可得到其数量积为0，从而可列出等式求出的值. 【小问1详解】 . . 【小问2详解】 因为， 所以，解得. 18. 已知中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． （1）求角A的大小； （2）若，，求c的值． 【答案】（1） （2）或2 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理进行边化角得到，将转化为，利用两角和的正弦公式计算得解； （2）利用正弦定理得到，从而求出，按照的值分类讨论求解. 【小问1详解】 由，得． 因为， 所以转化为， 所以． 因为，所以．因为，所以． 【小问2详解】 由正弦定理，得． 所以或． ①当时，由，得，所以； ②当时，由，得， 所以． 综上可得或2． 19. 已知向量，． （1）求的值； （2）求及向量在向量上的投影向量的坐标； （3）若，且、、三点共线，求的值． 【答案】（1） （2）5； （3） 【解析】 【分析】（1）首先求出的坐标，再由坐标法求出向量的模； （2）由坐标法求出、，再根据投影向量的定义计算可得； （3）首先求出、的坐标，依题意，根据平面向量共线的坐标表示得到方程，解得即可. 【小问1详解】 ∵，， ∴， ∴； 【小问2详解】 ，， ∴，； 向量在向量上的投影向量为. 【小问3详解】 、、三点共线 ， ， ， ，. 20. 已知的内角的对边分别为，向量，且． （1）求； （2）若，求面积的最大值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用向量垂直的坐标公式和余弦定理，余弦函数的图象即可求得答案； （2）先由（1）的结论和基本不等式推出，利用三角形面积公式即可求得其最大值. 【小问1详解】 因为，所以， 即， 由余弦定理得，因为，所以． 【小问2详解】 由（1）得，即， 当且仅当时，等号成立， 则， 所以当时，面积的最大值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $