湖北武汉市华中师范大学第一附属中学2025-2026学年高二下学期期末数学模拟卷

**基本信息** 高二数学期末模拟卷覆盖选择性必修二、三，以数列、概率统计、导数为核心，通过竞走步长数据、体育锻炼调查等真实情境，设计基础到综合梯度题，落实抽象能力、数据意识与逻辑推理素养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题/58分|等比数列（1）、概率计算（2、4）、正态分布（6）、导数应用（5、7）|结合生活场景（李明答题得分期望），考查数学眼光| |填空题|3题/15分|二项式定理（12）、期望计算（13）、不等式恒成立（14）|设置三人游戏得分模型（13），体现数学语言表达| |解答题|5题/77分|回归分析（15）、数列求和（16）、条件概率（17）、独立性检验与传球概率（18）、导数综合（19）|竞走数据残差分析（15）、体育锻炼独立性检验（18），凸显数学思维与应用价值|

2025-2026学年高二数学下学期期末模拟卷 （测试范围：选择性必修第二册+选择性必修第三册） 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分。每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的。 1．设等比数列{an}的公比q＝2，前n项和为Sn，则（　　） A．3 B．4 C． D． 2．从3名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，则所选3人中恰有2名男生的概率是（　　） A． B． C． D． 3．已知，，则P（AB）＝（　　） A．0.08 B．0.16 C．0.24 D．0.32 4．现有3道四选一的单选题，学生李明对其中的2道题有思路，1道题完全没有思路．有思路的题答对的概率为0.8，没有思路的题只好任意猜一个答案，猜对答案的概率为0.25，若每题答对得5分，不答或答错得0分，则李明这3道题得分的期望为（　　） A． B． C． D． 5．已知函数f（x）ax2﹣2ax+lnx，则f（x）在（2，4）上不单调的一个充分不必要条件是（　　） A．a∈（﹣∞，﹣1） B．a∈[1，+∞） C．a∈（﹣∞，0] D．a∈（﹣∞，） 6．对某地区某次数学考试成绩的数据进行分析，甲学校成绩X～N（88，42），乙学校成绩Y～N（86，22），丙学校成绩Z～N（85，52），丁学校成绩M～N（83，32）．80分以上为优秀分，则优秀率最高的学校是（　　） （附：P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）＝0.6827，P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）＝0.9545，P（μ﹣3σ＜X≤μ+3σ）＝0.9973） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 7．函数f（x）的导函数为f′（x），对∀x∈R，都有2f′（x）＞f（x）成立，若f（ln4）＝2，则不等式的解集是（　　） A．（0，1） B．（1，+∞） C．（ln4，+∞） D．（0，ln4） 8．若其中e为自然对数的底数），则a，b，c的大小关系是（　　） A．a＜c＜b B．b＜c＜a C．c＜a＜b D．c＜b＜a 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．下列说法正确的有（　　） A．利用残差图分析模型的刻画效果，若残差比较均匀的分布在以取值为0的横轴为对称轴的水平带状区域内，则说明该模型刻画数据的效果较好 B．可以用决定系数R2来比较两个模型的拟合效果，R2越大模型拟合效果越好 C．已知样本数据x1，x2，…，xn的方差为4，则数据2x1+30，2x2+30，…，2xn+30的标准差是4 D．设两个变量的样本相关系数为r，则r越大其线性相关程度越强 10．甲罐中有3个红球、2个黑球，乙罐中有2个红球、2个黑球，先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，以A表示事件“由甲罐取出的球是红球”，再从乙罐中随机取出一球，以B表示事件“由乙罐取出的球是红球”，则（　　） A． B． C． D． 11．已知函数，下列说法正确的是（　　） A．f（x）在x＝1处的切线方程为x﹣ay﹣1＝0 B．函数的单调递增区间为（0，e） C．若f（x）在（1，2e）的最大值为，则a＝1 D．若方程f（x）＝﹣1有两个不同的解，则 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分。 12．在的展开式中，含x2y3项的系数为 　 　 ． 13．甲、乙、丙三人玩“剪刀、石头、布”的游戏．游戏规则为：剪刀赢布，布赢石头，石头赢剪刀．每一局游戏甲、乙、丙同时出“剪刀、石头、布”中的一种手势，且相互独立．在一局游戏中某人赢1个人得1分，赢2个人得3分，其他情况得0分．设一局游戏后3人总得分为ξ，则随机变量ξ的数学期望E（ξ）的值为 　 　 ． 14．已知a＞0，不等式（x+1）1﹣aex+1﹣aln（x+1）≥0对任意的x∈（0，+∞）恒成立，则实数a的取值范围为　 　 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（本小题满分13分）某田径协会组织开展竞走的步长和步频之间关系的课题研究，得到相应的试验数据： 步频x（单位：步/s） 0.28 0.29 0.30 0.31 0.32 步长y（单位：cm） 90 95 99 m 115 （1）若步频和步长近似为线性相关关系，当m＝101时，，，根据表中数据，求出y关于x的回归直线方程． 附：回归直线方程中． （2）记，其中yi为观测值，为预测值，为对应（xi，yi）的残差，根据表中数据，若得出y关于x的经验回归方程为，且计算出在样本点（0.30，99）处的残差为﹣1.8，求实数m的值． 16．（本小题满分15分）已知数列{an}为等差数列，a2＝3，a5＝9，数列{bn}的前n项和为Sn，且满足Sn＝2bn﹣1． （1）求{an}和{bn}的通项公式； （2）若cn＝an•bn，求数列{cn}的前n项和为Tn． 17．（本小题满分15分）甲和乙两个箱子中各装有5个大小相同的小球，其中甲箱中有3个红球、2个白球，乙箱中有4个红球、1个白球． （1）从甲箱中随机抽出2个球，在已知抽到红球的条件下，求2个球都是红球的概率； （2）掷一枚质地均匀的骰子，如果点数小于等于4，从甲箱随机抽出1个球；如果点数大于等于5，从乙箱中随机抽出1个球，若抽到的是红球，求它是来自乙箱的概率． 18．（本小题满分17分）为了有针对性地提高学生体育锻炼的积极性，某中学需要了解性别因素是否对学生体育锻炼的经常性有影响，为此随机抽查了男女生各100名，得到如下数据： 性别 锻炼 不经常 经常 女生 40 60 男生 20 80 （1）依据α＝0.010的独立性检验，能否认为性别因素与学生体育锻炼的经常性有关系； （2）为了提高学生体育锻炼的积极性，该中学设置了“学习女排精神，塑造健康体魄”的主题活动．在该活动的某次排球训练课上，甲、乙、丙三人相互做传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，甲传给乙和丙的概率分别为和，乙传给甲和丙的概率分别为和，丙传给甲和乙的概率分别为和.求第n次传球后球在乙手中的概率； （3）记第i次传球时，乙接到球的次数为Yi，则Yi服从两点分布，且P（Yi＝1）＝pi，P（Yi＝1）＝pi，E，设前n次传球后，乙接到球的总次数为Y，且总成立，求实数m的最小值． 附： α 0.010 0.005 0.001 xα 6.635 7.879 10.828 19．（本小题满分17分）已知函数f（x）＝ex﹣alnx﹣a，其中a∈R，e为自然对数的底数． （1）当a＝e时，求函数f（x）的单调区间； （2）若函数f（x）存在极小值点x0，且f（x0）≥0，求实数a的取值范围； （3）若函数t（x）＝f（x）﹣ex+x有两个零点x1，x2，求证：x1+x2＞2． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二数学下学期期末模拟卷 （测试范围：选择性必修第二册+选择性必修第三册） 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分。每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的。 1．设等比数列{an}的公比q＝2，前n项和为Sn，则（　C　） A．3 B．4 C． D． 【解析】 设等比数列{an}的首项为a1，则 2．从3名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，则所选3人中恰有2名男生的概率是（　D　） A． B． C． D． 【解析】 从3名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，令事件A表示：所选3人中恰有2名男生，所以． 3．已知，，则P（AB）＝（　A ） A．0.08 B．0.16 C．0.24 D．0.32 【解析】 已知，，则P（A）＝1﹣0.6＝0.4，则P（B|A）＝1﹣P（|A）＝1﹣0.8＝0.2，P（AB）＝P（A）•P（B|A）＝0.4×0.2＝0.08． 4．现有3道四选一的单选题，学生李明对其中的2道题有思路，1道题完全没有思路．有思路的题答对的概率为0.8，没有思路的题只好任意猜一个答案，猜对答案的概率为0.25，若每题答对得5分，不答或答错得0分，则李明这3道题得分的期望为（　B　） A． B． C． D． 【解析】 设事件A为“李明选到有思路的题”，则事件为“李明选到没有思路的题”，事件B为“李明答对该题”，P（A），，P（B|A）＝0.8，P（B|），P（B），∵每题答对得5分，不答或答错得0分，故李明这3道题得分的期望． 5．已知函数f（x）ax2﹣2ax+lnx，则f（x）在（2，4）上不单调的一个充分不必要条件是（　A　） A．a∈（﹣∞，﹣1） B．a∈[1，+∞） C．a∈（﹣∞，0] D．a∈（﹣∞，） 【解析】 由题意，函数f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）＝ax﹣2a，令g（x）＝ax2﹣2ax+1，若函数f（x）在（2，4）上不单调，则g（x）应满足在（2，4）有实根，a＝0时，显然不成立，a≠0时，只需，解得：a，故a∈（﹣∞，），故f（x）在（2，4）上不单调的一个充分不必要条件是a∈（﹣∞，﹣1） 6．对某地区某次数学考试成绩的数据进行分析，甲学校成绩X～N（88，42），乙学校成绩Y～N（86，22），丙学校成绩Z～N（85，52），丁学校成绩M～N（83，32）．80分以上为优秀分，则优秀率最高的学校是（　B　） （附：P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）＝0.6827，P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）＝0.9545，P（μ﹣3σ＜X≤μ+3σ）＝0.9973） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【解析】 ∵甲学校成绩X～N（88，42），乙学校成绩Y～N（86，22），丙学校成绩Z～N（85，52），T学校成绩M～N（83，32），80分以上为优秀分，∴甲学校优秀率为：P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）0.9545，乙学校优秀率为：P（μ﹣3σ＜X≤μ+3σ）0.9973，丙学校优秀率为：P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）0.6827，丁学校优秀率为：P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）0.6827，∴则优秀率最高的学校是乙。 7．函数f（x）的导函数为f′（x），对∀x∈R，都有2f′（x）＞f（x）成立，若f（ln4）＝2，则不等式的解集是（　C　） A．（0，1） B．（1，+∞） C．（ln4，+∞） D．（0，ln4） 【解析】 由题意得对∀x∈R都成立，令，则，∴g（x）在R上单调递增，∵f（ln4）＝2，∴g（ln4）＝1，∵不等式f（x），即g（x）＞1，∴g（x）＞g（ln4），∴x＞ln4，即不等式的解集是（ln4，+∞）． 8．若其中e为自然对数的底数），则a，b，c的大小关系是（　D　） A．a＜c＜b B．b＜c＜a C．c＜a＜b D．c＜b＜a 【解析】 ∵其中e为自然对数的底数），同时取对数得lnlnlnlne＝1，∴a，b，c，令f（x），x∈（0，+∞），则f'（x），由f'（x）＝0得x＝e，由f'（x）＞0得0＜x＜e，由f'（x）＜0得x＞e，∴f（x）在（0，e）上单调递增，在（e，+∞）上单调递减，又e＜π，则f（e）＞f（π），即a＞b，又b﹣c， ∵lnlnπ，∵1，lnπ＞ln3＞lne＝1，∴lnπln3，∵y＝ex在R上单调递增，∴，即b﹣c＞0，∴b＞c，∴a＞b＞c． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．下列说法正确的有（　ABC　） A．利用残差图分析模型的刻画效果，若残差比较均匀的分布在以取值为0的横轴为对称轴的水平带状区域内，则说明该模型刻画数据的效果较好 B．可以用决定系数R2来比较两个模型的拟合效果，R2越大模型拟合效果越好 C．已知样本数据x1，x2，…，xn的方差为4，则数据2x1+30，2x2+30，…，2xn+30的标准差是4 D．设两个变量的样本相关系数为r，则r越大其线性相关程度越强 【解析】 对于A：在残差图中，残差点比较均匀地落在水平的带状区域内，说明选用的模型比较合适，故A正确；对于B：决定系数R2来刻画回归的效果，R2值越大，说明模型的拟合效果越好，故B正确；对于C：样本数据x1，x2，⋯，xn的方差为4，则数据2x1+30，2x2+30，…，+2xn+30的方差为22×4＝16，故标准差为4，故C正确；对于D：样本相关系数r的绝对值的大小越接近于1，两个变量的线性相关性越强，反之，线性相关性越弱，故D错误． 10．甲罐中有3个红球、2个黑球，乙罐中有2个红球、2个黑球，先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，以A表示事件“由甲罐取出的球是红球”，再从乙罐中随机取出一球，以B表示事件“由乙罐取出的球是红球”，则（　ACD　） A． B． C． D． 【解析】 甲罐中有3个红球、2个黑球，乙罐中有2个红球、2个黑球，先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，以A表示事件“由甲罐取出的球是红球”，再从乙罐中随机取出一球，以B表示事件“由乙罐取出的球是红球”，对于A：由等可能事件概率计算公式得P（A），故A正确；对于B：P（AB），∴P（B|A），故B错误；对于C：P（），P（B|），∴由全概率公式得：P（B）＝P（A）P（B|A）+P（）P（B|），故C正确；对于D：由贝叶斯公式得：P（A|B），故D正确． 11．已知函数，下列说法正确的是（　ACD　） A．f（x）在x＝1处的切线方程为x﹣ay﹣1＝0 B．函数的单调递增区间为（0，e） C．若f（x）在（1，2e）的最大值为，则a＝1 D．若方程f（x）＝﹣1有两个不同的解，则 【解析】 对于A：函数 定义域为（0，+∞），且，故，又f（1）＝0，则点（1，f（1））处的切线为y﹣0（x﹣1），即x﹣ay﹣1＝0，A正确；对于B：令，即1﹣lnx＝0，解得x＝e，当a＞0时：当0＜x＜e时，f′（x）＞0，即f（x）在（0，e）上单调递增，当x＞e时，f′（x）＜0，即f（x）在（e，+∞）上单调递减；当a＜0时：当0＜x＜e时，f′（x）＜0，即f（x）在（0，e）上单调递减，当x＞e时，f′（x）＞0，即f（x）在（e，+∞）上单调递增，B错误；对于C：因为x∈（1，2e），当a＜0时，f（x）在（0，e）上单调递减，f（x）在（e，+2e）上单调递增，则，若f（x）在（1，2e）的最大值为，即，则a＝1；当a＞0时：f（x）在（0，e）上单调递增，f（x）在（e，+2e）上单调递减，f（1）＝0，，f（x）在（1，2e）的最大值不可能是，所以a＝1，C正确；对于D：要使方程f（x）＝﹣1有两个不同的实数解，故，可化为，令，，令，得lnx﹣1＝0，即x＝e，当x＞e时，g′（x）＞0，即g（x）在（e，+∞）上单调递增；当0＜x＜e时，g′（x）＜0，即g（x）在（0，e）上单调递减；所以g（x）在x＝e出取得最小值，当x→0+时g（x）→+∞；当x→+∞时g（x）→0，若方程有两个不同解，则即可，D正确． 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分。 12．在的展开式中，含x2y3项的系数为 　 ．30 【解析】 ，2（x+y）5中含x2y3项为， 又（x+y）5中含x3y2的项为，则中含x2y3项为10x2y3，综上可知，含x2y3项的系数为20+10＝30． 13．甲、乙、丙三人玩“剪刀、石头、布”的游戏．游戏规则为：剪刀赢布，布赢石头，石头赢剪刀．每一局游戏甲、乙、丙同时出“剪刀、石头、布”中的一种手势，且相互独立．在一局游戏中某人赢1个人得1分，赢2个人得3分，其他情况得0分．设一局游戏后3人总得分为ξ，则随机变量ξ的数学期望E（ξ）的值为 　　 ． 【解析】 ξ可取0，2，3． ξ 0 2 3 P 所以． 14．已知a＞0，不等式（x+1）1﹣aex+1﹣aln（x+1）≥0对任意的x∈（0，+∞）恒成立，则实数a的取值范围为　 ．（0，e] 【解析】 不等式（x+1）1﹣aex+1﹣aln（x+1）≥0对任意的x∈（0，+∞）恒成立，令t＝x+1，则t＞1，所以不等式等价于t1﹣aet﹣alnt≥0对t＞1恒成立，变形可得不等式tet≥talnta对t＞1恒成立，令f（t）＝tet，t＞1，则不等式等价于f（t）≥f（lnta）对t＞1恒成立，f'（t）＝（t+1）et，当t＞1时，f'（t）＞0，故f（t）单调递增，所以不等式转化为t≥lnta对t＞1恒成立，即对t＞1恒成立，令，所以，令g'（t）＝0，解得t＝e，当1＜t＜e时，g'（t）＜0，则g（t）单调递减，当t＞e时，g'（t）＞0，则g（t）单调递增，所以当t＝e时，g（t）取得最小值g（e）＝e，所以a≤e，又a＞0，所以实数a的取值范围为（0，e]． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（本小题满分13分）某田径协会组织开展竞走的步长和步频之间关系的课题研究，得到相应的试验数据： 步频x（单位：步/s） 0.28 0.29 0.30 0.31 0.32 步长y（单位：cm） 90 95 99 m 115 （1）若步频和步长近似为线性相关关系，当m＝101时，，，根据表中数据，求出y关于x的回归直线方程． 附：回归直线方程中． （2）记，其中yi为观测值，为预测值，为对应（xi，yi）的残差，根据表中数据，若得出y关于x的经验回归方程为，且计算出在样本点（0.30，99）处的残差为﹣1.8，求实数m的值． 【解析】 （1）根据题意，可得，，又由，，可得，则，所以回归直线方程为； （2）根据题意可知，，解得a＝﹣79.2，因为，，可得，解得m＝105． 16．（本小题满分15分）已知数列{an}为等差数列，a2＝3，a5＝9，数列{bn}的前n项和为Sn，且满足Sn＝2bn﹣1． （1）求{an}和{bn}的通项公式； （2）若cn＝an•bn，求数列{cn}的前n项和为Tn． 【解析】 （1）等差数列{an}中，a2＝3，a5＝9，设公差为d，则，解得a1＝1，d＝2，则an＝2n﹣1，由Sn＝2bn﹣1，n＝1时，b1＝2b1﹣1⇒b1＝1，n≥2时，bn＝Sn﹣Sn﹣1＝2bn﹣1﹣（2bn﹣1﹣1），∴bn＝2bn﹣1（n≥2）∴{bn}为公比为2的等比数列，∴； （2）数列{cn}中，，则，所以，故，所以． 17．（本小题满分15分）甲和乙两个箱子中各装有5个大小相同的小球，其中甲箱中有3个红球、2个白球，乙箱中有4个红球、1个白球． （1）从甲箱中随机抽出2个球，在已知抽到红球的条件下，求2个球都是红球的概率； （2）掷一枚质地均匀的骰子，如果点数小于等于4，从甲箱随机抽出1个球；如果点数大于等于5，从乙箱中随机抽出1个球，若抽到的是红球，求它是来自乙箱的概率． 【解析】 （1）记事件A表示“抽出的2个球中有红球”，事件B表示“两个球都是红球”，则，，故； （2）设事件C表示“从乙箱中抽球”，则事件表示“从甲箱中抽球”，事件D表示“抽到红球”，所以，，，，所以P（D）＝P（C）P（D|C）P（），故． 18．（本小题满分17分）为了有针对性地提高学生体育锻炼的积极性，某中学需要了解性别因素是否对学生体育锻炼的经常性有影响，为此随机抽查了男女生各100名，得到如下数据： 性别 锻炼 不经常 经常 女生 40 60 男生 20 80 （1）依据α＝0.010的独立性检验，能否认为性别因素与学生体育锻炼的经常性有关系； （2）为了提高学生体育锻炼的积极性，该中学设置了“学习女排精神，塑造健康体魄”的主题活动．在该活动的某次排球训练课上，甲、乙、丙三人相互做传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，甲传给乙和丙的概率分别为和，乙传给甲和丙的概率分别为和，丙传给甲和乙的概率分别为和.求第n次传球后球在乙手中的概率； （3）记第i次传球时，乙接到球的次数为Yi，则Yi服从两点分布，且P（Yi＝1）＝pi，P（Yi＝1）＝pi，E，设前n次传球后，乙接到球的总次数为Y，且总成立，求实数m的最小值． 附： α 0.010 0.005 0.001 xα 6.635 7.879 10.828 【解析】 （1）零假设H0：学生性别与体育锻炼的经常性无关，此时，则依据α＝0.01的独立性检验，可以认为性别因素与学生体育锻炼的经常性有关系； （2）因为在该活动的某次排球训练课上，甲、乙、丙三人相互做传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，甲传给乙和丙的概率分别为和，乙传给甲和丙的概率分别为和，丙传给甲和乙的概率分别为和，设n次传球后球在乙手中的概率为pn，n＝1，2，3，⋯，可得第n次传球后球不在乙手中的概率为1﹣pn，所以，所以，其中，所以数列是以为首项，为公比的等比数列，此时，即； （3）由（2）知，所以，即，又总成立，设，此时需m≥（an）max，当an最大时，n必定为奇数，因为随奇数n的增大而减小，所以当n＝1时，an最大值，则．故实数m的最小值为． 19．（本小题满分17分）已知函数f（x）＝ex﹣alnx﹣a，其中a∈R，e为自然对数的底数． （1）当a＝e时，求函数f（x）的单调区间； （2）若函数f（x）存在极小值点x0，且f（x0）≥0，求实数a的取值范围； （3）若函数t（x）＝f（x）﹣ex+x有两个零点x1，x2，求证：x1+x2＞2． 【解析】 （1）当a＝e时，函数f（x）＝ex﹣elnx﹣e，可知函数f（x）的定义域为（0，+∞），且导函数，设函数，那么导函数，可知函数g（x）在（0，+∞）单调递增，且g（1）＝0，当x＞1时，g（x）＞0，即f′（x）＞0；当0＜x＜1时，g（x）＜0，即f′（x）＜0，因此函数f（x）的单调递增区间为（1，+∞），单调递减区间为（0，1）． （2）根据题意可知：f（x）的定义域为（0，+∞），且导函数，设函数h（x）＝xex﹣a，那么导函数h′（x）＝（x+1）ex＞0，可知函数h（x）在（0，+∞）单调递增，由于f（x）存在极小值点x0，因此函数h（x）在（0，+∞）存在零点x0，即，可得．那么，可得1﹣x0﹣x0lnx0≥0，设函数φ（x）＝1﹣x﹣xlnx，x＞0，且φ（1）＝0，当x∈（1，+∞），1﹣x＜0，﹣xlnx＜0，则φ（x）＜0；当x∈（0，1），1﹣x＞0，﹣xlnx＞0，则φ（x）＞0，可得0＜x0≤1，0＜a≤e，因此a∈（0，e]． （3）令函数t（x）＝f（x）﹣ex+x＝0，可得，根据题意可得：，构建函数，则F（x1）＝F（x2），设x1＜x2，可得导函数，令F′（x）＜0，解得x＞1；令F′（x）＞0，解得0＜x＜1，可知函数F（x）在（1，+∞）上单调递减，在（0，1）上单调递增，且，可得，构建函数G（x）＝F（x）﹣F（2﹣x），，那么导函数，可知G（x）在上单调递增，那么G（x）＜G（1）＝0，即F（x）＜F（2﹣x），则F（x2）＝F（x1）＜F（2﹣x1），且2﹣x1＞1，又由于F（x）在（1，+∞）上单调递减，所以x2＞2﹣x1，即x1+x2＞2． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $