江苏省连云港市东海县2025-2026学年度第二学期七年级数学期末试卷

**基本信息** 江苏省东海县七年级数学期末卷，以代数运算、几何变换为核心，融入光刻机波长科学记数法（第11题）、兔舍围栏设计（第7题）等真实情境，通过多结论判断（第8题）、45°角探究（第27题）等创新题，考查抽象能力、推理意识与应用意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8/24|不等式性质、图形变换、整式运算|第5题以反例判断假命题，强化推理意识| |填空题|10/30|科学记数法、多边形内角和、折叠问题|第17题结合方程解表信息，考查数据意识| |解答题|9/96|二元一次方程组、几何探究、实际应用|第27题45°角作图与旋转探究，融合空间观念与创新意识；第25题采购方案设计，体现模型观念|

江苏省东海县2025-2026学年度第二学期七年级数学期末试卷（解析版） 一、选择题（每小题3分，共24分） 1．设，则下列不等关系正确的是（ ） A． B． C． D． 解：若a>b， 两边同时加上3得a+3>b+3，则A不正确， 两边同时乘以﹣2得﹣2a＜﹣2b，则B不正确， 两边同时除以3得，则C正确， 两边同时减去3得，a﹣3>b﹣3，则D不正确， 故选：C． 2．观察图，依次几何变换顺序正确的是（ ） A．轴对称、旋转、平移 B．旋转、轴对称、平移 C．轴对称、平移、旋转 D．平移、轴对称、旋转 解：由图可得第一次为轴对称，第二次为平移，第三次为旋转， 故选：C． 3．下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 解：A.∵2a﹣5a＝﹣3a，∴此选项的计算不正确，故此选项不符合题意； B．∵（ab3）2＝a2b6，∴此选项的计算正确，故此选项符合题意； C．∵2（a+5）＝2a+10，∴此选项的计算不正确，故此选项不符合题意； D．∵a3•a2＝a5，∴此选项的计算不正确，故此选项不符合题意； 故选：B． 4．下列方程组的解为的是（ ） A． B． C． D． 解：A、不是方程x+2y＝4的解，故该选项错误； B、不是方程x+y＝3的解，故该选项错误； C、不是方程x+y＝3的解，故该选项错误； D、适合方程组中的每一个方程，故该选项正确． 故选：D． 5．对于命题“若a＜b，则a2＜b2”，下面a，b的值中，能说明这个命题是假命题的是（ ） A．a＝﹣1，b＝2 B．a＝0，b＝2 C．a＝﹣4，b＝﹣2 D．a＝2，b＝4 解：A．a＝﹣1，b＝2，满足a＜b，a2＜b2，不能说明命题是假命题． B．a＝0，b＝2，满足a＜b，a2＜b2，不能说明命题是假命题． C．a＝﹣4，b＝﹣2，满足a＜b，不满足a2＜b2，能说明命题是假命题． D．a＝2，b＝4，满足a＜b，a2＜b2，不能说明命题是假命题． 故答案为：C． 6．一个正方形的边长是a，若边长增加2，则这个正方形的面积增加了（ ） A．4 B．2a C．2a+4 D．4a+4 解：根据题意，得（a+2）2﹣a2＝4a+4． 故选：D． 7．现有一段围墙长20米，王伯伯想紧靠这段围墙圈一块长方形空地作为兔舍饲养小兔．已知他圈好的空地如图所示，是一个长方形，它的一条边用墙代替，另三边用总长度为50米的篱笆围成．设垂直于墙的一边的长度为m米，则m的取值范围是（ ） 墙 m A．20＜m＜50 B．15≤m＜25 C．20≤m＜25 D．15≤m≤20 解：由题意可得：0<50-2m≤25， 解得15≤m＜25， 故选：B． 8．关于x，y的二元一次方程（），则下列四个结论： ①无论t为何值时，关于x，y的方程都有一组解 ②若t＝1，则关于x，y的方程有2组正整数解； ③若，则关于x，y的不等式的解集为； ④若和是关于x，y方程的两组解，则m＞n． 其中正确的结论是（ ） A．①②③④ B．①②④ C．②③④ D．①②③ 解：①已知关于x，y的二元一次方程， 整理得3（x﹣2）t＝x﹣y﹣1， ∵当t每取一个值()时，方程都有一个公共解， ∴3（x﹣2）＝0，x﹣y﹣1=0， 解得：x＝2，y=1， 即这个公共解为，故①正确； ②把t＝1代入关于x，y的二元一次方程得， 整理得2x+y＝5， ∴，； 即这个方程的正整数解有两组，故②正确； ③把代入关于x，y的不等式得， 整理得， ∵， ∴3t>1，； ∴，故③正确； ④把和代入关于x，y的二元一次方程得， 整理得， 由上面两式相减得m-n=3t-1， ∵， ∴3t-1>0， ∴m-n>0；即m>n.故④正确； 故选：A． 二、填空题（每小题3分，共30分） 9．计算：3x2y•（﹣2y）＝ ． 解：3x2y•（﹣2y）＝﹣6x2y2， 故答案为：﹣6x2y2． 10．命题“末位数字是5的数能被5整除”的逆命题是 命题（填“真”或“假”）． 解：命题“末位数字是5的数能被5整除”的逆命题是能被5整除的数的末位数字是5，错误，是假命题， 故答案为：假． 11．Deepseek公司的光刻机使用极紫外光（EUV）技术制造芯片，其光源波长为0.0000000135米.数据“0.0000000135”用科学记数法可表示为 ． 解：0.0000000135＝1.35×10﹣8． 故答案为：1.35×10﹣8． 12．请写出一个关于x的一元一次不等式，使x=1为该不等式的一个解.不等式为 ． 解：由题意得：x+1>0，答案不唯一. 故答案为：x+1>0． 13．已知m+n＝5，mn＝3，则（m﹣1）（n﹣1）的值等于 ． 解：∵（m﹣1）（n﹣1）＝mn﹣（m+n）+1，且m+n＝5，mn＝3， ∴（m﹣1）（n﹣1）＝3﹣5+1＝﹣1． 故答案为：﹣1． 14．如果一个多边形的内角和是它外角和的3倍，那么这个多边形是 边形． 解：设这个多边形是n边形， 根据题意得，（n﹣2）•180°＝3×360°， 解得n＝8． 故答案为：八． 15．小明用一张等宽的纸条折成如图所示的图案，若∠1=30º，则∠2的度数为 º． 解：由折纸可得： ∴∠2+2∠1＝180°， ∵∠1=30º， ∴∠2＝180°﹣2×30°＝120°． 故答案为：120． 16．某工厂生产某种零件，若零件的长度为x厘米.为了加强零件合格率，现设计了如下两套质量控制标准：①；②.若两个标准下允许的长度范围完全一致，则p的值为 ． 解：解不等式①，得， 解不等式②，得， 由题意可得：， 解得：； 故答案为：． 17．关于x，y的二元一次方程ax+y＝b与cx+y＝d的部分解分别如表1，表2： 表1 表2 x … -1 0 1 2 … x … 0 1 2 3 … y … -4 -1 2 5 … y … 3 2 1 0 … 则关于x的不等式的解集为 ． 解：由表格数据可知，方程ax+y＝b与方程cx+y＝d的公共解为， 而方程ax+y＝b中y随x的增大而增大，方程cx+y＝d中y随x的增大而减小， ∴关于x的不等式ax﹣b>cx﹣d的解集为x<1， 故答案为：x<1． 18．如图，∠AOB＝45°，点M、N分别在射线OA、OB上，MN＝9，△MON是面积为36的锐角三角形，P是线段MN上的动点，点P关于OA对称的点为C，点P关于OB对称点为D，当点P在线段MN上运动时，△COD的面积最小值为 ． 解：连接OP，过点O作OH⊥MN，交MN于点H， ，MN＝9， ∴OH＝8， ∵点P关于OA的对称点是C,点P关于OB的对称点是D， ∴∠AOP＝∠AOC，∠BOP＝∠BOD，OC＝OP＝OD， ∵∠AOB＝45°， ∴∠COD＝2（∠AOP+∠BOP）＝2∠AOB＝90°， ∴， 根据垂线段最短可知，当点P与点H重合时，OP取最小值，即OP＝OH＝8， ∴ΔCOD的面积最小值为． 故答案为：32． 三、解答题（本大题共9题，共96分） 19．（本题满分16分）计算： （1）； （2）x9÷x3﹣（2x3）2； （3）； （4）20252﹣2024×2026（用乘法公式计算）． 解：（1）原式＝4+9+1 ＝14； （2）原式＝x6﹣4x6 ＝﹣3x6； （3）原式=(﹣3x)2﹣(2y)2 =9x2﹣4y2； （4）原式＝20252﹣（2025﹣1）（2025+1） ＝20252﹣20252+12 ＝1． 20．（本题满分10分）解不等式（组）： （1）≤； （2） 解：（1）去括号得， 移项合并得， 解得． （2）， 解不等式①得，， 解不等式②得，x<-8， ∴不等式组的解集是x<-8． 21.（本题满分8分） 小明解方程组的过程如下所示： 解：由，得③， ……………………第一步 解得． ………………………………第二步 把代入①，得：， 解得． ………………………………第三步 原方程组的解为………………………第四步 思考并解决下列问题： （1）在上述过程中，第 步是消元，消元的依据是 ； （2）小明的解答过程是不正确的，请写出正确的解答过程． 解：（1）在上述过程中，第一步是消元，消元的依据是等式两边同时加上或减去相等的数或式子，等式仍然成立（等式的基本性质）； 故答案为：一、等式两边同时加上或减去相等的数或式子，等式仍然成立（等式的基本性质）； （2）． 由②-①得：3x＝9， 解得：x， 把x代入①得：2×3+y-6， 解得：y=-12； ∴方程组的解为． 22．（本题满分8分）已知两个正整数a，b，且a比b大10，那么a，b的平方差一定是20的倍数吗？请举例，并用所学知识证明你的结论． 解：一定是． 例如：a=11,b=1, 则a2﹣b2 ＝112﹣12 =121-1 =120 =20×6 ∴a，b的平方差一定是20的倍数. 证明：设b=n，则a＝n+10（n是正整数）， ∴a2﹣b2 ＝（n+10）2﹣n2 ＝n2+20n+100﹣n2 ＝20n+100 ＝20（n+5）， ∵n是正整数， ∴n+5也是正整数， ∴20（n+5）一定是20的倍数， 即a，b的平方差一定是20的倍数． 23．（本题满分10分）（1）观察图中大正方形的构成，用两种不同的方式计算其面积，可以得出代数恒等式： ； （2）利用上述代数恒等式计算： ①； ②先化简，再求值：，其中，． a b c a b c 解：（1）从整体考虑是边长为a+b+c的正方形，其面积为（a+b+c）2，从部分考虑是六个小长方形组成的，其面积和为a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac， 所以有（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac， 故答案为：（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac． （2）① =a2+(2b)2+(-c)2+2∙a∙2b+2(2b)(-c)+2∙a(-c) =a2+4b2+c2+4ab-4bc-2ac； ② =x2+4y2+1-4xy+2x-4y-4y2+4xy-4 =x2+2x-4y-3， 当x=2,y=1时， x2+2x-4y-3 =22+2×2-4×1-3 =4+4-4-3 =1. 24．（本题满分8分）如图，在△ABC中，D是AB边上的动点，过点D作DF⊥AC交AC于E，交BC的延长线于点F． （1）若∠A=25º，∠B=40º，则∠FCE= º，∠F= º； （2）在D点运动的过程中，探究∠A+∠B+∠F是否为定值，如果是，求出定值；如果不是，请说明理由. （1）解：∵∠A＝25°，∠B＝40°， ∴∠ACF＝∠A+∠B=25°+40°＝65°； ∵DF⊥AC， ∴∠CEF＝90°， ∴∠F＝180°-∠CEF-∠FCE=180°-90°-65°=25°， 故答案为：65°，25°； （2）∠A+∠B+∠F是定值，定值为90°. ∵∠ACF是△ABC的外角， ∴∠ACF＝∠A+∠B； ∵DF⊥AC， ∴∠CEF＝90°， ∵∠F+∠CEF+∠FCE＝180°， ∴∠F+90°+∠FCE=180°， ∴∠F+∠FCE=90°． ∴∠A+∠B+∠F=90°， 即∠A+∠B+∠F是定值，定值为90°. 25．（本题满分10分）某中学为落实教育部办公厅关于进一步加强中小学生体质管理的通知文件要求，决定增设篮球、足球两门选修课程，为此需要购进一批篮球和足球．已知购买3个篮球和2个足球需要560元；购买2个篮球和4个足球需要720元．根据以上信息解答： （1）购买1个篮球和1个足球各需要多少钱？ （2）学校计划采购篮球，足球共50个，总费用不超过6000元，求至少要买多少个篮球？ （3）在（2）的条件下，若要求篮球不多于20个，请写出所有购买方案，并求出最低总费用. 解：（1）设购买1个篮球为x元，1个足球为y元，则 根据题意得：， 解得：． 答：购买1个篮球和1个足球各需要100元、130元； （2）设购进m个篮球，则购进50-m个足球， 根据题意得：100m+130（50-m）≤6000， 解得：m， 又∵m为正整数， ∴m的最小整数值为17. 答：至少要买17个篮球； （3）由题意可得：≤m≤20, 又∵m为正整数， ∴m的整数值为17、18、19、20. 50-m的值为33、32、31、30. ∴共有4种购买方案；分别为： 方案1：购进17个篮球，33个足球，费用为17×100+33×130=5990元； 方案2：购进18个篮球，32个足球，费用为18×100+32×130=5960元； 方案3：购进19个篮球，31个足球，费用为19×100+31×130=5930元； 方案4：购进20个篮球，30个足球，费用为20×100+30×130=5900元； ∴最低总费用为5900元. 26．（本题满分12分）【探索发现】（1）已知，满足 ①求的值；小明、小红分别给出下列思路，请补全小红的思路． 先解方程组，求出，的值，再代入，计算求值. 将①-②×2， 得= . ②小明提出：小红的解法是巧合吗？能求的值吗？没有解决方案的小明询问了智能机器人.请根据智能机器人的提示，先求，的值，再求的值． 设=,其中，为常数. 【解决问题】（2）若，满足为常数且，则的取值范围是 ． 解：（1）①将①-②×2，得：=﹣7； 故答案为：﹣7； ②小红的解法不是巧合，能求的值. = =5mx-9my+2nx-5ny =(5m+2n)x-(9m+5n)y. ∴ 解得：; ∴ （2）设= 则= =2mx-3my+3nx-4ny =(2m+3n)x-(3m+4n)y. ∴ 解得：; ∴ ∵， ∴， ，即. 故答案为：． 27．（本题满分14分）【问题背景】同学们，我们知道“45°”角是一种特殊角，在一些图形中经常出现，掌握它的一些特殊性质可以解决许多问题，今天就让我们一起来认识一下“45°”角． 【问题探究】（1）在图1网格中用无刻度的直尺作图：以已知线段为一边画一个45°的角； 图1 （2）如图2，四边形ABCD是正方形，点E为边BC上一点，请用圆规和无刻度直尺作图：在CD边上求作一点F，使得∠EAF＝45°；（保留作图痕迹，不写作法） A B 图2 E D C 【问题拓展】（3）小明在完成（2）的作图后，将图形简化为图3，即四边形ABCD是正方形，点E为边BC上一点，点F为边CD上一点，∠EAF＝45°.他把△ADF绕着点A顺时针转90°，并作下列探究： ①用直尺和圆规作出旋转后的△AD′F′； ②小明判断所画图形中有轴对称图形（不包含原正方形ABCD），请用阴影把轴对称图形标记出来； ③若图中正方形边长为6，△EFC面积为6，则CE2+CF2的值为 ． 图3 解：（1）如图1， 图1 A B C 以AB为腰，点A为直角顶点，作等腰直角三角形ABC，则∠ABC＝45°； （2）如图2， 首先作平角∠EAG的角平分线AH， 其次作直角∠EAH的角平分线AF， 则∠EAF＝45°； （3）①如图3， 作∠FAF′＝90°，截取AF′＝AF，连接BF′， 则△AD′F′就是求作的图形； ②如图3，四边形AF′EF是以直线AE为对称轴的轴对称图形； ③∵S四边形AF′EF＝S正方形ABCD﹣S△CEF＝62﹣6＝30， ∴2S△AEF′＝30， ∴2， ∴EF′＝5， ∴EF＝EF′＝5， 设CE＝x，CF＝y，则BE＝6﹣x，DF＝6﹣y， ∴（6-x）+（6-y）=5,即. ∴， ∴， ∴x2+y2＝（x+y）2﹣2xy＝25， 故答案为：25. 第 1 页 共 36 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江苏省东海县2025-2026学年度第二学期七年级数学期末试卷（原卷版） 一、选择题（每小题3分，共24分．） 1．设，则下列不等关系正确的是（ ） A． B． C． D． 2．观察图，依次几何变换顺序正确的是（ ） A．轴对称、旋转、平移 B．旋转、轴对称、平移 C．轴对称、平移、旋转 D．平移、轴对称、旋转 3．下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4．下列方程组的解为的是（ ） A． B． C． D． 5．对于命题“若a＜b，则a2＜b2”，下面a，b的值中，能说明这个命题是假命题的是（ ） A．a＝﹣1，b＝2 B．a＝0，b＝2 C．a＝﹣4，b＝﹣2 D．a＝2，b＝4 6．一个正方形的边长是a，若边长增加2，则这个正方形的面积增加了（ ） A．4 B．2a C．2a+4 D．4a+4 7．现有一段围墙长20米，王伯伯想紧靠这段围墙圈一块长方形空地作为兔舍饲养小兔．已知他圈好的空地如图所示，是一个长方形，它的一条边用墙代替，另三边用总长度为50米的篱笆围成．设垂直于墙的一边的长度为m米，则m的取值范围是（ ） ( 墙 m ) A．20＜m＜50 B．15≤m＜25 C．20≤m＜25 D．15≤m≤20 8．关于x，y的二元一次方程（），则下列四个结论： ①无论t为何值时，关于x，y的方程都有一组解 ②若t＝1，则关于x，y的方程有2组正整数解； ③若，则关于x，y的不等式的解集为； ④若和是关于x，y的方程的两组解，则m＞n． 其中正确的结论是（ ） A．①②③④ B．①②④ C．②③④ D．①②③ 二、填空题（每小题3分，共30分．） 9．计算：3x2y•（﹣2y）＝ ． 10．命题“末位数字是5的数能被5整除”的逆命题是 命题（填“真”或“假”）． 11．Deepseek公司的光刻机使用极紫外光（EUV）技术制造芯片，其光源波长为0.0000000135米.数据“0.0000000135”用科学记数法可表示为 ． 12．请写出一个关于x的一元一次不等式，使x=1为该不等式的一个解.不等式为 ． 13．已知m+n＝5，mn＝3，则（m﹣1）（n﹣1）的值等于 ． 14．如果一个多边形的内角和是它外角和的3倍，那么这个多边形是 边形． 15．小明用一张等宽的纸条折成如图所示的图案，若∠1=30º，则∠2的度数为 º． 16．某工厂生产某种零件，若零件的长度为x厘米.为了加强零件合格率，现设计了如下两套质量控制标准：①；②.若两个标准下允许的长度范围完全一致，则p的值为 ． 17．关于x，y的二元一次方程ax+y＝b与cx+y＝d的部分解分别如表1，表2： 表1 表2 x … -1 0 1 2 … x … 0 1 2 3 … y … -4 -1 2 5 … y … 3 2 1 0 … 则关于x的不等式的解集为 ． 18．如图，∠AOB＝45°，点M、N分别在射线OA、OB上，MN＝9，△MON是面积为36的锐角三角形，P是线段MN上的动点，点P关于OA对称的点为C，点P关于OB对称点为D，则△COD的面积最小值为 ． ( A B C D M N O P ) 三、解答题（本题共9小题，共96分） 19.（本题满分16分）计算： （1）； （2）； （3）； （4）202622027×2025（用乘法公式计算）． 20．（本题满分10分）解不等式（组）： （1）≤； （2） ( 解：由 ，得 ③ ， …………………… 第一步 解得 ． ……………………………… 第二步 把 代入 ① ，得： ， 解得 ． ……………………………… 第三步 原方程组的解为 ……………………… 第四步 ) 21．（本题满分8分）小明解方程组的过程如下所示： 思考并解决下列问题： （1）在上述过程中，第 步是消元，消元的依据是 ； （2）小明的解答过程是不正确的，请写出正确的解答过程． 22．（本题满分8分）已知两个正整数a，b，且a比b大10，那么a，b的平方差一定是20的倍数吗？请举例，并用所学知识证明你的结论． 23．（本题满分10分）（1）观察图中大正方形的构成，用两种不同的方式计算其面积，可以得出代数恒等式： ； （2）利用上述代数恒等式计算： ①； ②先化简，再求值：，其中，． ( a b c a b c ) 24．（本题满分8分）如图，在△ABC中，D是AB边上的动点，过点D作DF⊥AC交AC于E，交BC的延长线于点F． （1）若∠A=25º，∠B=40º，则∠FCE= º，∠F= º； （2）在D点运动的过程中，探究∠A+∠B+∠F是否为定值，如果是，求出定值；如果不是，请说明理由. 25．（本题满分10分）某中学为落实教育部办公厅关于进一步加强中小学生体质管理的通知文件要求，决定增设篮球、足球两门选修课程，为此需要购进一批篮球和足球．已知购买3个篮球和2个足球需要560元；购买2个篮球和4个足球需要720元．根据以上信息解答： （1）购买1个篮球和1个足球各需要多少钱？ （2）学校计划采购篮球，足球共50个，总费用不超过6000元，求至少要买多少个篮球？ （3）在（2）的条件下，若要求篮球不多于20个，请写出所有购买方案，并求出最低总费用. 26．（本题满分12分）【探索发现】（1）已知，满足 ( 先解方程组，求出 ， 的值，再代入 ，计算求值. 将 ① - ②× 2 ， 得 = . )①求的值；小明、小红分别给出下列思路，请补全小红的思路． ②小明提出：小红的解法是巧合吗？能求的值吗？没有解决方案的小明询问了智能机器人.请根据智能机器人的提示，先求，的值，再求的值． ( 设 = ,其中 ， 为常数. ) 【解决问题】（2）若，满足为常数且，则的取值范围是 ． 27．（本题满分14分）【问题背景】同学们，我们知道“45°”角是一种特殊角，在一些图形中经常出现，掌握它的一些特殊性质可以解决许多问题，今天就让我们一起来认识一下“45°”角． 【问题探究】（1）在图1网格中用无刻度的直尺作图：以已知线段为一边画一个45°的角； ( 图1 ) （2）如图2，四边形ABCD是正方形，点E为边BC上一点，请用圆规和无刻度直尺作图：在CD边上求作一点F，使得∠EAF＝45°；（保留作图痕迹，不写作法） ( A B 图2 E D C ) 【问题拓展】（3）小明在完成（2）的作图后，将图形简化为图3，即四边形ABCD是正方形，点E为边BC上一点，点F为边CD上一点，∠EAF＝45°.他把△ADF绕着点A顺时针转90°，并作下列探究： ①用直尺和圆规作出旋转后的△AD′F′； ②小明判断所画图形中有轴对称图形（不包含原正方形ABCD），请用阴影把轴对称图形标记出来； ③若图中正方形边长为6，△EFC面积为6，则CE2+CF2的值为 ． ( 图3 ) ( 第 1 页 共 6 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $