模型01 小船渡河模型和关联速度模型 暑假专项训练 -2025-2026学年高一下学期物理人教版必修第二册

**基本信息** 以模型建构为主线，系统整合曲线运动规律、小船渡河、关联速度三大核心模型，通过原理归纳-方法提炼-典例变式的逻辑链条实现专项突破，培养科学思维与运动和相互作用观念。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |曲线运动规律|1典例+2变式|速度方向切线、合力指向凹侧，速率变化由夹角判断|从运动轨迹与力的关系切入，建立曲线运动分析基础| |小船渡河模型|1典例+2变式|时间最短（船头垂直河岸）、位移最短（两类情境）|基于运动合成与分解，区分分运动与合运动的独立性| |关联速度模型|3典例+5变式|合速度分解为沿绳/杆和垂直方向，分量大小相等|从绳/杆约束拓展到接触问题，强化模型迁移应用|

模型01 小船渡河模型和关联速度模型 01 模型归纳 【模型1 曲线运动中速度方向、合力方向与运动轨迹之间的关系】 1．曲线运动中速度方向、合力方向与运动轨迹之间的关系 (1)速度方向与运动轨迹相切； (2)合力方向指向轨迹曲线的“凹”侧； (3)运动轨迹一定夹在速度方向和合力方向之间，且弯向合力方向。 2．合力与速率变化的关系 合力在垂直速度方向上的分力改变速度的方向，在沿速度方向上的分力改变速度的大小，故合力与速率变化的关系为： (1)当合力方向与速度方向的夹角为锐角时，物体的速率增大； (2)当合力方向与速度方向的夹角为钝角时，物体的速率减小； (3)当合力方向与速度方向垂直时，物体的速率不变。 【模型2 小船渡河模型】 小船渡河两类问题、三种情境 渡河时间最短 当船头方向(即v船方向)垂直河岸时，渡河时间最短，最短时间 渡河位移最短 如果v船>v水，当船头方向与上游夹角θ满足时，合速度垂直河岸，渡河位移最短，等于河宽d 如果v船<v水，当船头方向与合速度方向垂直时，渡河位移最短，等于 【模型3 关联速度模型】 模型特点 处理方法 常见模型示例 沿绳(或杆)方向的速度分量大小相等 （1）物体实际速度一定是合速度，分解时两个分速度应沿绳方向和垂直绳方向； （2）由于绳不可伸长，一根绳两端物体沿绳方向的速度分量大小相等 02 模型突破 模型1 曲线运动中速度方向、合力方向与运动轨迹之间的关系 【解题指导】曲线运动的速度方向为该点的切线方向；合力（加速度）方向指向轨迹曲线的内侧；合力在垂直速度方向上的分力改变速度的方向，在沿速度方向上的分力改变速度的大小。 【典例01】（2026·重庆沙坪坝·模拟预测）一辆汽车在水平公路上转弯，沿圆弧从 M 点向 N 点减速行驶，汽车转弯时所受合外力 F 的方向可能是（　 　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】曲线运动的合力方向一定指向轨迹的凹侧，汽车沿圆弧从M向N行驶，轨迹凹侧在左侧，汽车减速行驶，说明合外力与速度方向的夹角为钝角。 故选B 。 【变式1-1】（25-26高一上·河南洛阳·期末）“好雨知时节，当春乃发生。随风潜入夜，润物细无声”是杜甫《春夜喜雨》中描绘春雨的诗句。假设一雨滴从静止开始自由下落一段时间后进入风力稳定的斜风区，继续下落一段时间，随后进入无风区直至落地。若雨滴运动过程中空气阻力可忽略不计，则下列四幅图中最接近雨滴真实运动轨迹的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】雨滴在斜风区受风力与重力，两个力的合力与速度方向不共线，根据曲线运动条件，雨滴在此区域内做曲线运动，且风力与重力合力的方向应该指向运动轨迹曲线内侧，即轨迹向左弯曲；在无风区重力方向与速度方向也不共线，此时雨滴运动轨迹是向下弯曲的曲线。 故选A。 【变式1-2】（2026·重庆沙坪坝·模拟预测）甲为一种称为“魔盘”的娱乐设施，小孩随着“魔盘”绕竖直中心轴沿逆时针方向匀速转动，其运动轨迹的俯视图可简化为如图乙， 点为转盘圆心。突然“魔盘” 停止转动， 此时小孩简化为图乙中的黑点， 则小孩的速度及所受摩擦力的方向为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】速度方向沿圆周的切线方向，若突然“魔盘” 停止转动，则由于惯性，小孩有沿切线方向向前运动的趋势，可知此时受摩擦力方向向后，与速度方向相反。 故选A。 模型2 小船渡河模型 【解题指导】小船渡河问题有两类：一是求渡河时间，二是求渡河位移。无论哪类都必须明确以下四点： (1)解决问题的关键：正确区分分运动和合运动，船的航行方向也就是船头指向，是分运动方向，船的运动方向也就是船的实际运动方向，是合运动方向，一般情况下与船头指向不一致。 (2)运动分解的基本方法：按实际效果分解，一般用平行四边形定则沿水流方向和船头指向分解。 (3)渡河时间只与垂直河岸的船的分速度有关，与水流速度无关。求解渡河时间，一般根据运动的独立性，由t＝＝＝求解。 (4)求最短渡河位移：当水速小于船速时，即为河宽；当水速大于船速时，根据船速v船与水流速度v水的情况用三角形定则求极限的方法处理。 【典例02】（25-26高一上·陕西安康·期末）解放军某部在某次登岛演习过程中，要渡过一条宽度为的小河。已知船在静水中的速率恒为，水流速率为，则下列说法正确的是（　　） A．船渡河的最短时间为，此时的航线是曲线 B．船渡河的最短时间为，此时的航线是直线 C．船渡河的最短航程为，此时船头指向上游 D．在船不改变船头方向的情况下，如果河水流速增大，渡河时间会变长 【答案】B 【详解】AB．当船头垂直于正对岸时，船渡河时间最短，则船渡河的最短时间为，因船沿垂直河岸方向和平行河岸方向均做匀速运动，则合运动为直线运动，此时的航线是直线，A错误，B正确； C．当船在静水中的速率大于水流速率时，船渡河的最短航程为，此时船头指向上游，当船在静水中的速率小于水流速率时，船不能垂直河岸渡河，则渡河的最短航程大于，C错误； D．船渡河的时间只与船沿垂直河岸方向的分速度有关，与河水流速无关，则在船不改变船头方向的情况下，如果河水流速增大，渡河时间不变，D错误。 故选B。 【变式2-1】（多选）（24-25高一上·湖北恩施·期末）甲乙两人架着简易渔船在一条宽为120m、水流速度为10m/s、河岸平直的河中捕鱼，某时刻乙在河正中央的Q点，甲在河岸边的P点，现乙的渔船在Q点出现故障无法移动，面临危险，甲观察到乙的异常后，决定从P点出发沿直线PQ去营救（不考虑甲船在Q处的停留时间）并将人安全送到对岸，现已知甲船在静水中的行驶速度为8m/s，河水流速处处相等且平行于河岸，P、Q两点沿河岸方向的间距为80m。下列说法正确的是（　　） A．要将乙安全送到对岸甲行驶的最短路程为175m B．甲至少需要15s才能将人安全送到对岸 C．甲将乙以最短路程送到对岸后可原路返回 D．若甲船在静水中的行驶速度可调，要使甲沿直线运动到乙，其在静水中的速度至少为6m/s 【答案】AD 【详解】A．从P到Q直线距离最短为 由于甲船在静水中的行驶速度小于水流速度，所以从Q到对岸不能垂直过河，此时合速度只能与船速垂直，按如图所示方式过河 其中 解得 故最短路程 A正确； B．若甲船船头一直垂直岸行驶，则到达对岸时间 由于从P到Q船垂直岸的速度小于船在静水中的行驶速度，故船在河中行驶时间将大于15s，故B错误； C．由于船速小于水速，船不可能原路返回，故C错误； D．船速可调时，当v船与实际速度垂直时，v船最小，有 求得 故D正确。 故选AD。 【变式2-2】（25-26高一上·山东烟台·期末）河水流速与离河岸一侧的距离d的变化关系如图甲所示，船在静水中的速度与时间t的变化关系如图乙所示，若要使船以最短时间渡河，下列说法中正确的是（　　） A．船在河水中做直线运动 B．船渡河的最短时间是50s C．船渡河时最大速度为 D．船在行驶过程中，船头不必始终与河岸垂直 【答案】C 【详解】船渡河时间由船在静水中的速度决定,要使船以最短时间渡河, 船头必须始终与河岸垂直，船一方面以沿垂直于河岸方向做匀速直线运动，另一方面沿河岸随水流以做变速运动，有沿河岸方向的加速度，而由速度合成的平行四边形定则知（合）速度斜向下游，故船在河水中做曲线运动 船渡河的最短时间为 船到河中央时水速最大，合速度最大为 故选C。 模型3 关联速度模型 【解题指导】1．思路与方法： (1)明确研究对象：绳(或杆)连接的物体，或绳(或杆)的端点。 (2)明确合运动与分运动 合速度→物体的实际运动速度v（将合速度沿绳或杆和垂直绳或杆进行分解） (3)明确等量关系：沿绳(或杆)方向的分速度大小相等。 2．【模型拓展】若两物体运动过程中不是通过绳或杆连接，而是直接接触，则两物体在垂直接触面方向的分速度相等。 【类型1 绳连接的关联速度】 【典例03】（25-26高一上·山东枣庄·期末）如图所示，轻质细绳绕过光滑定滑轮，一端系着质量为的重物，人拉着另一端以速度沿水平地面向左匀速移动。经过图示位置时，细绳与水平方向的夹角为。在人匀速移动过程中，下列说法正确的是（　　） A．重物处于超重状态 B．重物以速度匀速上升 C．重物受到细绳的拉力可能等于它的重力 D．当时，人与重物的速度大小之比为2∶1 【答案】A 【详解】将人的速度分解为沿细绳方向和垂直细绳方向，重物的速度等于沿绳方向的速度，则有 ABC．由于人向左以速度匀速移动过程，逐渐减小，逐渐增大，则重物向上做加速运动；加速度向上，所以重物处于超重状态；根据牛顿第二定律可知，重物受到细绳的拉力一定大于它的重力，故A正确，BC错误； D．当时， 人与重物的速度大小之比为，故D错误。 故选A。 【变式3-1】（25-26高一下·河南漯河·期中）如图所示，物体A、B放在等高的水平桌面上，用轻绳连接后跨过光滑的定滑轮，重球C用一小段轻绳拴接后系于水平绳的点，某时刻重球C的速度方向竖直向下，此时左侧轻绳与水平方向的夹角为，右侧轻绳与水平方向的夹角为，且两侧轻绳均处于绷紧状态。此时物体A、B的速度大小之比为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设O点的速度大小为，O点此时速度方向竖直向下，将O点的速度分解到左绳方向和右绳方向。由于绳子不可伸长，A的速度大小等于O点沿左绳方向的分速度，B的速度大小等于O点沿右绳方向的分速度。左绳与水平方向夹角为，因此O点速度沿左绳方向的分速度 右绳与水平方向夹角为，因此O点速度沿右绳方向的分速度 则物体A、B的速度大小之比为 即 故选D。 【变式3-2】（25-26高一下·安徽滁州·期中）如图所示，细线一端固定在天花板上，另一端连接在物块上，用水平铅笔与细线接触，开始铅笔上端细线竖直，现使铅笔以速度v水平向右匀速平移，运动中连接物块的细线始终水平，铅笔与铅笔两边细线所在竖直面始终垂直，当细线与竖直方向夹角为时，物块的速度大小（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】对线与铅笔接触点的速度分解，当连接天花板的细线与竖直方向夹角为θ时， 线与铅笔接触点的速度沿倾斜绳方向的分速度大小等于vsinθ，此时物块的速度大小 故选B。 【类型2 杆连接的关联速度】 【典例04】如图所示，工人将一根长为的电线杆倾斜一定角度，端触地（始终不滑动），电线杆上的点靠在一梯子上，离地高度为，此时电线杆与水平方向的夹角为，若某时刻突然使电线杆上的点获得一水平向右、大小为的速度，则此时点线速度为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】将电线杆点的线速度分解为竖直向上的分速度和水平向右的分速度，如图所示 则有 根据几何关系可得 又因同一物体的角速度相等，则有 联立解得此时点线速度为 故选B。 【变式4-1】（25-26高一下·福建福州·期中）如图所示，机械手臂由两根长度分别为和的刚性杆件、组成，、、处分别装有三个铰链，且处铰链固定在地面上，处铰链连接在可移动的木块上。木块沿水平方向以的速度向右匀速运动，某时刻杆与杆垂直，杆与水平面成角，下列说法正确的是（　　） A．速度方向水平向右 B．速度方向竖直向下 C．速度大小为 D．杆转动的角速度为 【答案】C 【详解】AB．点绕固定点做圆周运动，其速度的方向垂直于杆。已知，且与水平面成角，根据几何关系可知杆与水平面成角，因此的方向与水平面成角（即沿杆方向），故AB错误； C．根据刚性杆的运动特性，杆两端点、沿杆方向的分速度相等。点速度水平向右，其沿杆方向的分速度为 由于且，可知的方向平行于杆，即的大小等于其沿杆方向的分速度。故有：，故C正确； D．杆转动的角速度满足 代入数据得：，故D错误。 故选C。 【变式4-2】（25-26高一下·广西南宁·期中）图甲为《天工开物》记载的“水碓”装置图，其简化原理图如图乙所示，水流冲击水轮，拨板随主轴绕做圆周运动，拨板拨动碓杆使碓杆绕转轴逆时针转动，拨板脱离碓杆尾端后碓头借重力下落，撞击臼中谷物。若主轴匀速转动的角速度为，，，当拨板与水平方向的角度为时，碓头B的线速度大小为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】令碓杆绕O点转动的角速度为，由题意可知，拨板与碓杆尾部接触点A在垂直于碓杆方向速度相等，有 则碓头B线速度 联立解得 故选B。 【类型3 其他关联速度】 【典例05】（25-26高一上·江苏南京·期末）如图所示，某同学将激光笔放置在水平地面上，为使亮点沿竖直墙面匀速上升，则原地转动激光笔的角速度应（　　） A．保持不变 B．逐渐变大 C．逐渐变小 D．无法确定 【答案】C 【详解】设激光笔到竖直墙面的距离为，为使亮点沿竖直墙面匀速上升，如图所示 则有， 可得 由于逐渐增大，可知原地转动激光笔的角速度应逐渐变小。 故选C。 【变式5-1】（24-25高一下·河南商丘·阶段检测）如图所示，轻杆OA可绕O点自由转动，A端连接一大小不计的小球，小球始终与箱子B的左侧壁接触，已知杆长为L，不计一切摩擦。若B以速度为v向右匀速直线运动，当杆与水平面的夹角为α时，此时杆的转动角速度为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】将图中A点的速度分解，根据运动的合成与分解可知，接触点A的实际运动、即合运动为在A点垂直于杆的方向的运动，该运动由水平向右的分速度和竖直向下的分速度组成，而垂直接触面的速度相等，所以， 解得，故选C。 【变式5-2】（2026·陕西榆林·模拟预测）如图所示，匀质小球放置在斜面体与竖直墙壁间，斜面与竖直方向的夹角为，小球沿着墙壁下滑，斜面体沿着水平面向左运动。不计一切摩擦，某时刻小球与斜面、墙面未分离，小球的速度为，此时斜面体的速度大小为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】小球的速度分解为垂直斜面方向和沿斜面方向，有， 设斜面体的速度为v，将斜面体的速度分解为垂直斜面方向和沿斜面方向，有， 由于小球和斜面体没有分离，所以垂直斜面方向的速度大小相等，也就是 整理有 解得 故选A。 03 综合素养提升 1．刺猬的“棘”常常用作防御，但有时也会发挥“运输功能”，如图所示为一只刺猬驮着草莓在平直路面沿直线行走的情景，下列关于这颗草莓的受力分析图不可能的是（其中为刺猬的棘对草莓的作用力，为草莓受到的重力，不考虑阻力）（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】A．由图可知，根据平行四边形定则，可知F与G的合力方向可能沿水平向右，与速度v的方向相同，故刺猬有可能做匀加速直线运动，故A可能，不符合题意； B．由图可知，F与G有可能平衡，则合力为零，故刺猬有可能做匀速直线运动，故B可能，不符合题意； C．由图可知，根据平行四边形定则，可知F与G的合力方向沿斜右下方，与速度v的方向存在一定的夹角，故刺猬做曲线运动，不可能做直线运动，故C不可能，符合题意； D．由图可知，根据平行四边形定则，可知F与G的合力方向可能沿水平向左，与速度v的方向相反，故刺猬做匀减速直线运动，故D可能，不符合题意。 本题选不可能的，故选C。 2．2025年9月的长春航展中，“红鹰”飞行表演队使用两架教练机上演“双机比心”的经典一幕。如图所示，两架飞机分别沿各自轨迹从a点运动到b点，则两架飞机在飞行过程中（　　） A．速度可能不变 B．加速度可能不变 C．两架飞机在b点的速度可能相同 D．两架飞机飞行的路程可能相同 【答案】D 【详解】A．两架飞机在飞行过程中做曲线运动，速度方向时刻发生变化，所以速度一定发生变化，故A错误； B．根据曲线运动加速度方向位于轨迹的凹侧，由图中轨迹可知，加速度方向不可能不变，则加速度一定发生变化，故B错误； C．两架飞机沿不同轨迹到达b点，在b点的速度沿各自轨迹的切线方向，方向一定不同，因此速度不可能相同，故C错误； D．路程是运动轨迹的长度，两架飞机飞行的路程可能相同，故D正确。 故选D。 3．如图甲所示为健身房里用来拉伸的器械，可简化成图乙，一不可伸长轻绳两端各连接质量相同的配重块，初始时PQ水平，拉杆通过不可伸长的轻绳固定在PQ的中点O处，健身运动员用双手给拉杆一个竖直向下的恒力，将结点O拉至最低点O'处，整个过程配重块上升了20cm，拉杆下降了40cm，则此时把手与配重块的加速度大小之比为（　　） A．4：5 B．5：4 C．3：5 D．6：5 【答案】B 【详解】设的距离为，由几何知识可得 解得 根据几何关系可知，结点位于最低点处时，左右两段细绳与竖直方向夹角均满足 可得 由于最低点O'处把手的速度为0，则把手沿绳子方向的分加速度大小等于配重块的加速度大小；则有 可得把手与配重块的加速度大小之比为 故选B。 4．如图所示，一块橡皮用细线悬挂于点，现用一支铅笔在点顶着细线的左侧水平向右以速度匀速移动，运动过程中保持悬挂橡皮的那段细线始终保持竖直。若段细线与竖直方向夹角为，则在铅笔未碰到橡皮前，下列说法正确的是（    ） A．橡皮的运动轨迹是一条直线 B．橡皮受到细线拉力等于其重力 C．橡皮竖直方向的分速度大小为 D．橡皮的实际速度大小为 【答案】C 【详解】A．橡皮水平方向随铅笔以速度匀速运动，竖直方向分速度，随铅笔右移逐渐增大，故逐渐增大，竖直方向存在加速度，合加速度与合速度方向不共线，橡皮运动轨迹为曲线，A错误； B．橡皮竖直方向做加速运动，合力向上，故细线拉力大于橡皮重力，B错误； C．沿细线方向的分速度为，即橡皮竖直方向的分速度大小为，C正确； D．橡皮实际速度为水平分速度与竖直分速度的合速度，大小为，D错误。 故选 C。 5．马刀锯是一种木匠常用的电动工具。其内部安装了特殊的传动装置，简化后如图所示，可以将电动机的转动转化为锯条的往复运动。电动机带动圆盘O转动，圆盘O上的凸起P在转动的过程中带动锯条左右往复运动。已知电动机正在顺时针转动，转速n=2400r/min，OP=2cm。某时刻OP与锯条运动方向的夹角θ=37°，下列说法正确的是（     ） A．此时锯条向右运动 B．此时锯条的速度大小约为5 m/s C．OP从图示位置转过30°的过程中，锯条的速度减小 D．锯条往复运动的周期是40s 【答案】A 【详解】转速 角速度， 点线速度： A．圆盘顺时针转动，点线速度沿圆周切线斜向右上，将沿平行锯条、垂直锯条分解，平行锯条分速度向右，因此锯条向右运动，A正确。 B．如图 锯条速度是沿锯条方向的分速度：，B错误。 C．从图示位置顺时针转过，变大、变大，变大，锯条速度增大，C错误。 D．周期 ，D错误。 故选A。 6．某河水的流速与离某一侧河岸距离的变化关系如图1所示，船在静水中的速度与时间的关系如图2所示，该河宽为。假设渡河过程中船在河中任意位置沿河流方向的速度与河水流速相等，要使船以最短时间渡河，下列说法正确的是（    ） A．船渡河的最短时间是150s B．船沿河流方向的位移为200m C．船沿河岸方向的加速度大小先增大后减小 D．船在河水中的最大速度是 【答案】B 【详解】A．最短渡河时间 ，故A错误； B．垂直河岸方向满足，因此离河岸距离与时间成正比，水流速度随的变化等价于随的变化； 沿河岸位移等于图像的面积，为三角形，面积，故B正确； C．前50s随线性增大，后50s随线性减小，加速度，大小始终恒定，故C错误； D．船速是水流速度和船静水速度的合速度，两个方向垂直，最大合速度出现在最大时：，故D错误。 故选B。 7．某航模兴趣小组的同学在练江水域进行遥控小船渡河实验。已知练江水自西向东匀速流动，小船相对静水的速度大小保持不变，船头朝向固定。关于小船渡河过程，下列说法正确的是（注：图中实线为河岸，为水流速度，为船的静水速度）（     ） A．图甲中，小船的船头垂直河岸，可在正对岸码头靠岸 B．图乙中，小船的船头垂直河岸，渡河时间最短，且一定满足 C．图丙中，小船的船头朝向上游，且，可使渡河位移最短 D．图丁中，小船的实际航线可能如图中曲线所示 【答案】C 【详解】A．水流会使小船产生向东的分速度，即使船头正对河岸，实际航线也会偏向下游，无法到达正对岸码头，故A错误； B．小船的船头正对河岸，渡河时间最短，水流会使小船产生向东的分速度，实际航线会偏向下游；但无法通过该航线判断船速和水速的大小，故B错误； C．船头朝向上游，且，若船速沿河岸方向的分速度与水流速度大小相等、方向相反，合速度可垂直河岸，此时渡河位移等于河宽，为最短位移，故C正确； D．船头朝向固定，小船相对静水的速度与水流速度均恒定，小船的合速度大小和方向均不发生变化，小船做匀速直线运动，航线是直线，故D错误。 故选C。 8．如图所示，质量为m、倾角为60°的斜面体放在水平面上，质量也为m的均质球夹在斜面和竖直墙面之间，水平外力作用在斜面体上，球和斜面体处于静止状态，斜面体对墙面的作用力为零，不计一切摩擦，重力加速度为g，则下列说法正确的是（    ） A．水平外力的大小为 B．水平外力的大小为 C．撤去外力，球向下运动过程中，球与斜面体运动的速度大小之比为 D．撤去外力，球向下运动过程中，球与斜面体运动的速度大小之比为 【答案】C 【详解】AB．对斜面体受力分析，根据平衡条件，水平方向则有 解得，故AB错误； CD．撤去外力，球向下运动的过程中，设球的速度大小为，斜面体的速度大小为，根据运动的分解可得 解得，故C正确，D错误。 故选C。 9．如图所示，倾角为α的斜面A放置在水平面上，细线一端固定于墙面，另一端跨过斜面顶端的小滑轮与物块B相连，滑轮左侧的细线水平，右侧的细线与斜面平行。在外力F作用下A向右滑动，当A的速度为时，B的速度为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设极短时间内，斜面向右移动的距离为x，B水平方向位移为 竖直方向位移为 水平方向分速度可表示为 竖直方向分速度可表示为 又 解得 故选A。 10．在探究运动的合成和分解时，甲、乙同学分别握住晾衣绳两端，在同一水平面以相同速率v匀速靠近，晾衣绳与竖直方向的夹角逐渐减小。则晾衣架向下（　　） A．匀速 B．减速 C．加速 D．先加速后减速 【答案】B 【详解】将v沿绳和垂直于绳的方向分解，将晾衣架向下的速度沿绳和垂直于绳的方向分解，因绳长不变，故 解得 逐渐减小，则减小 故选B。 11．如图所示，将四根相同的木片两两交叠，再用钉子钉入木片交叠处，使木片连成一个菱形。木片厚度、宽度和钉子的半径都可忽略不计，每根钉子的位置可近似认为在木片的端点。使钉子a固定不动，并使钉子c从图示位置开始以恒定速率v沿ac连线向钉子a靠拢。当钉子a、c间的距离刚好等于每根木片的长度时，钉子b的速度大小是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设每根木片长度为l，当ac=l时，菱形边长均为l，因此△abc为等边三角形，，b点同时是杆ab和杆bc的端点 杆ab长度不变，a固定，因此b点相对于a沿杆ab方向的分速度为0，b点速度方向垂直于杆ab，杆bc长度不变，因此b和c沿杆bc方向的分速度大小相等 已知c的速度大小为v，方向沿ac向a运动，先计算c沿杆bc方向的分速度： bc与ac夹角为，因此c沿bc方向分速度为 由△abc为等边三角形，，可得与bc杆的夹角为，因此b沿bc方向的分速度为 解得 故选A。 12．如图，有一平行河岸，两岸间距。由于河床底部沉积状态不同，河岸中间形成了宽度相同、流速不同的两个区域Ⅰ和Ⅱ．区域Ⅰ的水速大小，区域Ⅱ的水速大小，方向均平行河岸向右。小船相对静水速度大小一直是。时刻，小船从点开始渡河，点为对岸上的点，且、连线与河岸垂直。下列说法正确的是（　　） A．小船能够沿直线从点运动到点 B．小船的最短过河时间为 C．若小船以最短位移过Ⅰ区域，则小船过Ⅰ区域的时间为 D．小船过Ⅱ区域的最短位移为 【答案】C 【详解】A．由于，可知，沿河岸的分速度能够恰好与大小相等，方向相反，此时小船的合速度方向垂直于河岸，即小船在区域Ⅰ能够从点垂直于河岸运动。由于，可知，沿河岸的分速度大小小于，此时小船的合速度方向不可能垂直于河岸，即小船在区域Ⅱ不能够垂直于河岸运动，即小船不能够沿直线从点运动到点，故A错误； B．当船头指向垂直于河岸时，渡河时间最短，可知，故B错误； C．结合上述可知，小船在区域I内以最短位移过河时，船的合速度垂直河岸，大小为 渡河时间，故C正确； D．若小船能够从点运动到点，令船头指向与河岸夹角为，则小船在区域运动到河岸中间（虚线）位置进入区域Ⅱ的合速度方向一定指向点，根据速度合成规律，利用辅助圆，作出动态三角形，如图所示。当的方向与合速度方向垂直时，运动路程最短，根据几何关系： 解得，故D错误。 故选C。 13．（多选）机械设计中有许多精妙的设计，如图所示为一种将圆周运动转化为一条直线上往复运动的设计。沿竖直面内圆轨道做匀速圆周运动的小球与圆心间相距，通过有转轴的连杆与物块相连，物块穿在水平杆上，水平杆的延长线通过圆心。已知小球做匀速圆周运动的角速度为，杆与水平杆夹角为。下列说法正确的是（     ） A．物块速度一直小于小球的速度 B．当垂直于时，物块运动的速率为 C．当垂直于时，物块的速率为 D．物块的运动范围与杆长度无关 【答案】CD 【详解】A．物块速度和小球的速度可能相等，在最高点和最低点，小球的速度方向水平，与杆之间的夹角与物块与杆之间的夹角相等，二者沿杆方向的速度相等，可知此时二者速度相等，故物块速度不一定一直小于小球的速度，故A错误； B．当垂直于时，物块运动的速率满足 解得，故B错误； C．当垂直于时，在最高点和最低点，此时二者速度大小相同，物块的速率为，故C正确； D．小球在最右时，物块到圆心的距离为 小球在最左时，物块到圆心的距离为 可知物块的运动范围为，与杆长度无关，故D正确。 故选CD。 14．（多选）如图所示，在一条宽、水流速度为的河流的岸边有甲、乙两条小船，两船的出发点相距，甲船在静水中的速度为，乙船在静水中的速度为，某时刻甲、乙两船同时出发，甲船沿时间最短的路径运动，乙船沿垂直河岸的路径运动，两侧河岸平行，则下列说法正确的是（　　） A．甲船过河所用时间更短 B．甲、乙两船过河经过的路程之比为 C．甲、乙两船在运动过程中可能相撞 D．甲、乙两船在运动过程中会相撞 【答案】AB 【详解】A．由题意可知，甲船应船头垂直河岸过河，乙船应合速度垂直河岸过河。则甲船过河用时为 乙船过河用时为 所以甲船过河所用时间更短，故A正确； B．甲船过河的路程为 乙船过河的路程为 所以甲、乙两船过河经过的路程之比为，故B正确； CD．甲船从出发开始沿河岸运动20m的时间为 此时甲船垂直河岸的位移为 此时乙船垂直河岸的位移为 所以甲、乙两船在运动过程中不会相撞，故CD 错误。 故选AB。 15．（多选）在某次抗洪抢险中，武警战士欲驾驶冲锋舟从处横渡一条宽为的河流，处下游有一山体滑坡造成的障碍区域，距离河岸最远距离为，处与障碍区域边缘距离为，如图所示。已知水流速度为，战士驾驶冲锋舟的速度（即冲锋舟相对静水的速度）恒定且最大可达，冲锋舟可视为质点，下列说法正确的是（     ） A．渡河的最短时间为 B．渡河的最小位移为 C．能够安全渡河冲锋舟的最小速度为 D．冲锋舟以最小速度安全渡河时位移大小为 【答案】AC 【详解】A．若船头垂直河岸渡河，且取冲锋舟的最大速度时，渡河时间最短，满足 该渡河过程中，冲锋舟沿垂直河岸方向前进所需要的时间为 冲锋舟沿河岸方向往下游运动的距离为 可知船头垂直河岸渡河，冲锋舟可避免进入山体滑坡造成的障碍区域，故渡河的最短时间为，故A正确； B．当冲锋舟在静水中的速度与渡河速度（合速度）垂直时渡河位移最小，如图所示 取冲锋舟的最大速度，由几何关系可知冲锋舟的合速度方向与河岸夹角满足 解得 可知该情况下，冲锋舟不会进入山体滑坡造成的障碍区域，冲锋舟最小位移为 解得，故B错误； CD．当冲锋舟从障碍物边缘经过且船在静水中的速度与船渡河速度垂直时冲锋舟的速度最小，如图所示 由几何关系可知冲锋舟的合速度方向与河岸夹角满足 解得 故能够安全渡河冲锋舟的最小速度满足 解得 冲锋舟以最小速度安全渡河时位移大小为 解得，故C正确，D错误。 故选AC。 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $ 模型01 小船渡河模型和关联速度模型 01 模型归纳 【模型1 曲线运动中速度方向、合力方向与运动轨迹之间的关系】 1．曲线运动中速度方向、合力方向与运动轨迹之间的关系 (1)速度方向与运动轨迹相切； (2)合力方向指向轨迹曲线的“凹”侧； (3)运动轨迹一定夹在速度方向和合力方向之间，且弯向合力方向。 2．合力与速率变化的关系 合力在垂直速度方向上的分力改变速度的方向，在沿速度方向上的分力改变速度的大小，故合力与速率变化的关系为： (1)当合力方向与速度方向的夹角为锐角时，物体的速率增大； (2)当合力方向与速度方向的夹角为钝角时，物体的速率减小； (3)当合力方向与速度方向垂直时，物体的速率不变。 【模型2 小船渡河模型】 小船渡河两类问题、三种情境 渡河时间最短 当船头方向(即v船方向)垂直河岸时，渡河时间最短，最短时间 渡河位移最短 如果v船>v水，当船头方向与上游夹角θ满足时，合速度垂直河岸，渡河位移最短，等于河宽d 如果v船<v水，当船头方向与合速度方向垂直时，渡河位移最短，等于 【模型3 关联速度模型】 模型特点 处理方法 常见模型示例 沿绳(或杆)方向的速度分量大小相等 （1）物体实际速度一定是合速度，分解时两个分速度应沿绳方向和垂直绳方向； （2）由于绳不可伸长，一根绳两端物体沿绳方向的速度分量大小相等 02 模型突破 模型1 曲线运动中速度方向、合力方向与运动轨迹之间的关系 【解题指导】曲线运动的速度方向为该点的切线方向；合力（加速度）方向指向轨迹曲线的内侧；合力在垂直速度方向上的分力改变速度的方向，在沿速度方向上的分力改变速度的大小。 【典例01】（2026·重庆沙坪坝·模拟预测）一辆汽车在水平公路上转弯，沿圆弧从 M 点向 N 点减速行驶，汽车转弯时所受合外力 F 的方向可能是（　 　） A． B． C． D． 【变式1-1】（25-26高一上·河南洛阳·期末）“好雨知时节，当春乃发生。随风潜入夜，润物细无声”是杜甫《春夜喜雨》中描绘春雨的诗句。假设一雨滴从静止开始自由下落一段时间后进入风力稳定的斜风区，继续下落一段时间，随后进入无风区直至落地。若雨滴运动过程中空气阻力可忽略不计，则下列四幅图中最接近雨滴真实运动轨迹的是（　　） A． B． C． D． 【变式1-2】（2026·重庆沙坪坝·模拟预测）甲为一种称为“魔盘”的娱乐设施，小孩随着“魔盘”绕竖直中心轴沿逆时针方向匀速转动，其运动轨迹的俯视图可简化为如图乙， 点为转盘圆心。突然“魔盘” 停止转动， 此时小孩简化为图乙中的黑点， 则小孩的速度及所受摩擦力的方向为（　　） A． B． C． D． 模型2 小船渡河模型 【解题指导】小船渡河问题有两类：一是求渡河时间，二是求渡河位移。无论哪类都必须明确以下四点： (1)解决问题的关键：正确区分分运动和合运动，船的航行方向也就是船头指向，是分运动方向，船的运动方向也就是船的实际运动方向，是合运动方向，一般情况下与船头指向不一致。 (2)运动分解的基本方法：按实际效果分解，一般用平行四边形定则沿水流方向和船头指向分解。 (3)渡河时间只与垂直河岸的船的分速度有关，与水流速度无关。求解渡河时间，一般根据运动的独立性，由t＝＝＝求解。 (4)求最短渡河位移：当水速小于船速时，即为河宽；当水速大于船速时，根据船速v船与水流速度v水的情况用三角形定则求极限的方法处理。 【典例02】（25-26高一上·陕西安康·期末）解放军某部在某次登岛演习过程中，要渡过一条宽度为的小河。已知船在静水中的速率恒为，水流速率为，则下列说法正确的是（　　） A．船渡河的最短时间为，此时的航线是曲线 B．船渡河的最短时间为，此时的航线是直线 C．船渡河的最短航程为，此时船头指向上游 D．在船不改变船头方向的情况下，如果河水流速增大，渡河时间会变长 【变式2-1】（多选）（24-25高一上·湖北恩施·期末）甲乙两人架着简易渔船在一条宽为120m、水流速度为10m/s、河岸平直的河中捕鱼，某时刻乙在河正中央的Q点，甲在河岸边的P点，现乙的渔船在Q点出现故障无法移动，面临危险，甲观察到乙的异常后，决定从P点出发沿直线PQ去营救（不考虑甲船在Q处的停留时间）并将人安全送到对岸，现已知甲船在静水中的行驶速度为8m/s，河水流速处处相等且平行于河岸，P、Q两点沿河岸方向的间距为80m。下列说法正确的是（　　） A．要将乙安全送到对岸甲行驶的最短路程为175m B．甲至少需要15s才能将人安全送到对岸 C．甲将乙以最短路程送到对岸后可原路返回 D．若甲船在静水中的行驶速度可调，要使甲沿直线运动到乙，其在静水中的速度至少为6m/s 【变式2-2】（25-26高一上·山东烟台·期末）河水流速与离河岸一侧的距离d的变化关系如图甲所示，船在静水中的速度与时间t的变化关系如图乙所示，若要使船以最短时间渡河，下列说法中正确的是（　　） A．船在河水中做直线运动 B．船渡河的最短时间是50s C．船渡河时最大速度为 D．船在行驶过程中，船头不必始终与河岸垂直 模型3 关联速度模型 【解题指导】1．思路与方法： (1)明确研究对象：绳(或杆)连接的物体，或绳(或杆)的端点。 (2)明确合运动与分运动 合速度→物体的实际运动速度v（将合速度沿绳或杆和垂直绳或杆进行分解） (3)明确等量关系：沿绳(或杆)方向的分速度大小相等。 2．【模型拓展】若两物体运动过程中不是通过绳或杆连接，而是直接接触，则两物体在垂直接触面方向的分速度相等。 【类型1 绳连接的关联速度】 【典例03】（25-26高一上·山东枣庄·期末）如图所示，轻质细绳绕过光滑定滑轮，一端系着质量为的重物，人拉着另一端以速度沿水平地面向左匀速移动。经过图示位置时，细绳与水平方向的夹角为。在人匀速移动过程中，下列说法正确的是（　　） A．重物处于超重状态 B．重物以速度匀速上升 C．重物受到细绳的拉力可能等于它的重力 D．当时，人与重物的速度大小之比为2∶1 【变式3-1】（25-26高一下·河南漯河·期中）如图所示，物体A、B放在等高的水平桌面上，用轻绳连接后跨过光滑的定滑轮，重球C用一小段轻绳拴接后系于水平绳的点，某时刻重球C的速度方向竖直向下，此时左侧轻绳与水平方向的夹角为，右侧轻绳与水平方向的夹角为，且两侧轻绳均处于绷紧状态。此时物体A、B的速度大小之比为（　　） A． B． C． D． 【变式3-2】（25-26高一下·安徽滁州·期中）如图所示，细线一端固定在天花板上，另一端连接在物块上，用水平铅笔与细线接触，开始铅笔上端细线竖直，现使铅笔以速度v水平向右匀速平移，运动中连接物块的细线始终水平，铅笔与铅笔两边细线所在竖直面始终垂直，当细线与竖直方向夹角为时，物块的速度大小（　　） A． B． C． D． 【类型2 杆连接的关联速度】 【典例04】如图所示，工人将一根长为的电线杆倾斜一定角度，端触地（始终不滑动），电线杆上的点靠在一梯子上，离地高度为，此时电线杆与水平方向的夹角为，若某时刻突然使电线杆上的点获得一水平向右、大小为的速度，则此时点线速度为（     ） A． B． C． D． 【变式4-1】（25-26高一下·福建福州·期中）如图所示，机械手臂由两根长度分别为和的刚性杆件、组成，、、处分别装有三个铰链，且处铰链固定在地面上，处铰链连接在可移动的木块上。木块沿水平方向以的速度向右匀速运动，某时刻杆与杆垂直，杆与水平面成角，下列说法正确的是（　　） A．速度方向水平向右 B．速度方向竖直向下 C．速度大小为 D．杆转动的角速度为 【变式4-2】（25-26高一下·广西南宁·期中）图甲为《天工开物》记载的“水碓”装置图，其简化原理图如图乙所示，水流冲击水轮，拨板随主轴绕做圆周运动，拨板拨动碓杆使碓杆绕转轴逆时针转动，拨板脱离碓杆尾端后碓头借重力下落，撞击臼中谷物。若主轴匀速转动的角速度为，，，当拨板与水平方向的角度为时，碓头B的线速度大小为（　　） A． B． C． D． 【类型3 其他关联速度】 【典例05】（25-26高一上·江苏南京·期末）如图所示，某同学将激光笔放置在水平地面上，为使亮点沿竖直墙面匀速上升，则原地转动激光笔的角速度应（　　） A．保持不变 B．逐渐变大 C．逐渐变小 D．无法确定 【变式5-1】（24-25高一下·河南商丘·阶段检测）如图所示，轻杆OA可绕O点自由转动，A端连接一大小不计的小球，小球始终与箱子B的左侧壁接触，已知杆长为L，不计一切摩擦。若B以速度为v向右匀速直线运动，当杆与水平面的夹角为α时，此时杆的转动角速度为（　　） A． B． C． D． 【变式5-2】（2026·陕西榆林·模拟预测）如图所示，匀质小球放置在斜面体与竖直墙壁间，斜面与竖直方向的夹角为，小球沿着墙壁下滑，斜面体沿着水平面向左运动。不计一切摩擦，某时刻小球与斜面、墙面未分离，小球的速度为，此时斜面体的速度大小为（　　） A． B． C． D． 03 综合素养提升 1．刺猬的“棘”常常用作防御，但有时也会发挥“运输功能”，如图所示为一只刺猬驮着草莓在平直路面沿直线行走的情景，下列关于这颗草莓的受力分析图不可能的是（其中为刺猬的棘对草莓的作用力，为草莓受到的重力，不考虑阻力）（　　） A． B． C． D． 2．2025年9月的长春航展中，“红鹰”飞行表演队使用两架教练机上演“双机比心”的经典一幕。如图所示，两架飞机分别沿各自轨迹从a点运动到b点，则两架飞机在飞行过程中（　　） A．速度可能不变 B．加速度可能不变 C．两架飞机在b点的速度可能相同 D．两架飞机飞行的路程可能相同 3．如图甲所示为健身房里用来拉伸的器械，可简化成图乙，一不可伸长轻绳两端各连接质量相同的配重块，初始时PQ水平，拉杆通过不可伸长的轻绳固定在PQ的中点O处，健身运动员用双手给拉杆一个竖直向下的恒力，将结点O拉至最低点O'处，整个过程配重块上升了20cm，拉杆下降了40cm，则此时把手与配重块的加速度大小之比为（　　） A．4：5 B．5：4 C．3：5 D．6：5 4．如图所示，一块橡皮用细线悬挂于点，现用一支铅笔在点顶着细线的左侧水平向右以速度匀速移动，运动过程中保持悬挂橡皮的那段细线始终保持竖直。若段细线与竖直方向夹角为，则在铅笔未碰到橡皮前，下列说法正确的是（    ） A．橡皮的运动轨迹是一条直线 B．橡皮受到细线拉力等于其重力 C．橡皮竖直方向的分速度大小为 D．橡皮的实际速度大小为 5．马刀锯是一种木匠常用的电动工具。其内部安装了特殊的传动装置，简化后如图所示，可以将电动机的转动转化为锯条的往复运动。电动机带动圆盘O转动，圆盘O上的凸起P在转动的过程中带动锯条左右往复运动。已知电动机正在顺时针转动，转速n=2400r/min，OP=2cm。某时刻OP与锯条运动方向的夹角θ=37°，下列说法正确的是（     ） A．此时锯条向右运动 B．此时锯条的速度大小约为5 m/s C．OP从图示位置转过30°的过程中，锯条的速度减小 D．锯条往复运动的周期是40s 6．某河水的流速与离某一侧河岸距离的变化关系如图1所示，船在静水中的速度与时间的关系如图2所示，该河宽为。假设渡河过程中船在河中任意位置沿河流方向的速度与河水流速相等，要使船以最短时间渡河，下列说法正确的是（    ） A．船渡河的最短时间是150s B．船沿河流方向的位移为200m C．船沿河岸方向的加速度大小先增大后减小 D．船在河水中的最大速度是 7．某航模兴趣小组的同学在练江水域进行遥控小船渡河实验。已知练江水自西向东匀速流动，小船相对静水的速度大小保持不变，船头朝向固定。关于小船渡河过程，下列说法正确的是（注：图中实线为河岸，为水流速度，为船的静水速度）（     ） A．图甲中，小船的船头垂直河岸，可在正对岸码头靠岸 B．图乙中，小船的船头垂直河岸，渡河时间最短，且一定满足 C．图丙中，小船的船头朝向上游，且，可使渡河位移最短 D．图丁中，小船的实际航线可能如图中曲线所示 8．如图所示，质量为m、倾角为60°的斜面体放在水平面上，质量也为m的均质球夹在斜面和竖直墙面之间，水平外力作用在斜面体上，球和斜面体处于静止状态，斜面体对墙面的作用力为零，不计一切摩擦，重力加速度为g，则下列说法正确的是（    ） A．水平外力的大小为 B．水平外力的大小为 C．撤去外力，球向下运动过程中，球与斜面体运动的速度大小之比为 D．撤去外力，球向下运动过程中，球与斜面体运动的速度大小之比为 9．如图所示，倾角为α的斜面A放置在水平面上，细线一端固定于墙面，另一端跨过斜面顶端的小滑轮与物块B相连，滑轮左侧的细线水平，右侧的细线与斜面平行。在外力F作用下A向右滑动，当A的速度为时，B的速度为（　　） A． B． C． D． 10．在探究运动的合成和分解时，甲、乙同学分别握住晾衣绳两端，在同一水平面以相同速率v匀速靠近，晾衣绳与竖直方向的夹角逐渐减小。则晾衣架向下（　　） A．匀速 B．减速 C．加速 D．先加速后减速 11．如图所示，将四根相同的木片两两交叠，再用钉子钉入木片交叠处，使木片连成一个菱形。木片厚度、宽度和钉子的半径都可忽略不计，每根钉子的位置可近似认为在木片的端点。使钉子a固定不动，并使钉子c从图示位置开始以恒定速率v沿ac连线向钉子a靠拢。当钉子a、c间的距离刚好等于每根木片的长度时，钉子b的速度大小是（　　） A． B． C． D． 12．如图，有一平行河岸，两岸间距。由于河床底部沉积状态不同，河岸中间形成了宽度相同、流速不同的两个区域Ⅰ和Ⅱ．区域Ⅰ的水速大小，区域Ⅱ的水速大小，方向均平行河岸向右。小船相对静水速度大小一直是。时刻，小船从点开始渡河，点为对岸上的点，且、连线与河岸垂直。下列说法正确的是（　　） A．小船能够沿直线从点运动到点 B．小船的最短过河时间为 C．若小船以最短位移过Ⅰ区域，则小船过Ⅰ区域的时间为 D．小船过Ⅱ区域的最短位移为 13．（多选）机械设计中有许多精妙的设计，如图所示为一种将圆周运动转化为一条直线上往复运动的设计。沿竖直面内圆轨道做匀速圆周运动的小球与圆心间相距，通过有转轴的连杆与物块相连，物块穿在水平杆上，水平杆的延长线通过圆心。已知小球做匀速圆周运动的角速度为，杆与水平杆夹角为。下列说法正确的是（     ） A．物块速度一直小于小球的速度 B．当垂直于时，物块运动的速率为 C．当垂直于时，物块的速率为 D．物块的运动范围与杆长度无关 14．（多选）如图所示，在一条宽、水流速度为的河流的岸边有甲、乙两条小船，两船的出发点相距，甲船在静水中的速度为，乙船在静水中的速度为，某时刻甲、乙两船同时出发，甲船沿时间最短的路径运动，乙船沿垂直河岸的路径运动，两侧河岸平行，则下列说法正确的是（　　） A．甲船过河所用时间更短 B．甲、乙两船过河经过的路程之比为 C．甲、乙两船在运动过程中可能相撞 D．甲、乙两船在运动过程中会相撞 15．（多选）在某次抗洪抢险中，武警战士欲驾驶冲锋舟从处横渡一条宽为的河流，处下游有一山体滑坡造成的障碍区域，距离河岸最远距离为，处与障碍区域边缘距离为，如图所示。已知水流速度为，战士驾驶冲锋舟的速度（即冲锋舟相对静水的速度）恒定且最大可达，冲锋舟可视为质点，下列说法正确的是（     ） A．渡河的最短时间为 B．渡河的最小位移为 C．能够安全渡河冲锋舟的最小速度为 D．冲锋舟以最小速度安全渡河时位移大小为 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $