第01讲 探索勾股定理 暑假预习讲义 2026--2027学年北师大版八年级数学上册

第01讲：探索勾股定理 一、 核心知识点详解 1. 定理的探索与发现（面积法） 探究背景：在正方形网格中，以直角三角形的三边为边长向外作正方形。 核心逻辑： · 观察对象：设直角三角形两直角边为 ，斜边为 。 · 面积关系： · 直角边 对应的正方形面积 · 直角边 对应的正方形面积 · 斜边 对应的正方形面积 · 验证方法（割补法）： · 对于斜边上的正方形，若其顶点不在格点上，可通过“割”（分割成若干个小图形）或“补”（补成大正方形再减去周围三角形）的方法计算面积。 · 归纳结论：无论直角三角形形状如何，始终满足 ，即 。 2. 勾股定理的标准表述 文字语言：如果直角三角形的两条直角边长分别为 ，斜边长为 ，那么 。 符号语言：在 Rt 中， （即 为斜边）， 。 常用变形公式： · 求斜边： · 求直角边： 或 二、 教学重点与难点突破 1. 教学重点 · 定理理解：明确勾股定理揭示的是直角三角形三边的数量关系。 · 基本运算：熟练掌握已知两边求第三边的计算方法，特别是平方与开方运算。 · 常见勾股数：记忆并识别常见整数解组合，提高解题速度。 · 基础组： · 倍数关系： 是 的 2 倍； 是 3 倍。 2. 教学难点 · 面积法验证逻辑：理解如何通过割补法计算斜边正方形面积，体会从特殊（等腰直角）到一般（任意直角）的推广过程。 · 分类讨论思想：当题目只给出两边长而未指明哪条是斜边时，需分情况讨论。 · 复杂模型识别：在折叠、梯子滑动、立体展开图等非标准图形中，准确抽象出直角三角形模型。 三、 核心考点与题型解析 考点一：直接计算类 题型特征：已知直角三角形的两边，求第三边。 解题步骤： 1. 辨直角：确认哪个角是直角，确定斜边。 2. 选公式：求斜边用加法 ( )，求直角边用减法 ( )。 3. 算结果：注意结果保留根号或取近似值（依题目要求）。 示例：在 Rt 中， 。 · 若 ，则 。 · 若 ，则 。 考点二：几何图形面积类（勾股树模型） 题型特征：多个正方形与直角三角形组合，求面积和。 核心结论：基于 ，所有分支小正方形面积之和等于主干大正方形面积。 示例：如图，所有三角形均为直角三角形，所有四边形均为正方形。若最大正方形面积为 100，则与其相连的两个中等正方形面积之和为 100；进而推导至最外层四个小正方形面积之和也为 100。 考点三：实际应用类 1. 梯子滑动问题 · 模型：墙、地面、梯子构成直角三角形。 · 关键：梯子长度（斜边）不变，底端移动距离与顶端下滑距离的关系。 2. 最短路径问题（蚂蚁爬行） · 模型：圆柱或长方体侧面展开图。 · 步骤： 1. 将立体图形侧面展开为平面矩形。 2. 连接起点与终点，构成直角三角形的斜边。 3. 利用勾股定理计算斜边长。 3. 折叠问题 · 模型：折叠前后对应线段相等。 · 策略：设未知数 ，在包含 的直角三角形中，利用勾股定理列方程求解。 四、 易错点与避坑指南 1. 忽视前提条件 · 错误：在锐角或钝角三角形中直接使用 。 · 纠正：必须确认是直角三角形。若非直角，需作高构造直角三角形后再使用。 2. 边角对应混淆 · 错误：看到数字 3 和 4，直接得出第三边为 5。 · 纠正：必须明确 4 是直角边还是斜边。 · 若 4 是直角边，第三边 。 · 若 4 是斜边，第三边 。 · 原则：题目未指明斜边时，务必分类讨论！ 3. 单位与精度陷阱 · 错误：边长单位不统一直接计算（如 cm 与 m 混用）。 · 纠正：计算前统一单位。 · 错误：结果无法开尽方时强行写成小数。 · 纠正：除非题目要求精确到某一位，否则保留根号形式（如 ）更为准确。 知识检测 题型一：用勾股定理解三角形 1．（24-25八年级下·广西桂林·期中）在中，，则的长为（     ） A．8 B．9 C．10 D．13 2．（25-26八年级下·北京·期中）在中，，如果，则（     ） A．6 B．8 C．10 D．以上都不是 3．（25-26八年级下·云南大理·阶段检测）在中，，，则_______． 4．（25-26八年级下·新疆吐鲁番·期中）已知一个直角三角形的两条直角边长分别为和，那么这个直角三角形斜边上的高为______． 题型二：利用勾股定理求图形面积 5．（25-26八年级下·安徽滁州·期中）如图，数字代表所在正方形的面积，则所代表的正方形的边长是（    ） A．100 B．28 C．9 D．10 6．（25-26八年级下·安徽芜湖·期中）如图，中，，若，则正方形和正方形的面积和为（   ） A． B． C． D． 7．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·课后作业）的两条直角边为a，b，斜边为c，若，则的面积为__________． 题型三：利用勾股定理求两条线段的平方和（差） 8．（25-26八年级下·河北唐山·期中）在直角三角形中，斜边，则的值是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 9．（25-26七年级上·山东东营·期中）如图，在中，，，，以为边作正方形，则正方形的面积是（    ） A． B． C． D． 10．（23-24八年级下·安徽阜阳·期中）如图，四边形的对角线，相交于点．若，则______． 11．（21-22八年级上·辽宁朝阳·期中）如图，在△ABC中，AB＝10，AC＝13，AD⊥BC，垂足为D，M为AD上任一点，则MC2﹣MB2等于_____． 题型四：利用勾股定理证明线段平方关系 12．（25-26八年级下·河北唐山·阶段检测）在中，，，的对边分别是，，．若，则下列等式中成立的是（    ） A． B． C． D． 13．（24-25八年级上·广东梅州·阶段检测）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线交于点．若，，则等于（ ） A．14 B．15 C．16 D．17 14．（22-23八年级下·山东德州·期末）已知a，b，c是中，，的对边，下列说法正确的有（  ）个 ①若，则+；②若，则；③若，则+；④总有+． A．1 B．2 C．3 D．4 题型五：勾股定理的应用 15．（25-26八年级下·河南三门峡·期中）如图，某农舍的大门是一个木制的长方形栅栏，它的高为，宽为，现需要在相对的顶点间用一块木板加固，则木板的长为（   ） A． B． C． D． 16．（22-23八年级上·广西贺州·期中）如图，小聪拿着一根长竹竿进一个宽4米的城门，他先横着拿进不去，又竖起来拿，结果竿比城门高2米，当他把竿斜着时，两端正好顶着城门的对角，该竹竿长度为（    ） A．3米 B．4米 C．5米 D．6米 17．（25-26八年级上·山东聊城·期末）在《直指算法统宗》中有一道“荡秋千”的问题：“平地秋千未起，踏板二尺离地，送行九尺与人齐，五尺人高曾记．仕女佳人争蹴，终朝笑语衣嬉．良工高士素好奇，算出索长有几？”大意为：有一架秋千，当它静止时，踏板离地2尺，将它往前推送9尺（水平距离）时．秋千的踏板就和人一样高，这个人的身高为5尺．如图，如果秋千的绳索始终拉得很直，绳索的长为（    ） A．12尺 B．12.5尺 C．14.5尺 D．15尺 18．（25-26八年级上·河南南阳·期末）如图，在底面周长约为8米且带有层层回环不断的云纹石柱上，有一条雕龙从柱底沿立柱表面均匀地盘绕2圈到达柱顶正上方（从点到点为的中点），石柱刻有雕龙的部分的柱身高约12米，则雕刻在石柱上的巨龙的长度至少为_____米. 19．（25-26八年级下·江西上饶·期中）如图，某自动感应门的正上方A处安装着一个感应器，离地，当人体进入感应器的感应范围时，感应门就会自动打开．一个身高的学生面对着自动感应门，缓慢走到离门的地方时()，感应门自动打开，求感应器 A 到学生头顶D 的距离． 20．如图，有两棵树，一棵高10米，另一棵高4米，两树相距8米，一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行_____米． 21．如图，某校校庆时，从教学楼楼顶的点A处向围墙上的点B处拉彩旗．已知点B和教学楼的水平距离为，教学楼高，围墙高，问至少需要多长的彩旗带？ 22．如图，《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去高六尺，折高者几何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈＝十尺），一阵风将竹子折断，竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，求折断处离地面的高度．设竹子折断处离地面x尺，根据题意，可列方程为（     ） A． B． C． D． 23．由于大风，山坡上的甲树在点处被拦腰折断，如图所示，其中甲树顶端恰好落在乙树的根部处，甲、乙两树均沿竖直方向生长.已知，，两棵树之间的水平距离为，求甲树折断前的高度．（图中点均在同一平面内） 学科网（北京）股份有限公司 $ 第01讲：探索勾股定理 一、 核心知识点详解 1. 定理的探索与发现（面积法） 探究背景：在正方形网格中，以直角三角形的三边为边长向外作正方形。 核心逻辑： · 观察对象：设直角三角形两直角边为 ，斜边为 。 · 面积关系： · 直角边 对应的正方形面积 · 直角边 对应的正方形面积 · 斜边 对应的正方形面积 · 验证方法（割补法）： · 对于斜边上的正方形，若其顶点不在格点上，可通过“割”（分割成若干个小图形）或“补”（补成大正方形再减去周围三角形）的方法计算面积。 · 归纳结论：无论直角三角形形状如何，始终满足 ，即 。 2. 勾股定理的标准表述 文字语言：如果直角三角形的两条直角边长分别为 ，斜边长为 ，那么 。 符号语言：在 Rt 中， （即 为斜边）， 。 常用变形公式： · 求斜边： · 求直角边： 或 二、 教学重点与难点突破 1. 教学重点 · 定理理解：明确勾股定理揭示的是直角三角形三边的数量关系。 · 基本运算：熟练掌握已知两边求第三边的计算方法，特别是平方与开方运算。 · 常见勾股数：记忆并识别常见整数解组合，提高解题速度。 · 基础组： · 倍数关系： 是 的 2 倍； 是 3 倍。 2. 教学难点 · 面积法验证逻辑：理解如何通过割补法计算斜边正方形面积，体会从特殊（等腰直角）到一般（任意直角）的推广过程。 · 分类讨论思想：当题目只给出两边长而未指明哪条是斜边时，需分情况讨论。 · 复杂模型识别：在折叠、梯子滑动、立体展开图等非标准图形中，准确抽象出直角三角形模型。 三、 核心考点与题型解析 考点一：直接计算类 题型特征：已知直角三角形的两边，求第三边。 解题步骤： 1. 辨直角：确认哪个角是直角，确定斜边。 2. 选公式：求斜边用加法 ( )，求直角边用减法 ( )。 3. 算结果：注意结果保留根号或取近似值（依题目要求）。 示例：在 Rt 中， 。 · 若 ，则 。 · 若 ，则 。 考点二：几何图形面积类（勾股树模型） 题型特征：多个正方形与直角三角形组合，求面积和。 核心结论：基于 ，所有分支小正方形面积之和等于主干大正方形面积。 示例：如图，所有三角形均为直角三角形，所有四边形均为正方形。若最大正方形面积为 100，则与其相连的两个中等正方形面积之和为 100；进而推导至最外层四个小正方形面积之和也为 100。 考点三：实际应用类 1. 梯子滑动问题 · 模型：墙、地面、梯子构成直角三角形。 · 关键：梯子长度（斜边）不变，底端移动距离与顶端下滑距离的关系。 2. 最短路径问题（蚂蚁爬行） · 模型：圆柱或长方体侧面展开图。 · 步骤： 1. 将立体图形侧面展开为平面矩形。 2. 连接起点与终点，构成直角三角形的斜边。 3. 利用勾股定理计算斜边长。 3. 折叠问题 · 模型：折叠前后对应线段相等。 · 策略：设未知数 ，在包含 的直角三角形中，利用勾股定理列方程求解。 四、 易错点与避坑指南 1. 忽视前提条件 · 错误：在锐角或钝角三角形中直接使用 。 · 纠正：必须确认是直角三角形。若非直角，需作高构造直角三角形后再使用。 2. 边角对应混淆 · 错误：看到数字 3 和 4，直接得出第三边为 5。 · 纠正：必须明确 4 是直角边还是斜边。 · 若 4 是直角边，第三边 。 · 若 4 是斜边，第三边 。 · 原则：题目未指明斜边时，务必分类讨论！ 3. 单位与精度陷阱 · 错误：边长单位不统一直接计算（如 cm 与 m 混用）。 · 纠正：计算前统一单位。 · 错误：结果无法开尽方时强行写成小数。 · 纠正：除非题目要求精确到某一位，否则保留根号形式（如 ）更为准确。 知识检测 题型一：用勾股定理解三角形 1．（24-25八年级下·广西桂林·期中）在中，，则的长为（     ） A．8 B．9 C．10 D．13 【答案】C 【详解】解：在中，， ∴． 2．（25-26八年级下·北京·期中）在中，，如果，则（     ） A．6 B．8 C．10 D．以上都不是 【答案】A 【分析】本题已知直角三角形的斜边长和两条直角边的比值，可利用勾股定理设参数求解的长度． 【详解】解：∵ ， ∴可设，，其中， ∵ 在中，，斜边， ∴ 由勾股定理得， ∴ ， 整理得， 即， ∵， ∴， ∴ ． 3．（25-26八年级下·云南大理·阶段检测）在中，，，则_______． 【答案】 【分析】根据三角形边角对应关系，对边为斜边，利用勾股定理得到，可将原式整理为，再代入计算即可． 【详解】解：在中，， 故； ∴， ∵， 故， 即． 4．（25-26八年级下·新疆吐鲁番·期中）已知一个直角三角形的两条直角边长分别为和，那么这个直角三角形斜边上的高为______． 【答案】/ 【分析】根据勾股定理先求出斜边，再根据面积相等即可求出斜边上的高． 【详解】解：根据勾股定理，， 设斜边上的高为，直角三角形的面积有两种计算方式： 以两条直角边为底和高：， 以斜边和斜边上的高为底和高：， 联立得：， 解得：． 题型二：利用勾股定理求图形面积 5．（25-26八年级下·安徽滁州·期中）如图，数字代表所在正方形的面积，则所代表的正方形的边长是（    ） A．100 B．28 C．9 D．10 【答案】D 【详解】解：根据勾股定理得，所代表的正方形的面积为， ∴所代表的正方形的边长是10． 6．（25-26八年级下·安徽芜湖·期中）如图，中，，若，则正方形和正方形的面积和为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由勾股定理得，， 即正方形和正方形的面积和为． 7．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·课后作业）的两条直角边为a，b，斜边为c，若，则的面积为__________． 【答案】7 【分析】本题考查了勾股定理、完全平方公式，先由勾股定理得出，利用完全平方公式的变形得出，再根据的面积为，整体代入计算即可得解． 【详解】解：直角三角形的两条直角边为和，斜边， ， ， ， 的面积为． 故答案为：． 题型三：利用勾股定理求两条线段的平方和（差） 8．（25-26八年级下·河北唐山·期中）在直角三角形中，斜边，则的值是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【详解】解：∵是直角三角形，是斜边，且， ∴． 9．（25-26七年级上·山东东营·期中）如图，在中，，，，以为边作正方形，则正方形的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是，，斜边长为，那么．根据勾股定理可求出，进而求出正方形的面积． 【详解】解：在中，， 由勾股定理得：， ． 故选：B． 10．（23-24八年级下·安徽阜阳·期中）如图，四边形的对角线，相交于点．若，则______． 【答案】40 【分析】本题考查了勾股定理，根据勾股定理得，进而可得到结论． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴ ． 故答案为：40． 11．（21-22八年级上·辽宁朝阳·期中）如图，在△ABC中，AB＝10，AC＝13，AD⊥BC，垂足为D，M为AD上任一点，则MC2﹣MB2等于_____． 【答案】69 【分析】在Rt△ABD及Rt△ADC中可分别表示出BD2及CD2，在Rt△BDM及Rt△CDM中分别将BD2及CD2的表示形式代入表示出BM2和MC2，然后作差即可得出结果． 【详解】解：在Rt△ABD和Rt△ADC中， BD2＝AB2−AD2， CD2＝AC2−AD2， 在Rt△BDM和Rt△CDM中， BM2＝BD2＋MD2＝AB2−AD2＋MD2， MC2＝CD2＋MD2＝AC2−AD2＋MD2， ∴MC2−MB2＝（AC2−AD2＋MD2）−（AB2−AD2＋MD2）， ＝132−102， ＝69． 故答案为：69． 【点睛】此题考查了勾股定理的知识，解题的关键是熟练掌握勾股定理，分别两次运用勾股定理求出MC2和MB2． 题型四：利用勾股定理证明线段平方关系 12．（25-26八年级下·河北唐山·阶段检测）在中，，，的对边分别是，，．若，则下列等式中成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先确定直角三角形的斜边，再根据勾股定理写出三边关系，变形后即可得到正确结果． 【详解】解：∵在中，，的对边为， ∴是直角三角形的斜边，，为两条直角边，根据勾股定理可得， 移项变形得． 13．（24-25八年级上·广东梅州·阶段检测）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线交于点．若，，则等于（ ） A．14 B．15 C．16 D．17 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． 根据勾股定理的逆定理计算即可得到答案． 【详解】解：，， ∴，， ∴， 故选： D． 14．（22-23八年级下·山东德州·期末）已知a，b，c是中，，的对边，下列说法正确的有（  ）个 ①若，则+；②若，则；③若，则+；④总有+． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据勾股定理逐一判断即可求解． 【详解】解：，，是中，，的对边， 若，则； 若，则； 若，则； 故①②③正确； 只有当时才有， 故④错误， 故选：C． 【点睛】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 15．（25-26八年级下·河南三门峡·期中）如图，某农舍的大门是一个木制的长方形栅栏，它的高为，宽为，现需要在相对的顶点间用一块木板加固，则木板的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将实际问题抽象为几何模型，即已知直角三角形的两条直角边长，求斜边长． 【详解】解：设木板的长为， 栅栏是长方形， 栅栏的高、宽与木板构成直角三角形， 根据勾股定理，得， ， ， ， 即木板的长为 ． 16．（22-23八年级上·广西贺州·期中）如图，小聪拿着一根长竹竿进一个宽4米的城门，他先横着拿进不去，又竖起来拿，结果竿比城门高2米，当他把竿斜着时，两端正好顶着城门的对角，该竹竿长度为（    ） A．3米 B．4米 C．5米 D．6米 【答案】C 【分析】设竹竿长度为米，则城门高为米，根据勾股定理列出方程即可求解． 【详解】解：设竹竿长度为米，则城门高为米， 由勾股定理可得，， 解得， ∴竹竿长度为5米． 17．（25-26八年级上·山东聊城·期末）在《直指算法统宗》中有一道“荡秋千”的问题：“平地秋千未起，踏板二尺离地，送行九尺与人齐，五尺人高曾记．仕女佳人争蹴，终朝笑语衣嬉．良工高士素好奇，算出索长有几？”大意为：有一架秋千，当它静止时，踏板离地2尺，将它往前推送9尺（水平距离）时．秋千的踏板就和人一样高，这个人的身高为5尺．如图，如果秋千的绳索始终拉得很直，绳索的长为（    ） A．12尺 B．12.5尺 C．14.5尺 D．15尺 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理的实际应用．将题中条件转化为数学符号语言，可得四边形为长方形，推出，再设，在利用勾股定理列方程求解． 【详解】解：如图，由题意知：，，，，，． 由题意得四边形为长方形， ， 又， ． 设，则． 在中，由勾股定理得， ． 解得尺， 绳索的长度为15尺． 故选：D． 18．（25-26八年级上·河南南阳·期末）如图，在底面周长约为8米且带有层层回环不断的云纹石柱上，有一条雕龙从柱底沿立柱表面均匀地盘绕2圈到达柱顶正上方（从点到点为的中点），石柱刻有雕龙的部分的柱身高约12米，则雕刻在石柱上的巨龙的长度至少为_____米. 【答案】20 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 根据题意把圆柱体的侧面展开，根据勾股定理求出每圈巨龙的长度，最后乘2即可得到结果． 【详解】解：如图， ∵底面周长约为8米，柱身高约12米， ∴米，（米）， ∴（米）， 则雕刻在石柱上的巨龙的长度至少（米）． 故答案为：20． 19．（25-26八年级下·江西上饶·期中）如图，某自动感应门的正上方A处安装着一个感应器，离地，当人体进入感应器的感应范围时，感应门就会自动打开．一个身高的学生面对着自动感应门，缓慢走到离门的地方时()，感应门自动打开，求感应器 A 到学生头顶D 的距离． 【答案】 【分析】过点作于点，构造，利用勾股定理求得的长度即可． 【详解】解：如图，过点作于点， 由题意可得为长方形， ，，， ， 在中，由勾股定理得： ． 20．（11-12八年级上·全国·课后作业）如图，有两棵树，一棵高10米，另一棵高4米，两树相距8米，一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行_____米． 【答案】 10 【分析】先求出两棵树的高度差，再结合两树的水平距离构造直角三角形，最后用勾股定理求出树梢间的直线距离，即小鸟飞行的最短距离． 【详解】解：两棵树的高度差为（米） 两树水平距离为8米，根据勾股定理，小鸟飞行的最短距离为: （米）. 故答案为：10． 21．（25-26八年级上·江苏南京·期末）如图，某校校庆时，从教学楼楼顶的点A处向围墙上的点B处拉彩旗．已知点B和教学楼的水平距离为，教学楼高，围墙高，问至少需要多长的彩旗带？ 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的应用． 过B作于D，可知，，进而求出，根据计算即可． 【详解】解：过B作于D， ∴，， ∴（）， 在中，， ∴（）， 答：至少需要的彩旗带． 22．（2026·广东深圳·三模）如图，《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去高六尺，折高者几何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈＝十尺），一阵风将竹子折断，竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，求折断处离地面的高度．设竹子折断处离地面x尺，根据题意，可列方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵竹子原高10尺，折断处离地面尺， ∴折断部分长度为尺， 如图，直角边尺，尺，斜边尺， 根据勾股定理得：． 23．（25-26八年级下·甘肃张掖·期中）由于大风，山坡上的甲树在点处被拦腰折断，如图所示，其中甲树顶端恰好落在乙树的根部处，甲、乙两树均沿竖直方向生长.已知，，两棵树之间的水平距离为，求甲树折断前的高度．（图中点均在同一平面内） 【答案】折断前甲树的高度为 【分析】过点作交的延长线于点，在和中用勾股定理即可得到折断前甲树的高度． 【详解】解：过点作交的延长线于点，，， 由题可知， 在中，， ， 在中，， ， 折断前甲树的高度为． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $