湖北十堰市普通高中2025-2026学年下学期期末评价高二数学试卷

**基本信息** 高二下学期期末数学试卷，以数列、导数、概率统计为核心，通过医院义诊、奶茶店销售额等真实情境，考查数学抽象、逻辑推理与数据处理能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题58分|等比数列、导数切线、古典概型、独立性检验|第5题贝叶斯公式结合疾病检测，考查数据分析| |填空题|3题15分|随机变量方差、函数零点、错位排列|第14题小球入盒问题渗透数学建模| |解答题|5题77分|数列求和、正态分布、线性回归、概率分布列、函数单调性|第17题奶茶店销售额回归分析注重应用，第18题投篮比赛概率考查逻辑推理，第19题函数恒成立问题体现数学抽象|

2025一2026学年度下学期高二年级期末评价 数学试卷 考试时间：2026年6月26日下午15：00一17：00 试卷满分：150分 ★祝考试顺利★ 注意事项： 1、答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。 2.答选择题时必须使用B铅笔，将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡 皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号。 3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。 4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。 5.考试结束后，将试题卷和答题卡一并交回。 、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的。 1.设等比数列{an}的前n项和为Sm,若a3=4,S3=12,则公比q= A.2 B.-2 C.1或-2 D.2或-1 2.曲线f(x)=x2-3lnx在点(1，f(1)处的切线方程为 Ay=-x十2 B.y12 C.y=--2 D.y=x+2 某医院有3名医生和5名护士，现从中随机选派2人参加一次社区义诊活动，则选出的2 人中至少有1名医生的选法共有 ( A15种 B.18种 C.21种 D.25种 4在二项式(x一)°的展开式中，常数项为 A-160 B.-60 C.60 D.160 5已知某地区人群中某种疾病的发病率为0.02，现有-一种检测方法：患病者检测呈阳性的概 率为0.98，未患病者检测呈阳性的概率为0.03.若在该地区随机抽取一人进行检测，结果 呈阳性，则此人实际患病的概率约为 ) A0.25 B.0.4 C.0.5 D.0.6 6.为了调查高二学生的选科意向与性别是否有关，随机调查了200名学生，得到如下2×2 列联表： 选物理 选历史 合计 男生 80 30 110 女生 40 50 90 合计 120 80 200 高二数学第1页·共4页 附表： P(K2≥k0)0.0500.0100.001 ko 3.8416.63510.828 根据表中数据，得到的结论是 ( A.有95%的把握认为选科意向与性别无关B.有95%的把握认为选科意向与性别有关 C.有99%的把握认为选科意向与性别无关D.有99%的把握认为选科意向与性别有关 7.已知数列{a,(非常教列)前n项和为S,3}为等差效列，1=一1，且S,十1，S,+1, S5+1成等比数列，则S1o的值为 ( A.-10 B.80 C.81y D.90 设函数f(c)=(e+T-an(x一b),若fx≥0恒成立，则？-b的最小1 A合 B号 c号 D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目 要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.设等差数列{an}的前n项和为Sn·公差为d,则下列命题中正确的是 A若S4=S8,则d<0 B.若S5=0,则a3=0 C.若S4>S6则S5.S D.若S3=S6,则Sg=6 10.已知随机变量X~B(,p),且E(X)=2,D(X)=1则下列说法正确的是 A.n÷4 B.p=0.5 C.P(X=1)=0.2 D.P(X≤1)=0.5 11.已知函数f(x)的定义域为R.若函数f(2x一3)的图像关于点(2,1)对称，f(3十x)+f (3-x)=10,令g(x)=f(x)一2x,则 () Af(3)=5 B.f(x+4)=f(x) C.f(x)的图像关于点(1,1)对称 D.g(x)=g(x+4) 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知离散型随机变量X的分布列为 1 2 3 4 3 且E(X)=2;则D(X)= 3.若函数f(x)-x3一3x与直线y=a有三个不同的交点，则实数a的取值范围 是」 14.将编号为1,2,3,4,5的5个小球放人编号为1,2,3,4,5的5个盒子中，每个盒子放人 1个小球，则恰好有2个小球的编号与盒子编号相同的放法共有·种 高二数学第2页·共4页 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(13分)已知数列{an}满足1=1，am+1=2am十1. (1)求数列{am}的通项公式； 2)设6.=1oga.+1,求数列，的前n项和T, 16.(15分)某工厂生产一批零件，其质量指标X服从正态分布N(100,o2).现从该批零件中 随机抽取9件，测得它们的质量指标分别为：98,102,99,101,100,103,97,100,102（单 位：分) (1)求样本均值x和样本方差σ方差保留两位小数)； (2)若以样本均值作为以的估计值，以样本方差作为σ2的估计值，估计该批零件质量指 标在(96,104)内的概率， (附：若Z~N(0,1),则P(|Z<2)≈0.9545，P(|Z|<1)≈0.682，√3≈1.73) 17.(15分)某奶茶店为了研究日销售额y(单位：百元)与平均气温x(单位：℃)之间的关系， 统计了连续5天的数据，如下表： 12 14 16 18 20 y 25 29 32 34 40 (1)求y关于的线性回归方程=bx十a; (2)若某日的平均气温为22℃，根据回归方程预测该日的销售额； (3)计算样本相关系数r(精确到0.01)，并判断销售额与平均气温的相关程度， (参考公式：6= ∑(x,-x)(y:-) √∑(x,-x)2∑(y,-y)9 高二数学第3页·共4页 18.(17分)甲、乙两人进行投篮比赛，规则如下，每轮每人各投一次，先投中者获胜并结束比 赛；若两人均未投中，则进入下一轮，直至有人投中.已知甲每轮投中的概率为p,乙每轮 投中的概率为q,且每轮结果相互独立，02，·：·1. (1)求甲在第一轮获胜的概率： (2)设比赛共进行了X轮（即第X轮有人投中，且前X一1轮均无人投中），求X的分布 ·列和数学期望E(X): (3)若p=0.6,q=0.4,求甲最终获胜的概率. t之 19.(17分)已知函数f(x)=lnx-ax+1(a∈R) (1)讨论函数f(x)的单调性； (2)若f(x)≤0对任意x>0恒成立，求实数a的取值范围； (3)求证：当n∈N~时ln(a十1)<1+号+号++月 高二数学第4页·共4页 2025-2026学年度下学期高二年级期末评价数学试题 参考答案 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 设等比数列的前n项和为，若，，则公比 q= A. 2  B.   C. 1或  D. 2或−1 解析：若，则，， 符合；若，由 ，，联立解得 。选：C 2. 曲线在点 (1,f(1)) 处的切线方程为 A. y=−x+2  B. y=x−2  C. y=−x−2  D. y=x+2 解析：,，，切线 。选：A 3. 某医院有3名医生和5名护士，现从中随机选派2人参加一次社区义诊活动，则选出的2人中至少有1名医生的选法共有 A. 15 种  B. 18 种  C. 21 种  D. 25 种 解析：总选法，全护士，故至少名医生。选：B 4. 在二项式的展开式中，常数项为 A. −160  B. −60  C. 60  D. 160 解析：通项，令 得，常数项。选：C 5. 已知某地区人群中某种疾病的发病率为0.02，现有一种检测方法：患病者检测呈阳性的概率为0.98，未患病者检测呈阳性的概率为0.03。若在该地区随机抽取一人进行检测，结果呈阳性，则此人实际患病的概率约为 A. 0.25  B. 0.4  C. 0.5  D. 0.6 解析：设事件A=“患病”，B=“阳性”，则 6. 为了调查高二学生的选科意向与性别是否有关，随机调查了 200 名学生，得到如下2×2列联表： 选物理 选历史 合计 男生 80 30 110 女生 40 50 90 合计 120 80 200 附表：  0.050 0.010 0.001 k0​     3.841 6.635 10.828 根据表中数据，得到的结论是 A. 有 95% 的把握认为选科意向与性别无关 B. 有 95% 的把握认为选科意向与性别有关 C. 有 99% 的把握认为选科意向与性别无关 D. 有 99% 的把握认为选科意向与性别有关 解析：，故有把握认为有关。选：D 7．已知数列（非常数列）前项和为，为等差数列，，且，，成等比数列，则的值为 A． B．80 C．81 D．90 解析：因为为等差数列，且首项为：，设公差为 则，所以 则，， 因为，，成等比数列，所以， 所以，解得或 当时，，，因为非常数列，所以舍去． 当时，，所以．选：B 8．设函数，若恒成立，则的最小值为 A． B． C． D． 解析：由 ；由 . 若，则恒成立，则在上不成立. 若，由 ；由 . 由恒成立，可得： . 所以，. 设，. 则，. 由 ；由 . 所以在上单调递减，在上单调递增. 所以的最小值为：. 即的最小值为. 选：C. 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 设等差数列的前项和为，公差为，则下列命题中正确的是 A. 若，则  B. 若，则  C. 若，则  D. 若，则  解析 ：A：若，则，即，，不一定为负，可能且，故错；，正确；：，而无法判断正负，故错；：，则，正确。选：BD 10. 已知随机变量X~B（n,p），且，D(X)=1则下列说法正确的是 A. n=4 B.p=0.5 C.P(X=1)=0.2 D. P(X≤1)=0.5 解析：由E(x)=np=2，D(X)=np(1−p)=1，得 p=0.5，n=4。A正确，B正确； P(X=1)=，C错误；P(X≤1)=P(X=0)+P(X=1)==，D错误。 选：AB 11．已知函数的定义域为．若函数的图像关于点对称，，令，则（    ） A． B． C．的图像关于点对称 D． 解：由，令，则， 所以，正确； 由函数的图像关于点对称，令，当时，， 所以的图像关于对称，即的图像关于点对称，正确； 由，用替换得①， 又的图像关于点对称，则， 用替换得②， ①②得，所以，错误； 由，则， 由上可知， 所以，正确. 选：ACD 3、 填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分。） 12. 已知离散型随机变量X的分布列为 1 2 3 且 E(X)=2，则 D(X)= ________ 解析：由a++b=1,得a+b=，E(X)=a+2×+3b=2,即a+3b=，解得a=,b=，则 D(X)=(1−2)+(2−2)+(3−2)=。 13. 若函数与直线有三个不同的交点，则实数的取值范围是 ________ 解析：，极大值，极小值 ，欲使直线 与图象有三个交点，所以 。即（-2,2） 14. 将编号为 1, 2, 3, 4, 5 的5个小球放入编号为 1, 2, 3, 4, 5 的5个盒子中，每个盒子放入1个小球，则恰好有2个小球的编号与盒子编号相同的放法共有 ________ 种. 答案： 20 解析：第一步，从5个盒子中选出2个盒子，使其小球编号与盒子编号相同：；第二步，剩余3个盒子与3个小球，编号全错位（错排），数目为；由分步乘法，总数为。 四、解答题（本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.（13分）已知数列满足，。 (1) 求数列的通项公式； (2) 设，求数列的前项和。 解析：(1) 由  得 ， 又 ，故  是首项为2，公比为2的等比数列， 所以 ，即 。 (2) 由 (1) 知， 则 ， 所以 ​。 16.（15分）某工厂生产一批零件，其质量指标服从正态分布。现从该批零件中随机抽取 9 件，测得它们的质量指标分别为：98, 102, 99, 101, 100, 103, 97, 100, 100（单位：分）。 (1) 求样本均值和样本方差（方差保留两位小数）； (2) 若以样本均值作为的估计值，以样本方差作为的估计值，估计该批零件质量指标在 内的概率。 （附：若，则，，） 解析：(1)， 计算得各偏差平方和为，故 。 (2) 由题意，估计，则 。 区间即，近似看作， 。 （注：若用，则，故区间宽度略大于，概率略大于，近似给分即可。） 17.（15分）某奶茶店为了研究日销售额（单位：百元）与平均气温（单位：℃）之间的关系，统计了连续天的数据，如下表： 12 14 16 18 20 25 29 32 34 40 (1) 求关于的线性回归方程； (2) 若某日的平均气温为，根据回归方程预测该日的销售额； (3) 计算样本相关系数（精确到 0.01），并判断销售额与平均气温的相关程度。（附：）. （参考公式：​，） 解析：(1)，， 计算， 故， 所以回归方程为。 (2) 当 时，（百元），即4250元。 (3) ， ， 表明销售额与平均气温高度正相关。 18.（17分）甲、乙两人进行投篮比赛，规则如下：甲先投，每轮每人各投一次，先投中者获胜并结束比赛；若两人均未投中，则进入下一轮，直至有人投中。已知甲每轮投中的概率为，乙每轮投中的概率为，且每轮结果相互独立，，。 (1) 求甲在第一轮获胜的概率； (2) 设比赛共进行了轮（即第轮有人投中，且前轮均无人投中），求的分布列和数学期望； (3) 若 ，，求甲最终获胜的概率。 解析： (1) 甲在第一轮获胜只需第一轮甲投中，所以概率为。 (2) 每轮两人均未投中的概率为 ，则 即服从参数为 的超几何分布， 故。 (3) 甲最终获胜的事件可以在第k轮甲投中，且前（k-1）轮均无人投中： 代入，得 。 19.（17分）已知函数 (1) 讨论函数的单调性； (2) 若对任意 恒成立，求实数的取值范围； (3) 求证：当时， 解析：(1)，定义域 。 当 时，，在上单调递增； 当时，令 得 ​， 时 ， 时 ， 故在递增，在 递减。 (2) 由 (1) 知，当 时，在时 ，不满足恒非正； 当 时，， 要使  恒成立，只需 ，即 ，解得 。 综上，。 (3) 由 (2) 知，当  时，对任意 恒成立（当且仅当取等）。 令 ，则 ， 所以， 累加得 ， 即。 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度下学期高二年级期末评价 数学试题答案及评分标准 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C A B C B D B C 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 题号 9 10 11 答案 BD AB ACD 评分标准：每题全对得6分，选对但不全得3分，有选错得0分。 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分。） 12. 答案: 13. 答案： 14. 答案： 20 四、解答题（本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. （13分）解： (1) 由  得 ， 又 ，故  是首项为2，公比为2的等比数列， 所以 ，即 。…………………（6分） (2) 由 (1) 知，…………………（8分） 则 ，…………………（10分） 所以 ​…………………（13分） 16. （15分）解： (1)，…………………（3分） 计算得各偏差平方和为，故 …………………（7分） (2) 由题意，估计，则 （与相近）。 区间即，近似看作， 。…………………（15分） （注：若用，则 ，故区间宽度略大于，概率略大于，近似给分即可。） 17. （15分） 解：(1)，， 计算， 故， 所以回归方程为。…………………（7分） (2) 当 时，（百元），即4250元。………………（9分） (3) ， ， 表明销售额与平均气温高度正相关。…………………（15分） 18. （17分） 解：(1) 甲在第一轮获胜只需第一轮甲投中，所以概率为。…………………（3分） (2) 每轮两人均未投中的概率为 ，则 即服从参数为 的几何分布， 故…………………（9分） (3) 甲最终获胜的事件可以在第k轮甲投中，且前（k-1）轮均无人投中： ………………（14分） 代入，得 …………………（17分） 19. （17分） 解：(1)，定义域 。 当 时，，在上单调递增； 当时，令 得 ​， 时 ， 时 ， 故在递增，在 递减。…………………（6分） (2) 由 (1) 知，当 时，在时 ，不满足恒非正； 当 时，， 要使  恒成立，只需 ，即 ，解得 。 综上，。…………………（11分） (3) 由 (2) 知，当  时，对任意 恒成立（当且仅当取等）。 令 ，则 ， 所以， 累加得 ， 即。…………………（17分） 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度下学期高二年级期末评价 数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1. 设等比数列的前n项和为，若，，则公比 q= A. 2  B.   C. 1或  D. 2 或 −1 2. 曲线在点 (1,f(1)) 处的切线方程为 A. y=−x+2  B. y=x−2  C. y=−x−2  D. y=x+2 3. 某医院有 3 名医生和 5 名护士，现从中随机选派 2 人参加一次社区义诊活动，则选出的 2 人中至少有 1 名医生的选法共有 A. 15 种  B. 18 种  C. 21 种  D. 25 种 4. 在二项式的展开式中，常数项为 A. −160  B. −60  C. 60  D. 160 5. 已知某地区人群中某种疾病的发病率为 0.02，现有一种检测方法：患病者检测呈阳性的概率为 0.98，未患病者检测呈阳性的概率为 0.03。若在该地区随机抽取一人进行检测，结果呈阳性，则此人实际患病的概率约为 A. 0.25  B. 0.4  C. 0.5  D. 0.6 6. 为了调查高二学生的选科意向与性别是否有关，随机调查了 200 名学生，得到如下2×2列联表： 选物理 选历史 合计 男生 80 30 110 女生 40 50 90 合计 120 80 200 附表：  0.050 0.010 0.001 k0​     3.841 6.635 10.828 根据表中数据，得到的结论是 A. 有 95% 的把握认为选科意向与性别无关 B. 有 95% 的把握认为选科意向与性别有关 C. 有 99% 的把握认为选科意向与性别无关 D. 有 99% 的把握认为选科意向与性别有关 7．已知数列（非常数列）前项和为，为等差数列，，且，，成等比数列，则的值为 A． B．80 C．81 D．90 8．设函数，若恒成立，则的最小值为 A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9. 设等差数列的前项和为，公差为，则下列命题中正确的是 A. 若，则  B. 若，则  C. 若，则  D. 若，则  10. 已知随机变量X~B（n,p），且，D(X)=1则下列说法正确的是 A. n=4 B.p=0.5 C.P(X=1)=0.2 D. P(X≤1)=0.5 11．已知函数的定义域为．若函数的图像关于点对称，，令，则（    ） A． B． C．的图像关于点对称 D． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12. 已知离散型随机变量X的分布列为 1 2 3 且 E(X)=2，则 D(X)= ________ 13. 若函数与直线有三个不同的交点，则实数的取值范围是 ________ 14. 将编号为 1, 2, 3, 4, 5 的5个小球放入编号为 1, 2, 3, 4, 5 的 5 个盒子中，每个盒子放入 1 个小球，则恰好有 2 个小球的编号与盒子编号相同的放法共有 ____ 种. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.（13分）已知数列满足，。 (1) 求数列的通项公式； (2) 设，求数列的前项和​。 16.（15分）某工厂生产一批零件，其质量指标服从正态分布。现从该批零件中随机抽取 9 件，测得它们的质量指标分别为：98, 102, 99, 101, 100, 103, 97, 100, 100（单位：分）。 (1) 求样本均值和样本方差（方差保留两位小数）； (2) 若以样本均值作为的估计值，以样本方差作为的估计值，估计该批零件质量指标在  内的概率。 （附：若，则，，） 17.（15分）某奶茶店为了研究日销售额（单位：百元）与平均气温（单位：℃）之间的关系，统计了连续天的数据，如下表： (1) 求关于的线性回归方程； 12 14 16 18 20 25 29 32 34 40 (2) 若某日的平均气温为 ，根据回归方程预测该日的销售额； (3) 计算样本相关系数（精确到 0.01），并判断销售额与平均气温的相关程度。 （附：） （参考公式：​，） 18.（17分）甲、乙两人进行投篮比赛，规则如下：甲先投，每轮每人各投一次，先投中者获胜并结束比赛；若两人均未投中，则进入下一轮，直至有人投中。已知甲每轮投中的概率为，乙每轮投中的概率为，且每轮结果相互独立，，。 (1) 求甲在第一轮获胜的概率； (2) 设比赛共进行了轮（即第轮有人投中，且前轮均无人投中），求的分布列和数学期望 ； (3) 若 ，，求甲最终获胜的概率。 19.（17分）已知函数 (1) 讨论函数的单调性； (2) 若对任意恒成立，求实数的取值范围； (3) 求证：当时， 高二期末数学第 1 页 （共 4 页） 学科网（北京）股份有限公司 $